2022-2022学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何综合训练含解析新人教B版选择性必修第一册

PAGEPAGE12第一章综合训练一、单项选择题:此题共8小题,每题5分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,向量AB'、AD'A.有相同起点的向量 B.等长的向量C.共面向量 D.不共面向量答案C解析向量AB'、AD'由该平行六面体不是正方体可知,这三个向量不是等长的向量,B不正确.又∵AD'∴AB',AD',BD2.a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),那么以下结论正确的选项是()A.a∥c,b∥c B.a∥b,a⊥c C.a∥c,a⊥b D.以上都不对答案C解析∵a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),∴a·b=-4+0+4=0,∴a⊥b.∵-4-2=-63.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BA+BC+DDA.D1B1C.DB1 D答案D解析如下图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,BA+BC+DD1=4.如下图,空间四边形ABCD,连接AC,BD.M,G分别是BC,CD的中点,那么AB+12BC+A.AD B.GAC.AG D.MG答案C解析∵M,G分别是BC,CD的中点,∴12∴AB+5.在四棱锥P-ABCD中,AB=(4,-2,3),AD=(-4,1,0),AP=(-6,2,-8),那么这个四棱锥的高h等于()A.1 B.2 C.13 D.26答案B解析设平面ABCD的法向量为n=(x,y,z),那么n不妨令x=3,那么y=12,z=4,可得n=(3,12,4),四棱锥的高h=|AP·n6.两不重合的平面α与平面ABC,假设平面α的法向量为n1=(2,-3,1),AB=(1,0,-2),AC=(1,1,1),那么()A.平面α∥平面ABCB.平面α⊥平面ABCC.平面α、平面ABC相交但不垂直D.以上均有可能答案A解析由题意,n1·AB=2×1+(-3)×0+1×(-2)=0,得n1⊥AB,n1·AC=2×1+(-3)×1+1×1=0,得n1⊥AC,所以n1⊥平面ABC,所以平面α的法向量与平面ABC的法向量共线,那么平面α∥平面ABC.7.直线AB与直二面角α-l-β的两个面分别交于A,B两点,且A,B都不在棱l上,设直线AB与α,β所成的角分别为θ和φ,那么θ+φ的取值范围是()A.0°<θ+φ<90° B.0°<θ+φ≤90°C.90°<θ+φ<180° D.θ+φ=90°答案B解析如图,分别过点A,B向平面β,α作垂线,垂足为A1,B1,连接BA1,AB1.由α⊥β,所以AA1⊥β,BB1⊥α,因此∠BAB1=θ,∠ABA1=φ.由最小角定理得∠BAA1≥θ,而∠BAA1+φ=90°,故θ+φ=θ+90°-∠BAA1≤90°,当AB⊥l时,θ+φ=90°,应选B.8.长方体A1A2A3A4-B1B2B3B4的底面为边长为1的正方形,高为2,那么集合{x|x=A1B2·AiBj,i∈A.1 B.2 C.3 D.4答案C解析∵长方体A1A2A3A4-B1B2B3B4的底面为边长为1的正方形,高为2,∴建立如图的空间直角坐标系,那么A1(1,1,0),A2(0,1,0),A3(0,0,0),A4(1,0,0),B1(1,1,2),B2(0,1,2),B3(0,0,2),B4(1,0,2),那么A1B2=与A1B1=(0,0,2)相等的向量为A2B2=A3与A1B4=(0,-1,2)相等的向量为A2B3,此时A与A4B1=(0,1,2)相等的向量为A3B2,此时A与A2B1=(1,0,2)相等的向量为A3B4,此时A1B2·A2B1=-此时A1B2·A1体对角线向量为A1B3=(-1,-1,2),此时A1B2·A1B3=1+4=5,AA3B1=(1,1,2),A1B2A4B2=(-1,1,2),A1B2综上集合{x|x=A1B2·AiBj,i∈{1,2,3,4},j二、多项选择题:此题共4小题,每题5分,共20分.在每题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,局部选对得3分.9.设向量a,b,c可构成空间一个基底,以下选项中正确的选项是()A.假设a⊥b,b⊥c,那么a⊥cB.那么a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面C.对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zcD.那么a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底答案BCD解析由a,b,c是空间一个基底,知:在A中,假设a⊥b,b⊥c,那么a与c相交或平行,故A错误;在B中,a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面,故B正确;在C中,对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zc,故C正确;在D中,a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底,故D正确.10.向量a=(1,2,3),b=(3,0,-1),c=(-1,5,-3),以下等式中正确的选项是()A.(a·b)c=b·cB.(a+b)·c=a·(b+c)C.(a+b+c)2=a2+b2+c2D.|a+b+c|=|a-b-c|答案BCD解析A.左边为向量,右边为实数,显然不相等,不正确;B.左边=(4,2,2)·(-1,5,-3)=0,右边=(1,2,3)·(2,5,-4)=2+10-12=0,∴左边=右边,因此正确.C.a+b+c=(3,7,-1),左边=32+72+(-1)2=59,右边=12+22+32+32+0+(-1)2+(-1)2+52+(-3)2=59,∴左边=右边,因此正确.D.由C可得左边=59,∵a-b-c=(-1,-3,7),∴|a-b-c|=59,∴左边=右边,因此正确.故BCD正确.11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AB,CC1,A1D1,C1D1的中点,那么以下结论正确的选项是()A.A1E⊥AC1 B.BF∥平面ADD1A1C.BF⊥DG D.A1E∥CH答案BCD解析设正方体的棱长为1,以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如下图的空间直角坐标系,那么A1(1,0,1),E1,12,0,C(0,1,0),F0,1,12,C1(0,1,1),H0,12,1,那么A1E=0,1所以A1E·AC1=-12,所以A1E与AC显然平面ADD1A1的一个法向量v=(0,1,0),有BF·v=0,所以BF∥平面ADD1A1,故B正确;BF·DG=0,所以BF⊥DG,故CA1E=-CH,所以A1E∥CH,故D12.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论:①AC⊥BD;②△ACD是等边三角形;③AB与平面BCD所成的角为60°;④AB与CD所成的角为60°.其中正确的结论有()A.① B.② C.③ D.④答案ABD解析如下图,建立空间直角坐标系Oxyz,设正方形ABCD的边长为2,那么D(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,0,1),A(0,1,0),所以AC=(0,-1,1),BD=(2,0,0),CD=(1,0,-1),AD=(1,-1,0),AB=(-1,-1,0),AC·BD故AC⊥BD,①正确.又|AC|=2,|CD|=2,|AD|=2,所以△ACD为等边三角形,②正确.对于③,OA为平面BCD的一个法向量,cos<AB,OA=(-1,-1因为直线与平面所成的角∈[0°,90°],所以AB与平面BCD所成的角为45°,故③错误.又cos<AB,CD=(-1,-1因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以AB与CD所成的角为60°,故④正确.三、填空题:此题共4小题,每题5分,共20分.13.在棱长为a的正四面体中,AB·BC+AC答案-a解析棱长为a的正四面体中,AB=BC=a,且AB与BC的夹角为120°,AC⊥BD.∴AB·BC+AC·BD=a·14.a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),那么xy=.

答案-2解析由题中条件得a+2b=(1+2x,4,-y+4),2a-b=(2-x,3,-2y-2),因为(a+2b)∥(2a-b),所以存在λ∈R使得1+2x=λ(2-x)且4=3λ且-y+4=λ(-2y-2),所以λ=43,x=12,y=-4,所以xy=-15.设PA⊥Rt△ABC所在的平面α,∠BAC=90°,PB,PC分别与α成45°和30°角,PA=2,那么PA与BC的距离是;点P到BC的距离是.

答案3解析作AD⊥BC于点D,∵PA⊥面ABC,∴PA⊥AD.∴AD是PA与BC的公垂线.易得AB=2,AC=23,BC=4,AD=3,连接PD,那么PD⊥BC,P到BC的距离PD=7.16.向量m=(a,b,0),n=(c,d,1),其中a2+b2=c2+d2=1,现有以下命题:①向量n与z轴正方向的夹角恒为定值(即与c,d无关);②m·n的最大值为2;③<m,n>(m,n的夹角)的最大值为3π④假设定义u×v=|u|·|v|sin<u,v>,那么|m×n|的最大值为2.其中正确的命题有.(写出所有正确命题的序号)

答案①③④解析①取z轴的正方向单位向量a=(0,0,1),那么cos<n,a>=n·a|n||a|=1c2②m·n=ac+bd≤a2+当且仅当a=c,b=d时取等号,因此m·n的最大值为1,命题错误;③由②可得|m·n|≤1,∴-1≤m·n≤1,∴cos<m,n>=m=ac+bda2+b∴<m,n>的最大值是3π4,④由③可知:-22≤cos<m,n>≤2∴π4≤<m,n>≤3π4,22≤sin<m,n>≤1,∴m×n=|m|×|n|×sin<m,n>≤1×2×综上可知,正确的命题序号是①③④.四、解答题:此题共6小题,共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)如下图,在四棱锥M-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱AM的长为3,且AM和AB,AD的夹角都是60°,N是CM的中点,设a=AB,b=AD,c=AM,试以a,b,c为基向量表示出向量BN,并求BN的长.解BN=BC+CN=AD+=-12所以BN=-12a+12b+1|BN|2=BN2=-12a+12b+12=14(a2+b2+c2-2a·b-2a·c+2b·c)=17所以|BN|=172,即BN的长为1718.(12分)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为2.(1)设侧棱长为1,求证:AB1⊥BC1;(2)设AB1与BC1所成的角为π3,求侧棱的长(1)证明AB因为BB1⊥平面ABC,所以BB1·AB=0,又△ABC为正三角形,所以<AB,BC>=π-<BA,BC>=因为AB1·BC1=(=AB=|AB|·|BC|·cos<AB,BC=-1+1=0,所以AB1⊥BC1.(2)解由(1)知AB1·BC1=|AB|·|BC|·cos<又|AB1|=AB2+所以cos<AB1,所以|BB1|=2,即侧棱长为19.(12分)空间中三点A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4),设a=AB,b=AC.(1)假设|c|=3,且c∥BC,求向量c;(2)向量ka+b与b互相垂直,求k的值;(3)求△ABC的面积.解(1)∵空间中三点A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4),设a=AB,b=AC,∴BC=(3,0,-4)-(1,-1,-2)=(2,1,-2),∵|c|=3,且c∥BC,∴c=mBC=m(2,1,-2)=(2m,m,-2m),∴|c|=(2m)2∴m=±1,∴c=(2,1,-2)或c=(-2,-1,2).(2)由题得a=(-1,-1,0),b=(1,0,-2),∴ka+b=k(-1,-1,0)+(1,0,-2)=(1-k,-k,-2),∵向量ka+b与b互相垂直,∴(ka+b)·b=1-k+4=0,解得k=5.∴k的值是5.(3)AB=(-1,-1,0),AC=(1,0,-2),BC=(2,1,-2),cos<AB,AC>=AB·AC|AB|·∴S△ABC=12×|AB|×|AC|×sin<AB,AC20.(12分)E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.(1)用向量法证明E,F,G,H四点共面;(2)用向量法证明:BD∥平面EFGH;(3)设M是EG和FH的交点,求证:对空间任一点O,有OM=1证明(1)如图,连接BG,BD=2EH,BC=2BF,那么EG=EB由共面向量定理的推论知E、F、G、H四点共面.(2)因为EH=12(AD-所以EH∥BD,又EH⊂平面EFGH,BD⊄平面EFGH,所以BD∥平面EFGH.(3)连接OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG,由(2)知EH=同理FG=12BDEH∥FG,EH=FG,所以EG、FH交于一点M且被M平分,所以OM=12(OE+OG)=14(21.(12分)(2021全国甲,理19)直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BF⊥A1B1.(1)证明:BF⊥DE;(2)当B1D为何值时,平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小?证明(1)如图,连接A1E,取BC中点M,连接B1M,EM.∵E,M分别为AC,BC中点,∴EM∥AB.又AB∥A1B1,∴A1B1∥EM,那么点A1,B1,M,E四点共面,故DE⊂平面A1B1ME.又在侧面BCC1B1中,△FCB≌△MBB1,∴∠FBM=∠MB1B.又∠MB1B+∠B1MB=90°,∴∠FBM+∠B1MB=90°,∴BF⊥MB1.又BF⊥A1B1,MB1∩A1B1=B1,MB1,A1B1⊂平面A1B1ME,∴BF⊥平面A1B1ME,∴BF⊥DE.(2)∵BF⊥A1B1,∴BF⊥AB,∴AF2=BF2+AB2=CF2+BC2+AB2=9.又AF2=FC2+AC2,∴AC2=8,那么AB⊥BC.如图,以B为原点,BC,BA,BB1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,那么B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),E(1,1,0),F(2,0,1).那么EF=(1,-1,1),ED=(-1,t-1,2),设DB1=t,那么D(0,t,2),0≤t≤2.那么平面BB1C1C的法向量为m=(0,1,0),设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),∴EF即x∴n=(1+t,3,2-t).那么cos<m,n>=3(要求最小正弦值,那么求最大余弦值.当t=12时二面角的余弦值最大那么B1D=12时二面角正弦值最小22.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=12AD=1