永州市2025年高考第一次模拟考试 数学试卷（含答案详解）

试卷第=page44页，共=sectionpages44页试卷第=page33页，共=sectionpages44页永州市2025年高考第一次模拟考试数学注意事项：1．答题前、考生务必将自己的姓名、准考证号、班级在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效．3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存．满分150分，考试用时120分钟．一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1．设A=xx2-4x-5=0,B=A．-1,1,5 B．-1,1,-5 C．-1 D．12．复数2i-1的共轭复数是（A．i-1 B．i+1 C．-1-i3．已知a=3,b=4，且a与b不共线，则“向量a+kb与a-kb垂直”A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．函数fx=x2+A．3x-y-2=0 B．2x-y-2=0C．3x+y-2=0 D．2x+y-2=05．已知函数fx=cos2ωx+π6A．x=π24 B．x=π12 C．6．在2024年巴黎奥运会中，甲、乙、丙、丁、戊5人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，若甲只能参加接待工作，那么不同的志愿者分配方案的种数是（

）A．38 B．42 C．50 D．567．已知数列an满足an+1-ananA．n2n+1 B．nn+2 C．2n2n+18．已知函数fx=lna+11-x+b+x4A．3,3 B．2,2 C．2,二､多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知A,B,C为随机事件，PA=0.5,PBA．若A,B相互独立，则PB．若A,B相互独立，则PC．若A,B,C两两独立，则PD．若B,C互斥，则P10．已知点A-2,0,B1,0，圆C:A．圆M:x2+(y-1)B．直线y=kx-3与圆CC．圆C上任意一点M都有MAD．b是a,c的等差中项，直线l:ax+2by+c=0与圆C交于P,Q两点，当PQ最小时，l的方程为x+y=011．在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N,P分别为棱AB,CC1,A．正方体被平面MNP截得的截面面积为3B．若DQ=AB，则点QC．若BK=2KB1D．将正方体的上底面A1B1C1D三､填空题：共3个小题，每小题5分，共15分.12．在x+1xn的展开式中，各项系数之和为13．已知α,β为锐角，且α+2β=2π3,14．已知双曲线C:x2-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2，双曲线C上的点P在x轴上方，若∠PF2F1四､解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或验算步骤.15．记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b+csin(1)求C；(2)若△ABC的面积为332,c=16．如图，在三棱锥A-BCD中，AB=AC=32,BD=CD=23，BC=26，点E在棱(1)证明：平面ABC⊥平面BCD；(2)求平面BCD与平面ECD的夹角的余弦值．17．已知椭圆E:x2a2+(1)求椭圆E的标准方程；(2)已知过点F的直线l1与椭圆E交于A,B两点，过点F且与l1垂直的直线l2与抛物线y2=4x交于C、18．已知函数，fx=x+1(1)若a=1，求fx(2)当a<0时，讨论fx(3)当x≥0时，fx≥gx19．将数字1,2,3,4,⋯,n任意排成一列，如果数字kk=1,2,⋯,n恰好在第k个位置上，则称有一个巧合，巧合的个数称为巧合数，记为Xn．例如n=4时，2，1，3，4为可能的一个排列，此时X4=2．Xn(1)写出a1,a(2)求EX(3)求an答案第=page88页，共=sectionpages88页答案第=page11页，共=sectionpages88页参考答案：题号12345678910答案AABADCDAADBCD题号11答案ACD1．AA=-1,5，B=-1,1，A∪B=2．A2i-1=2(-1-i)2=-1-i3．Ba+kb⋅a-kb=a2-ka⋅b+ka⋅b4．Af'x=2x+1x，所以f'1=2+1=3，所以f5．Dω=2π2π=1，则fx=cos2x+π3，令2x+π6．C（1）如果参加接待工作只有一人，则只能为甲，再把其余4人分组有两类情况：1:3和2:2.把4人按1:3分组，有C43种分组方法，按2:2分组，有因此不同分组方法数为C4再把两组人安排到其余两类志愿者服务工作，有A2所以不同分配方法种数是C4（2）如果参加接待工作有2人，则除了甲之外，还需要再安排一人有C4再把其余3人分组成1:2，有C3再把两组人安排到其余两类志愿者服务工作，有A2所以不同分配方法种数是C4（3）如果参加接待工作有3人，则除了甲之外，还需要再安排两人有C4再把其余2人安排到其余两类志愿者服务工作，有A2所以不同分配方法种数是C4综上，不同的志愿者分配方案的种数是14+24+12=50.选：C.7．D因为an+1-a所以1an为等差数列，公差d=1a2024-1a=412-13+8．A因为fx=lna+11-x+b+x4a,b∈R为奇函数，所以其定义域关于原点对称，易知x≠1，所以x≠-1，即有a+11-(-1)=0，得到a=-12，所以fx=ln-12+11-x+b+x4=ln当0<m2<1，即-1<m<0或0<m<1，x∈此时fx=ln当m>1，x∈m,m2f'由f'x=x2又fx在区间m,m2上有最小值，所以1<m<3<此时fx在区间m,3上单调递减，在区间3,m9．AD若A,B相互独立，则PAB=PAPB=0.5×0.4=0.2，故A正确；若A,B相互独立，则PA∪B=PA+PB-PAPB=0.5+0.4-0.2=0.7，故B错误；若A,B,C两两独立，由独立事件的乘法公式得，PAB=PAPB，PAC=P10．BCD两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程：y=2x；错误y=kx-3过定点3,0，而3,0在圆C:x2+y2-4x=0的内部，所以直线y=kx-3与圆C总有两个交点，正确；设Mx,y，由MA=2MB可得：x+22+y2=2x-12+y2化简可得：x2+y2-4x=0，所以满足条件的M轨迹就是圆C，正确；因为b是a,c的等差中项，所以当CN与直线l垂直时，PQ最小，此时kCN×kl=-1，即所以kl=-aa+c=-1，解得c=0，∴直线l的方程为x+y=011．ACD连接NP并延长，与DC,DD1所在直线交于点E,F，连接EM，交BC于点H，交直线DA于点G，连接GF，交AA1,A1D1于点I,J，连接PJ,HN,MI，如图所示，则正方体被平面MNP截得的截面为六边形MHNPJI，连接A1B,CD1，则A1B//CD1，因为ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以平面ABB1A1//平面DCC1D1，又平面EFG∩平面AB以D为原点，分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，连接MP，取MP中点O2，连接DO2,O2Q，如图所示，则D0,0,0,M1,12,0,H12,1,0,N0,1,12,P0,12,1又QO2⊂平面MNP因为DO2=所以QO所以点Q的轨迹为以O2为圆心半径为12的圆，点Q的轨迹长度为2×π×12=π，故B错误；因为BK=2KB1，所以K为BB1靠近B1的三等分点，则K1,1,23所以B1Q+如图所示，ABCD-A1B1C1D1即为侧面均为三角形的十面体，在平面A1B1C1D1，以所以VABCD-因为VA-所以V十面体=VABCD-A12．各项系数和为2n=64，得n=6，=C6r⋅x6-r⋅113．因α+2β=2π3，得到α=2π3-2β，又tanα2tanβ=2-3，所以tan(π3-β)tanβ=(3-tan14．F1(-2,0),F2(2,0)，当点P在第一象限时，令|PF2|=m，则|PF1|=2+m，由F2A平分∠PF2F1，得|PA||当点P在第二象限时，令|PF2|=t，则|PF1同理|PA|=t(t-2)4+t,|则|F1F2|因此|PF2|=4，设P(x0,y所以直线PF2的斜率k=y0x0-215．（1）由正弦定理得，b2-c2=ab-又C∈0,π，所以（2）因为△ABC的面积为332，所以12由c=7，则cosC=b所以b2+a16．（1）如图，取BC中点O，连接AO,DO，因AB=AC=32,BD=CD=23又BC=26，所以AO=18-6又AE=2EB，所以BE=又DE⊥AB，所以DE2=所以AO2+DO2=AD2，即AO⊥OD所以AO⊥面BCD，又AO⊂面ABC，所以平面ABC⊥平面BCD.（2）过E作EH//AO交BC于H，过H作HN⊥DC于N，连接EN,HD，由（1）知AO⊥面BCD，所以EH⊥面BCD，则∠ENH为平面BCD与平面ECD的夹角，因为BE=13AB，AO=2易知|BH|=16|BC|，所以S即12×23HN=在Rt△EHN中，cos17．（1）右焦点F1,0，且2b=23，即b=3.又因为a2-b2（2）显然直线l2的斜率不为0，设直线l2的方程为x=my+1，联立x=my+1y2=4x，消去x，整理得y所以y1所以CD=由垂直关系可设直线l1的方程为y=-mx+m，设Ax3联立y=-mx+mx24+y23所以AB=所以S四边形设4m2+3=tt≥3，则因为y=t+1t+2所以S四边形ACBD≥32×3+118．（1）当a=1时，fx=x+1令f'(x)=0，解得当x∈-∞,0时，f'(x)>0当x∈0,+∞时，f'(x)<0，则所以fx有极大值f(0)=（2）f'令f'(x)=0，则x=1-aa，因为a<0当x∈-∞,1-aa时，f当x∈1-aa,+∞时，f'所以f(x)≥f(1-a设h(a)=1ae因为a<0，所以h'(a)<0，所以h(a)在又因为h(-1)=0，所以当a<-1时，1ae1+a当a=-1时，1ae1+a+1=0，当-1<a<0时，1ae1+a+1<0，又f0=e2+1>0（3）fx因为x≥0时，x+1≥1,e所以fx两边同时取自然对数得，-x≥ax-1当x=0时，0≥0成立，当x>0时，lnx+1>0，则设m(x)=-1则m'设n(x)=x则n'设p(x)=2x-ln则p'设kx则k'x=2-2x+1又k0=2×0-2ln所以p'x>0，则p又p(0)=2×0-ln20+1所以n'x>0，则n又n(0)=02-所以m'x>0，则m又当x→0时，mx→-1所以a≤-119．（1）由题可知，n=1时，只有1个数，不存在全错位排列，故a1n=2时，有2个数1,2，故a2n=3时，有3个数1,2,3，故a3由题可知，X4的可能取值有0,1,2,4当X4=0时，当X4=1时，当X4=2时，当X4=4时，所以X4X0124P3111（2）定义随机变量xi则Pxi=1所以Ex由题可知，总的匹配数为随机变量Xn，则X所以E(X（3）设n个编号为1,2,3,⋯,i,⋯,j,⋯n的不同元素x1,x当n=1时，a1=0，当n=2时，当n≥3时，在n个不同元素中任取一个元素xi不排在与其编号对应的第i位，必排在剩下n-1个位置之一，所以有n-1对xi