部编数学八年级上册专项训练：幂的运算（九大考点解析版）

专题04笨的运算重难点精练（九大考息）

一.同底数幕的乘法

二.同底数幕的除法

三.嘉的乘方与积的乘方（注意整体思想的运用）

幕

的

运四.幕的运算中的规律

算

重

五.新定义

难

点

精六.阅读类一紧扣例题，化归思想

练

七.整式除法（难点）

八.巧妙比大小…化相同

九•易的运算的综合提升

丁,实战训练

同底数幕的乘法

1.己知2加・2加・8=211,则加=4

试题分析：将已知中的2恤2加-8化为同底数的幕，然后利用同底数塞的乘法法则进行计算，再根

据指数相同列式求解即可.

答案详解：解：2〃~2加・8=2a・2加.23=2加+加+3,

,.•2m>2m-8=2u,

m+m+3=11,

解得加=4.

所以答案是4.

2.已知2x+3y-2=0,求尹・27〉的值.

试题分析：直接利用募的乘方运算法则将原式变形进而化简得出答案.

答案详解：解：：2x+3y-2=0,

••2x+3y=2,

9工・27、=32x・33、=32+3丫=32=9.

3.已知3升2=加，用含加的代数式表示3x()

mm

A.3x=m-9B.3X=—C.3x=m-6D.3X=—

Vo

试题分析：根据同底数幕的乘法法则解答即可.

答案详解：解：♦；3升2=3咏32="，

m

•OX--

••°—9•

所以选：B.

同底数幕的除法

、2

4.已知：3m=2,9〃=3,贝！|3%2"=-.

-3-

试题分析：先利用哥的乘方变为同底数累，再逆用同底数嘉的除法求解.

答案详解：解：：9"=32"=3,

...3加-2c〃=3冽,c——2,

2

所以答案是：--

15454

5.已知=n=^7o>那么2016刈一"=1.

试题分析：根据积的乘方的性质将m的分子转化为以3和5为底数的幕的积，然后化简从而得到

m=n,再根据任何非零数的零次幕等于1解答.

15434-5454

答案详解:

344—344-340’

・・冽=〃,

.\2016mn=2016°=l.

所以答案是：1.

6.己知产=4,2=6,产=9,2b+c-3b+c=6a-2,则9。+276=9.

试题分析：先将9。+27°变形，再由寸=4,2=6,k=9,2计八3计。=6。-2分别得出0,b,c的

关系式，然后联立得方程组，整体求得(2a-36)的值，最后代入将27b变形所得的式子即

可得出答案.

答案详解：解：9。+27'

=(32)"+(33)b

=(3)2a-3b,

VF=4,依=6,下=9,

...代•乃:=依•依，

:.k°+c=@,

a+c=26①；

•：2b+c.3b+c=6a-2t

：.(2X3)b+c=6a-2t

b+c—a-2(2)；

联立①②得：黑二三,

・(c=2b-a

**(c=a—2—b9

•*»2b~a=a-2-bj

・・2a-3b'='2,

W27b

=(3)?a-3b

=32

=9.

所以答案是：9.

三.塞的乘方与积的乘方(注意整体思想的运用)

7.已知2m=a,32n=b,m,〃为正整数，则加+1。“=/乂.

试题分析：根据积的乘方与幕的乘方及同底数塞的乘法的运算法则解答.

答案详解：解：：2，"=a,32及="

.".25m+10w=(2m)5.(25)2n=(2m)5*322n=(2m)5*(32n)2=a5b2,

所以答案是：a5b2.

8.计算：(-0.2)100X5101=5.

试题分析：根据幕的乘方与积的乘方运算法则，将所求的式子变形为(-0.2X5)I00X5,再求

解即可.

答案详解：解：(-0.2)100X5101

=(-0.2)100X5100X5

=(-0.2X5)100X5

=5,

所以答案是：5.

9.若x+3y-3=0,则2%•郎=8.

试题分析：根据已知条件求得、=3-3»然后根据同底数幕的乘法法则进行解答.

答案详解：解：・・h+3厂3=0,

「・x=3-3y,

••・2%・©=23-3y・23y=23=8.

所以答案是：8.

四.幕的运算中的规律

10.阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22017+22018的值.

解：设5=1+2+22+23+24+…+22017+22018①,将等式两边同时乘2,#25=2+22+23+24+25+—

+22018+22019②，

②-①，得2S-S=22°19-1,即S=22°19-I,

所以1+2+22+23+24+…+22°17+22°18=22°19-1.

请你仿照此法计算：

(1)1+2+22+23+24+—+29+210；

(2)1+3+32+33+34+…+3”-1+3"(其中"为正整数).

试题分析：(1)直接利用例题将原式变形进而得出答案；

(2)直接利用例题将原式变形进而得出答案.

答案详解：解：(1)设S=1+2+22+23+24+…+2?①

将等式两边同时乘2得：

25=2+22+23+24+---+21°+211,②

②-①得2S-S=2"-1,

即S=2n-1,

A1+2+22+23+24+--+210=211-1.

(2)设5=1+3+32+33+34+…+3”,①

将等式两边同时乘3得：

35=3+32+33+34+—+3/?+3n+1,②

②-①得3S-S=3"+1-1,

1,

即S=-(3n+1-1),

1

l+3+32+33+34+—+3n=-(3"+i-1).

11.(1)通过计算比较下列各式中两数的大小：(填或“=”)

®12<21,@23<32,®34>43,

(4)45>54,(5)56>65,…

(2)由(1)可以猜测/+1与(〃+1)为正整数)的大小关系：当“W2时,nn+l<

(〃+1)"；当”23时,〃"+1>(«+1)”；

(3)根据上面的猜想，可以知道：20082009>20092N8.

试题分析：先要正确计算(1)中的各个数，根据计算的结果确定所填的符号，观察所填符号，

总结规律.

答案详解：I解：⑴①；12=1,21=2,

：.12<2',

0V23=8,32=9,

：.23<32,

③：34=81,43=64,

.\34>43,

(4)V45=1024,54=625,

.".45>54,

⑤:56=15625,65=7776,

.\56>65,—

（2）由（1）可以猜测或+1与（〃+1）"（〃为正整数）的大小关系:

当nW2时，当+1）"；

当时，nn+l>(〃+1)”；

(3)Vn=2008>3,

.,.20082009>20092008.

1111

…可得规律5+7+W+…+市=1

~+—=1--

1111

—+—+—=1——,

2488'

11111

--L--L--I---4--------=1---------

24822。。2200，

・•・1+2-1+2-2+2-3+2-4+・・・+2-200

1111

=1+—+-+-d---+--------

2482200

1

=1+1--------

112200

1

=2--------

42200,

13.探究：22-21=2X21-1X21=2(I)

23-22=2X22-1X22=2<2>,

24-23=2X23-1X23=2<3>,

（1）请仔细观察，写出第4个等式；

（2）请你找规律，写出第"个等式；

（3）计算：21+22+23+—+22019-22020.

试题分析：（1）根据给出的内容，直接可以仿写25-24=2X24-1X24=24,

（2）2"1-2"=2义2"-1义2"=2",

（3）将原式进行变形，即提出负号后，就转化为原题中的类型，利用（1）（2）的结论，直接得

出结果.

答案详解：解：探究：22-21=2X2-1X21=21,

23-22=2X22-1X22=22,

24-23=2X23-1X23=23,

(1)25-24=2X24-1X24=24；

(2)2"+i-2"=2义2"-1X2"=2"；

2

(3)原式=-(22020-22019_22018_2^17-...-2-2)

=-2.

所以答案是：1；2X22-1X22；2；2X23-1X23；3

五.新定义

14.定义一种新运算(a,b),若那=6,贝|(a,b)=c,例(2,8)=3,(3,81)=4.已知(3,

5)+(3,7)=(3,x),则x的值为35.

试题分析：设加=5,3〃=7,根据新运算定义用机、〃表示(3,5)+(3,7),得方程，求出x

的值.

答案详解：解：设3"=5,3"=7,

依题意(3,5)=m,(3,7)=n,

(3,5)+(3,7)—m+n.

(3,x)=m+n,

...无=3"+”

=3aX3"

=5X7

=35.

所以答案是：35.

15.规定两数a,6之间的一种运算，记作(a,6)；如果。。=儿那么(a,6)=c.例如：因为23=

8,所以(2,8)=3.

(1)根据上述规定，填空：

①(5,125)=3,(-2,-32)=5；

1

②若(x,—)=-3,则x=2.

(2)若(4,5)=a,(4,6)=b,(4,30)=c,试探究a,b,c之间存在的数量关系;

(3)若(加，8)+(tn,3)=(m,t),求f的值.

试题分析：(1)①根据新定义的运算进行求解即可；

②根据新定义的运算进行求解即可；

(2)根据新定义的运算进行求解即可；

(3)根据新定义的运算进行求解即可.

答案详解：解:①；53=125,

工(5,125)=3,

(-2)5=-32,

(-2,-32)=5,

所以答案是：3；5；

1

②由题意得：x~3

O

则X-3=2-3,

・'・x=2,

所以答案是：2；

(2)(4,5)=a,(4,6)=b,(4,30)=c,

;.4。=5,4b=6,4c=30,

V5X6=30,

：.4a-4b=4c,

•・a+b=c.

(3)设(冽，8)=p,(mf3)=q,(m,t)=%

r

・••册=8,加9=3,m=tf

(m,8)+(m,3)=(m,t),

»•p+q=r,

'.mp+q—mr,

•u.mp*mr=mt,

即8X3=6

.」=24.

16.规定两数Q,6之间的一种运算，记作(a,b)：如果那么(a,b)=c.

例如：因为23=8,所以(2,8)=3.

(1)根据上述规定，填空：

1

(3,27)=3,(5,1)=0,(2,了)=-2.

(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：(3",4")=(3,4),小明给出了如下的证明：

设(3〃，4")=x,贝ij(3〃)x=4〃，即(3、)〃=4"

所以次=4,即(3,4)=x,

所以(3",4")=(3,4).

请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：(3,4)+(3,5)=(3,20)

试题分析:(1)分别计算左边与右边式子，即可做出判断；

(2)设(3,4)=x,(3,5)=y，根据同底数幕的乘法法则即可求解.

答案详解：解：(1)，：33=27,

(3,27)=3；

(5,1)=0；

,1

.・.2-2=了

1

(2,­)=-2；

(2)设(3,4)=x,(3,5)=y,

则3%=4,”=5,

.・.3%+刀=3%・3'=20,

(3,20)=x+y,

：.(3,4)+(3,5)=(3,20).

所以答案是：3,0,-2.

六.阅读类--紧扣例题，化归思想

17.阅读下列材料：

一般地，"个相同的因数。相乘aY-a记为心如2X2X2=2』8,此时，3叫做以2为底8的

几个

对数，记为log28(即log28=3).一般地，若求=b(。>0且aWl,6>0),则"叫做以。为底6

的对数，记为log/(即loga6=〃).如34=81,则4叫做以3为底81的对数，记为log381(即log381

=4).

(1)计算以下各对数的值：

log?4=2,log,16=4,log』64=6.

(2)观察(1)中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎

样的关系式；

(3)由(2)的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？

logc(MN)；(。>0且aWl,M>0,N>0)

(4)根据幕的运算法则：•产以及对数的含义证明上述结论.

试题分析：首先认真阅读题目，准确理解对数的定义，把握好对数与指数的关系.

(1)根据对数的定义求解；

(2)认真观察，不难找到规律：4X16=64,log24+log216=log264；

(3)由特殊到一般，得出结论：logJW+logaN=loga(MN)；

(4)首先可设log“M=bi，logaN=b2，再根据幕的运算法则：陵以及对数的含义证明

结论.

答案详解：解：(1)log24=2,log216=4,log264=6；

(2)4X16=64,Iog24+log216=log264；

(3)\ogaM+\ogaN=logo(MN)；

(4)证明：设logaA/=6i，log°N=62，

贝!|a"=Af,a62=N,

：.MN=abl-ab2=abl+b2,

：,bi+b2=\oga(MN)即logaM+logfl^=logfl〈MN).

18.阅读下列材料：

若於=2,〃=3,则0,6的大小关系是a>b(填或

解：因为/5=(03)5=25=32,〃5=(")3=33=27,32>27,所以。15>扭5,

所以a>b.

解答下列问题：

(1)上述求解过程中，逆用了哪一条累的运算性质C

A.同底数幕的乘法

B.同底数幕的除法

C.嘉的乘方

D.积的乘方

(2)己知/=2,胃=3,试比较x与y的大小.

试题分析：(1)根据幕的乘方进行解答即可；

(2)根据题目所给的求解方法，进行比较.

答案详解：I解：；凉5=(.3)5=25=32,-5=(〃)3=33=27,32>27,所以小〉小,

所以。>6,所以答案是：>；

(1)上述求解过程中，逆用了幕的乘方，所以选C；

(2)Vx63=(x7)9=29=512,/3=(/)7=37=2187,2187>512,

：.x63<y6i,

19.阅读下面一段话，解决后面的问题.

观察下面一列数：1,2,4,8,我们发现，这一列数从第二项起，每一项与它前一项的比都

等于2.

一般地，如果一列数从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等

比数列，这个常数叫做等比数列的比.

(1)等比数列5,-15,45,…的第四项是-135.

CL2

(2)如果一列数对，。2,的，。4,…是等比数列，且公比为q,那么根据上述的规定，有工=q，

CL3

=q,Q3=，以6Z3=Q2q=q=Qiq2,。4=。3夕=(4/2),q〃二

aig"1(用含对与q的代数式表示).

(3)一个等比数列的第二项是10,第三项是20,则它的第一项是5,第四项是40.

试题分析：(1)由于-15+5=-3,45+(-15)=-3,所以可以根据规律得到第四项.

(2)通过观察发现，第"项是首项牝乘以公比q的(»-1)次方，这样就可以推出公式了;

(3)由于第二项是10,第三项是20,由此可以得到公比，然后就可以得到第一项和第四项.

答案详解：解：(1)：-15+5=-3,454-(-15)=-3,

:.第四项为45X(-3)=-135.

故填空答案：-135；

(2)通过观察发现，第〃项是首项对乘以公比g的(«-1)次方，即：an=axq'

故填空答案：a©"」；

(3):公比等于20+10=2,

二第一项等于：10+2=5,

nl

第四项等于20X2=40.an—a\q.

故填空答案：它的第一项是5,第四项是40.

七.整式除法(难点)

20.我阅读：类比于两数相除可以用竖式运算，多项式除以多项式也可以用竖式运算，其步骤是:

(z)把被除式和除式按同一字母的降塞排列(若有缺项用零补齐).

(")用竖式进行运算.

5)当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式.

我会做：请把下面解答部分中的填空内容补充完整.

求(5X4+3X3+2X-4)-T-(x2+l)的商式和余式.

解：

答：商式是5X2+3X-5,余式是-x+1；

我挑战：已知工4+13+。工2+%+人能被%2+工+1整除，请直接写出a、b的值.

5xz+3r-5

r2+Or-HJ5工4+3工3+(什2工一4

5x4+Ox5+5x2

3X5+()+2X

3a?+07+3r

()—x—4

试题分析：我会做：根据“我阅读”的步骤，计算填空即可;

我挑战：用竖式计算，令余式为0即可算出a,b的值.

答案详解：解：我阅读：

(m)

5r+3x—5

r2+0x-H_7514+3工3+6孑+2工一4

5x4+0x3+5x2

3/+(5科2x

3，+0,+3r

-5x3—1—4

。炉+0大・5)

(-x+1)

余式是-x+1,

所以答案是：(h2,-5x2,-5x2,-5X2+0X-5,-x+1；

我挑战：

+g-i)

x4+―+x+b

x4+x3+x2

(。-1谓+x+b

(q-l)x+o-1

(2・a)x+b-m4

x4+x3+tzx2+x+Z?=(x2+x+l)(/+a-1)+(2-a)x+b-a+1,

*.*x4+x3+tzx2+x+Z>能被N+x+1整除，

**.(2-a)x+b-a+1=0,

.*.2-。=0且6-。+1=0,

解得〃=2,b=\.

21.计算：3a^b2-^-a2+b*Ca2b-3ab）.

试题分析：根据单项式的除法以及单项式乘以多项式进行计算即可.

答案详解：解：原式=3"2+/62-3仍2

=a2b2.

22.计算：（2。3・3〃-2。）4-（-2a）

试题分析：依据单项式乘单项式法则进行计算，然后再依据多项式除以单项式法则计算即可.

答案详解：解：原式=（6。4-2a）4-（-2〃）

=6d）4-（-2。）-2a-T-（-2〃）

-—3a3+1.

八.巧妙比大小一一化相同

23.阅读下列解题过程，试比较21°°与375的大小.

解：...2100=（24）25=1625,375=。3）25=2725,而16<27,

.•.2100<375

请根据上述解答过程解答：比较255、344、433的大小.

试题分析：根据哥的乘方的逆运算，把各数化为指数相同、底数不同的形式，再根据底数的大小

比较即可.

答案详解：M：V255=3211,344=81",433=64n,

且32<64<81,

A255<433<344.

24.比较20162。17与ZOU。"的大小，我们可以采用从“特殊到一般”的思想方法：

（1）通过计算比较下列各式中两数的大小：（填或“=”）

@12<21,@23<32,@34>43,（4）45>54,（5）56>65,…

（2）由（1）可以猜测〃"+1与（〃+1）"（〃为正整数）的大小关系：

当“W2时,〃"+1<（〃+1）"；当〃>2时,nn+i>（〃+1）”；

（3）根据上面的猜想则有：20162017>20172016（填或"=，，）.

试题分析：（1）通过计算可比较大小；

（2）观察（1）中的符号，归纳/+1与（”+1）"（"为正整数）的大小关系;

（3）由（2）中的规律可直接得到答案；

答案详解：解：（1）①：12=1,21=2,

.\12<21,

@V23=8,32=9,

：.23<32,

③:34=81,43=64,

.".34>43,

（4）V45=1024,54=625,

.,.45>54,

（5）V56=15625,©=7776,

.,.56>65,

(2)通过观察可以看出；“W2时，nn+l<(n+1)”；

〃>2时，〃"+i>("+1)”；

(3)由(2)得到的结论；2016>2,

.,.20162017>20172016.

所以答案是：(1)<,<,>>>；W2,>2；>.

25.(1)用填空：35<36,53<63

(2)比较下列各组中三个数的大小并用连接：①4986,164②255,344,433.

试题分析：(1)根据底数为大于1的正数时，底数相同指数越大幕越大和指数相同时，底数越小

幕越小填空即可；

(2)①先把这3个数化为底数都为2的幕比较大小；②根据(册)"=，"(〃?，〃是正整数)

的逆运算把三个数化为指数相同的数，再比较底数的大小即可.

答案详解：解：(1)V3>1,

.".35<36,

所以答案是：<;

Vl<5<6,

.•.53<63,

所以答案是：<;

(2)①：41°=⑷)5=220,16占⑷)4=216,一=218,

V220>218>216,

.,.164<86<410；

②•••255=⑵)I344=(34)11,433=⑷)”,

又；25=32<43=64<34=81,

.".255<433<344.

九.幕的运算的综合提升

,11

26.已知5"=2b=10,求一+工的值.

ab

试题分析：想办法证明ab=a+b即可.

答案详解：解：•••5。=2，=10,

(5°)*=106,(2&)。=10。，

；.5仍=10"2仍=10°,

二5而•2很=10—10%

.•.10而=1()。+"

•*ub—~ci~^~b,

11a+b

3+1年=L

1

27.己知6*=192,32y=192,贝l|(-2017)<“口