考研数学一（高等数学）模拟试卷7（共144题）

考研数学一（高等数学）模拟试卷7（共5套）（共144题）考研数学一（高等数学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)1、设f(x，y)=则f(x，y)在(0，0)处()．A、连续但不可偏导B、可偏导但不连续C、可微D、一阶连续可偏导标准答案：C知识点解析：因为=0=f(0，0)，所以f(x，y)在(0，0)处连续；因为=0，所以f′x(0，0)=0，根据对称性，f′y(0，0)=0，即f(x，y)在(0，0)处可偏导；由=0，得f(x，y)在(0，0)处可微；当(x，y)≠(0，0)时，f′x(x，y)=，则f′x(x，y)=因为不存在，所以f′x(x，y)在点(0，0)处不连续，同理f′y(x，y)在点(0，0)处也不连续，选C．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)2、设f(x)=，则x=0为f(x)的_____间断点。标准答案：跳跃知识点解析：f(0－0)==1，f(0+0)==0，因为f(0－0)≠f(0+0)，所以x=0为f(x)的跳跃间断点．3、设f(x)连续可导，f(0)=0且f′(0)=b，若F(x)=在x=0处连续，则A=_______。标准答案：A=a+b知识点解析：因为F(x)在x=0处连续，所以A=a+b．4、=_______。标准答案：知识点解析：5、=_______。标准答案：知识点解析：6、设f(x)=在x=1处可微，则a=_______，b=_______。标准答案：a=2，b=－1知识点解析：因为f(x)在x=1处可微，所以f(x)在x=1处连续，于是f(1－0)=f(1)=1=f(1+0)=a+b，即a+b=1．又f′－(1)==2．f′+(1)==a，由f(x)在x=1处可微得a=2，所以a=2，b=－1．7、∫max{x+2，x2}dx=_______。标准答案：知识点解析：max{x+2，x2}=当x≤－1时，∫max{x+2，x2}dx=+C1；当－1＜x＜2时，∫max{x+2，x2}dx=+2x+C2；当x≥2时，∫max{x+2，x2}dx=+C3．由+C1=－2+C2，2+4+C2=+C3，得C1=C2－，C3=C2+，取C2=C，则∫max{x+2，x2}dx=三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)8、求标准答案：知识点解析：暂无解析9、标准答案：知识点解析：暂无解析求下列导数：10、设y=y(x)由。标准答案：知识点解析：暂无解析11、设y=y(x)由。标准答案：ln(x+t)=xt－1两边对t求导得，解得；ety=y+1两边对t求导得ety.，知识点解析：暂无解析12、(1)由方程sin(xy)+ln(y－x)=x确定函数y=y(x)，求。(2)设函数y=y(x)由2xy=x+y确定，求。(3)设由e－y+x(y－x)=1+x确定y=y(x)，求y″(0)．(4)设y=y(x)由x－∫1x+ye－t2dt=0确定，求。(5)设f(x)=，求df(x)｜x=1。(6)设函数y=y(x)由可确定，求。标准答案：(1)x=0代入sin(xy)+ln(y－x)=x得y=1，sin(xy)+ln(y－x)=x两边关于x求导得cos(xy).=1，将x=0，y=1代入上式得=1．(2)当x=0时，y=1．2xy=x+y两边关于x求导得2xyln2.，将x=0，y=1代入得=ln2－1，故dy｜x=0=(ln2－1)dx．(3)x=0时，y=0．e－y+x(y－x)=1+x两边关于x求导得－e－yy′+y－x+x(y′－1)=1，则y′(0)=－1；－e－yy′+y－x+x(y′－1)=1两边关于x求导得e－y(y′)2－e－yy″+2(y′－1)+xy″=0，代入得y″(0)=－3．(4)x=0时，y=1．x－∫1x+ye－t2dt=0两边关于x求导得1－e－(x+y)2.=e－1．(5)由f(x)==xex得f′(x)=(x+1)ex，从而f′(1)=2e，故df(x)｜x=1=2edx．(6)知识点解析：暂无解析13、设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，且3f(0)=f(1)+2f(2)，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f′(ξ)=0．标准答案：因为f(x)在[1，2]上连续，所以f(x)在[1，2]上取到最小值m和最大值M，又因为m≤≤M，所以由介值定理，存在c∈[1，2]，使得f(c)=，即f(1)+2f(2)=3f(c)，因为f(0)=f(c)，所以由罗尔定理，存在ξ∈(0，c)(0，2)，使得f′(ξ)=0．知识点解析：暂无解析14、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)+2f(ξ)=0．标准答案：令φ(x)=e2xf(x)，由f(a)=f(b)=0得φ(a)=φ(b)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ′(ξ)=0，而φ′(x)=e2x[f′(x)+2f(x)]且e2x≠0，故f′(ξ)+2f(ξ)=0．知识点解析：暂无解析设f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内二阶可导，且2f(0)=∫02f(t)dt=f(2)+f(3)．证明：15、ξ1，ξ2∈(0，3)，使得f′(ξ1)=f′(ξ2)=0。标准答案：令F(x)=∫0xf(t)dt，F′(x)=f(x)，∫02f(t)dt=F(2)－F(0)=F′(c)(2－0)=2f(c)，其中0＜c＜2．因为f(x)在[2，3]上连续，所以f(x)在[2，3]上取到最小值m和最大值M，由介值定理，存在x0∈[2，3]，使得f(x0)=，即f(2)+f(3)=2f(x0)，于是f(0)=f(c)=f(x0)，由罗尔定理，存在ξ1∈(0，c)(0，3)，ξ2∈(c，x0)(0，3)，使得f′(ξ1)=f′(ξ2)=0．知识点解析：暂无解析16、存在ξ∈(0，3)，使得f″(ξ)－2f′(ξ)=0．标准答案：令φ(x)=e－2xf′(x)，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(0，3)，使得φ′(ξ)=0，而φ′(x)=e－2x[f″(x)－2f′(x)]且e－2x≠0，故f″(ξ)－2f′(ξ)=0．知识点解析：暂无解析17、标准答案：知识点解析：暂无解析18、设f(x)在[1，+∞)内可导，f′(x)＜0且=a＞0，令an=－∫－1nf(x)dx．证明：{an}收敛且0≤≤f(1)．标准答案：因为f′(x)＜0，所以f(x)单调减少．又因为an+1－an=f(n+1)－∫nn－1f(x)dx=f(n+1)－f(ξ)≤0(ξ∈[n，n+1])，所以{an}单调减少．因为an=，而∫kk+1[f(k)－f(x)]dx≥0(k=1，2，…，n－1)且=a＞0，所以存在X＞0，当x＞X时，f(x)＞0．由f(x)单调递减得f(x)＞0(x∈[1，+∞))，故an≥f(n)＞0，所以存在由an=f(1)+[f(2)－∫12f(x)dx]+…+[f(n)－∫n－1nf(x)dx]，而f(k)－∫k－1kf(x)dx≤0(k=2，3，…，n)，所以an≤f(1)，从而0≤≤f(1)．知识点解析：暂无解析19、求曲线x3－3xy+y3=3上纵坐标最大和最小的点．标准答案：x3－3xy+y3=3两边对x求导得3x2－3y－，令=0得y=x2，代入x3－3xy+y3=3得x=－1或x=，x=－1时，y=1；x=．所以，所求最大点为，最小点为(－1，1)．知识点解析：暂无解析20、求由方程x2+y3－xy=0确定的函数在x＞0内的极值，并指出是极大值还是极小值．标准答案：根据隐函数求导法，得y′=令y′==0，得y=2x，再将y=2x代入原方程得x=y″=，y′=0代入y″得=－32＜0，所以x=为函数的极大值点，且极大值为y=知识点解析：暂无解析21、设F(x)为f(x)的原函数，且当x≥0时，f(x)F(x)=，又F(0)=1，F(x)＞0，求f(x)．标准答案：两边积分得F2(x)=+C，由F(0)=1，F(x)＞0，得F(x)=，于是f(x)=知识点解析：暂无解析22、计算．标准答案：知识点解析：暂无解析23、已知f(x，y)=设D为由x=0、y=0及x+y=t所围成的区域，求F(t)=．标准答案：当t＜0时，F(t)=0；当0≤t＜1时，F(t)=；当1≤t＜2时，F(t)=；当t≥2时，F(t)=1，则F(t)=知识点解析：暂无解析24、设f(x)二阶连续可导，且曲线积分∫[3f′(x)－2f(x)+xe2x]ydx+f′(x)dy与路径无关，求f(x)．标准答案：因为曲线积分与路径无关，所以有f″(x)=3f′(x)－2f(x)+xe2x，即f″(x)－3f′(x)+2f(x)=xe2x，由特征方程λ2－3λ+2=0得λ1=1，λ2=2，则方程f″(x)－3f′(x)+2f(x)=0的通解为f(x)=C1ex+C2e2x，令特解f0(x)=x(ax+b)e2x，代入原微分方程得a=，b=－1，故所求f(x)=C1ex+C2e2x+知识点解析：暂无解析25、对常数P，讨论幂级数的收敛域．标准答案：由=1，得幂级数的收敛半径为R=1．(1)当p＜0时，记q=－p，则有=+∞，因而当x=±1时，发散，此时幂级数的收敛域为(－1，1)；(2)当0≤p＜1时，对=+∞，所以x=1时，级数发散，当x=－1时，显然收敛，此时幂级数的收敛域为[－1，1)；(3)当p=1时，收敛，此时收敛域为[－1，1)；(4)当p＞1时，对收敛，所以级数收敛，当x=－1时，显然绝对收敛，此时幂级数的收敛域为[－1，1]．知识点解析：暂无解析设f(x)是连续函数．26、求初值问题的解，其中a＞0标准答案：y′+ay=f(x)的通解为y=[∫0xf(t)eatdt+C]e－ax，由y(0)=0得C=0，所以y=e－ax∫0xf(t)eatdt．知识点解析：暂无解析27、若｜f(x)｜≤k，证明：当x≥0时，有｜y(x)｜≤．标准答案：当x≥0时，｜y｜=e－ax｜∫0xf(t)eatdt｜≤e－ax∫0x｜f(t)｜eatdt≤ke－ax∫0xeatdt=e－ax(eax－1)，因为e－ax≤1，所以｜y｜≤(eax－1)知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)1、设收敛，则下列级数必收敛的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：(un+un+1)收敛，因为Sn=2(u1+u2+…+un)一u1+un+1，而级数收敛，所以存在，由级数收敛的定义，收敛，选(D)．2、下列说法正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：令收敛，(A)不对；令un=vn=收敛，(B)不对；令发散，(C)不对；3、下列结论正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：(A)正确，因为0≤(un±vn)2≤2(un2+vn2)，而收敛，所以由正项级数的比较审敛法得收敛；4、设级数都发散，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：因为(|un|+|vn|)为正项级数，若(|un|+|vn|)收敛，因为0≤|un|≤|un|+|vn|，0≤|nn|≤|un|+|vn|，根据正项级数的比较审敛法知，都收敛，即都绝对收敛，则都收敛，与已知矛盾，选(D)．5、下列命题正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：因为，从而存在M＞0，使得|un|≤M，于是|unvn|≤Mvn，因为正项级数收敛，根据比较审敛法，绝对收敛，选(D)．6、设a为任意常数，则级数()．A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、敛散性与常数口有关标准答案：B知识点解析：7、下列说法正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：(A)不对，例如：un=(一3)n-1，显然发散；(B)不对，例如：发散；(C)正确，因为．存在N＞0，当b＞N时，0≤un＜1，从而0≤un2≤un＜1，由比较审敛法得收敛；(D)不对，例如：发散，选(C)．8、级数()．A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、敛散性不确定标准答案：B知识点解析：因为又单调减少且以零为极限，由莱布尼茨审敛法，级数收敛．而n→∞时，条件收敛，正确答案为(B)．9、设k＞0，且级数A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、敛散性与k的取值有关标准答案：C知识点解析：因为都收敛，所以绝对收敛，正确答案为C.10、设幂级数的收敛半径分别为R1，R2，且R1＜R2，设(an+bn)xn的收敛半径为R0，则有()．A、R0=R2B、R0=R1C、R0＜R1D、R0＞R2标准答案：B知识点解析：暂无解析11、设的收敛半径为()．A、1B、C、D、标准答案：D知识点解析：绝对收敛；当|x|＞时，级数发散，故其收敛半径为选D.12、设(x一1)n在x=一1处收敛，则此级数在x=2处()．A、条件收敛B、绝对收敛C、发散D、敛散性不确定标准答案：B知识点解析：因为an(x一1)n在x=一1处收敛，即收敛，所以的收敛半径R≥2，故当x=2时，|2—1|＜R，所以级数an(x一1)n在x=2处绝对收敛，选B.13、设f(x)=则以2π为周期的傅里叶级数在x=π处收敛于()．A、1+π2B、一1C、D、标准答案：D知识点解析：函数f(x)的傅里叶级数在x=π处收敛于选D.二、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)14、设f(x)=S0=∫02f(x)e-xdx，S1=∫24f(x一2)e-xdx，…，Sn=∫2n2n+2f(x一2n)e-xdx，求标准答案：S0=∫02f(x)e-xdx=∫01xe-xdx+∫12(2一x)e-xdx=令t=x-2，则S1=e-2∫02f(t)e-tdt=e-2S0，令t=x一2n，则Sn=e-2n∫02f(t)e-tdt=e-2nS0，知识点解析：暂无解析15、判断级数的敛散性．标准答案：知识点解析：暂无解析16、判断级数的敛散性．标准答案：因为是正项级数，又n→∞时，收敛，根据比较审敛法的极限形式，级数收敛．知识点解析：暂无解析17、判断级数的敛散性．标准答案：根据比值审敛法，级数收敛．知识点解析：暂无解析18、判断级数的敛散性．标准答案：因为发散，由比较审敛法的极限形式得级数发散．知识点解析：暂无解析19、判断级数的敛散性．标准答案：知识点解析：暂无解析20、判断级数的敛散性．标准答案：知识点解析：暂无解析21、判断级数的敛散性．标准答案：因为所以级数收敛．知识点解析：暂无解析22、判断级数的敛散性．标准答案：因为n→∞时，收敛，所以级数收敛．知识点解析：暂无解析23、判断级数的敛散性，若收敛是绝对收敛还是条件收敛．标准答案：知识点解析：暂无解析24、判断级数(a≠0)的敛散性．若收敛是绝对收敛还是条件收敛．标准答案：知识点解析：暂无解析25、设级数收敛，又an≤bn≤cn(n=1，2，…)．证明：级数收敛．标准答案：由an≤bn≤cn，得0≤bn一an≤cn一an因为收敛，所以(cn一an)收敛，根据正项级数的比较审敛法得(bn一an)收敛，又bn=(bn一an)+an则收敛．知识点解析：暂无解析26、设正项级数收敛，并说明反之不成立．标准答案：因为而(un+un+1)收敛．所以根据正项级数的比较审敛法知收敛．反之不一定成立，例如：级数1+0+1+0+…发散，因为unun+1=0(n=1，2，…)，所以收敛．知识点解析：暂无解析27、设为发散的正项级数，令Sn=a1+a2+…+an(n=1，2，…)．证明：收敛．标准答案：显然{Sn}n-1∞单调增加，因为级数发散，所以对交错级数单调减少，且知识点解析：暂无解析28、设a1=2，an+1=(n=1，2，…)．证明：标准答案：(1)因为所以{an}n-1∞单调减少，而an≥0，即{an}n=1∞是单调减少有下界的数列，根据极限存在准则，存在．对级数Sn=(a1一a2)+(a2一a3)+…+(an一an+1)=2一an+1，因为存在，所以级数收敛，根据比较审敛法，级数收敛．知识点解析：暂无解析29、设un＞0(n=1，2，…)，Sn=u1+u2+…+un．证明：收敛．标准答案：知识点解析：暂无解析30、若正项级数与正项级数都收敛，证明下列级数收敛：标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设y=f(x)由cos(xy)+lny－x=1确定，则=()．A、2B、1C、－1D、－2标准答案：A知识点解析：将x=0代入题中等式得y=1，cos(xy)+lny－x=1两边对x求导得－sin(xy)－1=0，将x=0，y=1代入上式得，即f′(0)=1，于是=2f′(0)=2，应选A．2、设f(x)连续，且F(x)=，则F′(x)=()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：F′(x)=f(lnx).(lnx)′－，应选A．3、设f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程y″+py′+qy=sin2x+2ex的满足初始条件f(0)=f′(0)=0的特解，则当x→0时，()．A、不存在B、等于0C、等于1D、其他标准答案：C知识点解析：，因为f(0)=f′(0)=0，所以f″(0)=2，于是=1，选C4、设f(x)在x=a的邻域内有定义，且f′+(a)与f′－(a)都存在，则()．A、f(x)在x=a处不连续B、f(x)在x=a处连续C、f(x)在x=a处可导D、f(x)在x=a处连续可导标准答案：B知识点解析：因为f′+(a)存在，所以存在，于是=f(a)，即f(x)在x=a处右连续，同理由f′－(a)存在可得f(x)在x=a处左连续，故f(x)在x=a处连续，选B．5、设α=，则当x→0时，两个无穷小的关系是()．A、高阶无穷小B、低阶无穷小C、同阶非等价无穷小D、等价无穷小标准答案：C知识点解析：因为≠1，所以两无穷小同阶但非等价，选C．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)6、=_______。标准答案：知识点解析：7、设x＞0，且=_______。标准答案：知识点解析：8、∫arcsinxdx=_______。标准答案：知识点解析：∫arcsinxdx=xarcsinx－=xarcsinx++C9、设直线在平面x+y+z=0上的投影为直线L，则点(1，2，1)到直线L的距离等于_______。标准答案：知识点解析：过直线的平面束为(x+2y－z－2)+k(2x－y+z－3)=0，即(1+2k)x+(2－k)y+(k－1)z－2－3k=0，由{1+2k，2－k，k－1}.{1，1，1}=0，得k=－1，则投影直线为L：，s={1，1，1}×{1，－3，2}={5，－1，－4}，对称式方程为L：，令M0，M1的坐标分别为(－1，0，1)，(1，2，1)，={2，2，0}，则d=10、=_______。标准答案：2(1－ln2)知识点解析：令S(x)=(－1＜x＜1)，则S′(x)=因为S(0)=0，三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)11、标准答案：知识点解析：暂无解析12、标准答案：当0≤x≤1时，0≤≤lnn(1+x)≤xn，积分得0≤，由夹逼定理得=0．知识点解析：暂无解析13、设f(x)在(－∞，+∞)上连续，f′(0)=1，且对任意的x，y∈(－∞，+∞)，有f(x+y)=f(x)f(y)，求f(x)。标准答案：f′(x)=，由f(0)=f2(0)，得f(0)=0或f(0)=1，若f(0)=0，则对任意的x∈(－∞，+∞)，有f(x)=f(x)f(0)=0，则，与f′(0)=1矛盾，从而f(0)=1，于是f′(x)==f(x)f′(0)=f(x)，即f′(x)－f(x)=0，解得f(x)=Ce∫－dx=Cex，由f(0)=1得C=1，故f(x)=ex．知识点解析：暂无解析14、设f(x)在[0，1]上二阶连续可导且f(0)=f(1)，又｜f″(x)｜≤M，证明：｜f′(x)｜≤．标准答案：由泰勒公式得f(0)=f(x)+f′(x)(0－x)+(0－x)2，ξ∈(0，x)，f(1)=f(x)+f′(x)(1－x)+(1－x)2，η∈(x，1)，两式相减得f′(x)=[f″(ξ)x2－f″(η)(1－x)2]，取绝对值得｜f′(x)｜≤[x2+(1－x)2]，因为x2≤x，(1－x)2≤1－x，所以x2+(1－x)2≤1，故｜f′(x)｜≤知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析16、标准答案：知识点解析：暂无解析17、设f(x)=a1ln(1+x)+a2ln(1+2x)+…+anln(1+nx)，其中a1，a2，…，an为常数，且对一切x有｜f(x)｜≤｜ex－1｜．证明：｜a1+2a2+…+nan｜≤1．标准答案：当x≠0时，由｜f(x)｜≤｜ex－1｜得，而=a1+2a2+…+nan，且=1，根据极限保号性得｜a1+2a2+…+nan｜≤1知识点解析：暂无解析设f(x)在(－1，1)内二阶连续可导，且f″(x)≠0．证明：18、对(－1，1)内任一点x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得f(x)=f(0)+xf′[θ(x)x]标准答案：对任意x∈(－1，1)，根据微分中值定理，得f(x)=f(0)+xf′[θ(x)x]，其中0＜θ(x)＜1．因为f″(x)∈C(－1，1)且f″(x)≠0，所以f″(x)在(－1，1)内保号，不妨设f″(x)＞0，则f′(x)在(－1，1)内单调增加，又由于x≠0，所以θ(x)是唯一的．知识点解析：暂无解析19、标准答案：由泰勒公式，得f(x)=f(0)+f′(0)x+，其中ξ介于0与x之间，而f(x)=f(0)+xf′[θ(x)x]，所以有f′[θ(x)x]=f′(0)+，令x→0，再由二阶导数的连续性及非零性，得知识点解析：暂无解析20、设函数y=f(x)二阶可导，f′(x)≠0，且与x=φ(y)互为反函数，求φ″(y)．标准答案：因为函数的一阶导数与其反函数的一阶导数互为倒数，所以φ′(y)=，于是φ″(y)=知识点解析：暂无解析21、设f(x)在[a，b]上连续且单调增加，证明：∫abxf(x)dx≥．标准答案：令φ(x)=，因为f(x)在[a，b]上单调增加，所以∫abφ(x)dx≥0，故∫abxf(x)dx≥∫abf(x)dx知识点解析：暂无解析22、求函数u=x+y+z在沿球面x2+y2+z2=1上的点(x0，y0，z0)的外法线方向上的方向导数，在球面上怎样的点使得上述方向导数取最大值与最小值?标准答案：球面x2+y2+z2=1在点(x0，y0，z0)处的外法向量为n={2x0，2y0，2z0}，方向余弦为cosα==x0，cosβ=y0，cosγ=z0，又=1，所求的方向导数为=x0+y0+z0．令F=x+y+z+λ(x2+y2+z2－1)，当(x，y，z)=时，方向导数取最大值；当(x，y，z)=时，方向导数取最小值．知识点解析：暂无解析23、设Ω：x2+y2+z2≤1，证明：标准答案：令f(x，y，z)=x+2y－2z+5，因为f′x=1≠0，f′y=2≠0，f′z=－2≠0，所以f(x，y，z)在区域Ω的边界x2+y2+z2=1上取到最大值和最小值．令F(x，y，z，λ)=x+2y－2z+5+λ(x2+y2+z2－1)，由得驻点为P1因为f(P1)=8，f(P2)=2，所以在Ω上的最大值与最小值分别为2和，于是知识点解析：暂无解析24、证明：S(x)=满足微分方程y(4)－y=0并求和函数S(x)．标准答案：显然级数的收敛域为(－∞，+∞)，显然S(x)满足微分方程y(4)－y=0．y(4)－y=0的通解为y=C1ex+C2e－x+C3cosx+C4sinx，由S(0)=1，S′(0)=S″(0)=S′″(0)=0得C1=，C4=0，故和函数为S(x)=知识点解析：暂无解析飞机以匀速v沿y轴正向飞行，当飞机行至O时被发现，随即从x轴上(x0，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(x0＞0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为2v．25、求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件．标准答案：设t时刻导弹的位置为M(x，y)，根据题意得=y－vt，两边对x求导数得所以导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件为知识点解析：暂无解析26、导弹运行方程．标准答案：令解得=0，进一步解得故轨迹方程为y=知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第4套一、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、标准答案：知识点解析：2、级数标准答案：2知识点解析：令S(x)=显然该级数的收敛半径为R=1；当x=±1时，级数发散，故该幂级数的收敛域为(一1，1)．3、级数标准答案：2ln2知识点解析：因为ln(1+x)=其中一1＜x≤1，4、级数收敛，则P的范围为_________．标准答案：知识点解析：5、将函数f(x)=展开为(x+1)的幂级数为_______，收敛域为________．标准答案：收敛域为（-2，0）知识点解析：二、解答题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)6、计算，其中L为x2+y2=1从点A(1，0)经过B(0，1)到C(一1，0)的曲线段．标准答案：作上半椭圆C0：x2+4y2=1，方向取逆时针，L与C0-围成的区域为D1，C0与x轴围成的区域为D2，由格林公式得知识点解析：暂无解析7、计算，其中S是平面在第一卦限的部分．标准答案：而S：及x轴，y轴围成的部分，知识点解析：暂无解析8、计算其中∑为锥面位于z=2下方的部分．标准答案：曲面∑在xOy平面上的投影区域为Dx：x2+y2≤4，知识点解析：暂无解析9、求，其中∑为x2+y2+z2=1被所截的顶部．标准答案：由得曲面∑在xOy平面上的投影区域为Dx：x2+y2≤由曲面∑：得知识点解析：暂无解析10、计算其中S是圆锥面介于z=0与z=1之间的部分．标准答案：曲面S：在xOy平面上的投影为D：x2+y2≤1，知识点解析：暂无解析11、计算，其中S：x2+y2+z2=2z．标准答案：知识点解析：暂无解析12、设∑：(z≥0)，点P(x，y，z)∈∑，π为曲面∑在点P处的切平面，d(x，y，z)为点O(0，0，0)到平面π的距离，计算[*594]标准答案：知识点解析：暂无解析13、计算+(x2y—z3)dzdx+(2xy+y2z)dxdy，其中∑为和z=0围成区域的表面外侧．标准答案：由高斯公式得xz2dydz+(x2y—z3)dzdx+(2xy+y2z)dxdy=知识点解析：暂无解析14、计算(x3cosα+y3cosβ+z3cosγ)dS，其中S：x2+y2+z2=R2，取外侧．标准答案：由两类曲面积分之间的关系得知识点解析：暂无解析15、设f(u)连续可导，计算，其中曲面∑为由y=x2+z2+6与y=8一x2一z2所围成立体的外侧．标准答案：设Ω是∑所围成的区域，它在xOz平面上的投影区域为x2+z2≤1，由高斯公式得知识点解析：暂无解析16、求曲面积分x2dydz+y2dzdx，其中∑是z=x2+y2被z=x所截的部分，取下侧．标准答案：曲面∑在平面yOz上的投影区域为D：知识点解析：暂无解析17、计算(x+3z2)dydz+(x3z2+yz)dzdx一3y2dxdy，其中∑为在z=0上方部分的下侧．标准答案：令∑0：z=0(x2+y2≤4)，取上侧，则由高斯公式得所以原式=8π．知识点解析：暂无解析18、计算曲面积分x3dydz+y3dzdx+(z3+1)dxdy，其中∑为x2+y2+z2=a2(z≥0)部分的上侧．标准答案：补充∑0：z=0(x2+y2≤a2)，取下侧，知识点解析：暂无解析19、设三是球面x2+y2+z2=4(z≥0)的外侧，计算+2dxdy．标准答案：Dxz={(x，z)|0≤x≤}，Dxy={(x，y)|x2+y2≤4}，则知识点解析：暂无解析20、计算曲面积分(x2+y2)dzdx+zdxdy，其中S为锥面(0≤z≤1)第一卦限的部分，方向取下侧．标准答案：将曲面S向xOz面投影得Dxz=((x，y)|0≤x≤1，x≤z≤1}，知识点解析：暂无解析21、计算+y2dzdx+z2dxdy，其中∑：(x一1)2+(y一1)2+=1(y≥1)，取外侧．标准答案：知识点解析：暂无解析22、设f(x，y，z)是连续函数，∑是平面x—y+z一1=0在第四卦限部分的上侧，计算[f(x，y，z)+x]dydz+[2f(x，y，z)+y]dzdx+[f(x，y，z)+z]dxdy．标准答案：∑的法向量为n={1，一1，1}，方向余弦为根据两类曲面积分之间的关系有知识点解析：暂无解析23、计算+ydzdx+zdxdy，其中∑是z=x2+4y2(0≤z≤4)的上侧．标准答案：补充曲面∑0：z=4(x2+4y2≤4)，取该曲面的下侧，由高斯公式得所以原式=一12π+8π=一4π．知识点解析：暂无解析24、计算其中∑是曲面被z=1和z=2截得部分的下侧．标准答案：令∑1：z=1(x2+y2≤1)取下侧，∑2：z=2(x2+y2≤4)取上侧，知识点解析：暂无解析25、计算(x—y)xdydz+(x—y)dxdy，其中∑为位于z=0与z=3之间的部分的外侧．标准答案：所以原式=9π．知识点解析：暂无解析26、计算其中f(u)连续可导，曲面∑为z=的上侧．标准答案：令∑0：z=0(x2+y2≤1)取下侧，知识点解析：暂无解析27、计算y(x—z)dydz+x(z—y)dxdy，其中∑为位于平面z=1及z=2之间部分的外侧．标准答案：∑1：z=1(x2+y2≤1)取下侧，∑2：z=2(x2+y2≤4)取上侧，所以原式=0．知识点解析：暂无解析28、计算，取上侧(a＞0)．标准答案：补充曲面∑0：z=0(x2+y2≤a2)，取下侧，则由高斯公式得知识点解析：暂无解析29、对右半空间x＞0内的任意光滑有侧封闭曲面∑，有xf(x)dydz—xyf(x)dzdx—e2xzdxdy=0，其中f(x)在(0，+∞)内具有一阶连续的偏导数，且f(0+0)=1，求f(x)．标准答案：由高斯公式得当曲面∑法向量指向外侧时取正号，当曲面∑的法向量指向内侧时取负号．由∑的任意性得xf’(x)+(1一x)f(x)一e2x=0(x＞0)，或者则知识点解析：暂无解析30、设向量场A={xz2+y2，x2y+z2，y2z+x2)，求rotA及divA．标准答案：rotA=={2yz一2z，2xz一2x，2xy一2y}，知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第5套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设f(x)连续，且，则()．A、f(x)在x=0处不可导B、f(x)在x=0处可导且f’(0)≠0C、f(x)在x=0处取极小值D、f(x)在x=0处取极大值标准答案：D知识点解析：得f(0)=1，由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜|x|＜δ时，，即f(x)＜1=f(0)，故x=0为f(x)的极大值点．应选(D)．2、设f(x)二阶连续可导，且则()．A、x=1为f(x)的极大值点B、x=1为f(x)的极小值点C、(1，f(1))为y=f(x)的拐点D、x=1不是f(x)的极值点，(1，f(1))也不是y=f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：由及f(x)二阶连续可导得f"(1)=0，因为=2＞0，所以由极限保号性，存在δ＞0，当0＜|x一1|＜δ时从而当x∈(1一δ，1)时，f"(x)＞0；当x∈(1，1+δ)时，f"(x)＜0，则(1，f(1))为曲线y=f(x)的拐点，应选(C)．3、设f(x)二阶连续可导，f’(0)=0，且则()．A、x=0为f(x)的极大值点B、x=0为f(x)的极小值点C、(0，f(0))为y=f(x)的拐点D、x=0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是y=f(x)的拐点标准答案：A知识点解析：因为=一1＜0，所以由极限保号性，存在δ＞0．当0＜|x|＜δ时，，注意到x3=o(x)，所以当0＜|x|＜δ时，f"(x)＜0，从而f’(x)在(-δ，δ)内单调递减，再由f’(0)=0得故x=0为f(x)的极大值点，应选(A)．4、曲线的渐近线有()．A、1条B、2条C、3条D、4条标准答案：B知识点解析：由=-∞得x=0为铅直渐近线；由为水平渐近线，显然该曲线没有斜渐近线，又因为x→1及x→-2时，函数值不趋于无穷大，故共有两条渐近线，应选(B)．5、函数f(x)=x3一3x+k只有一个零点，则k的范围为()．A、|k|＜1B、|k|＞1C、|k|＞2D、k＜2标准答案：C知识点解析：令f’(x)=3x2一3=0，得x=±1，f"(x)=6x，由f"(一1)=一6＜0，得x=一1为函数的极大值点，极大值为f(一1)=2+k，由f"(1)=6＞0，得x=1为函数的极小值点，极小值为f(1)=-2+k，因为f(x)=x3一3x+k只有一个零点，所以2+k＜0或一2+k＞0，故|k|＞2，选(C)．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)6、设f”(x)＞0，且f(0)=0，则2f(1)与f(2)的大小关系是________．标准答案：f(1)=f(2)=2知识点解析：由拉格朗日中值定理，存在ξ1∈(0，1)，ξ2∈(1，2)，使得f(1)-f(0)=f’(ξ1)(1一0)=f’(ξ1)，f(2)一f(1)=f’(ξ2)(2—1)=f’(ξ2)，因为f"(x)＞0，所以f’(x)单调递增，又因为ξ1＜ξ2，所以f(1)一f(0)＜f(2)一f(1)，再由f(0)=0得2f(1)＜f(2)．7、函数f(x)=x2-3x+4在[1，2]上满足罗尔定理的条件的ξ=_______．标准答案：知识点解析：f(x)∈C[1，2]，f(x)在(1，2)内可导，且f(1)=f(2)=2，显然f(x)在[1，2]上满足罗尔定理的条件，则存在ξ∈(1，2)，使得f’(ξ)=0，而f’(x)=2x一3，由f’(ξ)=0得8、设f(x)=ln(1+x)，当x＞0时，由拉格朗日中值定理，f(x)=f’(θx)x(0＜θ＜1)，则标准答案：知识点解析：9、标准答案：1知识点解析：令f(x)=sinx，f’(x)=cosx，则10、函数f(x)=xe-2x的最大值为________．标准答案：知识点解析：令f’(x)=(1—2x)e-2x=0，得当时，f’(x)＞0；当时，f’(x)＜0，则为f(x)的最大值点，最大值为三、解答题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)11、设a1=1，a2=2，3an+2—4an+1+an=0，n=1，2，…，求标准答案：由3an+2—4an+1+an=0，得3(an+2一an+1)=an+1一an(n=1，2，…)．令bn=an+1一an，则bn+1／bn=1／3(n=1，2，…)，知识点解析：暂无解析12、标准答案：当0≤x≤1时，0≤≤lnn(1+x)≤xn，知识点解析：暂无解析13、设f(x)=，求f(x)的间断点及其分类．标准答案：k=0及x=1为f(x)的间断点．则x=0为f(x)的可去间断点；因为f(1—0)≠f(1+0)，所以x=1为f(x)的跳跃间断点．知识点解析：暂无解析14、讨论函数f(x)=(x＞0)的连续性．标准答案：当x∈(0，e)时，当x=e时，f(e)=1，当x＞e时，f(x)=故f(x)=因为f(e一0)=f(e)=f(e+0)=1，所以f(x)在x＞0内处处连续．知识点解析：暂无解析15、设f(x)=求f(x)的间断点并判断其类型．标准答案：因为f(x)为初等函数，所以f(x)的间断点为x=0和x=1．因为x→0时，即x=0为f(x)的第一类间断点中的可去间断点；因为f(1—0)=所以x=1为f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点．知识点解析：暂无解析16、设f(x)=求f(x)的间断点，并判断其类型．标准答案：显然x=0、x=1