考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷1（共153题）

考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷1（共5套）（共153题）考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)在x=0的某个邻域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：对于(A)选项，由于h→+∞，因此只能保证右导数f+′(a)存在．又例如则f(x)在x=a处不连续，故也不可导，但显然满足(B)、(C)，因此(B)、(C)不正确，只有(D)选项是正确的．2、设函数f(x)对任意x均满足等式f(1+x)=af(x)，且有f′(0)=b，其中a，b为非零常数，则()A、f(x)在x=1处不可导．B、f(x)在x=1处可导，且f′(1)=a．C、f(x)在x=1处可导，且f′(1)=b．D、f(x)在x=1处可导，且f′(1)=ab．标准答案：D知识点解析：由已知条件，令x=0，得f(1)=af(0)，从而故应选D．3、设f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是()A、如果存在，则f(0)=0．B、如果存在，则f′(0)存在．C、如果存在，则f(0)=0．D、如果存在，则f′(0)存在．标准答案：D知识点解析：由于f(x)在x=0处连续，故如果存在，则于是从而(A)、(B)选项都是正确的命题．又如果存在，则因此选项(C)的命题也是正确的．如果令f(x)=|x|，则但f′(0)显然不存在，综上，应选(D)．4、已知f′(x0)=－1，则A、1．B、－1．C、3．D、－3．标准答案：A知识点解析：故应选A．5、设函数则f(x)在x=0处的左、右导数()A、都存在且相等．B、都不存在．C、都存在但不相等．D、仅有一个存在．标准答案：C知识点解析：故应选(C)．6、设g(x)在x=0处二阶可导，且g(0)=g′(0)=0，并设则f(x)在x=0处()A、不连续．B、连续，但不可导．C、可导，导函数不连续．D、可导，导函数连续．标准答案：D知识点解析：7、设f(x)=φ(x)|x3－1|，其中φ(x)在x=1处连续，则φ(1)=0是f(x)在x=1处可导的()A、充分必要条件．B、必要但非充分条件．C、充分但非必要条件．D、既非必要也非充分条件．标准答案：A知识点解析：如果f(x)在x=1处可导，则需－3φ(1)=3φ(1)，即φ(1)=0，从而应选A．8、函数f(x)=(x2－x－2)|x3－x|不可导点的个数是()A、3．B、2．C、1．D、0．标准答案：B知识点解析：f(x)=(x+1)(x－2)|x||lx+1||x－1|，从而f(x)的不可导点只可能为x=－1，x=0，x=1．设f(x)=g(x)|x||x+1||x－1|，由于g(－1)=0，g(0)=－2≠0，g(1)=－2≠0，由上题结果，故f(x)在x=－1处可导，而在x=0和x=1处不可导，故应选(B)．二、填空题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)9、设y=(1+sinx)x，则dy|x=π=___________；标准答案：－πdx．知识点解析：因为所以dy|x=π=－πdx．10、设y=y(x)由方程2xy=x+y确定，则dy|x=0=_________．标准答案：(ln2－1)dx．知识点解析：方程两边求微分得2xyln2(ydx+xdy)=dx+dy．以x=0代入原方程得y=1；以x=0，y=1代入上式得ln2dx=dx+dy，解得dy|x=0=(ln2-1)dx．三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)设f(x)在x=0的某个邻域内连续，且f(0)=0，求：11、f′(0)；标准答案：知识点解析：暂无解析12、标准答案：知识点解析：暂无解析13、设y=f(x)是由方程sin(xy)+ln(y－x)=x所确定的隐函数，求标准答案：由已知条件，当x=0时，y=1，从而将方程两端对x求导，有将x=0代入，得y′(0)=f′(0)=1，故知识点解析：暂无解析14、求下列函数的导数：标准答案：(2)由于所以(3)因为所以y′=e2x+2xe2x=(1+2x)e2x．(4)令x－t=u，则故y′=f(x)．知识点解析：暂无解析15、设函数y=y(x)由方程ln(x2+y)=x3y+sinx确定，求标准答案：当x=0时，y=1，对方程两边关于x求导，得故y′|x=0=cos0=1．知识点解析：暂无解析16、设函数其中f(x)是连续函数，且f(0)=2，求φ′(x)．标准答案：令tx2=u则从而当x=0时，φ(0)=0，从而综上，知识点解析：暂无解析17、设f(x)=x(x-1)(x－2)…(x-100)，求f′(50)．标准答案：令φ(x)=x(x－1)…(x－49)(x－51)…(x－100)，则f(x)=(x-50)φ(x)，因此f′(x)=φ(x)+(x-50)φ′(x)，于是f′(50)=φ(50)=50!(－1)5050!=(50!)2．知识点解析：暂无解析18、设y=x+lnx，求标准答案：由反函数求导法则，知识点解析：暂无解析19、设函数y=y(x)是由方程xy+ey=x+1确定的隐函数，求标准答案：方程两端对x求导，得两端再对x求导，得又当x=0时，y=0，从而代入上式，有知识点解析：暂无解析20、设求f(n)(0)(n＞1)．标准答案：【解法1】因为故于是【解法2】因为故当n＞1时，从而知识点解析：暂无解析21、设y=sin4+cos4x，求y(n)．标准答案：先将y的表达式化简，得由公式得知识点解析：暂无解析22、设f(x)=x2sinxcosx，求f(2007)(0)．标准答案：f(x)=x2sin2x，根据莱布尼茨公式，有f(2007)=[x2(sin2x)(2007)+2C20071x(sin2x)(2006))+2C20072(sin2x)(2005)]，由于故f(2007)(0)=2007×2006×22004．知识点解析：暂无解析23、设函数如果f"(0)存在，求常数a，b．标准答案：由于f′(0)存在，从而b=1．于是由于f"(0)存在，故2a=－1，即综上，知识点解析：暂无解析24、如果函数在x=0处有连续导数，求A的取值范围．标准答案：由于f(x)在x=0处可导，所以f(x)在x=0处连续，从而因此λ＞0．又存在，故λ－1＞0，即λ＞1，由题意，f(x)在x=0处有连续的导数，所以即因此λ－2＞0，综上λ的取值范围为λ＞2．知识点解析：暂无解析25、设f(x)连续，且求φ′(x)并讨论φ′(x)在x=0处的连续性．标准答案：由题设条件知，f(0)=0，φ(0)=0，令u=xt，得于是当x=0时，由导数定义有从而由于故φ′(x)在x=0处连续．知识点解析：暂无解析26、已知函数在x=1处可导，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程和法线方程．标准答案：因为f(x)在x=1处可导，所以f(x)在x=1处连续，于是有即a+b-e．又从而2a=－e，即于是此时切点为(1，e)，f′(1)=－e，故所求切线方程为y－e=－e(x－1)，即ex+y－2e=0．法线方程为即x－ey+e2－1=0．知识点解析：暂无解析27、设函数y=f(x)由方程e2x+ycos(xy)=e－1确定，求曲线y=f(x)在点(0，1)处的法线方程．标准答案：方程两端对x求导，有e2x+y(2+y′)+(y+xy′)sin(xy)=0，将x=0，y=1代入得切线斜率为y′(0)=－2，于是法线斜率为故所求法线方程为即x-2y+2=0．知识点解析：暂无解析考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设函数f(x)在｜x｜＜δ内有定义且｜f(x)｜≤x2，则f(x)在x=0处()．A、不连续B、连续但不可微C、可微且f’(0)=0D、可微但f’(0)≠0标准答案：C知识点解析：显然f(0)=0，且f(x)=0，所以f(x)在x=0处连续．又由｜f(x)｜≤x2得，根据夹逼定理得即f’(0)=0，选C．2、设y=y(x)由x-∫1x+ye-t2dt=0确定，则y’’(0)等于()．A、2e2B、2e-2C、e2-1D、e-2-1标准答案：A知识点解析：当x=0时，由-∫1ye-t2dt=0得y=1，x-∫1x+ye-t2dt=0两边对x求导得1-e-(x+y)2.=0，解得=e(x+y)2-1，且=e-1．由=e(x+y)2.2(x+y).得y’’(0)==2e2，选A．3、设则f(x)在x=1处()．A、不连续B、连续但不可导C、可导但不是连续可导D、连续可导标准答案：D知识点解析：因为(x2+x+1)=3=f(1)，所以f(x)在x=1处连续．因为，所以f(x)在x=1处可导．当x≠1时，f’(x)=2x+1，因为=3=f’(1)，所以f(x)在x=1处连续可导，选D．4、设f(x)=｜x3-1｜g(x)，其中g(x)连续，则g(1)=0是f(x)在x=1处可导的()．A、充分条件B、必要条件C、充分必要条件D、非充分非必要条件标准答案：C知识点解析：设g(1)=0，f’-(1)=.(x2+x+1)g(x)=0，f’+(1)=(x2+x+1)g(x)=0，因为f’-(1)=f’+(1)=0，所以f(x)在x=1处可导．设f(x)在x=1处可导，f’-(1)=.(x2+x+1)g(x)=-3g(1)，f’+(1)=(x2+x+1)g(x)-3g(1)，因为f’-(1)=f’+(1)=0，所以g(1)=0，故g(1)=0为f(x)在x=1处可导，选C．5、设f(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内可导，则()．A、若f(x)=0，则f’(x)=0B、若f’(x)=0，则f(x)=0C、若f(x)=+∞，则f’(x)=+∞D、若f’(x)=A＞0，则f(x)=+∞标准答案：D知识点解析：取f(x)=f(x)=0，但=+∞，A不对；取f(x)=cosx，显然f’(x)=(-sinx)=0，但f(x)=1≠0，B不对；取f(x)=x，显然f(x)=+∞，但f’(x)=1，C不对，选D．事实上，取ε=＞0，因为f’(x)=A，所以存在X＞0，当x＞X时，｜f’(x)-A｜＜，从而f’(x)＞当x＞X时，f(x)-f(x)=f’(ξ)(x-X)＞(x-X)(X＜ξ＜x)，从而f(x)＞f(X)+(x-X)，两边取极限得f(x)=+∞，选D．二、填空题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)6、设y=arctan2=_______.标准答案：知识点解析：7、设f(x)=，则f’(x)=________．标准答案：(2x+x2)ex知识点解析：=x2ex，则f’(x)=2xex+x2ex=(2x+x2)ex．8、设函数y=y(x)满足△y=+o(△x)，且y(0)=4，则y(x)=______．标准答案：arctanx+4知识点解析：由△y=+o(△x)得y=y(x)可微，从而y=y(x)可导，且于是y(x)=arctanx+C，再由y(0)=4得C=4，故y(x)=arctanx+4．9、设=______.标准答案：知识点解析：10、设，则y(n)(0)=________．标准答案：知识点解析：y(2x+3)-1，y’=(-1)(2x+3)-2.2，y’’=(-1)(-2)(2x+3)-3.22，由归纳法得y(n)=(-1)(-2)…(-n)(2x+3)-(n+1).2n=所以y(n)(0)=11、设，则y’=________．标准答案：知识点解析：12、设f’(a)≠0，则=______.标准答案：知识点解析：由得13、设f(x)为奇函数，且f’(1)=2，则f(x3)｜x=-1=__________．标准答案：6知识点解析：因为f(x)为奇函数，所以f’(x)为偶函数，由f(x3)=3x2f’(x3)得f(x3)｜x=-1=3f’(-1)=3f’(1)=6．14、设f(x)为偶函数，且f’(-1)=2，则=________.标准答案：-8知识点解析：因为f(x)为偶函数，所以f’(x)为奇函数，于是f’(1)=-2，故=4f’(1)=-8．15、设f(u)可导，y=f(x2)在x0=-1处取得增量△x=0．05时，函数增量△y的线性部分为0．15，则f’(1)=_______．标准答案：知识点解析：由dy=2xf’(x2)△x得dy｜x=-1=-2f’(1)×0．05=-0．1f’(1)，因为△y的线性部分为dy，由-0．1f’(1)=0．15得f’(1)=16、设，则f(n)(x)=________．标准答案：知识点解析：令，解得A=3，B=-2，即17、设φ(x)=∫0x2(x2-t)f(t)dt，其中f连续，则φ’’(x)=_______．标准答案：2∫0x2f(t)dt+4x2f(x2)知识点解析：φ(x)=x2∫0x2f(t)dt-∫0x2tf(t)dt，φ’(x)=2x∫0x2f(t)dt+2x3f(x2)-2x3f(x2)=2x∫0x2f(t)dt，φ’’(x)=2∫0x2f(t)dt+4x2f(x2).三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)18、求下列导数：(1)设(2)设y=(1+x2)tanx，求标准答案：(1)(2)y=etanx.ln(1+x2)，则=(1+x2)tanx.[sec2x.ln(1+x2)+tanx.]知识点解析：暂无解析19、设且f’(0)存在，求a，b．标准答案：f(0-0)=6，f(0)=f(0+0)=0，由f(x)在x=0处连续得b=0；f’-(0)==a，f’+(0)==2．因为f’(0)存在，所以f’-(0)=f’+(0)，故a=2．知识点解析：暂无解析20、设y=ln(4x+1)，求y(n)．标准答案：y’==4(4x+1)-1，y’’=42.(-1)(4x+1)-2，y’’=43.(-1)(-2)(4x+1)-3，由归纳法得y(n)=知识点解析：暂无解析21、(1)设f(x)=｜x-a｜g(x)，其中g(x)连续，讨论f’(a)的存在性．(2)讨论在x=0处的可导性．(3)设讨论f(x)在x=0处的可导性．标准答案：由=-g(a)得f’-(a)=-g(a)；由=g(a)得f’+(a)=g(a)，当g(a)=0时，由f’-(a)=f’+(a)=0得f(x)在x=a处可导且f’(a)=0；当g(a)≠0时，由f’-(a)≠f’+(a)得f(x)在x=a处不可导．(2)因为所以f(x)在x=0处连续．则f’(0)=，即f(x)在x=0处可导．(3)f(0)=f(0-0)=0，f(0+0)=由f(0-0)=f(0+0)=f(0)得f(x)在x=0处连续；由得f’-(0)=0，得f’+(0)=0，因为f’-(0)=f’+(0)=0，所以f(x)在x=0处可导．知识点解析：暂无解析22、设，求y’．标准答案：知识点解析：暂无解析23、设y=ln(2+3-x)，求dy｜x=0．标准答案：由故dy｜x=0=ln3dx．知识点解析：暂无解析24、(1)由方程sinxy+ln(y-x)=x确定函数y=y(x)，求｜x=0.(2)设函数y=y(x)由2xy=x+y确定，求dy｜x=0．(3)设由e-y+x(y-x)=1+x确定y=y(x)，求y’’(0)．(4)设y=y(x)由x-∫0x+ye-t2dt=0确定，求｜x=0.标准答案：(1)将x=0代入sinxy+ln(y-x)=x得y=1，对sinxy+ln(y-x)=x两边关于x求导得将x=0，y=1代入上式得=1．(2)当x=0时，y=1，对2xy=x+y两边关于x求导，得2xyln2将x=0，y=1代入得=ln2-1，故dy｜x=0=(ln2-1)dx．(3)x=0时，y=0．对e-y+x(y-x)=1+x两边关于x求导得-e-yy’+y-x+x(y’-1)=1，将x=0，y=0代入得y’(0)=-1；对-e-yy’+y-x+x(y’-1)=1两边关于x求导，得e-y(y’)2-e-yy’’+2(y’-1)+xy’’=0，将x=0，y=0，y’(0)=-1代入，得y’’(0)=-3.(4)x=0时，y=1．对x-∫1x+ye-t2dt=0两边关于x求导得1-e-(x+y)2.=0，将x=0，y=1，代入得=e-1．知识点解析：暂无解析25、设y=x2lnx，求y(n)(n≥3)．标准答案：y(n)=Cn0x2(lnx)(n)+Cn12x.(lnx)(n-1)+Cn22.(lnx)(n-2)，由(lnx)(n)=得知识点解析：暂无解析26、设f(x)=∫01｜x-y｜sindy(0＜x＜1)，求f’’(x)．标准答案：f(x)=∫01｜x-y｜sin=∫0x(x-y)sin+∫x1(y-x)sin=x∫0xsin-∫0xysin+x∫1xsin-∫1xysin则f’(x)=∫0xsin+∫1xsin，f’’(x)=2sin知识点解析：暂无解析27、设讨论函数f(x)在x=0处的可导性．标准答案：因为0≤｜f(x)｜=｜x｜.=0=f(0)，故f(x)在x=0处连续．由得f’-(0)=1，再由得f’+(0)=0，因为f’-(0)≠f’+(0)，所以f(x)在x=0处不可导．知识点解析：暂无解析28、设f(x)连续，f(0)=0，f’(0)=1，求[∫-aaf(x+a)dx-∫-aaf(x-a)dx]．标准答案：∫-aaf(x+a)dx-∫-aaf(x-a)dx=∫-aaf(x+a)d(x+a)-∫-aaf(x-a)d(x-a)=∫02af(x)dx-∫-2a0f(x)dx=∫02af(x)dx+∫0-2af(x)dx，又由ln(1+a)=a-+o(a2)得a-ln(1+a)～，于是知识点解析：暂无解析29、举例说明函数可导不一定连续可导．标准答案：令当x≠0时，f’(x)=2xsin，当x=0时，f’(0)==0．即因为不存在，而f’(0)=0，所以f(x)在x=0处可导，但f’(x)在x=0处不连续．知识点解析：暂无解析30、设处处可导，确定常数a，b，并求f’(x)．标准答案：由f(x)在x=0处连续，得b=0．f’+(0)==a，f’-(0)==2，由f(x)在x=0处可导，得a=2，所以知识点解析：暂无解析31、设求f’(x)并讨论其连续性．标准答案：当x＞0时，f’(x)=，当x＜0时，f’(x)=cosx，由f’-(0)==1．f’+(0)=，得f’(0)=1，则容易验证f’(x)=1=f’(0)，所以f’(x)连续．知识点解析：暂无解析32、设f(x)二阶可导，f(0)=0，令(1)求g’(x)；(2)讨论g’(x)在x=0处的连续性．标准答案：(1)因为=f’(0)=g(0)，所以g(x)在x=0处连续．当x≠0时，当x=0时，由得(2)因为所以g’(x)在x=0处连续．知识点解析：暂无解析33、求常数a，b，使得在x=0处可导．标准答案：因为f(x)在x=0处可导，所以f(x)在x=0处连续，从而有f(0+0)=2a=f(0)=f(0-0)=3b，f’+(0)==3+2a，f’-(0)==10+6b，由f(x)在x=0处可导，则3+2a=10+6b，解得a=知识点解析：暂无解析考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，则f(0)=0是F(x)在x=0处可导的()A、充分必要条件．B、充分条件但非必要条件．C、必要条件但非充分条件．D、既非充分条件又非必要条件．标准答案：A知识点解析：充分性．因为f(0)=0，所以F(x)在x=0处可导．必要性．设F(x)在x=0处可导，则f(x)|sinx|在x=0处可导，由此可知即f(0)=f(0)，故f(0)=0．2、设f(x)=3x3+x2|x|，则使f(n)(0)存在的最高阶数n为()A、0．B、1．C、2．D、3．标准答案：C知识点解析：在x=0处f′"(0)不存在，故应选(C)．注：一般地，xn|x|在x=0处存在的最高阶导数为n(n＞1)阶．3、设y=x+sinx，dy是y在x=0点的微分，则当△x→时，()A、dy与△x相比是等价无穷小量．B、dy与△x相比是同阶无穷小量．C、dy是比△x高阶的无穷小量．D、dy是比△x低阶的无穷小量．标准答案：B知识点解析：因为dy=(1+cosx)△x，所以dy|x=0=2△x，于是故dy与△x相比是同阶无穷小量，应选(B)．4、已知y=y(x)在任意点x处的增量其中α是比△(△x→0)高阶的无穷小，且y(0)=π，则y(1)=()A、B、2πC、π．D、标准答案：A知识点解析：由已知条件和微分的定义，知两端积分得ln|y|=arctanx+C1，故y=Cearctanx，令x=0，得C=π，从而y=πearctanx，即应选A．5、设f(x)二阶可导，且f′(x)＞0，f"(x)＞0，△x为自变量x在点x0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x＞0，则()A、0＜dy＜△y．B、0＜△y＜dy．C、△y＜dy＜0．D、dy＜△y＜0．标准答案：A知识点解析：由于f′(x)＞0，故f′(x0)＞0，而dy=f′(x0)△x，又△x＞0，从而dy＞0．又f"(x)＞0，从而f′(x)单调递增，而△y=f(x0+△x)-f(x0)=f′(ξ)△x，x0＜ξ＜x0+△x，于是△y=f′(ξ)△xf′(x0)△x=dy，所以应选(A)．6、设f(x)处处可导，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：如果令f(x)=x，则选项(A)、(C)显然不正确．如果令f(x)=x2，则选项(B)不正确．事实上，如果则对任意正数M，存在x0，当x＞x0时，f′(x)＞Mf(x)在区间[x0，x]上满足拉格朗日中值定理，从而存在ξ∈(x0，x)，使f(x)=f(x0)+f′(ξ)(x－x0)＞f(x0)+M(x－x0)，当x→+∞时，f(x)→+∞，故应选(D)．7、设两函数f(x)及g(x)都在x=a处取得极大值，则函数r(x)=f(x)g(x)在x=a处()A、必取极大值．B、必取极小值．C、不可能取极值．D、是否取极值不能确定．标准答案：D知识点解析：如果f(x)=g(x)=－x2，在x=0处取极大值，但F(x)=x4在x=0处取极小值，故选项A、C不正确．如果f(x)=－x2，g(x)=1－x2，两函数都在x=0处取极大值，但F(x)=－x2(1－x2)在x=0处仍取极大值，事实上F′(x)=－2x+4x3，F"(x)=－2+12x2，F′(0)=0，F"(0)＜0，即F(x)在x=0处取极大值，因此(B)不正确，综上，应选D．二、解答题(本题共23题，每题1.0分，共23分。)8、设曲线f(x)=xn(n为正整数)在点(1，1)处的切线与x轴相交于点(ξn，0)，求标准答案：y′=nxn-1，y′(1)=n，所以曲线y=xn在点(1，1)处的切线方程为y-1=n(x－1)，该切线与x轴的交点为故知识点解析：暂无解析9、已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系式f(1+sinx)－3f(1-sinx)=8x+α(x)，其中α(x)是当x→0时比x高阶的无穷小量，且f(x)在x=1处可导，求曲线y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方程．标准答案：由f(1+sinx)－3f(1－sinx)=8x+a(x)，令x→0，得f(1)－3f(1)0，故f(1)=0．又所以f′(1)=2．由于f(x+5)=f(x)，所以f(6)=f(1)=0，f′(6)=f′(1)=2．故所求的切线方程为y=2(x－6)，即2x－y－12=0．知识点解析：暂无解析10、设函数f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，且f(0)=1，f(1)=0，f(2)=3，证明至少存在一点ξ，使得f′(ξ)=0．标准答案：因为f(x)在[0，2]上连续，且f(1)＜f(0)＜f(2)，由介值定理，存在一点x0∈(1，2)，使f(x)=f(0)=1，在[0，x0]上，由罗尔定理，至少存在一点ξ∈(0，x0)(0，2)，使f′(ξ)=0．知识点解析：暂无解析11、设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，试证在(0，1)内至少存在一点ξ，使标准答案：【证法1】设从而F(x)在[0，1]上满足罗尔定理条件，故至少存在一点ξ∈(0，1)，使F′(ξ)=0，即(1+ξ2)f′(ξ)=[f(1)－f(0)]．【证法2】设g(x)=arctanx，在[0，1]上，f(x)和g(x)满足柯西中值定理条件，故至少存在一点ξ∈(0，1)，使即知识点解析：暂无解析12、设f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)=0．证明：至少存在一点ξ∈(0，1)，使(1+ξ2)(arctanξ)f′(ξ)=－1．标准答案：令F(x)=ef(x)arctanx，x∈[0，1]则由定积分中值定理，存在使即F(x0)=F(1)．显然F(x)在[x0，1]上满足罗尔定理条件，故至少存在一点ξ∈(x0，1)(0，1)，使F′(ξ)=0，即(1+ξ)(arctanξ)f′(ξ)=－1．知识点解析：暂无解析设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，证明：13、至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1－ξ；标准答案：令r(x)=f(x)+x－1，x∈[0，1]，则由已知F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=－1，F(1)=1．根据介值定理，至少存在一点ξ∈(0，1)，使得，(ξ)=0，即f(ξ)=1－ξ.知识点解析：暂无解析14、存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f′(η)f′(ζ)=1．标准答案：根据已知条件，对f(x)在[0，ξ]，[ξ，1]上分别用拉格朗日中值定理，有将上题的结论代入，得知识点解析：暂无解析15、设f(x)在[a，b](a＞0)上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=1，证明存在ξ，η∈(a，b)使标准答案：令F(x)=xnf(x)，在[a，b]上应用拉格朗日中值定理，则ξ∈(a,b)，使再对G(x)=xn在[a，b]上应用拉格朗日中值定理，则η∈(a，b)，使从而nηn-1=nξ－f(ξ)+ξnf′(ξ)，即知识点解析：暂无解析设函数f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f′(x)＞0，如果存在，证明：16、f(x)＞0，x∈(a，b)；标准答案：由于f(x)在[a，b]上连续，所以又f′(x)＞0，故f(x)单调递增，对x∈(a，b)，有f(x)＞f(a)=0．知识点解析：暂无解析17、存在ξ∈(a，b)，使得标准答案：对函数g(x)=x2和在[a，b]上利用柯西中值定理，存在ξ∈(a，b)，使知识点解析：暂无解析18、存在与上题中ξ不同的η∈(a，b)，使得标准答案：在[a，ξ]上由拉格朗日中值定理，存在η∈(a，ξ)，使得f(ξ)=f′(η)(ξ－a)，再由上题的结论可得知识点解析：暂无解析19、设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且g(a)=g(b)=1，f′(x)≠0．证明存在ξ，η∈(a，b)，使标准答案：对φ(x)=exg(x)和f(x)在[a，b]上应用柯西中值定理，则ξ∈(a，b)，使再对ψ(x)=ex和f(x)在[a，b]上应用柯西中值定理，则η∈(a，b)，使于是即知识点解析：暂无解析20、设函数f(x)在区间[－1，1]上有三阶连续导数，且f(－1)=0，f(1)=1，f′(0)=0，证明：在(－1，1)内至少存在一点ξ，使得f′"(ξ)=3．标准答案：将f(x)在x=0处展成泰勒公式，当x=±1时，有上面两式相减得f′"(η1)+f′"(η2)=6．由f′"(x)的连续性知，f′"(x)在[η2，η1]上有最大值M和值小值m，则再由连续函数的介值定理知，至少存在ξ∈[η2，η1](－1，1)，使知识点解析：暂无解析设y=f(x)在(－1，1)内具有二阶连续导数，且f"(x)≠0，试证：21、对(－1，1)内的任一x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使f(x)=f(0)+xf′(θ(x)x)成立；标准答案：对(－1，1)内任一x≠0，由拉格朗日中值定理知，θ(x)∈(0，1)，使f(x)=f(0)+xf′[θ(x)x]．因为f"(x)在(－1，1)内连续且f"(x)≠0，所以f"(x)在(－1，1)内不变号，即f′(x)单调，故θ(x)是唯一的．知识点解析：暂无解析22、标准答案：再由泰勒公式知，存在介于0与x之间的ξ，使从而知识点解析：暂无解析23、讨论方程的实根个数．标准答案：设f′(x)=e－x(1－x)．令f′(x)=0，得x=1．因此，x=1是f(x)在(－∞，+∞)上唯一极大值点，极大值是又且x＜1时，f′(x)＞0，x＞1时f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，1)与(1，+∞)上各有一个零点．综上所述，方程有且仅有两个实根．知识点解析：暂无解析24、已知f(x)在(－∞，+∞)内可导，且求c的值．标准答案：若c=0，则若c≠0，则由拉格朗日中值定理，有f(x)－f(x－1)=f′(ξ)·1，ξ介于x－1与x之间．当ξ→+∞时，ξ→∞，故于是，由题设条件可得e2c=e，故知识点解析：暂无解析25、设a＞1，n为正整数，证明：标准答案：对f(x)=ax在上用拉格朗日中值定理，有其中因为所以知识点解析：暂无解析26、设f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，f(x)不恒为常数，证明：在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)＞0．标准答案：因f(a)=f(b)，且f(x)不恒为常数，所以至少存在一点c∈(a，b)，使f(c)≠f(a)=f(b)．不妨设f(c)＞f(a)，则在[a，c]上由拉格朗日中值定理，至少存在一点ξ∈(a，c)(a，b)，使得知识点解析：暂无解析27、设f(x)在(－∞，+∞)内二阶可导，且f"(x)＞0，f(0)=0，证明：在(－∞，0)和(0，+∞)都是单调增加的．标准答案：x≠0．令g(x)=xf′(x)－f(x)，g(0)=－f(0)=0，g′(x)=f′(x)+xf"(x)－f′(x)=xf"(x)，g′(0)=0，当x＜0时g′(x)＜0；当x＞0时g′(x)＞0．故g(0)=0是g(x)的最小值，所以当x≠0时，g(x)＞g(0)=0，从而φ′(x)＞0，即φ(x)在(－∞，0)和(0，+∞)都是单调增加的．知识点解析：暂无解析28、设函数f(x)在区间[0，+∞)上连续且单调增加，证明在[0，+∞)上也单调增加．标准答案：即g(x)在x=0处是右连续的．当x＞0时，又f(x)在[0，+∞)上单调增加，所以f(x)＞f(ξ)，从而g′(x)＞0，故g(x)在[0，+∞)上单调增加．知识点解析：暂无解析29、判断函数的单调性．标准答案：函数f(x)的定义域为[．∞，－1)∪(0，+∞)．又令当x＜－1时，φ′(x)＞0，从而φ(x)单调增加．当x＞0时，φ′(x)＜0，从而φ(x)单调减少．\知识点解析：暂无解析30、求函数的极值．标准答案：令y′=0，得驻点x=0和x=－1，列表有即函数的极大值为极小值为知识点解析：暂无解析考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设，其中g(x)为有界函数，则f(x)在x=0处()．A、极限不存在B、极限存在，但不连续C、连续，但不可导D、可导标准答案：D知识点解析：因为f(0+0)==0，f(0)=f(0-0)=x2g(x)=0，所以f(x)在x=0处连续；即f’+(0)=0，即f’-(0)=0，因为f’+(0)-=f’-(0)=0，所以f(x)在x=0处可导，应选D．2、设函数则f(x)在点x=0处()．A、不连续B、连续但不可导C、可导但导数不连续D、导数连续标准答案：D知识点解析：因为f(x)=0，f(x)=f(0)=0，所以f(x)在x=0处连续；由得f(x)在x=0处可导，且f’(0)=0；当x＞0时，f’(x)=3x2sin；当x＜0时，f’(x)=2x，因为f’(x)=f’(0)，所以f(x)在x=0处导数连续，选D．3、若f(-x)=-f(x)，且在(0，+∞)内f’(x)＞0，f’’(x)＞0，则在(-∞)，0)内()．A、f’(x)＜0，f’’(x)＜0B、f’(x)＜0，f’’(x)＞0C、f’(x)＞0，f’’(x)＜0D、f’(x)>0，f’’(x)＞0标准答案：C知识点解析：因为f(x)为奇函数，所以f’(x)为偶函数，故在(-∞，0)内有f’(x)＞0．因为f’’(x)为奇函数，所以在(-∞，0)内f’’(x)＜0，选C．4、设f(x)连续，且F(x)=f(t)dt，则F’(x)=()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：F’(x)=f(lnx).(lnx)’-，选A．二、填空题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)5、设y=(1+2x)sin2x，则=______.标准答案：(1+2x)sin2x.[sin2x.ln(1+2x)+]知识点解析：由y=esin2xln(1+2x)得=esin2xln(1+2x).[2sinx.cosx.ln(1+2x)+sin2x.]=(1+2x)sin2x.[sin2x.ln(1+2x)+]6、设f(x)连续，且=_____.标准答案：-3π知识点解析：由得f(1)=2，则于是f’(1)=-π，故=3f’(1)=-3π．7、设函数y=y(x)由方程exy=x2+y2+1确定，则=______.标准答案：知识点解析：exy=x2+y2+1两边对x求导得exy.(y+)=2x+2y.解得8、曲线ex+y-sin(xy)=e在点(0，1)处的切线方程为______．标准答案：知识点解析：ex+y-sin(xy)=e两边对x求导得ex+y.(1+y’)-cos(xy).(y+xy’)=0，将x=0，y=1代入得y’(0)=故所求的切线方程为9、设，则y(n)=______．标准答案：知识点解析：则y(n)=10、设，则y’’=_______．标准答案：知识点解析：11、设函数y=y(x)由arctan=_______.标准答案：知识点解析：两边对x求导得解得12、设f(x)连续且=________.标准答案：36知识点解析：由得f(a)=2，f’(a)=3，于是=2f(a).3f’(a)=6f(a)f’(a)=36．13、设且f’(0)存在，则a=________，b=_______，c=_______．标准答案：2；2；-2知识点解析：f(0+0)=f(x)=a，f(0)=2，f(0-0)=c，因为f(x)在x=0处连续，所以f(0+0)=f(0)=f(0-0)，从而a=2，c=2，即f’+(0)f’-(0)==b，因为f(x)在x=0处可导，即f’+(0)=f’-(0)，故b=-2．14、设f(x)连续，则∫0xf(2x-t)dt=______．标准答案：2f(2x)-f(x)知识点解析：由∫0xf(2x-t)dt∫2xxf(u)(-du)=∫x2xf(u)du得∫0xf(2x-t)dt=∫x2xf(u)du=2f(2x)-f(x)．15、设f(x)连续，且f(0)=f’(0)=1，则=______.标准答案：2知识点解析：16、设f(x)=ln(2x2-x-1)，则f(n)(x)=________．标准答案：知识点解析：f(x)=ln[(2x+1)(x-1)]=ln(2x+1)+ln(x-1)，f’(x)=f(n)(x)17、=_______.标准答案：知识点解析：由得三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)18、求下列导数：(1)设xy=yx，求(2)设标准答案：(1)由xy=yx得ylnx=xlny，两边对x求导得(2)两边对x求导得知识点解析：暂无解析19、设，讨论f(x)在x=0处的可导性．标准答案：则f’-(0)=1，f’+(0)=0，因为f’-(0)≠f’+(0)，所以f(x)在x=0处不可导．知识点解析：暂无解析20、设f(x)=g(s+bx)-g(a-bx)，其中g’(a)存在，求f’(0)．标准答案：知识点解析：暂无解析21、设，求y’．标准答案：知识点解析：暂无解析22、设f(x)=x(x-1)(x+2)(x-3)…(x+100)，求f’(0)．标准答案：由f’(x)=(x-1)(x+2)…(x+100)+x(x+2)…(x+100)+…x(x-1)…(x-99)得f’(0)=(-1)×2×(-3)×…×100-100!．知识点解析：暂无解析23、(1)设y=y(x)由方程ey+6xy+x2-1=0确定，求y’’(0)．(2)设y=y(x)是由exy-x+y-2=0确定的隐函数，求y’’(0)．标准答案：(1)将x=0代入已知方程得y=0，ey+6xy+x2-1=0两边对x求导得将x=0，y=0代入上式得y’(0)=0．两边再对x求导得将x=0，y=0，y’(0)=0代入上式得y’’(0)=-2．(2)当x=0时，y=1，exy-x+y-2=0两边对x求导得exy(y+xy’)-1+y’=0，解得y’(0)=0；exy(y+xy’)-1+y’=0两边对x求导得exy(y+xy’)2+exy(2y’+xy’’)+y’’=0，解得y’’(0)=-1．知识点解析：暂无解析24、(1)求∫0x2xf(x-t)dt．(2)设，求df(x)｜x=1．(3)设F(x)=∫0xdy∫0y2，求F’’(x)．标准答案：(1)由∫0x2xf(x-t)dt=x∫0x2f(x-t)dtx∫0x-x2f(u)(-du)=x∫x-x2xf(u)du得∫0x2xf(x-t)dt=∫x-x2xf(u)du+x[f(x)-(1-2x)f(x-x2)]．(2)由f(x)==xex得f’(x)=(x+1)ex，从而f’(1)=2e，故df(x)｜x=1=2edx．(3)F’(x)=∫0x2dt，F’’(x)=知识点解析：暂无解析25、设，求f(n)(x)．标准答案：令由A(2x+1)+B(x-2)=4x-3得解得A=1，B=2，即知识点解析：暂无解析26、设f(x)连续，且对任意的x，y∈(-∞，+∞)有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，f’(0)=1，求f(x)．标准答案：当x=y=0时，f(0)=2f(0)，于是f(0)=0．对任意的x∈(-∞，+∞)，则f(x)=x2+x+C，因为f(0)=0，所以C=0，故f(x)=x+x2．知识点解析：暂无解析27、设f(x)在x=a处二阶可导，证明：标准答案：知识点解析：暂无解析28、设f(x)连续，且g(x)=∫0xx2f(x-t)dt，求g’(x)．标准答案：g(x)=-x2∫0xf(x-t)d(x-t)=-x2∫x0f(u)du=x2∫0xf(u)du，g’(x)=2x∫0xf(u)du+x2f(x)．知识点解析：暂无解析29、设f(x)在[a，b]上有定义，M＞0且对任意的x，y∈[a，b]，有｜f(x)-f(y)｜≤M｜x-y｜k.(1)证明：当k＞0时，f(x)在[a，b]上连续；(2)证明：当k＞1时，f(x)≡常数．标准答案：(1)对任意的x0∈[a，b]，由已知条件得0≤｜f(x)-f(x0)｜≤M｜x-x0｜k，f(x)=f(x0)，再由x0的任意性得f(x)在[a，b]上连续．(2)对任意的x0∈[a，b]，因为k＞1，所以0≤≤M｜x-x0｜k-1，由夹逼定理得f’(x0)=0，因为x0是任意一点，所以f’(x)≡0，故f(x)≡常数．知识点解析：暂无解析30、设对一切的x，有f(x+1)=2f(x)，且当x∈[0，1]时f(x)=x(x2-1)，讨论函数f(x)在x=0处的可导性．标准答案：当x∈[-1，0]时，f(x)=f(x+1)=(x+1)(x2+2x)，f’-(0)==1，f’+(0)==-1．因为f’-(0)≠f’+(0)，所以f(x)在x=0处不可导.知识点解析：暂无解析31、设∫1y-x2et2dt=∫0xcos(x-t)2dt确定y为x的函数，求标准答案：∫0xcos(x-t)2dt∫x0cosu2(-du)=∫0xcost2dt，等式∫1y-x2et2dt=∫0xcost2dt两边对x求导，得e(y-x2)2.=cosx2，于是=2x+e-(y-x2)2cosx2．知识点解析：暂无解析32、设求f’(x)．标准答案：当｜x｜＜1时，f’(x)=当x＜-1时，f’(x)=-1；当x＞1时，f’(x)=1；又，则f(x)在x=-1处不连续，故也不可导．由f(1+0)=f(1-0)=f(1)=0得f(x)在x=1处连续．因为所以f(x)在x=1处也不可导，故知识点解析：暂无解析33、设f(x)在(-∞，+∞)上连续，f’(0)=1，且对任意的x，y∈(-∞，+∞)有f(x+y)=f(x)f(y)，求f(x)．标准答案：由f(0)=f2(0)得f(0)=0或f(0)=1，若f(0)=0，则对任意的x∈(-∞，+∞)，有f(x)=f(x)f(0)=0，则f’(x)≡0，与f’(0)=1矛盾，从而f(0)=1，于是f’(x)=f(x)=f(x)f’(0)=f(x)，即f’(x)-f(x)=0，解得f(x)=Ce-∫-dx=Cex，由f(0)=1得C=1，故f(x)=ex．知识点解析：暂无解析考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷第5套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设函数f(x)在x=0的某邻域内连续，且则在x=0处f(x)()A、不可导．B、可导，且f′(0)≠0．C、取极大值．D、取极小值.标准答案：C知识点解析：因为f(x)在x=0处连续，所以又故存在x=0的某个邻域U(0，δ)，对任意x∈U(0，δ)，由极限保号性即f(x)＜0=f(0)．由极值定义，应选C．2、设函数f(x)在点x0的某邻域内具有一阶连续导数，则()A、f(x0)是f(x)的极小值．B、f(x0)是f(x)的极大值．C、(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点．D、f(x0)不是f(x)的极值，(x0，f(x0))也不是曲线y=f(x)的拐点．标准答案：A知识点解析：由于由极限的保号性，存在x0的某个邻域(x0-δ，x0+δ)(δ＞0)，当x∈(x0－δ，x0+δ)，有当x0－δ＜x＜x0时，f′(x)＜0，当x0＜x＜x0+δ时，f′(x)＞0，故f(x)在x=x0处取极小值，从而应选A．3、设y=f(x)是满足微分方程y"－y′－esinx=0的解，且f′(x0)=0，则f(x)在()A、x0的某个邻域内单调增加．B、x0的某个邻域内单调减少．C、x0处取得极小值．D、x0处取得极大值．标准答案：C知识点解析：由已知条件知f"(x)-f′(x)=esinx，从而f"(x0)-f’(x0)=esinx0．又f′(x0)=0，从而f"(x0)=esinx0＞0，由极值的第二充分条件，f(x)在x0处取极小值，因此应选C．4、设函数f(x)具有连续的二阶导数，且点(0，f(0))是函数y=f(x)对应曲线的拐点，则A、0．B、2．C、f′(0)．D、2f′(0)．标准答案：A知识点解析：又f(x)有连续的二阶导数，故原极限==f"(0)=0，从而应选A．5、已知函数f(x)二阶可导，曲线y=f"(x)的图形如图2—3所示，则曲线y=f(x)()A、在(－∞，0)内是凹的，在(0，+∞)内是凸的，有一个拐点．B、在(－1，0)，(1，2)内是凹的，在其他区间是凸的，有三个拐点．C、在(－1，0)，(0，1)，(2，+∞)内是凸的，在其他区间是凹的，有三个拐点．D、在(－1，0)，(1，2)内是凹的，在其他区间是凸的，有四个拐点．标准答案：D知识点解析：由图形得表格如下由表格知，y=f(x)在(－1，0)和(1，2)内是凹的，在(－∞，－1)，(0，1)和(2，+∞)内是凸的，共有四个拐点，故应选D．6、设函数f(x)满足关系式f"(x)+[f′(x)]2=x，且f′(0)=0，则()A、f(0)是f(x)的极大值．B、f(0)是f(x)的极小值．C、(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点．D、f(0)不是f(x)的极值，点(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点．标准答案：C知识点解析：将x=0代入已知方程，得f"(0)=0．由于故在x=0的充分小的邻域U(0，δ)内，有且－δ＜x＜0时，f"(x)＜0，0＜x＜δ时f"(x)＞0，从而(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点，应选C．7、曲线的渐近线条数为()A、0．B、1．C、2．D、3．标准答案：C知识点解析：因为故曲线有水平渐近线y=1．又故x=－1为铅直渐近线，即曲线有两条渐近线，应选C．8、设f(x)=ln|(x－)(x－2)(x－3)|，则方程f′(x)=0的根的个数为()A、0．B、1．C、2．D、3．标准答案：C知识点解析：因为当u(x)＞0时，函数u(x)与lnu(x)有相同的驻点，而y=|(x－1)(x－2)(x－3)|有两个驻点，所以f(x)也有两个驻点，故应选C．二、解答题(本题共22题，每题1.0分，共22分。)9、设求f(x)的极值．标准答案：不存在．令f′(x))=0，得当时，f′(x)＜0，当时，f′(x)＞0，所以为极小值．由极限的保号性知，当x∈(0，δ)时，f(x)＜f(0)=2；而x＜0时，f(x)单调增加，f(x)＜f(0)=2．从而f(0)=2为极大值．知识点解析：暂无解析10、设y=y(x)是由方程2y3－2y2+2xy－x2=1所确定的函数，求y=y(x)的极值．标准答案：在方程两端对x求导数，得6y2y′－4yy"+2xy′+2y-2x=0，①令y′=0，得x=y，代入原方程得x=1，y=1．在式①两边再对x求导数，得12yy′2+6y2y"-4y′2－4yy"+2xy+4y′一2=0，以x=1，y=1，y==0代入，得知x=1时y=y(x)有极小值y=1．知识点解析：暂无解析设y=f(x)有二阶连续导数，且满足xy"+3xy′2=1－e－x．11、若f(x)在x=c(c≠0)处取得极值，证明f(c)是极小值．标准答案：因f(c)是极值，故y/(c)=0，代入方程，得从而f(c)是极小值．知识点解析：暂无解析12、若f(x)在x=0处取得极值，问f(0)是极小值还是极大值?标准答案：当x≠0时，由y′，y"连续及y′(0)=0，有从而f(0)是极小值．知识点解析：暂无解析13、若f(0)=f′(0)=0，证明x＞0时，标准答案：当x＞0时，下面证明即x＞1－e-x．令φ(x)=x－1+e－x，有φ′(x)=1－e－x＞0(x＞0)，而φ(0)=0，所以φ(x)＞φ(0)=0，即从币f"(x)＜1．由泰勒公式，ξ∈(0，x)，使知识点解析：暂无解析14、设a＞1，f(t)=at--at在(一∞，+∞)内的驻点为t(a)．问a为何值时，t(a)最小?并求出最小值．标准答案：由f′(t)=atlna－a=0，得唯一驻点又得唯一驻点a=ee．当a＞ee时，t′(a)＞0；当a＜ee时，t′(a)＜0，因此为极小值，从而也是最小值．知识点解析：暂无解析15、设直线y=ax与抛物线y=x2所围成的图形的面积为S1，它们与直线x=1所围成的图形面积为S2，并且a＜1．试确定a的值，使S=S1+S1达到最小，并求出最小值．标准答案：当0＜a＜1时，如图2—1所示，令S′=0，得则是极小值，也是最小值，此时当a≤0时，如图2—2所示，故S单调减少，a=0时，S取最小值，此时综上所述，当时，S取最小值，此时知识点解析：暂无解析16、作函数的图形．标准答案：(1)函数的定义域为(－∞，1)∪(1，+∞)．(2)令f′(x)=0，得驻点x=－1，x=3．因f"(x)=0无解，故没有拐点．(3)因为所以x=1是f(x)的铅直渐近线．又所以是f(x)的斜渐近线．(5)极大值点(－1，－2)，极小值点(3，0)，而(6)作图2—4．知识点解析：暂无解析17、证明：当时，标准答案：【证法1】令则当时，f"(x)＜0，即曲线y=f(x)在上为凸的．又f(0)=0，故当时，曲线y=f(x)在连接两点(0，0)和的弦的上方，从而f(x)＞0，即【证法2】令则f′(x)的符号由分子决定．因为所以xcosx－sinx单调减少，有xcosx－sinx＜0·cos0－sin0=0．即故f(x)在上单调减少，即知识点解析：暂无解析18、设x≥0，证明标准答案：设f(x)