考研数学二（填空题）模拟试卷4（共195题）

考研数学二（填空题）模拟试卷4（共9套）（共195题）考研数学二（填空题）模拟试卷第1套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、极限＝_______．标准答案：2；知识点解析：暂无解析2、标准答案：知识点解析：暂无解析3、y=，则y’=________标准答案：lntanx-知识点解析：暂无解析4、曲线处的法线方程是___________．标准答案：y=一1知识点解析：5、求=________.标准答案：知识点解析：6、由曲线χ＝a(t－sint)，y＝a(1－cost)(0≤t≤2π)(摆线)及χ轴围成平面图形的面积5＝_______．标准答案：3πa2知识点解析：当t∈[0，π]时，曲线与χ轴的交点是χ＝0，2πa(相应于t＝0，2，π)，曲线在χ轴上方，见图3．26．于是图形的面积S＝∫02πay(χ)dχ∫02πa(1－cost)[a(t－sint)]′dt＝∫02πa2(1－cos)dt＝a2∫02π(1－2cost＋cos2t)dt＝3πa2．7、＝_______．标准答案：知识点解析：8、(Ⅰ)下列可表示由双纽线(x2+y2)2=x2－y2围成平面区域的面积的是________．(Ⅱ)由曲线x=a(t－sint)，y=a(1－cost)(0≤t≤2π)(摆线)及x轴围成平面图形的面积S=________．标准答案：A；3πa2知识点解析：(Ⅰ)双纽线的极坐标方程是：r4=r2(cos20θ－sin2θ)即r2=cos2θ．当θ∈[－π，π]时，仅当时才有r≥0(图3．25)．由于曲线关于极轴与y轴均对称，如图3．25，只需考虑θ∈部分．由对称性及广义扇形面积计算公式得故应选A．(Ⅱ)当t∈[0，2π]时，曲线与x轴的交点是x=0，2πa(相应于t=0，2π)，曲线在x轴上方，见图3．26．于是图形的面积9、=_______标准答案：知识点解析：10、设函数=__________.标准答案：(1+2ln2)dx+(一1—2ln2)dy知识点解析：11、已知n阶矩阵，则r(A2一A)=______。标准答案：1知识点解析：因为A2一A=A(A—E)，且矩阵A=可逆，所以r(A2一A)=r(A—E)，而r(A—E)=1，所以r(A2一A)=1。12、设A2-BA=E，其中A=，则B=________．标准答案：知识点解析：由于BA=A2-E，又A可逆，则有B=(A2-E)A-1=A-A-1．故13、设A为三阶非零矩阵，B＝，且AB＝0，则Aχ＝0的通解是_______．标准答案：c1(1，4，3)T＋c2(－2，3，1)T，c1，c2任意．知识点解析：由AB＝0得r(A)＋r(B)≤3．显然r(B)≥2，r(A)＞0，因而r(A)＝1，n－r(A)＝2．又AB＝0说明B的每个到向量都是AX＝0的解，取它的1，3两列作为基础解系，得AX＝0的通解c1(1，4，3)T＋c2(－2，3，1)T，c1，c2任意．14、设三阶方阵A的特征值是1，2，3，它们所对应的特征向量依次为α1，α2，α3，令P=(3α3，α1，2α2)，则P—1AP=______。标准答案：知识点解析：因为3α3，α1，2α2分别为A的对应特征值3，1，2的特征向量，所以P—1AP=。15、=______标准答案：知识点解析：16、=__________标准答案：知识点解析：因为17、设η为非零向量，A=，η为方程组AX=0的解，则a=________，方程组的通解为_______标准答案：3,k(-3，1，2)T．知识点解析：AX=0有非零解，所以｜A｜=0，解得a=3，于是A=方程组AX=0的通解为k(-3，1，2)T．18、设A为四阶可逆方阵，将A第3列乘3倍再与第1列交换位置，得到矩阵B，则B-1A＝_______．标准答案：知识点解析：由B＝＝AE3(3)E13得B-1A＝E13-1E3-1(3)A-1A＝E13E3()19、为奇函数且在x=0处可导，则f’(0)=__________。标准答案：2g’(0)知识点解析：由g(x)在x=0处可导可知，g(x)在x=0处连续。又因为g(x)是奇函数，所以g(0)=0。根据导数的定义可得20、设y＝y(χ)可导，y(0)＝2，令△y＝y(χ＋△χ)－y(χ)，且△y＝△χ＋α，其中α是当△χ→0时的高阶无穷小量，则y(χ)＝_______．标准答案：2知识点解析：由△y＝△χ＋α，得y′＝，或者y′－＝0，解得y＝，再由y(0)＝2，得C＝2，所以y＝2．考研数学二（填空题）模拟试卷第2套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、=______标准答案：知识点解析：由ln(1+x)=2、设函数y＝y(χ)由方程ln(χ2＋y2)＝ysinχ＋χ所确定，则＝_______．标准答案：1知识点解析：暂无解析3、=_____________．标准答案：e6知识点解析：4、＝_______．标准答案：1知识点解析：暂无解析5、设两曲线y=x2+ax+b与-2y=-1+xy3在点(-1，1)处相切，则a=_______，b=______.标准答案：2，3知识点解析：因为两曲线过点(-1，1)，所以b-a=0，又由y=x2+ax+b得=a-2，再由-2y=-1+xy3得，且两曲线在点(-1，1)处相切，则a-2=1，解得a-b=3．6、求正常数a＝_______；b＝_______，使＝1．标准答案：a＝2，b＝1知识点解析：暂无解析7、设f(u)可导，y=f(x2)在x0=-1处取得增量△x=0．05时，函数增量△y的线性部分为0．15，则f’(1)=_______．标准答案：知识点解析：由dy=2xf’(x2)△x得dy｜x=-1=-2f’(1)×0．05=-0．1f’(1)，因为△y的线性部分为dy，由-0．1f’(1)=0．15得f’(1)=8、设三阶方阵A，B满足A-1BA=6A+BA，且则B=____________。标准答案：知识点解析：将A一1BA=6A+BA变形可得(A一1一E)BA=6A，即B=6(A一1一E)一1。又因为所以9、二元函数f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的极小值为________。标准答案：知识点解析：由题干可知，fx’=2x(2+y2)，fy’=2x2y+lny+1。由。又所以B2一AC=一2e(2+)＜0，则A＞0。故f(0，)是f(x，y)的极小值，且。10、设f(x，y)连续，且f(x，y)=x+yf(μ，ν)dμdν，其中D是由y=，x=1，y=2所围成的区域，则f(x，y)=________。标准答案：x+y知识点解析：首先令A=f(μ，ν)dμdν，则A为常数，此时f(x，y)=x+Ay。11、(｜x｜+x2y)dxdy=_______标准答案：知识点解析：其中D1={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1-x}，12、的通解为_______．标准答案：知识点解析：13、设，则这三个积分的大小顺序是________＜________＜________．标准答案：I3；I1；I2知识点解析：比较I1与I2，被积函数是相同的连续非负函数，积分区域圆域(x2+y2≤1)包含在正方形区域(｜x｜≤1，｜y｜≤1)中=>I1＜I2．比较I1与I3，积分区域相同，被积函数均是连续的，比较它们知x4+y42x2y2I1＞I3．因此I3＜I1＜I2．14、微分方程y"一2y’=x2+e2x+1的待定系数法确定的特解形式(不必求出系数)是______．标准答案：y*=x(Ax2+Bx+C)+Dxe2x知识点解析：特征方程为r2—2r=0特征根r1=0，r2=2．对f1=x2+1，λ1=0是特征根，所以y1*=x(Ax2+Bx+C)．对f2=e2x，λ2=2也是特征根，故有y2*=Dxe2x．从而y*如上．15、设α1，α2，α3，α4，α5，它们的下列部分组中，是最大无关组的有________?(1)α1，α2，α3．(2)α1，α2，α4．(3)α1，α2，α5．(4)α1，α3，α4．标准答案：(2)和(4)是．知识点解析：暂无解析16、设f(x，y)可微，f(1，2)=2，f’x(1，2)=3，f’y(1，2)=4，φ(x)=f[x，f(x，2x)]，则φ’(1)=______标准答案：47知识点解析：因为φ’(x)=f’x[x，f(x，2x)]+f’y[x，f(x，2x)]×[f’x(x，2x)+2f’y(x，2x)]，所以φ’(1)=f’x[1，f(1，2)]+fy[1，f(1，2)]×[f’x(1，2)+2f’y(1，2)]=3+4×(3+8)=47．17、设f(x，y)在区域D：x2+y2≤t2上连续且f(0，0)=4，则=_______标准答案：8π知识点解析：18、=_____________.标准答案：0知识点解析：因为且aretanx为有界函数，即19、曲线的斜渐近线方程为__________。标准答案：知识点解析：设所求斜渐近线为y=ax+b，因为20、∫e2χcosχdχ＝_______．标准答案：(sinχ＋2cosχ)＋C知识点解析：I＝∫e2χcosχdχ＝∫e2χd(sinχ)＝e2χsinχ－2∫e2χsinχdχ＝e2χsinχ＋2∫e2χd(cosχ)＝e2χsinχ＋2e2χcosχ－4I，则∫e2χcosχdχ＝(sinχ＋2cosχ)＋C．考研数学二（填空题）模拟试卷第3套一、填空题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、求一个正交变换，化二次型f=x12+4x22+4x32-4x1x2+4x1x2-8x2x3为标准形．标准答案：f=9y32知识点解析：暂无解析2、若a＞0，b＞0均为常数，则＝_______．标准答案：；知识点解析：暂无解析3、若a1，a2，a3，β1，β2都是4维列向量，且4阶行列式｜a1，a2，a3，β1｜=m，｜a1，a2，β2，a3｜=n，则4阶行列式｜a1，a2，a3，β1+β2｜=标准答案：n-m知识点解析：暂无解析4、=______标准答案：2知识点解析：5、已知A，B，C都是行列式值为2的3阶矩阵，则=___________?标准答案：知识点解析：根据行列式按行(列)展开法则，得6、设，其f(χ)可导且f′≠0，则＝_______．标准答案：3知识点解析：暂无解析7、由曲线y=lnx与两直线y=(e+1)一x及y=0所围成平面图形的面积为_______．标准答案：知识点解析：暂无解析8、已知向量组α1=(1，2，—1，1)T，α2=(2，0，t，0)T，α3=(0，—4，5，t)T线性无关，则t的取值为_________。标准答案：(—∞，+∞)知识点解析：由于向量的个数与维数不一样，因此不能用行列式去分析，而要用齐次方程组只有零解，或矩阵的秩等于n来分析向量组的无关性。A=(α1，α2，α2)=由于对任意的t，R(A)=3恒成立，所以向量组α1，α2，α3必线性无关，因此t∈(—∞，+∞)。9、设曲线y=lnx与y=相切，则公共切线为______标准答案：知识点解析：设当x=a时，两条曲线相切，由得a=e2．两条曲线的公共切线为y-lne2=10、设α=(1，一1，a)T，β=(1，a，2)T，A=E+αβT，且λ=3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是_________。标准答案：k(1，一1，1)T。k≠0知识点解析：令B=αβT，则矩阵B的秩是1，且βTα=a+1，由此可知矩阵B的特征值为a+1，0，0。那么A=E+B的特征值为a+2，1，1。因为λ=3是矩阵A的特征值，所以a+2=3，即a=1。于是βα=(αβT)α=α(βTα)=2α，即α=(1，一1，1)T是矩阵B属于特征值λ=2的特征向量，也是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量。11、落在平静水面的石头，产生同心波纹，若最外一圈波半径的增大率总是6m／s，问在2s末扰动水面面积的增大率为___________m2／s．标准答案：144π知识点解析：设在t时刻最外圈波的半径为r(t)，扰动水面面积为s(t)，则s(t)=πr2(t)，故s’(t)=2πr(t)r’(t)，由题知r’(t)=6，r(t)=6t，所以s’(2)=2πr(2)．6=144π(m2／s)．12、若曲线y=x3+ax2+bx+1有拐点(一1，0)，则b=___________.标准答案：3知识点解析：本题考查已知拐点坐标确定曲线方程中的一个参数．y=x3+ax2+bx+1，y’=3x2+2ax+b，y’’=bx+2a．又因为曲线过点(一1，0)，代入曲线方程，得b=3．13、设χ→0时，lncosaχ～－2χb(a＞0)，则a＝_______，b＝_______．标准答案：2；2．知识点解析：lncosaχ＝ln[1＋(cosaχ－1)]～cosaχ－1～－χ2，则－＝－2，b＝2，解得a＝2，b＝2。14、设A，B为3阶矩阵，且｜A｜=3，｜B｜=2，｜A-1+B｜=2，则｜A+B-1｜=_____________.标准答案：3知识点解析：暂无解析15、已知，则k=____________．标准答案：一2知识点解析：已知要求极限存在，所以k＜0．那么所以k=一2．16、设D={(x，y)｜x2+y2≤1}，则=_____________．标准答案：知识点解析：17、设α为三维列向量，且ααT=，则αTα=______。标准答案：2知识点解析：αTα等于矩阵ααT的对角线元素之和，即αTα=1+4—3=2。18、微分方程(2x+3)y’’=4y’的通解为______标准答案：C1x3+6C1x2+9C1x+C2．知识点解析：令y’=p，则，两边积分得lnp=ln(2x+3)2+lnC1，或y’=C1(2x+3)2，于是y=C1x3+6C1x2+9C1x+C2．19、交换二次积分次序：标准答案：知识点解析：由已知有，所求积分区域为所围成的区域，所以20、设B≠O为三阶矩阵，且矩阵B的每个列向量为方程组的解，则k=_______，｜B｜=_______．标准答案：1，0知识点解析：令A=，因为B的列向量为方程组的解且B≠O，所以AB=O且方程组有非零解，故｜A｜=0，解得k=1．因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3且r(A)≥1，于是r(B)≤2<3，故｜B｜=0．21、已知方程组总有解，则λ应满足_______．标准答案：λ≠1且λ≠－．知识点解析：暂无解析22、设f(x)连续，且f(1)=1，则=________标准答案：知识点解析：23、的通解为_______．标准答案：χ＝知识点解析：由得－2χ＝y2，则24、设a>0，f(x)=g(x)=而D表示整个平面，则=_______标准答案：a2知识点解析：25、设f(x，y，z)=exyz2其中z=z(x，y)是由x+y+z+xyz=0确定的隐函数，则f’x(0，1，-1)=________标准答案：1知识点解析：f’x=exyz2+x+y+z+xyz=0两边关于x求偏导得将x=0，y=1，z=-1代入得，故f’x(0，1，-1)=1．考研数学二（填空题）模拟试卷第4套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、＝_______．标准答案：3．知识点解析：原式＝＝3＋0＝3．2、设＝_______．标准答案：；知识点解析：暂无解析3、=______标准答案：1知识点解析：4、=_______标准答案：知识点解析：5、若f(χ)＝在χ＝0处连续，则a＝_______．标准答案：2知识点解析：因为f(χ)在χ＝0处连续，所以1＋＝a，故a＝2．6、求函数z＝3aχy－χ3－y3(a＞0)的极值______．标准答案：(0，0)点取得极大值a3．知识点解析：暂无解析7、设f〞(χ)连续，f′(χ)≠0，则＝_______．标准答案：知识点解析：8、=______。标准答案：secx一tanx+x+C知识点解析：=∫tanxsecxdx一∫(sec2x一1)dx=secx一tanx+x+C。9、设函数y＝y(χ)由方程eχ＋y＋cos(χy)＝0确定，则＝_______．标准答案：知识点解析：方程两边对χ求导，得解得10、设两曲线y=f(x)与y=∫0arctanxdt在点(0，0)处有相同的切线，则=___________．标准答案：2知识点解析：11、∫0πtsintdt=___________．标准答案：π知识点解析：∫0πtsintdt=一∫0πtd(cost)=一tcost｜0π+∫0πcostdt=π．12、交换积分次序∫－10dy∫21－yf(x，y)dx=________。标准答案：∫12dx∫01－xf(x，y)dy知识点解析：由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D(如图1—4—11)：一1≤y≤0，1一y≤x≤2。则有∫－10dy∫1－y2f(x，y)dx=f(x，y)dxdy。交换积分次序∫－10dy∫21－yf(x，y)dx=一∫－10dy∫1－y2f(x，y)dx=一∫12dx∫1－x0f(x，y)dy=∫12dx∫01－xf(x，y)dy。13、微分方程xy’+2y=sinx满足条件的特解为____________．标准答案：知识点解析：将已知方程变形整理得，14、以y=C1e-2x+C2ex+cosx为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为______标准答案：-sinx-3cosx，y’’+y’-2y=-sinx-3cosx．知识点解析：特征值为λ1=-2，λ2=1，特征方程为λ2+λ-2=0，设所求的微分方程为y’’+y’-2y=Q(x)，把y=cosx代入原方程，得Q(x)=-sinx-3cosx，所求微分方程为y’’+y’-2y=-sinx-3cosx．15、设线性方程组有解，则方程组右端标准答案：k1，k2，k3为任意常数知识点解析：使方程组有解，即当其中k1，k2，k3是任意常数，方程组有解．或是方程组左端系数矩阵的列向量的线性组合时，方程组有解．16、设f(x，y)在区域D：x2+y2≤t2上连续且f(0，0)=4，则=_______标准答案：8π知识点解析：17、设=_______标准答案：知识点解析：在D1={(x，y)｜-∞2：0≤x+y≤1上，f(x+y)=x+y，则在D1∩D2={(x，y)｜-y≤x≤1-y，0≤y≤1)上，f(y)f(x+y)=y(x+y)，所以18、设f(x)==______标准答案：2知识点解析：19、为奇函数且在x=0处可导，则f’(0)=__________。标准答案：2g’(0)知识点解析：由g(x)在x=0处可导可知，g(x)在x=0处连续。又因为g(x)是奇函数，所以g(0)=0。根据导数的定义可得20、=________.标准答案：x4知识点解析：暂无解析考研数学二（填空题）模拟试卷第5套一、填空题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、设f(x)是奇函数，且对一切x有f(x+2)=f(x)+f(2)，又f(1)=a，a为常数，n为整数，则f(n)=_____________．标准答案：na知识点解析：令x=一1，则f(1)=f(一1)+f(2)，因f(x)是奇函数，得到f(2)=f(1)一f(一1)=2f(1)=2a．再令x=1，则f(3)=f(1)+f(2)+f(1)=3a，现用数学归纳法证明．f(n)=na．当n=1，2，3时，已知或者已证．假设n=k时，有f(k)=ka．当n=k+1时，f(k+1)=f(k一1)+f(2)=(k一1)a+2a一(k+1)a，故对一切正整数n，有f(n)=na，令x=0，则f(2)=f(0)+f(2)，即f(0)=0=0．a，又f(x)是奇函数，故对一切负整数n有f(n=一f(一n)=一(一na)=na．所以对一切整数n，均有f(n)=na．2、设∫χ(χ)dχ＝ln(1＋χ)＋C，则＝_______．标准答案：(3χ＋χ3)＋C知识点解析：暂无解析3、设A是4×3矩阵，且A的秩r(A)=2，而则r(AB)=_________?标准答案：2知识点解析：因为所以矩阵B可逆，因此r(AB)=r(A)=2．4、设A是秩为3的5×4矩阵，α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，如果α1+α2+2α3=(2，0，0，0)T，3α1+α2=(2，4，6，8)T，则方程组AX=b的通解是________。标准答案：(，0，0，0)T+k(0，2，3，4)T，k为任意常数知识点解析：由于r(A)=3，所以齐次方程组Ax=0的基础解系只含有4一r(A)=1个解向量。又因为(α1+α2+2α3)一(3α1+α2)=2(α3一α1)=(0，一4，一6，一8)T是Ax=0的解，所以其基础解系为(0，2，3，4)T，由A(α1+α2+2α3)=Aα1+Aα2+2Aα3=4b，可知(α1+α2+2α3)是方程组Ax=b的一个解，根据非齐次线性方程组的解的结构可知，其通解是(，0，0，0)T+k(0，2，3，4)T。5、设矩阵A满足A2+A-4层=0，其中E为单位矩阵，则(A-E)-1=________.标准答案：1/2(A+2E)知识点解析：暂无解析6、设，A*是A的伴随矩阵，则A*x=0的通解是___________．标准答案：k1(1，2，一1)T+k2(1，0，1)T知识点解析：A是一个3阶矩阵，由已知得｜A｜=0，且r(A)=2，因此r(A*)=1，那么可知n—r(A*)=3一1=2，因此A*x=0有两个基础解系，其通解形式为k1η1+k2η2．又因为A*A=｜A｜E=0，因此矩阵A的列向量是A*x=0的解，故通解是k1(1，2，一1)T+k2(1，0，1)T．7、函数F(x)=(x＞0)的递减区间为_______．标准答案：[e2，+∞)知识点解析：需要考虑F(x)的导函数F’(x)=．令F’(x)≤0，即得x≥e2．8、设平面区域D由直线y=x，圆x2+y2=2y及y轴所围成，则二重积分=______。标准答案：知识点解析：通过直角坐标变换求解，已知直线和圆的交点为(1，1)，上半圆周的方程为因此直角坐标区域为所以可得9、当x→0时，tan(tanx)一sin(sinx)是x的______阶无穷小量．标准答案：3．知识点解析：因为从而于是取k=3时，有故应填3．10、设A为n阶矩阵，且｜A｜=a≠0，则｜(kA)*｜=______．标准答案：kn(n-1)an-1知识点解析：因为(kA)*=k-1A*，且｜A*｜=｜A｜n-1，所以｜(kA)*｜=｜kn-1A*｜=kn(n-1)｜A｜n-1=kn(n-1)an-1．11、设A＝(aij)3×3是实正交矩阵，且a11＝1，b＝(1，0，0)T，则线性方程组Ax＝b的解是________．标准答案：(1，0，0)T；知识点解析：暂无解析12、＝_______．标准答案：知识点解析：13、微分方程y’’+2y’+5y=0的通解为______。标准答案：y=e—x(C1cos2x+C2sin2x)知识点解析：由题干可知，方程y’’+2y’+5y=0的特征方程为λ2+2λ+5=0。解得则原方程的通解为y=e—x(C1cos2x+C2sin2x)。14、设I=f(x，y)dy，交换积分次序后则I=____________．标准答案：知识点解析：积分域D为：ex≤y≤e2x，0≤x≤1．曲线y=e2x，y=ex与直线x=1的交点分别为(1，e2)与(1，e)．故15、＝_______．标准答案：知识点解析：16、微分方程y’+ytanx=cosx的通解为y=____________．标准答案：(x+C)cosx，其中C为任意常数知识点解析：暂无解析17、设f(χ，y)在点(0，0)的邻域内连续，F(f)＝f(χ，y)dσ，则＝_______．标准答案：2πf(0，0)知识点解析：F(t)＝f(χ，y)dσ＝f(ξ，η).πt2，其中(ξ，η)∈D，D：χ2＋y2≤t2．故＝2πf(0，0)．18、设A、B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵，已知AB=2A+3B，A=，则(B一2E)－1=________。标准答案：知识点解析：利用已知条件AB=2A+3B，通过移、添加项构造出B一2E，于是有AB一2A一3B+6E=6E，则有(A一3E)(B一2E)=6E。从而(B一2E)－1=。19、设A为n阶矩阵，A的各行元素之和为0且r(A)=n-1，则方程组AX=0的通解为_______标准答案：(其中k为任意常数)知识点解析：k(1，1，…，1)T，其中k为任意常数．因为A的各行元素之和为零，所以，又因为r(A)=n-1，所以为方程组AX=0的基础解系，从而通解为(其中k为任意常数)．20、设A为三阶矩阵，A的各行元素之和为4，则A有特征值_______，对应的特征向量为_______标准答案：4，知识点解析：因为A的各行元素之和为4，所以，于是A有特征值4，对应的特征向量为21、＝_______．标准答案：知识点解析：22、设则(A-1)*=________．标准答案：知识点解析：(A-1)(A-1)*=|A-1|E,(A-1)*=|A-1|A=23、设n维向量α1，α2，α3满足2α1一α2+3α3=0，对于任意的n维向量β，向量组l1β+α1，l2β+α2，l3β+α3都线性相关，则参数l1，l2，l3应满足关系_______．标准答案：2l1一l2+3l3=0知识点解析：因l1β+α1，l2β+α2，l3β+α3线性相关,存在不全为零的k1，k2，k3，使得k1(l1β+α1)+k2(l2β+α2)+k3(l3β+α3)=0，即(k1l1+k2l2+k3l3)β+k1α1+k2α2+k3α3=0．因β是任意向量，α1，α2，α3满足2α1一α2+3α3=0，故令2l1一l2+333=0时上式成立，故l1，l2，l3应满足2l1—l2+3l3=0．24、已知A=可对角化，a=______，作可逆矩阵P=_______，使得P-1AP，为对角矩阵．标准答案：0；知识点解析：A的特征值为6，6，-2．η1=(1，2，0)T，η2=(0，0，1)T都是属于6的特征向量；η3=(1，-2，0)T是属于-2的特征向量．令P=(η1，η2，η3)，则P-1AP=25、若齐次线性方程组存在非零解，则a=______．标准答案：2知识点解析：由条件知方程组系数矩阵A的秩小于3，而由A的初等变换：考研数学二（填空题）模拟试卷第6套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知2件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为__________．标准答案：知识点解析：本题考查条件概率的识别和计算，由于事件发生有先后顺序，因此是条件概率．关键是要清楚先发生的事件的内涵，即“任取2件产品，已知2件中有一件是不合格品”是指“所取2件产品至少有一件是不合格品”．设A表示事件“2件产品中有一件是不合格品”，B表示“另一件也是不合格品”，则所求概率为2、=__________。标准答案：知识点解析：3、已知向量组α1=(1，2，3，4)，α2=(2，3，4，5)，α3=(3，4，5，6)，α4=(4，5，6，7)，则该向量组的秩是_________．标准答案：2知识点解析：本题主要考查用矩阵的初等变换求向量组的秩．要求考生掌握矩阵的秩等于其行(列)向量组的秩，而矩阵进行初等变换后其秩不变．令A=(α1T,α2T,α3T,α4T)，对A施以初等行变换：由行阶梯型矩阵的非零行有2行，所以r(A)=2，从而向量组α1,α2,α3,α4的秩为2．4、＝_______．标准答案：知识点解析：5、求∫xarctan=_______.标准答案：知识点解析：6、=______。标准答案：知识点解析：7、设A为2阶矩阵，α1，α2为线性无关的2维列向量，Aα1=0，Aα2=2α1+α2，则A的非零特征值为_________.标准答案：1知识点解析：本题考查矩阵特征值与特征向量的概念，相似矩阵的概念，矩阵与列向量组的关系．由于A(α1，α2)=(Aα1，Aα2)=(02α1+α2)令则有AP=PB，由于α1，α2线性无关，从而P=(α1，α2)可逆，于是P一1AP=B，再由得λ=0，1，故A的非零特征值为1．8、设则=______。标准答案：知识点解析：令x一1=t，则有9、设f(x)具有连续导数，且F(x)=∫0x(x2-t2)f’(t)dt，若当x→0时F’(x)与x2为等价无穷小，则f’(0)=_________．标准答案：知识点解析：由于F(x)=∫0x(x2-t2)f’(t)dt=x2∫0xf’(t)dt-∫0xt2f’(t)dt，所以F’(x)=2x∫0xf’(t)dt+x2f’(x)-x2f’(x)=2x∫0xf’(t)dt．又依题设，当x→0时F’(x)与x2为等价无穷小，从而10、∫1＋∞=__________。标准答案：ln2知识点解析：11、曲线y＝(χ2－7)(－∞＜χ＜＋∞)的拐点是______．标准答案：(0，0)知识点解析：这里y(χ)在(－∞，＋∞)连续，(y′(0)，y〞(0)均不)，y(χ)在χ＝0两侧凹凸性相反，(0，0)是拐点．12、定积分x2(sinx+1)dx=___________．标准答案：知识点解析：x2sinx是奇函数，13、＝_______．标准答案：＋C知识点解析：14、设，B=(E+A)—1(E—A)，则(E+B)—1=______。标准答案：知识点解析：B+E=(E+A)—1(E—A)+E=(E+A)—1(E—A)+(E+A)—1(E+A)=(E+A)—1[(E—A)+(E+A)]=2(E+A)—1，可得(E+B)—1=(E+A)。已知，因此(E+B)—1=。15、设z＝f(χ2＋y2＋z2，χyz)且f一阶连续可偏导，则＝_______．标准答案：知识点解析：z＝f(χ2＋y2＋z2，χyz)两边对χ求偏导得16、设y=y(x)可导，y(0)=2，令△y=y(x+△x)=y(x)，且△y=△x+a，其中α是当△x→0时的无穷小量，则y(x)=________标准答案：知识点解析：由△y=17、微分方程y2dx+(x2-xy)dy=0的通解为______标准答案：知识点解析：令，两边积分得u-lnu-lnx-lnC=0，解得y=18、已知A＝，矩阵X满足A*X＝A-1＋2X，其中A*是A的伴随矩阵，则X＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析19、设f(x)=f(y)f(x+y)dxdy=_______标准答案：知识点解析：在D1={(x，y)｜-∞＜x＜+∞，0≤y≤1}上，f(y)=y；在D2：0≤x+y≤1上，f(x+y)=x+y，则在D0=D1∩D2={(x，y)｜-y≤x≤1-y，0≤y≤1)上，f(y)f(x+y)=y(x+y)，所以20、设y=y(x)是由方程2y3一2y2+2xy一x2=1确定的，则y=y(x)的极值点是___________。标准答案：x=1知识点解析：方程两边对x求导，可得y’(3y2一2y+x)=x一y1(*)令y’=0，有x=y，代入2y3一2y2+2xy一x2=1中，可得(x一1)(2x2+x+1)=0，那么x=1是唯一的驻点。下面判断x=1是否是极值点：对(*)式求导得y’’(3y2—2y+x)+y’(3y2一2y+x)x’=1一y’。把x=y=1，y’(1)=0代入上式，得。故y(x)只有极值点为x=1，且它是极小值点。考研数学二（填空题）模拟试卷第7套一、填空题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、设a＞0，且＝1，则a＝_______，b＝_______．标准答案：4；1．知识点解析：由＝1得b＝1，则＝1，故a＝4．2、=_______.标准答案：知识点解析：因为当x→0时，所以由于又于是原式=3、设随机变量X在区间[a，b](a＞0)上服从均匀分布，且P{0＜x＜3}=，则P{-1＜X＜5}=__________。标准答案：知识点解析：4、设4阶矩阵A与B相似，A的特征值为，则行列式｜B-1-E｜=_______．标准答案：24知识点解析：B的特征值为，B-1的特征值为2，3，4，5，B-1-E的特征值为1，2，3，4，由特征值的性质得｜B-1-E｜=1.2.3.4=24．5、设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+2ax1x2+2βx2x3+2x1x3经正交变换化成了标准形f=y12+2y22，其中P为正交矩阵，则α=_____，β=________．标准答案：0；0知识点解析：α=β=0，A=的秩=f的秩=2，｜A｜=0，α=β，又0=｜E-A｜=-2α2，α=β=0．6、如果f(x)在[a，b]上连续，无零点，但有使f(x)取正值的点，则f(x)在[a，b]上的取值符号为___________．标准答案：正知识点解析：利用反证法，假设存在点x1∈[a，b]，使得f(x1)＜0．又由题意知存在点x2∈[a，b]，x2≠x1，使得f(x2)＞0．由闭区间连续函数介值定理可知，至少存在一点ξ介于x1和x2之间，使得f(ξ)=0，显然ξ∈[a，b]，这与已知条件矛盾．7、若f(x)的导函数是sinx，则f(x)的原函数是________．标准答案：－sinx+C1x+C2知识点解析：f(x)的导函数是sinx，那么f(x)应具有形式－cosx+C1，所以f(x)的原函数应为－sinx+C1x+C2，其中C1，C2为任意常数．8、求=________.标准答案：知识点解析：9、已知Aαi=iαi(i=1，2，3)，其中αi=(1，2，2)T，α2=(2，一2，1)T，α3=(一2，一1，2)T，则A=_________。标准答案：知识点解析：由Aαi=iαi(i=1，2，3)可知A的特征值为1，2，3。令P=(α1，α2，α3)=，则P－1AP=，所以10、设A，B均为n阶矩阵，｜A｜=2，｜B｜=-3，则｜2A*B-1｜=_______．标准答案：-22n-1/3知识点解析：暂无解析11、微分方程的通解为__________。标准答案：y=x.eCx+1知识点解析：令y=xu，代入原方程，则有zu’+u=ulnu，即两边求积分，即得ln｜lnu一1｜=ln｜x｜+C，去掉对数符号与绝对值符号得y=xeCx+1，C为任意常数。12、(n≠0)＝_______．标准答案：(χn－ln｜1＋χn｜)＋C知识点解析：原式＝13、设且A，B，X满足(E一B-1A)TBTX=E，则X-1=__________。标准答案：知识点解析：由(E—B一1A)TBTX=E，得[B(E—B一1A)]TX=E，即P(B—A)TX=E，因此14、已知ABC=D，其中，则B*=__________.标准答案：知识点解析：｜A｜=1，｜C｜=一1，｜D｜=6，即矩阵A，B，D均可逆。由ABC=D可得B=A一1DC一1，且｜B｜=｜A一1｜｜D｜｜D一1｜=一60于是B*=｜B｜B一1=一6(A一1DC一1)一1=一6(C一1A)15、微分方程y’’一4y=e2x的通解为y=_____________．标准答案：知识点解析：对应齐次微分方程的特征方程为r2一4=0，解得r1=2，r2=一2．故y’’一4y=0的通解为y1=C1e-2x+C2e2x，其中C1，C2为任意常数．由于非齐次项为f(x)=e2x，α=2为特征方程的单根，因此原方程的特解可设为y*=Axe2x，代入原方程可求出故所求通解为16、计算=_______标准答案：1-sin1知识点解析：改变积分次序得17、设连续函数f(x)满足f(x)=，则f(x)=_______．标准答案：2e2x-ex知识点解析：=2∫0xf(t)dt，则f(x)=+ex可化为f(x)=2∫0xf(t)dt+ex，两边求导数得f’(x)-2f(x)=ex，解得f(x)=f[∫ex．e∫-2dxdx+C]e-∫-2dx=(-e-x+C)e2x=Ce2x-ex，因为f(0)=1，所以f(0)=C-1=1，C=2，于是f(x)=2e2x-ex．18、已知矩阵有两个线性无关的特征向量，则a=_________。标准答案：一1知识点解析：A的特征多项式为所以矩阵A的特征值是一1，且为三重特征值，但是A只有两个线性无关的特征向量，故r(一E—A)=1，因此a=一1。19、设f(x)=，则x2项的系数为_____标准答案：23知识点解析：按行列式的定义，f(x)的3次项和2次项都产生于(x+2)(2x+3)(3x+1)，且该项带正号，所以x2项的系数为23．20、设α，β均为三维列向量，βT是β的转置矩阵，如果αβT=，则αTβ=_________。标准答案：5知识点解析：设α=(a1，a2，a3)T，β=(b1，b2，b3)T，则αβT=，而αTβ=(a1，a2，a3)=a1b1+a2b2+a3b3，可以看出αTβ就是矩阵αβT的主对角线元素的和，所以αTβ=1+6+(一2)=5。21、＝_______(其中a为常数)．标准答案：知识点解析：22、设，且α，β，γ两两正交，则a=_______，b=_______．标准答案：-4，-13知识点解析：因为α，β，γ正交，所以，解得a=-4，b=-13．23、A，B均为n阶矩阵，|A|=一2，|B|=3，则||B|A-1|=____________．标准答案：知识点解析：因|A|=一2，|B|=3，故24、标准答案：知识点解析：25、二次型f(χ1，χ2，χ3)＝(χ1－2χ2)2＋4χ2χ3的矩阵为_______．标准答案：知识点解析：因为f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋4χ22－4χ1χ2＋4χ2χ3，所以A＝考研数学二（填空题）模拟试卷第8套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、设f(x)=，则f(x+1)—f(x)=________。标准答案：6x2知识点解析：2、设y=y(x)是由方程确定的隐函数，则y’’=______。标准答案：知识点解析：在方程两边对x求导得即有化简可得，进而可得3、设f(x)在x=1处一阶连续可导，且f’(1)=-2，则=______.标准答案：1知识点解析：由得4、若曲线y=x3+ax2+bx+1有拐点(一1，0)，则b=______。标准答案：3知识点解析：根据题意y’=3x2+2ax+b，y’’=6x+2a。令y’’=0，得x==一1，所以a=3。又因为曲线过点(一1，0)，代入曲线方程，得b=3。5、若函数f(x)在x=1处的导数存在，则极限=________．标准答案：9f’(1)知识点解析：按导数定义，将原式改写成6、求=__________.标准答案：5π知识点解析：7、设在点(0，0)处连续，则a=______。标准答案：0知识点解析：因为利用夹逼定理知。又知f(0，0)=a，则a=0。8、=___________．标准答案：，其中C为任意常数知识点解析：9、当x→0时，tan(tanx)一sin(sinx)是x的______阶无穷小量．标准答案：3．知识点解析：因为从而于是取k=3时，有故应填3．10、＝_______．标准答案：2arctan＋C知识点解析：11、设f(x)连续，且为常数，则标准答案：a知识点解析：f(x)是抽象函数，不能具体地计算积分，要用积分中值定理．然后再计算极限．所以12、设z=z(x，y)由方程z+ez=xy2所确定，则dz=________。标准答案：(y2dx+2xydy)知识点解析：13、设则Bn=__________．标准答案：知识点解析：因故Bn=(αTα)n=(αTα)(αTα)…(αTα)=αT(ααT)…(ααT)α=14n-1B．14、已知ξ1=(-3，2，0)T，ξ2=(-1，0，-2)T是方程组的两个解，则此方程组的通解是_______．标准答案：(-3，2，0)T+k(-1，1，1)T知识点解析：由于矩阵A中有2阶子式不为0，故秩r(A)≥2．又ξ1-ξ2是Ax=0的非零解，知r(A)＜3．故必有r(A)=2．于是n-r(A)=1．所以方程组通解是：(-3，2，0)T+k(-1，1，1)T．15、=__________标准答案：知识点解析：16、已知F(x)为函数f(x)的一个原函数，且f(x)=则f(x)=________标准答案：知识点解析：由f(x)=，两边积分得17、向量组α1=[0，4，2-k]，α2=[2，3-k，1]，α3=[1-k，2，3]线性相关，则实数k=________标准答案：6知识点解析：由=0得k=6．18、级数标准答案：1．知识点解析：19、=_____________.标准答案：知识点解析：20、设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，且｜A｜＝a，｜B｜＝b，则＝_______．标准答案：(－1)mnab知识点解析：将B的第一行元素分别与A的行对调m次，然后将B的第二行分别与A的行对调m次，如此下去直到B的最后一行与A的行对调m次，则＝(－1)mnab考研数学二（填空题）模拟试卷第9套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、=_______