北京市丰台区2023-2024学年高三年级下册综合练习（二）数学试题及其详细解析

北京市丰台区2023〜2024学年度第二学期综合练习(二)

陆二数学

2024.04

本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分(选择题40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

L已知集合0={1，2,3,4,5},/={1,3},8={2,3},贝//)c(*)=()

A.{3}B.{1,2}C.{4,5}D.{1,2,3}

【答案】C

【解析】

【分析】由补集和交集的定义求解.

【详解】集合。={1,2,3,4,5},4={1,3},8={2,3},

U={2,4,5},^={1,4,5},(/)c(*)={4,5}.

故选：C

2.在复平面内，复数z的对应点为(1,-1),则亍=()

A.1+zB.-1+zC.1-zD.—1—i

【答案】A

【解析】

【分析】依据题意可得复数z,然后根据共辗复数的概念，可得结果.

【详解】由题可知：复数z的对应点为(1,-1),则z=l-i

所以亍=1+7

故选：A

【点睛】本题考查共物复数以及复数与所对应的点之间的关系，熟悉概念，属基础题.

3.已知数列{4}对于任意“qeN*,都有4+[=4%,若q=J5,则%=()

A.2B.2&C.4D.472

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，分别取。=4=1,夕=q=2然后代入计算，即可得到结果.

【详解】因为数列｛%｝对于任意O应eN*,都有

取P=q=]，则的=/■=V2xy[2=2,

取夕=q=2,则％=。2,。2=2x2=4,则%=4.

故选：C

4.下列函数中，是偶函数且在区间(0,+力)上单调递增的是()

A./(x)=-p-yB.f(x)=2r+2~xc./(x)=sinxD.f(x)=tanx

【答案】B

【解析】

【分析】利用函数的奇偶性定义判断奇偶性，再利用相应函数的性质判断ACD选项，利用/'(x)>0判断

B选项即可.

【详解】对于A,因为/(一x)=R='=/(x),所以是偶函数，当xe(O,+。)时，/(x)===一,

一x\x\x\X

是反比例函数，在(0,+。)上单调递减，故A错误；

对于B,因为/(—力=2-'+2，=/(引，所以是偶函数，

当xe(O,+⑹时，/,(x)=(2v-2-v)ln2,

•.•》〉0,:.2，〉1,0<2-*<1,.・./'(x)>0,.•./(X)在(0,+。)上单调递增，故B正确；

对于C,因为/(-x)=sin(—x)=—sinx=-/(x),所以是奇函数，当xe(0,+。)时，/(x)=sinx不单

调，故C错误；

对于D,因为/(一工)=12!1(一%)=一1211%=一/(》)，所以是奇函数，当xe(0,+oo)时，/(x)=tanx不是

单调递增函数，故D错误；

故选：B.

5.若a/wR,且a>b,则()

11

22

—1—+1<-〃;——+1B.ab>ab

a+b,

C.a2>ab>b2D.a>---->b

2

【答案】D

【解析】

【分析】举反例即可求解ABC,根据不等式的性质即可求解D.

1_1,11

【详解】由于。>6,取=—...7^—7——，a~b=ab~=1无法得到—；—<-；—

。一+1»+12a2+1Zr+1

a2b>ab21故AB错误，

取a=O,b=—2,则/=(),仍=O12=4,无法得到/〉的〉c错误，

由于a>b,则2a>6+a>26,所以a〉"'1''>b,

2

故选：D

6.已知生尸是两个不同的平面，掰，〃是两条不同的直线，能使加_L"成立的一组条件是()

A.a〃B，mLa,n工0B.a///3,m<^a,nV/3

C.a±p,m±a,n///3D,a1.]3,mcza,n//>0

【答案】B

【解析】

【分析】利用给定条件得到〃〃加，判断A,利用给定条件得到〃7,〃判断B,举反例判断C,D即可.

【详解】对于A,若a〃0,mLa,nL0,则〃〃加，故A错误，

对于B,若a〃夕,加ua,〃_1_夕，则阴_1_〃，故B正确，

对于C,若aL/3,mLa,n〃0,则见〃可能相交，平行或异面，故C错误，

对于D,若aL/3,mua,n〃/3,则叫〃可能相交，平行或异面，故D错误.

故选：B

7.已知函数/(x)=sin®x+e)[o〉0,—T<9<T)的导函数是/'(X),如果函数y=/(x)—/'(x)的

图像如图所示，那么。，。的值分别为()

,兀,兀c兀

A.1,0B.1,——C.1,—D.2,——

444

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，求导可得/'(x)=ocos(ox+e),从而可得y=/(x)-/'(x)的解析式，再结合函数

图像代入计算，即可得到结果.

I兀7T

【详解】因为/(x)=sin(Gx+0)刃>0,-5<0<,

则/'(X)=GCOS(S：+e),

则y=/(x)-/z(x)=sin(s+0)-Gcos(G¥+cp)

=Jl+苏sin[(Gx+°)-8],其中tan8=/=o,

由图像可知，函数的最大值为0，即J1+疗=同，且口〉0,

所以G=I,e=w，即y=x+。―L

又函数过点(0,—1),将点(0,—1)代入可得—1=拒sin：

3

即0=5兀+2左兀，左£Z，或。=2兀+2左兀，左wZ，

TT7T3

又—5＜夕＜5，则当0=5兀+2左兀,左£Z时，无解，

当9=2兀+2E,左£Z时，k=-\,则0=0,

所以刃=1,0=0.

故选：A

8.已知曲线。：闻=/+1与直线/:天二旅+方，那么下列结论正确的是()

A.当左=1时，对于任意的6eR,曲线。与直线/恰有两个公共点

B.当后=1时，存在6eR,曲线。与直线/恰有三个公共点

C.当左=2时，对于任意的6eR,曲线。与直线/恰有两个公共点

D.当左=2时，存在6eR,曲线。与直线/恰有三个公共点

【答案】C

【解析】

【分析】根据曲线。的对称性，分别讨论当直线/与曲线C的上、下半部分相切时3的取值即可求解.

【详解】曲线的图象如图所示，

V=X+1

若左=1,当直线/与曲线上半部分相切时，由,整理得X+1—3=0，

y=x+b

,3

由AMl—iy—qxixO—b)：。得6=a，

y=-x2-1

当直线/与曲线下半部分相切时，由,,整理得/+》+1+力=0，

y=x+b

由△=12—4x0+6)=0得6=—^，

33

结合曲线C图象的对称性可得，当6=—或6=—一时，曲线。与直线/有一个交点，

44

3333

当--<6〈一时，曲线C与直线/没有交点，当6〉一或6<——时，，曲线。与直线/有两个交点，AB说

4444

法错误；

y=x2+1

若左=2,当直线/与曲线上半部分相切时，由《整理得/一2》+1-6=0，

y=2x+b

由△=(—2『—4xlx(l_6)=0得6=0,

y=-x2-1

当直线/与曲线下半部分相切时，由《整理得%2+2%+1+6=0，

y=2x+b

结合曲线C图象的对称性可得，对于任意的bwR,曲线C与直线/恰有两个公共点，C说法正确，D说法

错误，

故选：C

9.已知等差数列｛%｝的公差为d,首项%e/gj,那么"]=兀”是“集合S=｛xk=sina",〃eN*｝

恰有两个元素”的（）

A,充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】依据题意证明充分性成立，举反例否定必要性即可.

【详解】对于充分性，已知等差数列｛1“｝的公差为"，首项见

当“1=兀”时，集合6=,卜=5吊％,〃©]\[恰有两个元素5=｛5吊a1，一5M,｝,

故充分性成立，对于必要性，当1=3兀时，

“集合5=卜卜=5①&“,〃€]\*｝也恰有两个元素”，故必要性不成立，

故“d=兀”是“集合S=,卜=sma„,neN）恰有两个元素”的充分而不必要条件.

故选：A

10.“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲

线”.利用这个原理，小明在家里用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影出两个相同的椭圆（图1）,

光锥的一条母线恰好与墙面垂直.图2是一个射灯投影的直观图，圆锥PO的轴截面ZP8是等边三角形，

椭圆。।所在平面为见必La,则椭圆。的离心率为（）

V6rV2

------------V/.

3-----------------------------23

【答案】D

【解析】

\POS3

【分析】根据题意，由勾股定理结合余弦定理代入计算可得桂了二:，再由相似三角形的相似比结合勾股

\PQ\4

定理可分别计算出椭圆的。，“C,结合椭圆的离心率即可得到结果.

【详解】设48=2r，由于尸所以尸BLZM,在等边三角形尸48中，

点”为尸3的中点，于是AM=也「，在平面。中，由椭圆的对称性可知，

AO［=MO［=与,连接。。］,尸。1，延长PQ与4B交于点。，

由于为中点，所以在/中，PM=r,MC）二—r，

12

由勾股定理可得pg=｛典"+同。］『=:二:

一r二---r，

2J2

万1

在A。。。中，P0=®，P0,=—r-OOX=-r,由余弦定理可得

122

712_

八一归。『+归。『一1。。『一?2+"-7_3而

is5一।-I

2\P0\-\P0\9V7614

2x——rx73r

2

\P0Ml.因.五.匝

在RtZ\P0O中，由于cos/。。。］=师，所以1.cosNOPOl3亚3

14

V7

干曰有巾一丁_3

于痴因一述「"

3

设椭圆。।短轴的两个顶点为G,女，连接PG,PH分别交圆锥于E,尸，

PG\Kl：：3

由于APGHSAPEF,所以―二

PE\\PQ\~4，

由于尸£为圆锥母线，所以尸£=24=2r,

333

从而有|?G=^|尸£=—x2r=—r

|2V2

在Rt△尸GO1中,---r

2

7

C/?

所以在椭圆。1中，a=\MO1\=^-r，b=\GO.\=^-r

后Y1

贝（1c=yja2—b2二---r—r

V222

V\7\7

1

—r1

c71

则离心率为。=%==耳T,

——r

2

故选：D

【点睛】关键点睛：本题主要考查了椭圆定义的理解以及椭圆离心率的求解,难度较大，解答本题的关键

在于结合椭圆的定义以及余弦定理代入计算，分别求得凡人，从而得到结果.

第二部分（非选择题110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.己知函数/（x）=2\g（x）=log2（x+l）,那么/（g（0））=.

【答案】1

【解析】

【分析】先求出g（0），再求/（g（0））即可.

【详解】易知g⑼=log2（0+l）=0,故/（g（O））=/（0）=2°=1,

故答案为：1

12.若（亚+1『=17+a忘，则.=.

【答案】12

【解析】

【分析】根据题意，将（、汇+1『展开计算，即可得到结果.

【详解】（应+1『=（3+2后j=17+12后=17+aS，

所以a=12.

故答案为：12

13.如图，在正方形45CD中，48=2，点瓦尸分别为3C,C。的中点，点G在RF上，则

AEAG=

【解析】

【分析】根据向量的线性运算可得运前=。-九，益+2而，即可利用数量积的运算

律求解.

【详解】设B=X而，则

而就="+；/”（万+2珂="+；4。｝"+/1赤_；/1回="+；回［（1_［"+；1同

/1上后+?+2］超砺+。砺2/二露4+〃4=4.

（2）U4J2L2J2

故答案为：4

14.如图，正方体43CD—44GA的棱长为2,M,N分别为8月,"＞］的中点，0为过直线的平

面.从下列结论①，②中选择一个，并判断该结论的真假.你选的结论是（填“①”或"②”）,该

结论是命题（填“真”或"假”）.

①平面a截该正方体所得截面面积的最大值为3g；

②若正方体的12条棱所在直线与平面a所成的角都等于6,则sin，=—.

3

【答案】①.①（答案不唯一）②.假（答案不唯一）

【解析】

【分析】选①，根据四边形片的面积即可判断，选②，根据三棱锥4-4口片为正三棱锥，利用等体

积法求解AAX与平面A/Bi所成角的正弦值即可求解②.

【详解】若选①，平面8。2瓦是过直线的平面.此时四边形8£）A片即为该平面截正方体所得截面,

由于四边形BDDXBX的面积为3。・8瓦=4后＞3也，故①为假命题,

若选②，由于三棱锥4-4口片为正三棱锥，所以444民4,与平面NA片所成角均相等，故平面a//

平面40圈,

设4到平面AD.B,的距离为h,则

—x2x2x2。

S.n4~A,B,二2____________=2_

/A「ADIB1一七-皿&nS“D]BIh-S△皿444n〃一q-

、“DR-X2V2X2V2X—百

22

所以441与平面与所成角的正弦值为上一=",故sin，=）h

―,②为真命题

ZZ]33

故答案为：①（答案不唯一），假（答案不唯一）

%a

0

AB

|x+m|,x＜0,

15.设函数/（x）=V2mr给出下列四个结论：

-----Vx,x＞0.

12

①当加=0时，函数/（X）在（-叫+8）上单调递减；

②若函数/（x）有且仅有两个零点，则加＞0；

③当加＜0时，若存在实数。力,使得/（°）=/伍），则目的J取值范围为（2,+8）；

④已知点尸（一加,0）,函数/（x）的图象上存在两点。]&,%）,Q（%2，%）（玉＜》2＜°），。1，。2关于坐标

原点。的对称点也在函数/（X）的图象上.若|p0J+1="

-,则掰=1.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】②③④

【解析】

【分析】根据x20时，/（x）=0即可判断①，求解方程的根，即可求解②，结合函数图象，求解临界状

态时,一目一＞2,即可求解③，根据函数图象的性质可先判断加＞0,继而根据对称性联立方程得

F干+"疗+4",9根据山+U芈可得

代入即可求解④.

【详解】当m=0时，x»0时，/（x）=0,故在（—S,+。）上不是单调递减，①错误;

对于②，当加=0显然不成立，故加。0,

当x20时，令/（x）=0,即—当"q=o，得x=0,x＜0,|x+同=0nx=—加，要使/⑴有且仅

有两个零点，则一切＜0,故加＞0,②正确，

-x-m,x＜0,

对于③，当加＜0时，/（'）=42m厂，此时/（%）在（-8,。）单调递减，在［0,+8）单调递增，

-----\x,x＞0.

若/（。）=/伍），由—m=---五nx=2,故4＞2,所以k—目的取值范围为（2,+“）；③正

确

对于④，由①③可知：加＜0时，显然不成立，故加＞0,

要使。（西，%）Q（马，力）（再＜马＜0）,0,0关于坐标原点0的对称点也在函数/⑺的图象上，

|的图象与x20,/（x）=-字五有两个不同的交点，如图:

则只需要x＞O,y=—,一加

|PQ1|+|P2|=0卜/一旬+0|x2+加=-V2（加+西）+V2（x2+冽）==nI2—%=5，

由对称可得/(—*)=一字尸

；i=―卜/一加=再+加，

化简可得X]+加+，冽[-X]=0‘故（8-粤卮-"=。卡=2±『

X-m\=-x-m化简得（J-%）+J—/"•冽=0

/(%)=22"2,加

所以"土、"+4,m

所以2、2

9+J」疗+4加4+、口

由于一花,一、2均大于0,所以/—_272_______，/-_272_______,

一「X]—2\x2-2

।2+'2，"”[[2+2痔+[

因此/_玉=(5^")-(J、2)

42m11后厂

=---J—m2+4Am=+4m3

由于加〉0,/(加)=5加，+4加3为（0,+8）单调递增函数，且=

止匕时X-X=冽4+4加3=—,因此加=1,④正确，

212

故答案为：②③④

【点睛】方法点睛：函数零点问题常用的方法和思路

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步聚或证明过程.

16.已知“8C满足百sirk4+cosZ=2.

(1)求A；

(2)若满足条件①、条件②、条件③中的两个，请选择一组这样的两个条件，并求的面积.

s

条件①：a—b=2；条件②：cosB=—；条件③：c=8.

14

TT

【答案】(1)-

3

(2)选①③，面积为ioG，

【解析】

【分析】(1)根据辅助角公式可得sin(Z+巴］=1,即可求解/=g,

3

(2)选择①②，根据正弦定理可得6=下。〉。与a-6=2矛盾，即可求解，选择②③，根据

cos8=Y7<L,故5〉四，a<b,这与a—6=2矛盾，即可求解，选择①③，根据余弦定理可得6=5,

1423

a=7,即可由面积公式求解.

【小问1详解】

由V3sirL4+cosN=2得2sin^+—=2,所以A+—=—+2kji=>A=—+2kji,kGZ,

由于Ze（O,兀），所以"

【小问2详解】

若选①Q—6=2,②cosB=---

则cosB=:.B0,—,sin5=Vl-cos25=3y

1412J14

由正弦定理可得，一=—立nb=]=a〉a,这与a—6=2矛盾，故不可以选择①②,

sin/sin5142V7

若选①Q-6=2,③。=8,

由余弦定理可得cosN=Q=c2+62q2=82+b2-(b+2),解得b=5,a=7,

22bc166

S^ABC=-besinA=-58—106,

选②③，

由于cosB=^~,5ef0,—\

14I2j

又cos5=—,故8>=,

1423

TT

而/=§,故a<6,这与a—b=2矛盾，因此不能选择②③

17.在正四棱柱48co—44GA中，48=1,£为8耳中点，直线用G与平面2。也交于点

(1)证明：尸为耳G的中点；

7T

(2)若直线/C与平面2。也所成的角为点，求二面角4-NA-尸的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵如

6

【解析】

【分析】(1)根据线面平行的性质定理判断；

(2)建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求线面角确定E点位置，再由空间向量法求二面角.

【小问1详解】

如图，连接2C，FE,FDX,在正四棱柱43CD—44GA中，

由幺3与GA平行且相等得ABCXDX是平行四边形，所以BQ//ZD],

又5G<Z平面ZQE，4D]U平面所以BQ〃平面40田,

BCAu平面BCCB,平面ADXEn平面BCCXBX=EF，

所以BCJ/EF,E是8片中点，

所以厂是瓦G的中点;

【小问2详解】

以。为MN/轴建立空间直角坐标系，如图，设44]=加Cm>0),

m

则N(l,0,0),C(0,l,0),2(0,0,加)，E(l,l,y),

--*---»--*YH,

4C=(-1,1,0)，9=(-1,0,加),ZE=(0』,万)，

设平面2。区的一个法向量是7=(X,y,Z),则

t-AD=-x+mz=0

}1一加

——►m，取z—\f得t—（加,1）,

t•AE-y-\—z=02

2

71

因为直线AC与平面ADXE所成的角为1,

m

-m—

_______2__•兀,

所以COSt,AC\—|------>1=—r

11=sin],解得m=2(负值舍去),

HMJ-"+lx后

4

所以7=(2,—1,1),平面44a的一个法向量是n=(0,1,0),

平面AD#即为平面AD4,

--t-n-1V6

则c°s,，〃=丽=布=一万

二面角4-力2-尸为锐角，因此其余弦值为逅.

6

18.激光的单光子通讯过程可用如下模型表述：发送方将信息加密后选择某种特定偏振状态的单光子进行发

送，在信息传输过程中，若存在窃听者，由于密码本的缺失，窃听者不一定能正确解密并获取准确信息.

某次实验中，假设原始信息的单光子的偏振状态0,1,2,3等可能地出现，原始信息息的单光子的偏振状

态与窃听者的解密信息的单光子的偏振状态有如下对应关系.

原始信息的单光子的偏振

0123

状态

解密信息的单光子的偏振

0,1,20,1,31,2,30,2,3

状态

已知原始信息的任意一种单光子的偏振状态，对应的窃听者解密信息的单光子的偏振状态等可能地出现.

(1)若发送者发送的原始信息的单光子的偏振状态为1,求窃听者解密信息的单光子的偏振状态与原始信

息的单光子的偏振状态相同的概率；

(2)若发送者连续三次发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1,设窃听者解密信息的单光子的偏振状

态为1的个数为X,求X的分布列和数学期望£(x)；

(3)已知发送者连续三次发送信息，窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1.设原始信息的单光子只

有一种偏振状态的可能性为。，有两种偏振状态的可能性为6,有三种偏振状态的可能性为c,试比较c

的大小关系.(结论不要求证明)

【答案】(1)-

3

(2)分布列见解析，E(X)=1

(3)a<c<b

【解析】

【分析】(1)列出基本事件，再求解概率即可.

(2)利用分布列的定义求解分布列，再求解数学期望即可.

（3）依据题意猜测结论即可.

【小问1详解】

设“解密信息的单光子的偏振状态与原始信息的单光子的偏振相同”独立作为事件A,易知共有3个基本

事件，则P（Z）=j

【小问2详解】

X的可能取值为0』,2,3.

尸(X=0)=(§3$,尸(X=1)=C；|守=〉

尸(X=2)=C；(1)2|=尸(X=3)=C；x(；)3=-

所以，X的分布列如下:

X0123

8421

P

279927

842]

£(X)=0x--Fix—+2x—+3x——=1.

279927

【小问3详解】

结论：a<c<b

1119

3

证明：易矢口Q=3x(§)3=§,c=6x(-)=-,6=3x6x

故a<c<6得证.

19.已知函数/(x)=a?X+24人"一21nx(aw0).

（1）当a=l时，求曲线y=/（x）在点（1,/。））处的切线方程;

（2）若函数/（x）有两个零点，求。的取值范围.

【答案】（1）y=3

⑵0<a<eZ或一2<“<°

【解析】

【分析】（1）求导，代值可得/'。）=0,/。）=3,即可求解切线,

(2)求导得,对。分类讨论，求解函数的单调性，即可根据最小值为负求解.

【小问1详解】

12

当a=l时，f(x)=x+2y［x-21nx,则/'(x)=l+^=,

所以/'⑴=0J⑴=3,

故>=/(x)在点(1,/0))处的切线方程为>=3

【小问2详解】

\2a2a2x+a4x-2-1j

f\x)=a'+-j=——=-----------=---------------L(a.w0)(r>0)，

11

当a>0时，则a6+2>0，令/'(x)>0,则x〉/,令/'(x)<0,则0<x</,

故/(“)在［十］②］单调递增，在(0，'］单调递减，

故当x=1，/(x)取极小值也是最小值，

a

则/1!l="3+2ag—21n!=3+41na,

又当Xf+00,/(x)T+8,且XT。,/(1)T+00,

故要使函数/(X)有两个零点，只需要/(x)min=3+41na<0,解得0<。</；

当〃<0时，则—1<0，令/'(X)〉。,则%>/,令/'(X)<0,则0<x</,

故/(X)在［A,+s］单调递增，在［o，A］单调递减，

故当x=：,/(x)取极小值也是最小值，贝U

a

f|—5］=a2——+2aJ——21n—r-二-2In—r-——4In2+2In(22,

{a2Ja2\a2a2a2

又当x—>+oo,/(x)—>+oo,且x―>0,/(x)—>+8,

故要使函数/(X)有两个零点，只需要/(x)mm=-41n2+21na2<0,解得_2<a<0；

综上可得U「<NCZ<C或一2<a<0.

20.已知两点公(-1,0),月(1,0),曲线Q上的动点刊满足|〃制+|〃周=2闺闾，直线九里与曲线。交

于另一点N.

(1)求曲线。的方程;

（2）设曲线。与x轴的交点分别为48（点A在点B的左侧，且M不与48重合），直线与直线BN

交于点尸.当点3为线段NP的中点时，求点N的横坐标.

22

【答案】（1）土+土=1

43

（2）0

【解析】

【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解，

（2）联立直线与椭圆方程得韦达定理乂+%=f三，为为即可根据中点关系以及向量共线得

乃=二皿，代入韦达定理中即可求解『=」，进而可求解.

153

【小问1详解】

由于|5|+|5|=2旧周=4>怩闾=2,

所以M是以片（—1,0）,月（1,0）为焦点，以4为长轴长的椭圆，

故a=2,c=l=>Z?=G,

22

故椭圆方程为±+2=1.

43

【小问2详解】

由于上W斜率不为0,故设直线跖V方程为：x=ty+\,

x=ty+\

联立/=（3/+4）/+6吐9=0,

[43

_8-9

设M（M，%）,N（9,%），则%+%=蓊富，%%=手薯,

/（-2,0）,5（2,0）,

由于点B为线段NP的中点，则P（4—%,—/），

又尸是直线与直线BN的交点，所以TPH'AM,

AP=（6-x2,-y2）,AM=（2+芭,必）,故（6一%）%=—%（2+xJ,

-3y

（5-优）％=—%（3+彷）=5%=—3%=%

3%小、—6t—9可得4者=~6t—32—9

将为1代入凹+歹2=门，"2=可

3产+4

22

故a=3^}T二3,由三+九=1可得X0,

43

故点N的横坐标为0.

21.将数列N。：1,2,3,4,…中项数为平方数的项依次选出构成数列4:1,4,9,16,…，此时数列N。中剩下的

项构成数列N1：2,3,5,6,…；再将数列N］中项数为平方数的项依次选出构成数列4:2,6,12,20,…，剩下

的项构成数列N2；….如此操作下去，将数列Nk_x(keN*)中项数为平方数的项依次选出构成数列4，

剩下的项构成数列乂.

(1)分别写出数列的前2项；

(2)记数列4的第〃项为/(加,，)・求证：当〃N2时，f(m,n)-f(m,n-l)=2n+m-2；

(3)若/(%〃)=108,求见〃的值.

【答案】(1)4的前2项为3,8；4的前2项为5,11；

(2)证明见解析；(3)m=6,«=8.

【解析】

【分析】(1)直接利用数列定义求解；

(2)证明｛/(加,")—/(加,"―1)｝为等差数列即可求解；

(3)先利用数学归纳法证明f(2n-2i,i+l)=n2+z+l,f(2n+1-2/,z+l)=w2+«+/+!.进而求得的表

达式，利用累加法再解方程求解

【小问1详解】

数列4的前2项为3,8；数列4的前2项为5,11；

【小问2详解】

首先/(1,〃)=后,当2时，/(1,附)-/(1,〃-1)=2〃-1结论成立;

当加之2时，对于相邻的两个数列：

4“T：/(m-1,1),/(w-1,2),…，f(m-\,n-1),/(w­­•

4”：…，f(m,n-1),…

1491625364964

26122030425672

38152435486380

511192941557189

714233447627998

10182840547088108

13223346617897118

172739536987107129

因为/(如力-n)都在数列Nm_2中，且f(m,…在n)之前,

所以/(加,加一1,")在数列4-14中，必有,

所以f(m,n-V)<