《计算物理学》课件第9章

9.1泛函与变分的基本概念

9.2最简泛函的极值问题

9.3其他类型泛函的极值问题

9.4泛函和变分法用于微分方程边值问题习题九9.1泛函与变分的基本概念9.1.1泛函的定义

【例9.1】

设C为定义在［a,b］上满足条件y(a)=y1，y(b)=y2的一切可微函数y(x)的集合。用L表示这样一段曲线的长(如图9.1所示)，L=L［y(x)］。

问题：沿哪一条路径路程最短？图9.1路径取极小值问题图9.2捷线问题

定义9.1

设C是函数的集合，B是实数集合。如果对C中的任一元素y(x)，在B中都有一个元素J与之对应，则称J为y(x)的泛函，记为J［y(x)］。

以上泛函定义可理解为泛函是“函数”的“函数”，即自变量为函数，而不是变量。回到例9.1，利用曲线积分知识可知曲线上任一小段线元长度为

因此曲线总长度为

回到例9.2，根据能量守恒原理，质点下落高度为y后的速度，此时取

故质点从点A到点B运动的时间为

定义最简泛函为

(9.1)

其中F(x,y,y′)称为泛函的“核函数”。9.1.2函数的变分和泛函的变分

定义9.2

设y(x)是泛函J=J［y(x)］定义域内任意函数，如果y(x)变化为新函数Y(x)，只要Y(x)属于泛函J的容许函数类，则Y(x)与y(x)之差称为函数y(x)的变分。

即函数y(x)与另外一函数Y(x)之差δy=Y(x)-y(x)称为函数y(x)的变分，如图9.3所示。图9.3函数的变分变分δy是x的函数，它和函数增量Δy的区别在于δy反映整个函数的改变，而Δy是同一函数因x取不同值而产生的差异。δy有如下性质，若y(x)和δy=Y(x)-y(x)都可以求导，则有

(δy)′=［Y(x)-y(x)］′=Y′(x)-y′(x)=δ(y′)

(9.2)即函数求导与求变分可以交换次序。

设则有

因此有

若F(x,y,y′)充分光滑，则上式变为

其中,

(9.4)(9.3)

式(9.3)和式(9.4)中的δJ和δ2J分别称为泛函的一阶变分和二阶变分。泛函的极值条件是一阶变分为零，即

δJ［J(y)］=0

(9.5)

这是泛函取极值的必要条件。9.2.1最简泛函的欧拉方程

我们称满足(9.1)式的泛函为最简泛函，即核函数F只包含自变量x、未知函数y(x)及导数y′(x)。9.2最简泛函的极值问题对于最简泛函,其变分运算可以与积分、微分运算交换次序，即

(9.6)又由于

(9.7)

所以有

(与(9.3)式等价)对于简单的变分问题，边界(两端)固定，δy|x=x0,x1=0，而δy不恒为零。因此根据上式有

(9.8)

上式称为关于最简泛函的欧拉方程，它等价于泛函取极值的必要条件。欧拉方程的解对应于最简泛函的极值函数，我们的重点是放在求极值函数y(x)，而不是J(y)的极值到底是多少。可以看出，泛函的极值问题可以通过变分运算产生一个常微分方程和相应的边界条件，或者说泛函的极值问题可以等价为在一定的边界条件下求解微分方程的问题。

【例9.3】

对于满足如下边界条件的静电场中的泊松方程

(9.9)其解等价于以下泛函

(9.10)所对应的极值函数。

需要说明的是，式(9.10)中的泛函并非最简泛函，而是属于以下类型的泛函，即

(9.11)

【例9.4】

求最简泛函

满足y|x=0=0，y|x=1=1的极值函数。

解因为核函数为

F(x,y,y′)=y′2+xy

欧拉方程为

求解该微分方程可得

根据边界条件有。故满足边界条件的极值函数为

【例9.5】

例9.1中的泛函试问沿何路径路程最短？

解显然，例中的泛函属最简泛函，其核函数为

欧拉方程为因此有即，故y′=c1解函数为

y=c1x+c2

待定常数c1和c2可由边界条件y(a)=y1，y(b)=y2确定。可见两点之间直线段是最短的。

【例9.6】

例9.2中的泛函,试问沿何路径路程T最小？

解题中核函数为,因此有

欧拉方程为

经化简后，有可以推出

两边分别积分后得即可以求得

因此

以代入上式，有

因此有

所以极值函数为

c1、c2

可由A、B两点的位置坐标来确定。9.2.2欧拉方程的其他解法

从例9.6可以看出，采用直接积分法求解欧拉方程，有时计算是比较复杂的。事实上，当最简泛函中的核函数

F(x,y,y′)具有一定特点时，可以较方便地求出欧拉方程的解。对于欧拉方程

(1)如果F中不含y′，即F=F(x,y)，则由可得Fy=0，由此可以确定隐函数y(x)，但它一般不满足边界条件要求，极值函数不存在。

(2)如果F中不显含y，即F=F(x,y′)，则由可得Fy′=c，因此有，即

(9.12)

(3)如果F中不显含x，即F=F(y,y′)，则因

可得

y′Fy′-F=c1

(9.13)

由此可以推出y′=(y,c1)，即

(9.14)

【例9.7】

再解例9.6中的捷线问题。

解由于核函数中不显含x，根据式(9.13)有，

令，则有

可得

这与例9.6中得到的结果是一致的。

【例9.8】

最小旋转面问题：在以点A(x0,y0)、B(x1,y1)(设x1>x0、y0>0、y1>0)为端点的所有光滑曲线中(见图9.4)，求一条曲线使它绕ox轴旋转时所得旋转面的面积最小。图9.4

解以y=y(x)表示任意一条可取曲线，在其上取一线元ds，该线元绕ox轴旋转周长设为r，旋转面积则为rds。于是整个曲线绕ox轴旋转时所得旋转面的面积为

由于上式积分核函数中不显含x，根据式(9.13)有

可得极值曲线满足方程

其中c1、c2的值由点A(x0,y0)、B(x1,y1)的位置决定。9.2.3瑞利－里兹法求解泛函的极值问题

前面介绍了如何通过欧拉方程求解泛函极值的问题，但在许多情况下，欧拉方程的求解是比较困难的，这里介绍求解泛函极值问题的一种直接解法——瑞利－里兹法。瑞利－里兹法的基本步骤如下：

(1)选定一组具有相对完备性的基函数{w0,w1,w2,…,wn,…}，作一线性组合,其中αi为待定系数。

(2)将含有n个待定系数的函数y作为近似的极值函数，代入泛函，则J［y］变成了含n个变量α1,α2,α3,…,αn的函数，即J［y］=I(α1,α２,α３，…，αn)。

(3)为了使J［y］取极值，按多元函数取极值的必要条件，有

(i=1,2,3,…,n)联立以上方程组，求出α1,α2,α３,…,αn，再代入

便可得到极值函数的近似式。

(4)再将含有n+1个待定系数的函数作为近似的极值函数，代入上述(2)、(3)两步，重复这个过程就可以得到一个泛函的极小化序列，此极小化序列相应的泛函值的极限才是泛函的真实极值，而一般只要连续几次所得结果极其接近，就认为最后得到的函数为泛函极值函数的近似式。

【例9.9】

求解泛函的极值函数y=f(x)。已知y(0)=y(1)=0。

解为满足边界条件，取函数系{x(1-x),x2(1-x),…}。设解函数为

y=α1x(1-x)+α2x2(1-x)将上式代入到泛函可得令，可以推出故极值函数数值解为(见图9.5)

图9.5而精确解利用欧拉方程有

y″+y-2x=0

满足y(0)=y(1)=0的曲线为

若取解函数为。由图9.5可见，当n=1时，

与精确解存在较大误差，而当n=2时，

与精确解符合很好，因此我们就认为

为泛函极值函数的近似式。利用瑞利—里兹法的关键问题是选择合适的基函数。常用的基函数有幂函数{1,x,x2,x3,…}，三角函数

{1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,…}，或者这些函数的某种组合。例如例题9.9中，泛函所允许的函数y(0)=y(1)=0，则可选取幂函数的重新组合{x(1-x),x2(1-x),…}作为基函数，因为它既满足边界条件又满足相对完备性。9.3.1依赖于多个函数的泛函

该泛函的一般形式为

(9.15)9.3其他类型泛函的极值问题对应的欧拉方程为

(9.16)

例如关于两个函数y(x)、z(x)的泛函

(9.17)有

对应的欧拉方程组为

(9.18)

【例9.10】

求泛函且满足边界条件y|x=0=0,y|的极值函数。

解根据式(9.17)和式(9.18)可知该泛函所对应的欧拉方程组为

y″-z=0

z″-y=0消去z可得

y(4)-y=0

其通解为

代入边界条件，解出c1=c2=0，c3=0，c4=-1。故极值函数为

【例9.11】

在不均匀的各向同性介质中，介质的折射率为n(x,y,z)，光传播速度为c/n(x,y,z)，c为真空中的光速。试求光从点A(x0,y0,z0)到点B(x1,y1,z1)的传播路线。

解设过点A(x0,y0,z0)和点B(x1,y1,z1)的任意光滑曲线Γ为y=y(x)，z=z(x)(x0≤x≤x1)。根据费马原理，光是沿由点A到点B所需时间最短的路线行进的。光沿曲线Γ从点A传播到点B所需时间为

使T取极小值的函数y(x)、z(x)必定满足方程组

所求光的传播路线是该方程组在满足边界条件下的解。9.3.2依赖于函数的高阶导数的泛函

该泛函的一般形式为

(9.19)

对应的欧拉方程为

(9.20)例如对于m=2，有

(9.21)

【例9.12】

求泛函满足边界条件，的极值函数。

解根据式(9.21)可知该泛函所对应的欧拉方程为

u

(4)+4u″=0

该微分方程的通解为

u(x)=c1cos2x+c2sin2x+c3x+c4

代入边界条件可得极值函数为

9.3.3依赖于多元函数的泛函

该泛函的一般形式为

(9.22)式中。该泛函对应的欧拉方程为

(9.23)

若

(9.24)式中;对应的欧拉方程为

(9.25)例9.3中的泛函J［u(x,y)］即为依赖于多元函数的泛函。该泛函对应的欧拉方程直接求解较为困难，有时采用第十章介绍的有限元方法进行求解。

【例9.13】

考虑拉普拉斯方程的第三类边值问题

(9.26)

该定解问题对应的泛函为

(9.27)

求解泛函极值解函数为对应拉普拉斯方程在以上边界条件下的解。同样泛函J［u(x,y)］即为依赖于多元函数的泛函。考虑斯特姆－刘维型方程

Ly=λρ(x)y

(9.28)

设本征值为λ1≤λ2≤λ3≤…,对应的本征函数为y1(x),y2(x),y3(x),…,它们构成完备正交系，对于每一个本征函数有

Lyn(x)=λnρ(x)yn(x)

(9.29)9.4泛函和变分法用于微分方程边值问题其中

(9.30)

对于任意的f(x)，若有连续的一阶导数和分段连续二阶导数且满足本征问题中的边界条件，则f(x)可以展开为

(9.31)其中展开系数cn为

(9.32)

若f(x)也是归一化的，即［f(x)］2dx=1。将

代入归一化条件，则有。现设想一泛函J［f(x)］=

f(x)Lf(x)dx,将(9.31)式代入，它可以进一步表示为

这表明如果λ1是J［f(x)］=

f(x)Lf(x)dx的一个本征值，则必是最小值，即

这是泛函J［f(x)］=

f(x)Lf(x)dx在条件［f(x)］2dx=1的一个条件极值问题。

【例9.14】

求微分方程y″+λy=0在满足边界条件y(0)=0、y(1)=0时的最小本征值和相应的本征函数(设y已归一)。

解本问题的解析解为

(n=1,2,3,…)由微分方程可知

其中算子。考虑如下泛函

利用瑞利－里兹法有

y(x)=x(x-1)(a0+a1x)=a0x(x-1)+a1x2(x-1)

代入泛函有

根据归一化条件又有

在该条件下求极值可采用拉格朗日数乘法，但根据上式，本题可用

因此有

所以在a1=0时，J［y(x)］最小值为10，而a0=±，因此本征函数为

事实上，在许多泛函的极值问题中，变量函数y(x)还受到一些附加条件的限制，其中最重要的一种是以积分的形式出现，如对最简泛函而言，还有条件

(9.33)

这类问题属于泛函的条件极值问题。采用欧拉方程法求解时可参照求解函数条件极值问题的拉格朗日数乘法，即将附加条件(9.33)乘以参数λ，加到泛函的变分问题中后得到

(9.34)因此问题转化为不带条件的由上式所表示的变分问题。其对应的欧拉方程为

(9.35)

这是一个关于y(x)的二阶常微分方程，其通解中包含λ和两个积分常数，它们可由边界条件和(9.33)式来决定。其他类型的泛函条件极值问题同样可以采用拉格朗日数乘法进行求解。

【例9.15】

求解Helmholtz(亥姆霍兹)方程

(9.36)

其中。

设想一个泛函

对应的欧拉方程为

先运用格林第一公式和边界条件将泛函化为

求该泛函在条件下的极值问题。考虑

有

即

显然原定解问题是泛函在条件下的变分问题。

以下求解圆域ρ≤a上的二维Helmholtz方程

显然该问题等价于的变分问题，即为求解泛函的极值函数。

由于在边界上有u|ρ=a=0，因此令

u=c1(a2-ρ2)+c2(a2-ρ2)2代入泛函后有

对于圆域而言有，故

由极值条件，可以得到

该方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零，于是有

取c1=a2，所以有解

u=a2(a2-ρ2)+0.638(a2-ρ2)2

【例9.16】

求以下边值问题

的解，其中区域D:0<x<a,0<y<b。

解该问题对应的变分问题为

取坐标函数系为

(i