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文档简介
2025年山东省聊城市文苑中学高三3月月考数学试题试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若函数有且只有4个不同的零点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.2.某几何体的三视图如图所示,图中圆的半径为1,等腰三角形的腰长为3,则该几何体表面积为()A. B. C. D.3.已知为定义在上的奇函数,且满足当时,,则()A. B. C. D.4.正方体,是棱的中点,在任意两个中点的连线中,与平面平行的直线有几条()A.36 B.21 C.12 D.65.过点的直线与曲线交于两点,若,则直线的斜率为()A. B.C.或 D.或6.若点是角的终边上一点,则()A. B. C. D.7.已知函数,下列结论不正确的是()A.的图像关于点中心对称 B.既是奇函数,又是周期函数C.的图像关于直线对称 D.的最大值是8.运行如图所示的程序框图,若输出的的值为99,则判断框中可以填()A. B. C. D.9.已知、分别是双曲线的左、右焦点,过作双曲线的一条渐近线的垂线,分别交两条渐近线于点、,过点作轴的垂线,垂足恰为,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.10.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案种数是()A.18种 B.36种 C.54种 D.72种11.三棱柱中,底面边长和侧棱长都相等,,则异面直线与所成角的余弦值为()A. B. C. D.12.某公园新购进盆锦紫苏、盆虞美人、盆郁金香,盆盆栽,现将这盆盆栽摆成一排,要求郁金香不在两边,任两盆锦紫苏不相邻的摆法共()种A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在直角坐标系中,某等腰直角三角形的两个顶点坐标分别为,函数的图象经过该三角形的三个顶点,则的解析式为___________.14.二项式的展开式中项的系数为_____.15.记为数列的前项和.若,则______.16.己知函数,若关于的不等式对任意的恒成立,则实数的取值范围是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质,健全促进全民健身制度性举措”,提高广大市民对全民健身运动的参与程度,推出了健身促销活动,收费标准如下:健身时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为20元(不足l小时的部分按1小时计算).现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身,设甲、乙健身时间不超过1小时的概率分别为,,健身时间1小时以上且不超过2小时的概率分别为,,且两人健身时间都不会超过3小时.(1)设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量(单位:元),求的分布列与数学期望;(2)此促销活动推出后,健身馆预计每天约有300人来参与健身活动,以这两人健身费用之和的数学期望为依据,预测此次促销活动后健身馆每天的营业额.18.(12分)如图在直角中,为直角,,,分别为,的中点,将沿折起,使点到达点的位置,连接,,为的中点.(Ⅰ)证明:面;(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.19.(12分)已知x,y,z均为正数.(1)若xy<1,证明:|x+z|⋅|y+z|>4xyz;(2)若=,求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值.20.(12分)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的参数方程是(为参数,常数),曲线的极坐标方程是.(1)写出的普通方程及的直角坐标方程,并指出是什么曲线;(2)若直线与曲线,均相切且相切于同一点,求直线的极坐标方程.21.(12分)数列满足,且.(1)证明:数列是等差数列,并求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.22.(10分)已知函数,当时,有极大值3;(1)求,的值;(2)求函数的极小值及单调区间.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
由是偶函数,则只需在上有且只有两个零点即可.【详解】解:显然是偶函数所以只需时,有且只有2个零点即可令,则令,递减,且递增,且时,有且只有2个零点,只需故选:B考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围,基础题.2.C【解析】
几何体是由一个圆锥和半球组成,其中半球的半径为1,圆锥的母线长为3,底面半径为1,计算得到答案.【详解】几何体是由一个圆锥和半球组成,其中半球的半径为1,圆锥的母线长为3,底面半径为1,故几何体的表面积为.故选:.本题考查了根据三视图求表面积,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.3.C【解析】
由题设条件,可得函数的周期是,再结合函数是奇函数的性质将转化为函数值,即可得到结论.【详解】由题意,,则函数的周期是,所以,,又函数为上的奇函数,且当时,,所以,.故选:C.本题考查函数的周期性,由题设得函数的周期是解答本题的关键,属于基础题.4.B【解析】
先找到与平面平行的平面,利用面面平行的定义即可得到.【详解】考虑与平面平行的平面,平面,平面,共有,故选:B.本题考查线面平行的判定定理以及面面平行的定义,涉及到了简单的组合问题,是一中档题.5.A【解析】
利用切割线定理求得,利用勾股定理求得圆心到弦的距离,从而求得,结合,求得直线的倾斜角为,进而求得的斜率.【详解】曲线为圆的上半部分,圆心为,半径为.设与曲线相切于点,则所以到弦的距离为,,所以,由于,所以直线的倾斜角为,斜率为.故选:A本小题主要考查直线和圆的位置关系,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.6.A【解析】
根据三角函数的定义,求得,再由正弦的倍角公式,即可求解.【详解】由题意,点是角的终边上一点,根据三角函数的定义,可得,则,故选A.本题主要考查了三角函数的定义和正弦的倍角公式的化简、求值,其中解答中根据三角函数的定义和正弦的倍角公式,准确化简、计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.7.D【解析】
通过三角函数的对称性以及周期性,函数的最值判断选项的正误即可得到结果.【详解】解:,正确;,为奇函数,周期函数,正确;,正确;D:,令,则,,,,则时,或时,即在上单调递增,在和上单调递减;且,,,故D错误.故选:.本题考查三角函数周期性和对称性的判断,利用导数判断函数最值,属于中档题.8.C【解析】
模拟执行程序框图,即可容易求得结果.【详解】运行该程序:第一次,,;第二次,,;第三次,,,…;第九十八次,,;第九十九次,,,此时要输出的值为99.此时.故选:C.本题考查算法与程序框图,考查推理论证能力以及化归转化思想,涉及判断条件的选择,属基础题.9.B【解析】
设点位于第二象限,可求得点的坐标,再由直线与直线垂直,转化为两直线斜率之积为可得出的值,进而可求得双曲线的离心率.【详解】设点位于第二象限,由于轴,则点的横坐标为,纵坐标为,即点,由题意可知,直线与直线垂直,,,因此,双曲线的离心率为.故选:B.本题考查双曲线离心率的计算,解答的关键就是得出、、的等量关系,考查计算能力,属于中等题.10.B【解析】
把4名大学生按人数分成3组,为1人、1人、2人,再把这三组分配到3个乡镇即得.【详解】把4名大学生按人数分成3组,为1人、1人、2人,再把这三组分配到3个乡镇,则不同的分配方案有种.故选:.本题考查排列组合,属于基础题.11.B【解析】
设,,,根据向量线性运算法则可表示出和;分别求解出和,,根据向量夹角的求解方法求得,即可得所求角的余弦值.【详解】设棱长为1,,,由题意得:,,,又即异面直线与所成角的余弦值为:本题正确选项:本题考查异面直线所成角的求解,关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.12.B【解析】
间接法求解,两盆锦紫苏不相邻,被另3盆隔开有,扣除郁金香在两边有,即可求出结论.【详解】使用插空法,先排盆虞美人、盆郁金香有种,然后将盆锦紫苏放入到4个位置中有种,根据分步乘法计数原理有,扣除郁金香在两边,排盆虞美人、盆郁金香有种,再将盆锦紫苏放入到3个位置中有,根据分步计数原理有,所以共有种.故选:B.本题考查排列应用问题、分步乘法计数原理,不相邻问题插空法是解题的关键,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
结合题意先画出直角坐标系,点出所有可能组成等腰直角三角形的点,采用排除法最终可确定为点,再由函数性质进一步求解参数即可【详解】等腰直角三角形的第三个顶点可能的位置如下图中的点,其中点与已有的两个顶点横坐标重复,舍去;若为点则点与点的中间位置的点的纵坐标必然大于或小于,不可能为,因此点也舍去,只有点满足题意.此时点为最大值点,所以,又,则,所以点,之间的图像单调,将,代入的表达式有由知,因此.故答案为:本题考查由三角函数图像求解解析式,数形结合思想,属于中档题14.15【解析】
由题得,,令,解得,代入可得展开式中含x6项的系数.【详解】由题得,,令,解得,所以二项式的展开式中项的系数为.故答案为:15本题主要考查了二项式定理的应用,考查了利用通项公式去求展开式中某项的系数问题.15.1【解析】
由已知数列递推式可得数列是以16为首项,以为公比的等比数列,再由等比数列的前项和公式求解.【详解】由,得,.且,则,即.数列是以16为首项,以为公比的等比数列,则.故答案为:1.本题主要考查数列递推式,考查等比数列的前项和,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16.【解析】
首先判断出函数为定义在上的奇函数,且在定义域上单调递增,由此不等式对任意的恒成立,可转化为在上恒成立,进而建立不等式组,解出即可得到答案.【详解】解:函数的定义域为,且,函数为奇函数,当时,函数,显然此时函数为增函数,函数为定义在上的增函数,不等式即为,在上恒成立,,解得.故答案为.本题考查函数单调性及奇偶性的综合运用,考查不等式的恒成立问题,属于常规题目.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)见解析,40元(2)6000元【解析】
(1)甲、乙两人所付的健身费用都是0元、20元、40元三种情况,因此甲、乙两人所付的健身费用之和共有9种情况,分情况计算即可(2)根据(1)结果求均值.【详解】解:(1)由题设知可能取值为0,20,40,60,80,则;;;;.故的分布列为:020406080所以数学期望(元)(2)此次促销活动后健身馆每天的营业额预计为:(元)考查离散型随机变量的分布列及其期望的求法,中档题.18.(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)取中点,连结、,四边形是平行四边形,由,,得,从而,,求出,由此能证明.(Ⅱ)以为原点,、、所在直线分别为,,轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角的余弦值.【详解】证明:(Ⅰ)取中点,连结、,∵,,∴四边形是平行四边形,∵,,,∴,∴,∴,在中,,又∵为的中点,∴,又∵,∴.解:(Ⅱ)∵,,,∴,以为原点,、、所在直线分别为,,轴,建立空间直角坐标系,设,则,,,,∴,,,设面的法向量,则,取,得,同理,得平面的法向量,设二面角的平面角为,则,∴二面角的余弦值为.本题考查面面垂直及线面垂直性质定理、线面垂直判定与性质定理以及利用空间向量求线面角与二面角,考查基本分析求解能力,属中档题.19.(1)证明见解析;(2)最小值为1【解析】
(1)利用基本不等式可得,再根据0<xy<1时,即可证明|x+z|⋅|y+z|>4xyz.(2)由=,得,然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3,从而求出2xy⋅2yz⋅2xz的最小值.【详解】(1)证明:∵x,y,z均为正数,∴|x+z|⋅|y+z|=(x+z)(y+z)≥=,当且仅当x=y=z时取等号.又∵0<xy<1,∴,∴|x+z|⋅|y+z|>4xyz;(2)∵=,即.∵,,,当且仅当x=y=z=1时取等号,∴,∴xy+yz+xz≥3,∴2xy⋅2yz⋅2xz=2xy+yz+xz≥1,∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为1.本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值,考查了转化思想和运算能力,属中档题.20.(1),,表示以为圆心为半径的圆;为抛物线;(2)【解析】
(1)消去参数的直角坐标方程,利用,即得的直角坐标方程;(2)由直线与抛物线相切,求导可得切线斜率,再由直线与圆相切,故切线与圆心与切点连线垂直,可求解得到切点坐标,即得解.【详解】(1)消去参数的直角坐标方程为:.的极坐标方程.∵,.当时表示以为圆心为半径的圆;为抛物线.(2)设切点为,由于,则切线斜率为,由于直线与圆相切,故切线与圆心与切点连线
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