2025届高考数学一轮复习讲义-函数与导数

（2）函数与导数

——2025届高考数学一轮复习一站式复习之讲义

【高考考情分析】

函数的概念及其表示常以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域、值域，其中

分段函数的求值、求参问题是高考的热点，常以选择题或填空题的形式出现，难度较低.

函数的基本性质是高考重点，有时考查单一性质，有时涉及两个或两个以上性质，题目新

颖且注重基础，命题着重于求函数的单调区间，判断函数的单调性，利用单调性比较大小、解

不等式，利用函数的奇偶性求解析式、求值、求参数，利用周期性求值、求解零点问题，函数

性质的综合应用等，强化对函数与方程思想，转化与化归思想，分类讨论思想的应用，题型以

选择题和填空题为主，难度中等，在解答题中常以导数为工具考查单调性，难度中等偏高.

二次函数与募函数常与其他函数、方程、不等式等综合出题，命题热点为二次函数的图象

和性质，对募函数要求较低，常与指数函数、对数函数综合，比较累值的大小.

指数函数、对数函数在高考中的常考点有：（1）比较指、对数式的大小；（2）指、对数函

数的图象与性质的应用；（3）以指、对数函数为载体，与其他函数、方程、不等式等知识的综

合应用等.

函数图象是高考常考知识点，主要考查函数图象的识别和函数图象的应用，如利用函数图

象解决函数零点问题、不等式问题、求参数的取值范围问题等，一般以选择题和填空题的形式

出现.

函数与方程主要考查：（1）利用零点存在性定理判断零点是否存在及零点所在区间；（2）

判断函数零点、方程根的个数；（3）根据零点（方程根）的情况求参数的取值范围，一般出现

在选择题和填空题的后两题，有时与导数综合作为解答题的一问呈现，难度中等.

函数模型及其应用在高考中出现的相关题目常以社会实际生活为背景，以解决最优问题的

形式出现，如现实中的生产经营、企业盈利与亏损等热点问题中的增长、减少问题，主要考查

二次函数、指数函数、对数函数模型的应用.

导数的概念及运算一直是高考的必考内容，主要考查导数的运算、求导法则以及导数的几

何意义，导数的运算一般不单独考查，而是在考查导数的应用时与单调性、极值、最值等综合

考查，有关导数的几何意义的考查，最常见的是求切线方程和已知切线方程求参数的值，题型

为选择题、填空题或解答题的第一问，难度中等偏下.

导数的应用一直是高考的重点和难点，主要以导数为工具考查求函数的单调区间，讨论函

数的单调性，已知函数单调性求参数取值范围，利用函数单调性求极值、最值，已知函数极值、

最值求参数值(或取值范围)、求解不等式的证明问题、恒成立问题、有解问题和函数零点问

题等、考查形式为选择题、填空题、解答题，作为压轴题考查.

【基础知识复习】

1.函数的概念

一般地，设A,3是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应

关系人在集合5中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称/：Af6为从集合A到集合3

的一个函数，记作y=/(x)，xeA.

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，

函数值的集合｛/(%)|%eA｝叫做函数的值域.

2.分段函数

若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫

做分段函数，分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数.

3.函数的单调性

单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性，判定函数的单

调性常用定义法、图象法及导数法.

(1)函数/(可在区间。上是增函数，与x产D,且

%wX,o(Xj—)[/(%；>0<=>>0.

/一%2

(2)函数/(%)在区间。上是减函数，0々e。且

%wX,o(石―X,)[/(^1)—/(%2)]<0"»<0

4.函数的最值

(1)定义：一般地，设函数y=/(x)的定义域为/,如果存在实数般满足：

VXG/,都有/(x)<M；Bxoel,使得/(%)=".那么，我们称M是函数丁=/(尤)的最大值.

(2)定义：一般地，设函数y=/(x)的定义域为/,如果存在实数M满足：

Vxe/,都有Bxoel,使得/(%)=M.那么，我们称“是函数y=”可的最小值.

5.函数的奇偶性

(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.

(2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称.

(3)对于偶函数而言,有/(T)=/(X)=/(|X|).

6.募函数定义：一般地，函数叫做募函数，其中x是自变量，a是常数.

7.易函数的性质

]_

y=%y=x23y=x-1

幕函数y=xy=x2

(—8,0)1(0,+a))

定义域RRR[0,+8)

(―8,0)1(0,+8)

值域R[0,+oo)R[0,+8)

在［0,+co)上在(0,+co)上

单调递增，单调递增，

单调性增增增

在(-8,0)上在(-8,0)上

单调递减单调递减

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

公共点都经过点(1,1)

8.指数易的运算性质：

(1)aras=ar+s(«>0,r,5eR)；

(2)(优)'=，(a>0,r,seR)；

(3)(aby=arbr(a>0,Z?>0,reR).

9.指数函数的定义：一般地，函数y=a、(a〉0,且叫做指数函数，其中指数x是自变量,

定义域为R

10.指数函数的图象和性质

0<(2<1a>\

y=ax7

图象

W)一一一(0,1)

h

F0]

定义域R

值域(0,+oo)

性

过定点(0,1),即x=o时，y=l

质

单调性减函数增函数

奇偶性非奇非偶

1L对数的概念：一般地，如果优=N(a>。，且。，1),那么数x叫作以。为底N的对数，记

作x=log“N,其中a叫作对数的底数，N叫作真数.

12.对数的运算性质：如果a>0,且awl,M>0,N>0,那么

(1)log.(MN)=logaM+logaN.

M

(2)logfl—=logaM-logfl2V；

n

(3)logflM=nlogflM(/2eR).

,log.b

13.对数换底公式：tlog〃6=7~^(a>。，且awl；b>0；c>0,且c/1)

logca

14.对数函数的概念：一般地，函数y=log〃x(a>。，且awl)叫做对数函数，其中x是自变量，

定义域是(0,+8).

15.对数函数的图象和性质

定义域(0,+00)

值域R

单调性减函数增函数

过定点过定点(1，0)，即X=1时，y=0

16.反函数：一般地，指数函数〉=优(。＞。，且awl)和对数函数＞=log.%(。＞。，且a#D互

为反函数，它们的定义域和值域正好互换，图象关于直线对称.

17.函数的零点：对于一般函数y=/(x),使/(x)=0的实数x叫做函数y=/(x)的零点.

18.函数零点存在定理：如果函数y=/(x)在区间［。，句上的图象是一条连续不断的曲线，且有

f(a)f(b)＜0,那么，函数y=/(x)在区间(小勿内至少有一个零点，即存在ce(a,b),使得

/(c)=0,这个c也就是方程/(x)=0的解.

19.二分法的概念：对于在区间［a，可上图象连续不断且/(a)/S)＜0的函数y=/(x),通过不

断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似

值的方法叫做二分法.

20.基本初等函数的八个导数公式

原函数导函数

〃x)=c(c为常数)ra)=o

/(x)=xa(aeR)f，(x)=axa~i

f(x)=sinxf\x)=cosX

/(x)=cosx/r(x)=-sinx

/(x)=ax(a>0,aw1)fr(x)=axlna

/(xlr(x)=e'

/(x)=log。x(a>0且〃w1)

xlna

f(x)=lnxru)=-

X

21.导数的四则运算法则

(1)"(%)土g(%)]'=尸(X)士g'(x);

(2)"(x>g(x)]'=/'(x>g(x)+/(x>g'(x)；

(3)[当]J⑴弁)-1®⑴(g(D.

Lg(x)」[g(x)「

22.复合函数的求导公式

设函数y=/(〃)，"=9(X)均可导，则复合函数y=/(9(x))也可导，且%=

即：因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导.(链式

法则).

23.函数的单调性

在某个区间(。力)内，如果/'(%)>0那么函数y=/(x)在这个区间内单调递增；如果/'(小)<0,

那么函数y=/(x)在这个区间内单调递减.

24涵数的极值

。函数的极值的定义：一般地，设函数/(x)在点x=/及其附近有定义，

(1)若对于。附近的所有点，都有/(x)</(x°),则/(X。)是函数/(x)的一个极大值，记作

y极大值=f(xo)；

(2)若对于飞附近的所有点,都有/(x)〉/(x0),则》(九。)是函数/(x)的一个极小值,记作

y极小值=f(xo).

极大值与极小值统称为极值，在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极

值指的是函数值.

。求函数极值的基本步骤：

(1)确定函数的定义域；

(2)求导数尸(%)；

(3)求方程/(幻=。的根；

(4)检查/(%)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则/(幻在这个根处取得极大值;

如果左正右负，则/(X)在这个根处取得极小值(最好通过列表法).

25.函数的最值

(1)函数的最小值与最大值定理

若函数y=/(x)在闭区间［a,b］上连续，则/(幻在口,切上必有最大值和最小值；在开区间(。力)

内连续的函数不一定有最大值与最小值，如/(%)=-(%>0).

X

(2)通过导数求数最值的的基本步骤：

若函数y="x)在闭区间［a,句有定义,在开区间(a,6)内有导数,则求函数y=/(x)在区句上

的最大值和最小值的步骤如下：

①求函数/(x)在(a,b)内的导数r(X)；

②求方程/(x)=0在(。向内的根；

③求在(。力)内使/(x)=0的所有点的函数值和/(x)在闭区间端点处的函数值/(a),f(b)；

④比较上面所求的值，其中最大者为函数y=/(x)在闭区间a切上的最大值，最小者为函数

y=/(x)在闭区间口,切上的最小值.

【重点难点复习】

L函数的奇偶性

(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.

(2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称.

(3)对于偶函数而言,有/(-x)=/(x)=/(|x|).

2.基函数的性质

£

-1

幕函数y=%y二y=Jy-x^y=x

(-oo,0)(0,-H»)

定义域RRR[0,+oo)

(7,0)(0,+a>)

值域R[0,+8)R[0,+oo)

在［0,+co)上在(0,+oo)上

单调递增，单调递增，

单调性增增增

在(-8,0)上在(-8,0)上

单调递减单调递减

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

公共点都经过点(1,1)

3.指数函数的图象和性质

0<6Z<la>\

\r

图象(0,1)1/

J尸1」__

~O\x0\X

定义域R

值域(0,+oo)

性

过定点(0,1),即x=0时，y=l

质

单调性减函数增函数

奇偶性非奇非偶

4.对数函数的图象和性质

0<a<la>l

定义域(0,+00)

值域R

单调性减函数增函数

过定点过定点(1，0)，即％=1时，y=0

5.函数零点存在定理：如果函数y=/(x)在区间［。，切上的图象是一条连续不断的曲线，且有

f(a)f(b)＜0,那么，函数y=/(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在ce(a"),使得

/(c)=0,这个c也就是方程/(x)=0的解.

6.用导数求函数的单调区间的方法：

(1)当不等式/'(%)＞。或/'(幻＜。可解时，确定函数的定义域，解不等式/'(%)＞。或/'(幻＜。

求出单调区间.

(2)当方程/'(%)=0可解时，确定函数的定义域，解方程广(©=。，求出实数根，把函数

的间断点(即/(%)的无定义点)的横坐标和实根按从小到大的顺序排列起来，把定义域分成

若干个小区间，确定/'(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间.

(3)不等式/(幻＞。或/'(幻＜。及方程广(©=。均不可解时求导数并化简，根据/'(x)的结构

特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定/'(x)的符号，得单调区间.

7.已知函数单调性，求参数范围的方法：

(1)利用集合间的包含关系处理：y=/(x)在(见与上单调，则区间(。/)是相应单调区间的子

集.

(2)转化为不等式的恒成立问题来求解：即“若函数单调递增，则/'(幻20；若函数单调递

减，则1f(x)V0”.

(3)可导函数在区间(。力)上存在单调区间，实际上就是/'(幻＞0(或/'(幻＜。)在该区间上

存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围.

8.已知函数求极值：求/'(x)f求方程/'(x)=0的根，列表检验/'(x)在/(%)=0的根的附近两

侧的符号，下结论.

9.求函数/（x）在&句上的最大值和最小值的步骤:

（1）若所给的闭区间口,切不含参数，

①求函数在（。力）内的极值；

②求函数在区间端点的函数值/（a）,/3）；

③将函数的极值与/（a）,/3）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

（2）若所给的闭区间团,用含有参数，则需对函数/（%）求导，通过对参数分类讨论，判断函数

的单调性，从而得到函数/（x）的最值.

【基本方法与技能复习】

1.求分段函数中参数或自变量的值（范围）的解题思路

（1）解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数

的自变量的取值范围求交集，最后取各段结果的并集即可.

（2）如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解.

2.函数单调性应用问题的常见类型及解题策略

（1）比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.

（2）在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将符号脱掉，使其

转化为具体的不等式求解.此时，应特别注意函数的定义域.

（3）利用单调性求解最值问题，应先确定函数的单调性，然后再由单调性求解.

（4）利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定

函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.

3.函数奇偶性与单调性综合问题的求解方法

（1）解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单

调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性.

（2）解决不等式问题时，首先一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成/（西）〉/（々）

或的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式（组），要注意函数定义

域对参数的影响.

4.指数型代数式大小的比较方法

（1）化同底，化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化

同底.

（2）取中间值法，不同底、不同指数时比较大小，先与中间值0或1比较大小，再间接地得

出大小关系.

（3）图解法，根据指数式的特征，在同一坐标系中作出它们相应的函数图象，在图象上找出

相应的位置，进行比较.

（4）比较法，有作差比较法与作商比较法两种.

5.对数函数值大小比较的方法

（1）单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底.

（2）中间量过渡法，即寻找中间数连接要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值

进行“比较传递”.

（3）图象法，根据图象观察得出大小关系.

6.解决指数函数与对数函数综合问题的技巧

（1）解决指数函数与对数函数的综合问题时，一般运用指数、对数函数的图象与性质等知识，

并结合研究函数的性质的思想方法来分析解决问题.

（2）解决与指数函数、对数型函数有关的问题时，要注意数形结合思想的应用.

（3）在给定条件下求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式的知识及函数单调性在这类

问题中的应用.

7.求解函数图象的应用问题的步骤

（1）画图：通过五点作图法或函数图象变换法画出有关函数的图象；

（2）分析：准确分析函数图象的特征，定性分析、定量分析；

（3）转化：借助函数图象，把原问题转化为数量关系比较明确的问题；

(4)结论：解决问题，并回到原问题，得出正确结论.

8.判断函数零点个数的常用方法

(1)直接求零点：令/。)=0,如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.

(2)函数零点存在定理：利用定理不仅要求函数的图象在区间切上是连续不断的曲线，且

/(a>/S)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零

点.

(3)利用图象交点的个数：画出函数/(x)的图象，函数的图象与x轴交点的个数就是函

数“X)的零点个数；将函数/(%)拆成两个图象易得的函数人(x)和g(x)的差，根据

/(x)=Oo〃(x)=g(x),则函数/(x)的零点个数即为函数y=〃(x)和y=g(x)的图象的交点个

数.

(4)利用函数性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周

期函数，则只需求出函数在一个周期内的零点个数.

9.利用函数零点求参数取值范围的方法及步骤

(1)常用方法：

①直接法：先直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组)确定参

数的取值范围.

②分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.

③数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求

解.

(2)一般步骤：

①转化：把已知函数零点的存在情况转化为方程(组)的解、不等式(组)的解集或两函数图象

的交点的情况；

②列式：根据零点存在性定理或结合函数图象列式；

③结论：求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围.

10.指数函数、对数函数、募函数三种函数模型的应用技巧

（1）与募函数、指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模

型，在三类模型中，指数函数模型（底数大于1）是增长速度越来越快的一类函数模型，与增

长率、银行利率、细胞分裂有关的问题都属于指数函数模型.

（2）在解决募函数、指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数

解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数.

11.已知函数的解析式，求导函数或导函数值的方法

（1）连乘形式：先展开化为多项式形式，再求导.

（2）三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.

（3）复杂分式：先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导.

（4）根式形式：先化为分数指数幕的形式，再求导.

（5）复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导.

12.利用导数解决含双变量的不等式证明问题的策略

含有双变量的不等式证明问题中的双变量指的是所给的不等关系中涉及的函数有两个不同变

量，处理此类问题有两个策略：一是转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的关系式,

并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式求解；二是巧妙构造函数，再借用导数，判断

函数的单调性，从而求其最值.

13.利用导数解决函数零点问题的方法

（1）先求函数的单调区间和极值，根据函数的性质画出图象，然后将问题转化为函数图象与

x轴交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想.

（2）构造新函数，将问题转化为研究两个函数的图象的交点问题.

（3）分离参变量，即由/（x）=0分离参变量，得。=。（刈，研究直线丁=。与y=°（x）的图象

的交点问题.

14.利用导数研究不等式恒成立或存在性问题的思路方法

首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而

求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.一般地，

2…4X)恒成立,则力…"«皿；/，/(x)恒成立,则九，"⑶]而「

【典型例题复习】

1.【2023年新课标I卷】设函数/(x)=2，ae在区间(0,1)单调递减，则。的取值范围是()

A.(—8,—2]B.[-2,0)C.(0,2]D.[2,+s)

2无一1

2.【2023年新课标H卷】若/■(x)=(x+a)ln^—；为偶函数，则。=()

2%+1

A.-lB.OC.-D.1

2

3.[2023年新课标II卷】已知函数/(x)=ae*-Inx在区间(1,2)单调递增，则a的最小值为()

A.e2B.eC.e-1D.e-2

4.【2022年新高考I卷】设”(Me%b=f,c=-ln0.9,则()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

512022年新高考^卷】已知函数/(x)的定义域为R,且/■(尤+y)+/■a-y)=/(x)”y),/⑴=l,

22

则左)=()

k=l

A.-3B.-2C.OD.l

6.【2023年新课标I卷】(多选)已知函数/(x)的定义域为R,/(盯)=y2/(x)+x2/(y),则()

A./(0)=0B"⑴=0

C./W是偶函数D.%=0为/(x)的极小值点

7.【2023年新课标H卷】(多选)若函数/(x)=alnx+2+W("0)既有极大值也有极小值，

XX

则()

A.boOB.ab>0C.b1+Sac>0D.ac<0

8.【2022年新高考I卷】(多选)已知函数〃x)=x3-x+1,贝1)()

A./(x)有两个极值点

Bj(x)有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=/(%)的对称中心

D.直线y=2x是曲线y"(无)的切线

9.【2022年新高考I卷】(多选)已知函数/(尤)及其导函数7''(》)的定义域均为R,记g(x)=/'(尤).

若g(2+x)均为偶函数，贝11()

A./(0)=0C./(-l)=/(4)D.g(-l)=g(2)

10.【2023年新课标I卷】已知函数/(x)=a(e'+a)-%.

⑴讨论了。)的单调性；

3

(2)证明：当。>0时，/(x)>21na+-.

H.【2023年新课标H卷】(1)证明：当0<%<1时，x-x2<sinx<x；

⑵已知函数/(x)=cosox-ln(l-f),若％=0是/(x)的极大值点，求。的取值范围.

12.【2022年新高考I卷】已知函数/(x)=e"-奴和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

(1)求a；

(2)证明：存在直线y=6,其与两条曲线y=/(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从

左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

答案以及解析

L答案：D

解析：法一：由题意得y=x(x-a)在区间(0,1)单调递减，所以》=曰21,解得.故选D.

法二：取。=3,贝>Jy=x(x—3)=(x—|J—：在(0」)单调递减，所以/。)=2.-3)在(0,1)单调递

减，所以a=3符合题意，排除A,B,C,故选D.

2.答案：B

解析：法一：设g(x)=ln||^,易知g(x)的定义域为,且

—2.x—112%+12尤—12无一1

g(r)=ln------=In------二—I1n-------g(x),所以g⑺为奇函数.若/(x)=(x+a)InH为

—2x+12x—12x+l

偶函数，则y=应为奇函数，所以。=。，故选B.

2九一11

法二：S^j/(x)=(x+«)ln-——；为偶函数，/(-l)=(6i-l)ln3,/(I)=(^+l)ln-=-(^+l)ln3,

2x+l3

所以3—l)ln3=—(a+l)ln3,解得a=0,故选B.

3.答案：C

x

解析：方法一：f'(x)=ae--,由/(x)在区间(L2)单调递增可知，当xe(l,2)时，尸。)20恒

X

成立.

当aWO时，f'(x)<0,不符合题意.

当a>0时，设/z(x)=恁"—4，贝lU'COnal+Z〉。，则例>)在(1,2)单调递增，

XX

所以只需/(1)=力(1)=词-120,解得a>e-i,故选C.

方法二：由题意可知/''(x)=aex-在区间(1,2)上恒成立，即,xe(l,2).

设g(x)=xe，,则g'(x)=(x+l)e，〉0在(L2)上恒成立，所以g(x)在(1,2)上单调递增,

e<xe'<2e2,所以一>―->,即a21，故选C.

exe2e

4答案:C

解析：w(x)=xex(0<x<0.1),v(x)=---(0<x<0.1),w(x)=-ln(l-x)(0<x<0.1),贝(J当0vx<0.1时，

1-x

u(x)>0,v(x)>0,w(x)>0.①设

1丫

f(x)=ln[w(x)]-ln[v(x)]=lnx+x-[lnx-ln(l-x)]=x+ln(l-尤)(0<x<0.1),贝(j/'(%)=1-----=----<0在

1—xx—1

(0,0」上恒成立，所以/(无)在(0,0」上单调递减，所以/(0.1)<0+山(1-0)=0,即

ln[M(O.1)]-ln[v(0.1)]<0,所以ln["(0.1)]<ln[v(0.1)],又函数y=ln尤在(0,+oo)上单调递增，所以

w(0.1)<v(0.1),gpO.le01<—,所以.②设g(x)=〃(x)-w(x)=xe"+ln(l-x)(0<尤W0.1),贝|

g'(x)=(x+l)e'!_=(j卜T(0d),h{x)=(1-x2)e"-1(0<x<0,1),则

1-x1-x

〃(x)=(l-2x-d)e，>0在(0,0」上恒成立，所以/z(x)在(0,01上单调递增，所以

Mx)>(l-02)xe°-l=0,即g'(x)>0在(0,0.1]上恒成立,所以g(x)在(0,01上单调递增,所以

g(0.1)>0xe°+ln(l—0)=0,即g(0.D="(0.1)一似0.1)>0,所以0.>-ln0.9,即。>c.综上，c<av6,

故选C.

5.答案：A

解析：由函数"》)的定义域为R,且/(%+y)+/(x-y)=/(x)/(y),/(D=i,得

/(1+0)+/(1-0)=/(1)/(0),/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l),^/(0)=2,/(x+l)+/(x-l)=/(x).

于是」(x+2)+/(x)=/(x+l),故/(x+2)+/(x-1)=0,所以/(x)=—〃x+3)=((x+6),f(x)

226

是以6为周期的周期函数，则Z/(4)=/'⑴+〃2)+/(3)+/(4)+3、；/(幻.由/(0)=2,/⑴=1,

左=1k=l

f(x+2)=f(x+l)-f(x),M/(2)=l-2=-l,/⑶=_1-1=_2,/(4)=-2-(-1)=-1,

2

/(5)=-1-(-2)=1,〃6)=/(0)=2.因此Z/(4)=一3,故选A.

k=\

6.答案：ABC

解析：取x=y=O,则/(0)=0,故A正确；取x=y=l,则/⑴=/⑴+7⑴，所以/⑴=0,

故B正确；取x=y=—l,则/⑴=/(T)+/(T),所以/(—1)=。，取y=—l,则

/(-x)=/(x)+必/(-1),所以于(-x)=/(%),所以函数/(x)为偶函数，故C正确；由于*0)=0,

且函数/(%)为偶函数，所以函数/(%)的图象关于y轴对称，所以％=0可能为函数/(%)的极小

值点，也可能为函数/(x)的极大值点，也可能不是函数/(x)的极值点，故D不正确.故选ABC.

7.答案：BCD

解析：依题意，》>0,r(x)，_=_岑=竺=3.

XXXX

设g(x)=ax2_6x—2c,由题意g(x)在(0,+s)上有两个零点为，%,

所以%+%=—>0,X/,=--->0,则...->0,所以必>0,ac<0,bc<0,故A错误，

aaa

B正确，D正确.

因为二次函数g(x)有两个正零点，所以A=Z?+8ac>0,故C正确.故选BCD.

8.答案：AC

解析：因为〃%)=%3-尤+1,所以/(%)=3比—1,令广⑴=3/一1=0,得％=±*由尸(%)=31_1>0

得x>"或x<-@；由/(X)=3/一1<0得-且<x<且.所以/(x)一x+1在^,+8,

3333I3J

-应-冷)上单调递增，在，手，等)上单调递减，所以/(x)有两个极值点，故A正确.

因为〃x)的极小值/卜f［=［曰］一#+1=1一半>0,/(-2)=(-2)3-(-2)+1=-5<0,所以函数

〃元)在R上有且只有一个零点，故B错误.

因为函数g(x)=^-x的图象向上平移一个单位长度得函数/(幻=尤3-尤+1的图象，函数

g(x)=三_x的图象关于原点(0,0)中心对称且g(。)=。，所以点(。,1)是曲线f(x)=x3-x+l的对称中

心，故C正确.

假设直线¥=2x是曲线y=f(劝的切线，切点为(知%点则/(％)=39-1=2,解得%=士1.若为=1,

则切点坐标为(U),但点(U)不在直线>=2无上，若毛=7,则切点坐标为(TD,但点(TD不

在直线>=2无上，所以假设不成立，故D错误.故选AC.

9答案:BC

解析：通解(转化法)因为了@一2d为偶函数，所以/||-2d=/g+2x),所以函数/■⑴的

图象关于直线》=|对称，/g一2HL2x£|，即/(T)=/(4),所以C正确；因为gQ+无)

为偶函数，所以g(2+x)=g(2-尤)，函数g(x)的图象关于直线彳=2对称，因为g(x)=/'(x),所以

函数g(x)的图象关于点g,01寸称，所以g(x)的周期T=4x12-0=2,因为〃-1)=〃4),所以

/(一1)=一((4),即g(-1)=-g(4)=_g(2),所以D不正确；因为/||一2)=/1|+2),即J=/g)，

所以所以=卜-g(2x21)=-g(一',所以g(一)=0,所以B正

确；不妨取/(x)=l(xeR),经验证满足题意，但/(0)=1,所以选项A不正确.综上，选BC

光速解(特例法)因为了(|-2x),g(2+x)均为偶函数，所以函数“X)的图象关于直线x=|对

称，函数g(x)的图象关于直线x=2对称.取符合题意的一个函数7•(无)=1(尤eR),则"0)=1,排除

A；取符合题意的一个函数/(X)=sin7TX,贝Ij-(X)=7TCOS7TX,即g(X)=nCOS7W,所以

g(—1)=兀cos(-7T)=—兀，g(2)=ncos2兀=兀，所以g(T)*g(2),排除D.故选BC.

10.答案：(1)当aWO时，函数/(x)在(YO,+8)上单调递减;

当。>0时，函数/(幻在(TO,Tna)上单调递减，在(-lna,+oo)上单调递增

(2)证明见解析

解析：⑴/'(x)=ae'-l,

当aWO时，f(x)<0,

所以函数/(X)在(-OO,+<»)上单调递减；

当a>0时，令—(x)>。，得x>-lno,令/'(x)<。，得x<-lna,

所以函数/(X)在(-co,-Ina)上单调递减，在(Tna,+co)上单调递增.

综上可得：当aWO时，函数/意)在(—,+8)上单调递减；

当a>0时，函数/(%)在(YO,Tna)上单调递减，在(Tna,+oo)上单调递增.

(2)由⑴得当a>0时，函数/。)=a(e*+a)-x的最小值为

/(-ln<7)=«(e-lnfl+«)+lnt?=1+«2+ln«,

,31

g(a)=1+a+lna-21na--=a"-Inu—-,ae(0,+oo),

所以g，(a)=2a—工，令，(a)>0,得a〉受；令，(a)<0,得。<。<也.

a22

所以函数g(。)在。，学上单调递减，在%,+8上单调递增，

(万、(万丫B1

所以函数g(〃)的最小值为g--二——-In———=InA/2>0,

I27I2722

3

所以当。>。时，/(%)>21na+/成立.

11.答案：(1)证明见解析

(2)a的取值范围是(---后).(0,+s)

解析：(1)4"h(x)=x-x2-sinx,

r

贝ljh(x)=l-2x-cosx9

令p(x)=l-2x-cosx,则夕'(x)=-2+sinx<0,

所以p(x)即丸'(x)单调递减,又勿(0)=0,

所以当0<%<1时，〃'(x)<〃(0)=0,版x)单调递减,

所以当0<%<1时，丸。)〈丸(0)=0,即x—/<sinx.

令g(x)=sinx-x,

则g'(x)=cosx-l<0,

所以g(x)单调递减，又g(0)=0,

所以当0<%<1时，g(x)<g(0)=。，即sinx<x.

综上，当0<%<1时，x—x2<sinx<x.

(2)通解：因为/(x)=cosax—ln(l-尤2卜_1(尤<1),

所以/(x)=/(r),所以为偶函数.

/'(九)=-asinaxH-------(-1<X<1),

1-x

令/(%)=-QsinavH-------(-1<X<1),

1-x

2

?2(l+x)

jjiy%'(%)——acosax-\---------Y(-1<x<1)

、(I)

2(l+x2)4x(3+x2)

令n(x)=-crcosax+-------,则n\x)=asinax+——-------止

(I)、(I).

当a=0时，

当0<x<l时，/'(x)>0,/⑴单调递增，当—l<x<0时，r(x)<0,/(x)单调递减,

所以x=0是/(x)的极小值点，不符合题意.

77

当。>0时，取丁与1中的较小者，为加，

2a

则当0<%<加时，易知“'(%)>0,

所以n(x)即«x)在(0,m)上单调递增,所以f(x)>t'(0)=2-a2.

①当2-储20,即O<a<0时，t'M>0(0<x<m).

所以心)在(0,附上单调递增，所以心)>/(0)=0,即/(幻>0.

那么/(x)在(0,加)上单调递增，

由偶函数性质知在(-肛0)上单调递减.

故％=0是/食)的极小值点，不符合题意.

②当2-储<0,即a〉&时，

当上〈1,即。〉巴时，

2a