2024-2025学年中考数学考前20天冲刺复习之新定义问题（含答案）

2024~2025学年中考数学考前20天终极冲刺专题之新定义问题

一、选择题

1.定义一种新运算a*b=-ab,那么（TH-九）*m的运算结果为（）

A.m2—mnB.—m2+mnC.—m2—mnD.m2—n

2.定义新运算：0*6=在单（。06且。+6>0），则6*（6*3）的值为（）

a—b、

A.1BC.V7D.1

3.定义一种新运算：0&6=忧：；了；上小则（1&4）&（_1）的值为（）

A.3B.-3C.5D.-5

4.定义新运算：zn㊉n。0）,则对于函数y=x㊉2,下列说法正确的是（）

A.当％<0时，y随力曾大而增大B.该函数图象经过点（2,1）

C.该函数图象位于第一、三象限D.当一2<%<—1时，一2<y<—1

（R（q>0）,

5.定义新运算：P㊉q=4例如3㊉5=|,3㊉（-5）=|,则y=2㊉K。00）

-物<0）,55

V4

的图像可能是（）

6.设a,b是实数，定义一种新运算：a*b=（a-b）2,下面有四个推断：

①a*b=b*a；

②（a*bp=a2*b2；

③（—a）*b=a*（—b）；

@a*（b+c）=a*b+a*c・

其中所有正确推断的序号是（）

A.①②③④B.①③④C.①②D.①③

7.若定义一种新的运算检九=鬻?例如：计算（―5/2）吗的结果为（）

A.|B.C.1D.

5577

8.定义一种新运算：当a>b时，a*b=ab+b；当a<b时，a*b=ab—b.若3*（%+2）>0,则

x的取值范围是（）

A.-1<%<1或％<—2B.x<—2或1<%<2

C.-2<%<1或%>1D.x<—2或久>2

9.对代数式Z定义新运算：，府=|川.在代数式a+b+c中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重

新运算，称此为“新运算操作”.实数处b,C在数轴上的位置如图所示.例如：Q+，房+c=Q+网+c=

a—b+c,+c）2=\a\+\b+c\=a-b—下列说法正确的个数是（）

+人+>o;

②q+J（b+c）2=a+Vb2+V?;

③至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为0；

④至少存在一种“新运算操作”，使运算结果为-a-b+c.

cba

-3-2-1012

A.4B.3C.2D.1

10.对于任意实数m,n,若定义新运算m<8）71=[1号1'"）’，给出三个说法：

[y[m+^Jn（m<n）

①1802=2V2;@i^2+2^3+3^4+，，，+990100=100③1;③（“凶b）•（b③a）=\a-b\.

以上说法中正确的个数是（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

11.定义符号min{a,b}的含义为：当aNb时，min{a,b}=b；当a〈b时，min{a,b}=a.如：min{l,

-3}=-3,min{-4,-2}=-4.已知一种关于x的新函数y=min{x+l,-x+m},且m>-l,则关于y的函数下

面说法错误的是（）.

A.若m=l,则当y<-2时,则x<-3或x>3

B.当函数图象经过（0,今时，该函数图象的最高点的坐标为（-右I）

C（号，yi）（嘤，y。是函数图象上的两点，则yif

D.当l<x<2时，函数y的最大值为3,则m=3或5

12.在平面直角坐标系中，对于点P（%y）,把点Pi（y,自）叫做点P的友好点.已知点久的友好点为点

庆，点儿的友好点为点&…这样依次得到点儿，22,4344--4,若点&的坐标为弓,2）,则根据友好点

的定义，点42023的坐标为（）

11

A.（右2）B.（2,-1）C.（-1,-1）D.（一1;）

13.定义一种对正整数n的叩”运算：①当71为奇数时，/⑺=5n+3；②当n为偶数时，尸⑺=养

（其中，k是使F（n）为奇数的正整数），……，两种运算交替重复进行，例如，取"=20,则运算过程

如图所示：若n=3,则第2023次叩”运算的结果是（）

A.3B.9C.18D.48

14.定义：在平面直角坐标系中，对于点尸（X1,力），当点。（X2,为）满足2（X1+X2）=了1+了2时，称

点0（X2,y2）是点尸（XI,力）的“倍增点已知点尸1（1，0）,有下列结论：

①点。1（3,8）,Q（-2,-2）都是点尸1的“倍增点”；

②若直线y=x+2上的点”是点P的“倍增点”，则点”的坐标为（2,4）；

③抛物线y=N-2x-3上存在两个点是点Pi的“倍增点”；

④若点B是点Pi的“倍增点”，则PiB的最小值是等；

其中，正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

15.定义：如果代数式4=a1/+b］久+。0,a1；b1；q是常数）与B=+与％+C2（02。

0,a2,b2,C2是常数），满足的+。2=。，比=①，Q+C2=0，则称这两个代数式4与B互为“同心

式”，下列四个结论：

（1）代数式：—3%2+2工的“同心式”为3%2—2%；

（2）若8mx2+nx—5与6nx2—4%+5互为“同心式“，则（m+71）2023的值为1；

（3）当加=勿=0时，无论支取何值时，“同心式”/与B的值始终互为相反数；

（4）若4B互为“同心式”，且国—36aiCi=0,则A—2B=0有两个相等的实数根.

其中，正确的结论有个.（）

A.1B.2C.3D.4

16.定义：如果代数式4=+bjX+C1®100,。1，bi，Cl是常数）与B=+力2%+©2（。2片。，

a2,b2,。2是常数），满足。1+。2=。，比+历=0，Cl+c2=0,则称这两个代数式4与B互为"和谐

式”，对于上述“和谐式”4B,下列三个结论正确的个数为（）

①若4=一/——2,B—x2—2nx+n,贝1+n）2°23的值为/；

②若k为常数，关于x的方程4=k与B=k的解相同，则k=0；

③若p,q为常数，p4+qB的最小值为p-%则4有最小值，且最小值为1.

A.0个B.1个C.2个D.3个

二、填空题

17.如果一个两位数a的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位数为“英华数”,

定义新运算：将一个“英华数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的

商记”(a),例如：a=13,对调个位数字与十位数字得到新两位数31,新两位数与原两位数的和，

31+13=44,和与11的商44+11=4,所以3(13)=4.根据以上定义，回答下列问题：

(1)计算：3127).

(2)若m,n都是"英华数"，且m+n=100,贝必(鬼)+co(n)=.

18.对x,y定义一种新运算F,规定：F(x,y)=(jnx+ny)(3%—y)(其中m,n均为非

零常数).例如：F(L1)=2m+2n,F(-1,0)=3zn.当F(l,-1)=-8,F(L2)=13,

则F(x,y)=；当/。V时，尸(%,y)=F(y,久)对任意有理数x,y都成

立，则m,n满足的关系式是.

19.对实数a、6,定义运算☆如下：a表b=(,

a~b(a<b,a。0),

例如2☆3=2-3=会计算[2阿-4)]x[(—4)☆(—2)]=

20.定义：(t>\a,b,c]是以a、b、c为系数的二次多项式，即。[a,b,c\=ax2+bx+c,其中a、b、

c均为实数.例如O[1,2,3]=/+2%+3、0[2,0,-2]=lx1-2.

①当久=2时，求①[1,1,1]x<Z>[-1,-1,-1]=；

②若中[p,q,—1]x(P\m,n,-2]=2x4+%3—10x2—x+2,求

(4p—2q—l)(2m—n—1)=.

三,解答题

21.对于特殊四边形，通常从定义、性质、判定、应用等方面进行研究，我们借助于这种研究的过程

与方法来研究一种新的四边形—筝形.

定义：在四边形4BCC中，若=BC=CD,我们把这样四边形4BCD称为筝形.

性质：按下列分类用文字语言填写相应的性质：

从对称性看：筝形是一个轴对称图形，它的对称轴是;

从边看：筝形有两组邻边分别相等；

从角看：;

从对角线看：.

判定：按要求用文字语言填写相应的判定方法，补全图形，并完成方法2的证明.

方法1：从边看：运用筝形的定义；

方法2：从对角线看：；

如图，四边形4BCD中，.求证：四边形4BCD是筝形.

应用：如图，探索筝形ZBCD的面积公式(直接写出结论).

22.已如有理数a(aHl),定义占为。的差倒数，如—1的差倒数为［二1)=年

(1)-3的差倒数为；

(2)如果由=-1,是由的差倒数.&3是&2的差倒数...，依此类推.求方+a2+a3+…+02024

的值.

23.对于整数〃，定义［诉］为不大于小的最大整数，例如：［遮］=1,［迎］=2,［遮］=2.

(1)直接写出［6。的值；

(2)显然,当［赤］=1时，〃=1,2或3.

①当［诉］=2时，直接写出满足条件的n的值；

②当［F］=10时，求满足条件的n的个数；

(3)对72进行如下操作：72+次［疗刃=8%次［用=2第字＜②=1,即对72进行3次操作后变

为1，类似地：①对25进行▲次操作后变为2；

②对整数加进行3次操作后变为2,直接写出加的最大值.

24.在数轴上，点O表示的数为0,点M表示的数为m(m#0).给出如下定义：对于该数轴上的一

点P与线段OM上一点Q,如果线段PQ的长度有最大值，那么称这个最大值为点P与线段OM的“闭

距离”.如图1,若m=—1,点P表示的数为3,当点Q与点M重合时，线段PQ的长最大，值是4,

则点P与线段OM的“闭距离”为4.

oli

A

-2-10I23-2-1012345

图l图2

（1）如图2,在该数轴上，点A表示的数为一1,点B表示的数为2.

①当m=1时，点A与线段OM的“闭距离”为；

②若点B与线段OM的“闭距离”为3,求m的值；

（2）在该数轴上，点C表示的数为一m,点D表示的数为一m+3,若线段CD上存在点G,使得

点G与线段OM的“闭距离”为5,直接写出m的最大值与最小值.

25.新定义：若无理数VT的被开方数T（T为正整数）满足/<7<（九+1）2（其中n为正整数），则称

无理数VT的“青一区间”为（n,n+1）;同理规定无理数一VT的“青一区间”为（一几―1,一n）.例如：

因为"<2<22,所以1<鱼<2,所以鱼的“青一区间”为（1,2）,-金的“青一区间”

为（—2,-1）.请解答下列问题：

（1）后的“青一区间”是；-V23的“青一区间”是;

（2）若无理数-返（a为正整数）的“青一区间”为（-3,-2）,后月的“青一区间”为（3,4）,

求对TT的值；

（3）实数x,y,m满足关系式：y/2x+3y—m+J3久+4y—27n=Jx+y—2023+^/2023—x—y,

求m的算术平方根的“青一区间”.

26.对于正数久，用符号因表示%的整数部分,例如[0.1]=0,[2.5]=2,[3]=3.点4（a,b）在第一象

限内，以A为对角线的交点画一个矩形，使它的边分别与两坐标轴垂直.其中垂直于y轴的边长为a,垂

直于无轴的边长为固+1,那么，把这个矩形覆盖的区域叫做点4的矩形域.例如：点（3,楙）的矩形域

是一个以（3,当为对角线交点，长为3,宽为2的矩形所覆盖的区域，如图1所示，它的面积是6.

7-

6

5

4

3-3

22

11

-1O12345%-\o12345%

-1-1

图1图2

根据上面的定义，回答下列问题:

(1)在图2所示的坐标系中画出点(2,〈)的矩形域，该矩形域的面积是;

(2)点P(2,1),Q(a,•|)(a>0)的矩形域重叠部分面积为1,贝南的值

为.

27.定义：如果一个数的平方等于-1,记为理=-1,这个数i叫做虚数单位，那么和我们所学的实数

对应起来就叫做复数，表示为a+bi(a,6为实数)，。叫做这个复数的实部，6叫做这个复数的虚部,

它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.例如计算：(2+0+(3-4i)=(2+3)+。—

4i)=5-3i.

(1)填空：产=；产=.

(2)填空：①(3+i)(3-i)=；②(5+i)2=.

(3)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下题：已知％+4i=(2-乃-团

(x,了为实数)，求x、y的值.

28.我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=pxq(p,q是正整数，且pWq),在n的

所有这种分解中，如果p,q两因数之差的绝对值最小，我们就称pxq是n的最佳分解.并规定：F

(n)=1­

例如12可以分解成1x12,2x6或3x4,因为12-1>6-2>4-3,所以3x4是12的最佳分解，所

以F(12)=1.

(I)如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数.

求证：对任意一个完全平方数m,总有F(m)=1；

(II)如果一个两位正整数3t=10x+y(l<x<y<9,x,y为自然数)，交换其个位上的数与十位上

的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36,那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉

祥数”；

(III)在(2)所得“吉祥数”中，求F(t)的最大值.

答案解析部分

L【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】D

7.【答案】A

8.【答案】C

9.【答案】B

10.【答案】D

U.【答案】D

12.【答案】A

13.【答案】C

14.【答案】C

15.【答案】B

16.【答案】C

17.【答案】(1)9

(2)19

18.【答案】9/+12xy-5y2；n=-3m

19.【答案】1

20.【答案】-59；-6

21.【答案】其中一条对角线所在直线；筝形只有一组对角相等；有且只有一条对角线被另一条对角线

垂直平分；有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分；4c垂直平分于。点，且4。AC。；筝形

面积为对角线乘积的一半.

22.【答案】(1)1

(2)解：=-1,

111Q4

由题思，得："2=]_(_])=于的一_2,“4=]—2=-1

・,•每3个数一循环，+02+。3=*+2-1="l，

•「2024+3=674...2,

:・+。2+。3-----H。2024

31

=674X—+(-1)+2-

1

=1011-1+2

1

=1010^.

23.【答案】(1)［V10］=3；

(2)解:①n=4,5,6,7,8；

②当［四］=10时，可得“00W布<7121,

.\n=100,101,102,103,104,105,106,107,108,109,110,111,112,113,114,115,116,

117,118,119,120；.•.满足条件的n的个数为21

(3)解：①2；②设第三次操作为：［口］=2,则，4Wa<9,

设第二次操作为：［迎］=8,则；.64Wb<81,

二设第一次操作为：［而］=80,则而〈而〈很西，，6400Wzn<6561,

...只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的是6560,.•.m的最大值为6560.

24.【答案】(1)解:①2；

②：B点到OM的“闭距离”为3,

/.当m<0时，m=2-3=-l,

当m>0时，m-2=3,m=5,

・・.m的值为-1或5.

(2)解：・・•点C表示的数为-m,点D表示的数为・m+3,在线段CD上存在点G,使得点G与线段

OM的“闭距离”为5,

・••当mVO时，可得不等式组

(—m—m<5

t—m+3—771>

解得：—^工根工―1,

当m>0时，可得不等式组

(m—(―m)>5

1m-(+3—m)<5>

解得：|-<m<4,

综上所述，—擀〈mW—1或擀WmW4；

最大值4,最小值是-2.5.

25.【答案】(1)(4,5);(—5,-4)

(2)解：••・无理数一再的“青一区间”为(—3,-2),

2<<3,

■-22<a<32,即4<a<9,

•••V^+3的“青一区间”为(3,4),

・•・3<A/Q+3<4,

•e-32<a+3<42,即9<a+3<16,

/.6<a<13,

/.6<a<9,

・•・a为正整数，

•••a=7或a=8

当a=7时，yja+1=\ll+1=V8=2,

当a=8时，\la+1=V8+1=狗，

・•・正不T的值为2或也；

(3)解：•••yj2x+3y—m+J3%+