2025年高考数学总复习专项训练：函数、导数及其应用综合检测

专练17函数、导数及其应用综合检测

［基础强化］

一、选择题

1.函数人x)=x一9是()

A.奇函数，且值域为(0,+8)

B.奇函数，且值域为R

C.偶函数，且值域为(0,+8)

D.偶函数，且值域为R

答案:B

解析：因为八一X)=—=—(x—£)=—/(x),所以y(x)为奇函数，排除C,D,又犬1)=0,所以排

除A,故选B.

2.若直线尤=a(a>0)分别与曲线y=2x+l,y=x+lnx相交于A,8两点，则的最小值为()

A.1B.2C.y/2D./

答案:B

解析：由题可得A(〃，2〃+1),B(a,a+ina),

/.\AB\=|2tz+1—(tz+ln〃)|=|〃+1—Ina\.

令式无)=x+l—Inx(x>0),则f(x)=l，当0<r<l时，f(x)<0；当尤>1时，/(x)>0,函数/(x)在(0,

1)上单调递减，在(1,十8)上单调递增，.•.当x=l时，函数八X)取得最小值，最小值为2>0,

A|AB|=|<7+l-lna\=a+l~\na,其最小值为2.

3.已知〃=兀°2,b=log冗2,c=cos2,则()

A.c<b<aB.b<c<a

C.c<a<bD.a<c<b

答案:A

解析：由指数函数y=*在R上单调递增，

可得。=兀°2>兀。=1,由对数函数y=loge在(0,+8)上单调递增，知0=k)g兀lv/?=log兀2<log兀兀=1,即

ITJT

0</?<1,因为］<2<兀，而函数y=cosx在手兀上单调递减，

兀

所以一l=cos兀<c=cos2<cos2=0,即一l<c<0,所以“/?<〃，故选A.

4.函数兀r)=ln2x一土的图象在点g,爬)处的切线方程为()

A.y=6x—5B.y=8x—6

C.y=4x~4D.y=10x—7

答案：A

解析：戒)=ln1—2=-2,因为了(x)=：+［，所以了(；)=6,所以切线方程为y—(―2)=6。：一，

即y=6x—5,故选A.

5.函数y(%)=cosx+(x+l)sinx+1在区间［0,2兀］的最小值、最大值分别为()

7171—37171

A--2'2B->2

C.+2D.一苧,5+2

答案：D

解析：因为«x)=cosx+(x+l)sinx+1,所以了(兀)=—sinx+sinx+(x+l)cosx=(x+l)-cosx.因为［0,

271］,所以x+l>0.当了(无)>0时，解得go,5)U(y,271］；当了(尤)<0时，解得,y).所以於)在［0,

5)上单调递增，在g,y］上单调递减，在目，2兀］上单调递增.又八0)=2,靖)=5+2,/(y)=-y,

八2兀)=2,所以式x)的最大值为5+2,最小值为一竽.故选D.

6.已知函数五尤)是定义在R上的奇函数，其导函数为了(x),若对任意的正实数x,都有对Xx)+4»>0

恒成立，且黄也)=1,则使无2Ax)<2成立的实数x的集合为()

A.(一8,一也)0(-72,+8)

B.(一也，地)

C.(一8,也)

D.(^2,+8)

答案：C

解析：设〃(冗)=工2/(工)，则hr(x)=^f(x)+2xfix)=x［xf(x)+2/(x)］,因为x>0时，都有叶(%)+家工)>0恒成

立，所以"(x)>0,所以/?")=a氏)在(0,+8)上单调递增，又函数人幻是定义在R上的奇函数，所以以x)

=中元)也是定义在R上的奇函数，所以0代)：入2凡X)在(-8,0)上单调递增,又函数/(X)的定义域为R,其

导函数为/。)，所以/?(%)=寺3)在R上单调递增.因为五地)=1,所以力(、「)=2fly［2)=2,所以逐工)<2

即〃(%)<欣\及),得％,故选C.

7.［2024•新课标H卷］设函数/(x)=a(x+l)2—l,g(x)=cosx+2〃x.当工£(一1,1)时，曲线》=/(%)与>=

g(x)恰有一个交点，则。=()

A.-1B.1C.1D.2

答案：D

92

解析：方法一9.f(x)=a(x+l)—l9g(x)=cosx+2Q%,曲线丁=/(%)与y=g(x)在(一1,1)上恰有一个交

点，令〃(%)=/")—gQOMQX2—cos-1,，/z(x)在(一1,1)上恰有一个零点.又易知/z(x)为(一1,1)上的

偶函数，/z(0)=0,即〃-2=0,.故选D.

方法二当4=—1时，危)一g(x)=—A2—cos%—2,当x£(—1,1)时，«x)—g(x)<0,，曲线y=/(x)与

y=g(x)在(一1,1)上没有交点，故A错误.

当时，fix)—g(x)=^X2—cosx—,当x£(—1,1)时，；3<0,—cosx<0,

・・・加)一g(%)<0，J曲线丁=段)与5=8(为在(一1,1)上没有交点，故B错误.

当。=1时，於)一gOOn^—cos%,令加(x)=«x)—ga),则m(x)为偶函数，且在(一1,0)上单调递减，

在(0,1)上单调递增.又m(0)=—1<0,m(l)=l—cos1>0,m(—1)=1—cosl>0,由函数零点存在定理可知

根⑴在(一1,0)和(0,1)上各有1个零点，即曲线了=段)与〉=8任)在(一1,1)上有2个交点，故C错误.

当〃=2时，人幻一式©=2/一cosx+1.令〃0)=%)一g(x),则〃(%)为偶函数，且在(一1,0)上单调递减，

在(0,1)上单调递增，又及(0)=0,・••曲线)=兀¥)与y=g(x)在(-1,1)上只有1个交点，故D正确.故选D.

方法三1)2—1,g(x)=cosx+2ax,曲线>=/(%)与y=g(x)在(一1,1)上恰有一个交点，令

〃(%)=黄%)—g(x)=Q(—cosx+a—1,.•・/z(x)在(一1,1)上恰有一个零点.hr(x)=2ax+smx,令m(x)=2〃x+sin

cos1

x,贝I加(x)=2a+cosx,当—2时，m'(%)>0在(-1,1)上恒成立，则"(x)在(一1,1)上单调递增.又

"(0)=0,・,•当x£(—1,0)时，/z(x)单调递减；当x£(0,1)时，力⑴单调递增，・・・/i(x)在x=0处取得极小值

cos1

也是最小值，.•./7(0)=0,即a—2=0,-2，下面分析。=—1时曲线y=/(x)与曲线y=g(无)

的交点情况.当。=—1时，f(x)—g(x)=一炉一cosx—2,当尤e(—1,1)时，fix)—g(x)<Q,.,.曲线y=«x)与

y=g(x)在(一1,1)上没有交点.结合选项可知，D正确.故选D.

8.(多选)[2024.新课标I卷]设函数次尤)=(x—1>(无一4),贝式)

A.x=3是犬尤)的极小值点

B.当0<x<l时，/(x)勺)中)

C.当l<x<2时，一4勺(2x—1)<0

D.当一l<x<0时，月2—x)/x)

答案：ACD

解析：由题可得f(x)=2(x—l)(x—4)+。-1)2=3/—12x+9,令了(x)>0,即3f—12尤+9>0,得x<l或

x>3；令/(x)<0,得所以/(x)在(一8,1),(3,+8)上单调递增，在(1,3)上单调递减，所以x=3

是兀r)的极小值点，A正确.当0a<1时，odacl,所以五x)/x2),B错误.当1<X<2时，l<2x-l<3,

因为/U)在(1,3)上单调递减，所以一4勺(2尤-1)<0,C正确.火2一的=(2—尤一1)2(2—x—4)=(x—l)2.(-x—

2),所以八2一x)—fix)—(x—1)2(—x—2—x+4)=(x—1)2(—2x+2),令(尤一1)2(—2x+2)>0,得x<l,所以当一

l<x<0时，八2—无)/x)成立，D正确，故选ACD.

f(x)—f(光)

9.(多选)[2024•山东荒泽期中]已知函数y=/(x)在R上可导且式0)=2,其导函数了(尤)满足2-----------

>0.若函数g(x)满足e*g(x)=/(x),则下列结论正项的是()

A.函数g(x)在(2,+8)上单调递增

B.x=2是函数g(x)的极小值点

C.xWO时，不等式7U)W2e，恒成立

D.函数g(x)至多有两个零点

答案：ABD

解析：：e'ga)=/(x),；.g(x)=/',

则g'(x)」------r--------

由已知可得，当x>2时，/(X)—y(x)>0,

故y=g(x)在(2,+8)上单调递增，选项A正确；

当x<2时，/(%)—y(x)<0,...g'(x)<0,

故y=g(x)在(一8,2)上单调递减，

故x=2是函数y=g(x)的极小值点，故选项B正确；

由y=g(x)在(一8,2)上单调递减，则y=g(x)在(-8,0]上单调递减，

由g(0)=工笠=2,得xWO时，g(x)\g(O)，

故工乎>2,故/(x)N2e£,故选项C错误；

若g⑵<0,则y=g(x)至多有2个零点，

若g(2)=0,则函数y=g(x)有1个零点，

若g(2)>0,则函数y=g(x)没有零点，故选项D正确.

二、填空题

10.已知曲线/0)=3+/,则曲线在点(0,五0))处的切线与坐标轴围成的图形的面积为.

答案：I

解析：由题意，得/(x)=e，+2x,所以/(0)=1.又式0)=1,所以曲线兀0在点(0,式0))处的切线方程为y

—1=1X(x—0),即x—y+l=O,所以该切线与x,y轴的交点分别为(一1,0),(0,1),所以该切线与坐标

轴围成的图形的面积为3X1X1=1.

11.已知函数於:)=—4在x=2处取得极值，若〃zG[—1,1],则加%)的最小值为.

答案：一4

解析：：了(劝=—3/+26，由题意得了(2)=0,得a=3.

+6x,在(一1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，

・・・当加£[—1,1]时犬㈤3:/(⑦二一4.

(兀一。)2,%W0

12.设函数次尤)=<1

x+一，x>0

、%

(1)当〃=£时，y(x)的最小值是；

(2)若月0)是加)的最小值，则〃的取值范围是.

答案：(1)1(2)[0,巾]

解析：(1)当(2=2时,若xWO,则负尤)=(x—1)2》

当且仅当x=l时取等号，则函数的最小值为;.

(2)由(1)知，当无>0时，函数式x)22,此时的最小值为2,若a<0,则当x=a时，函数五劝的最小值为

f(.a)=O,此时人0)不是最小值，不满足条件.若。三0时，则当xWO时，函数«r)=(x—“A为减函数，则当

xWO时,函数式功的最小值为X0)=片,要使的)是人功的最小值,则八0)=/W2,即OWaW巾,即实数a

的取值范围是[0,].

[能力提升]

13.若x=-2是函数兀0二⑴+以一1)©厂1的极值点，则“r)的极小值为()

A.-1B.一2一

C.5e「3D.1

答案：A

解析：/(x)=exl[x2+(a+2)x+(z—1],

：尤=一2是函数人工)=(/+办-De*—的极值点，

/./(—2)=0,—-'-fix')=(x2—x—1)e%-1,

•—e'—1(/+元-2)=e*-i(无一1)(尤+2),

.•.当％e(—8,-2),(1,+8)时拳了)单调递增,

氏0在(一2,1)上单调递减，

；.危)极小值=犬1)=—1.

14.若过点(a,b)可以作曲线y=e，的两条切线，贝1()

A.eb<aB.Qa<b

C.0<a<ebD.0<b<ea

答案：D

解析：方法一在曲线>=6工上任取一点P。，ez),对函数y=e*求导得y=e£,

所以，曲线y=e”在点尸处的切线方程为y—e，=e<x—。,即y=eG+(l—。e。

由题意可知，点(。，b)在直线y=e，x+(l—。F上，可得b=ae，+(l—。el=(a+l~t)el,

令应。=(a+l—t)e1,则/(。=(a-t)ef.

当时，r(r)>0,此时函数4。单调递增，

当介。时，f(t)<0,此时函数火。单调递减，

所以，X0max=X«)=e",

由题意可知，直线y=6与曲线y=X。的图象有两个交点，则b勺。)max=e",

当t<a+l时，郑>0,当t>a+l时，X0<0,作出函数7(。的图象如下图所示:

由图可知，当0<b<e"时，直线y=b与曲线的图象有两个交点.故选D.

方法二画出函数曲线y=e*的图象如图所示，根据直观即可判定点(a,b)在曲线下方和无轴上方时才

可以作出两条切线.由此可知0<b<e。.故选D.

e%+2sinx

15.[2024•全国甲卷(理)]设函数兀0=]+7,则曲线尸危)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成

的三角形的面积为()

A-6B,