江苏某中学2024年中考数学模拟试卷（含解析）

江苏宜兴外国语学校2024年中考数学仿真试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.设Xl,X2是一元二次方程x2-2x-3=0的两根,则X/+X22=（）

A.6B.8C.10D.12

2.如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4,ZA=60°,将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG,点

F、G分别在边AB、AD上.则sinZAFG的值为（）

A后R2s「5夕nV7

A.-----B.-------C.------D.-----

77147

3.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）

A.9人B.10人C.11人D.12人

4.对于反比例函数丫=s（原0）,下列所给的四个结论中，正确的是（）

x

A.若点（3,6）在其图象上，贝!|（-3,6）也在其图象上

B.当k>0时，y随x的增大而减小

C.过图象上任一点P作x轴、y轴的线，垂足分别A、B,则矩形OAPB的面积为k

D.反比例函数的图象关于直线y=-x成轴对称

5.一个圆的内接正六边形的边长为2,则该圆的内接正方形的边长为（）

A.72B.2夜C.273D.4

6.已知一次函数丁=依-3且y随x的增大而增大，那么它的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.在一次中学生田径运动会上，参加跳远的15名运动员的成绩如下表所示:

成绩（米）4.504.604.654.704.754.80

人数232341

则这15名运动员成绩的中位数、众数分别是（）

A.4.65,4.70B.4.65,4.75C.4.70,4.70,D.4.70,4.75

8.cos60。的值等于（)

1D.2

A.1B.-Vz•---

222

_k11

9.如图，已知点A,B分别是反比例函数y=—（x<0）,y=-（x>0）的图象上的点，且NAOB=90。，tanZBAO=-,

xx2

则k的值为（）

A.2B.-2C.4D.-4

[x>-2

10.不等式组，的解集在数轴上表示为（）

%>1

A.!I与B.!I'C.-4-

D.

-201-201-2-201

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.如图，AB/7CD,21=62。万6平分NEFD,贝！|N2=.

12.关于X的方程X2—3x+2=0的两根为Xl,X2,则X1+X2+X1X2的值为.

13.AABC内接于圆。，设NA=x，圆。的半径为厂，则NOBC所对的劣弧长为（用含方厂的代数式表示）.

14.现有三张分别标有数字2、3、4的卡片，它们除了数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张,

将上面的数字记为a（不放回）；从剩下的卡片中再任意抽取一张，将上面的数字记为b,则点（a,b）在直线y=gx+g

图象上的概率为—.

15.如图，在等腰直角三角形ABC中，NC=90。，点D为AB的中点，已知扇形EAD和扇形FBD的圆心分别为点A、

点B,且AB=4,则图中阴影部分的面积为（结果保留Jr）.

16.已知二次函数y=al+〃x+c中，函数y与x的部分对应值如下:

・・・-10123・・・

・・・105212・・・

则当丁<5时，X的取值范围是.

17.二次函数y=（x-1）2-3的图象与y轴的交点坐标是.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE.若DE：AC=3：

,、AD入R

5,求---的值.

AB

3

19.（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数、=了》与一次函数y=-x+7的图像交于点A,

（1）求点A的坐标；

（2）设x轴上一点P（a,0）,过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交y和y=-x+7的图像于

4

7

点B、C,连接OC,若BC=,OA,求AOBC的面积.

若将△ABC绕点C顺时针旋转180。得到△EFC,连接AF、BE.

（1）求证：四边形ABEF是平行四边形;

（2）当NABC为多少度时，四边形ABEF为矩形？请说明理由.

21.（10分）如图，AB是。。的直径，点C为。。上一点，CN为。。的切线，OMLAB于点O,分别交AC、CN

于D、M两点.求证：MD=MC；若。O的半径为5,AC=4非,求MC的长.

22.（10分）如图，在矩形ABCD中，AB=1DA,以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E,交AD的延长线

于点F,设DA=1.求线段EC的长；求图中阴影部分的面积.

R

23.（12分）如图，在RtZkABC中，ZC=90，点。在边上，DE-LAB,点E为垂足，AB=Q,ZDAB=45°,

3

tanB=—.

4

⑴求。E的长；

⑵求/CDA的余弦值.

4x+6>x

24.（14分）解不等式组《x+2并写出它的所有整数解.

------>X

13

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、C

【解析】

2

试题分析：根据根与系数的关系得到Xl+X2=2,Xl・X2=-3,再变形X/+X22得到（X1+X2）-2x^X2,然后利用代入计算

即可.

解：一元二次方程X2-2x-3=0的两根是XI、X2,

；.X1+X2=2,X1,X2=-3,

•*.Xl2+X22=（X1+X2）2-2XI»X2=22-2x（-3）=1.

故选c.

2、B

【解析】

如图：过点E作HELAD于点H,连接AE交GF于点N,连接BD,BE.由题意可得：DE=1,/HDE=60。，ABCD

是等边三角形，即可求DH的长，HE的长，AE的长，

NE的长，EF的长，则可求sin/AFG的值.

【详解】

解：如图：过点E作HELAD于点H,连接AE交GF于点N,连接BD,BE.

•四边形ABCD是菱形，AB=4,NDAB=60。，

.\AB=BC=CD=AD=4,ZDAB=ZDCB=60°,DC/7AB

.,.ZHDE=ZDAB=60°,

•.•点E是CD中点

1

ADE=-CD=1

2

在R3DEH中，DE=1,NHDE=60。

.,.DH=1,HE=73

/.AH=AD+DH=5

在R3AHE中，AE=AH2+HE2=1V7

.•.AN=NE=V7,AE±GF,AF=EF

；CD=BC,ZDCB=60°

.'.△BCD是等边三角形，且E是CD中点

/.BE±CD,

VBC=4,EC=1

；.BE=1出

；CD〃AB

ZABE=ZBEC=90°

在R3BEF中，EF1=BEi+BFi=ll+(AB-EF)

7

.*.EF=-

2

由折叠性质可得NAFG=NEFG,

EN772行

.\sinNEFG=sinNAFG=EF77,故选B.

2

【点睛】

本题考查了折叠问题，菱形的性质，勾股定理，添加恰当的辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求线段长度是本题

的关键.

3、C

【解析】

设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.

【详解】

设参加酒会的人数为x人，依题可得：

—x（x-1）=55,

2

化简得:x2-x-110=0,

解得：Xl=ll,X2=-10（舍去），

故答案为C.

【点睛】

考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程.

4、D

【解析】

分析：根据反比例函数的性质一一判断即可；

详解：A.若点（3,6）在其图象上，则（-3,6）不在其图象上，故本选项不符合题意；

B.当4>0时，y随x的增大而减小，错误，应该是当时，在每个象限，y随x的增大而减小；故本选项不

符合题意；

C.错误，应该是过图象上任一点P作x轴、y轴的线，垂足分别A、B,则矩形0AP3的面积为|川；故本选项不

符合题意；

D.正确，本选项符合题意.

故选D.

点睛：本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，灵活运用所学知识解决问题，属于

中考常考题型.

5、B

【解析】

圆内接正六边形的边长是1,即圆的半径是1,则圆的内接正方形的对角线长是2,进而就可求解.

【详解】

解：•.•圆内接正六边形的边长是1,

二圆的半径为1.

那么直径为2.

圆的内接正方形的对角线长为圆的直径，等于2.

二圆的内接正方形的边长是.

故选B.

【点睛】

本题考查正多边形与圆，关键是利用知识点：圆内接正六边形的边长和圆的半径相等；圆的内接正方形的对角线长为

圆的直径解答.

6、B

【解析】

根据一次函数的性质：k>0,y随x的增大而增大；kVO,y随x的增大而减小，进行解答即可.

【详解】

解：•一次函数y=kx-3且y随x的增大而增大，

它的图象经过一、三、四象限，

不经过第二象限，

故选：B.

【点睛】

本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数所经过的象限与k、b的值有关是解题的关键.

7、D

【解析】

根据中位数、众数的定义即可解决问题.

【详解】

解：这些运动员成绩的中位数、众数分别是4.70,4.1.

故选：D.

【点睛】

本题考查中位数、众数的定义，解题的关键是记住中位数、众数的定义，属于中考基础题.

8、A

【解析】

根据特殊角的三角函数值直接得出结果.

【详解】

51

解：cos600=-

2

故选A.

【点睛】

识记特殊角的三角函数值是解题的关键.

9,D

【解析】

首先过点A作AC±x轴于C,过点B作BD±x轴于D,易得△OBDs^AOC,又由点A,B分别在反比例函数y=-

X

(x<0),y=-(x>0)的图象上，即可得SAOBD=L，SAAoc=-|k|,然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平

x22

方，即可求出k的值

【详解】

解：过点A作AC，x轴于C,过点B作BD，x轴于D,

/.ZOBD+ZBOD=90°,

VZAOB=90°,

AZBOD+ZAOC=90°,

AZOBD=ZAOC,

/.△OBD^AAOC,

XVZAOB=90°,tanZBAO=-，

2

.OB

••=一，

AO2

1

:.沁4，即［二，

SOAC4；闷4

解得k=±4,

又；k<0,

:.k=-4,

故选：D.

【点睛】

此题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质.解题时注意掌握数形结合思想的应

用，注意掌握辅助线的作法。

10、A

【解析】

根据不等式组的解集在数轴上表示的方法即可解答.

【详解】

Vx>-2,故以-2为实心端点向右画，x<l,故以1为空心端点向左画.

故选A.

【点睛】

本题考查了不等式组解集的在数轴上的表示方法,不等式的解集在数轴上表示方法为：〉、会向右画，V、W向左画，%”、

畛”要用实心圆点表示；要用空心圆点表示.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、31°.

【解析】

试题分析：由AB〃CD,根据平行线的性质得N1=NEFD=62。，然后根据角平分线的定义即可得到N2的度数.

VAB//CD,

.•.Z1=ZEFD=62°,

VFG平分NEFD,

Z2=-ZEFD=TX62°=31°.

•♦

故答案是31。.

考点：平行线的性质.

12、5

【解析】

试题分析：利用根与系数的关系进行求解即可.

解：•.•加，X2是方程好一3x+2=0的两根，

•工bC

aa

；・xi+X2+X1X2=3+2=5.

故答案为：5.

90—xx-90

13、nr或nr

9090

【解析】

分（T＜x。叁0。、90。＜x。勺80。两种情况，根据圆周角定理求出NDOC,根据弧长公式计算即可.

【详解】

解：当0。＜乂映90。时,如图所示:连接OC,

由圆周角定理得，ZBOC=2ZA=2x°,

.,.ZDOC=180°-2x°,

(180-2x)7rr(90—x)%

AZOBC所对的劣弧长=

18090

(2X-180)TT(x-90)乃

当90。＜*。/180。时，同理可得，NOBC所对的劣弧长=

18090

故IZr答案-为4-t：-9-0-----X-7tr或—ix-X---—--9-0-nr.

9090

【点睛】

本题考查了三角形的外接圆与外心、弧长的计算，掌握弧长公式、圆周角定理是解题的关键.

1

14、-

6

【解析】

根据题意列出图表，即可表示（a,b）所有可能出现的结果，根据一次函数的性质求出在了=1^+；图象上的点，即可

得出答案.

【详解】

画树状图得：

开始

234

/\/\/\

342423

•・•共有6种等可能的结果(2,3),(2,4),(3,2),(3,4),(4,2),(4,3),在直线y=图象上的只有(3,2),

・,•点(a,b)在y=彳%+大图象上的概率为二.

【点睛】

本题考查了用列表法或树状图法求概率.注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法

适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意此题属于不放回实验.

15、4-7t

【解析】

由在等腰直角三角形ABC中，ZC=90°,AB=4,可求得直角边AC与BC的长，继而求得△ABC的面积，又由扇形

的面积公式求得扇形EAD和扇形FBD的面积，继而求得答案.

【详解】

解：•.•在等腰直角三角形ABC中，NC=90。，AB=4,

AAC=BC=AB«sin45°=AB=272，

1

/.SBC=-AC*BC=4,

AA2

・・,点D为AB的中点，

1

.*.AD=BD=-AB=2,

2

・__451

：・S扇形EAD=S扇形FBD=一丁X7tx2-—7t

3602f

；・S阴影=SAABC-S扇形EAD-S扇形FBD=4-71.

故答案为：4-7T.

【点睛】

此题考查了等腰直角三角形的性质以及扇形的面积.注意S阴影=SAABC-S扇形EAD-S扇形FBD・

16、0<x<4

【解析】

根据二次函数的对称性及已知数据可知该二次函数的对称轴为x=2,结合表格中所给数据可得出答案.

【详解】

由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2,

所以，x=4时，y=5,

所以，产5时，x的取值范围为0<x<4.

故答案为0<x<4.

【点睛】

此题主要考查了二次函数的性质，利用图表得出二次函数的图象即可得出函数值得取值范围，同学们应熟练掌握.

17、(0,-2)

【解析】

求出自变量x为1时的函数值即可得到二次函数的图象与y轴的交点坐标.

【详解】

把x=0代入,=(彳-1)2-3得：y=\-3=-2,

二该二次函数的图象与y轴的交点坐标为(0,-2),

故答案为(0,-2).

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，在y轴上的点的横坐标为L

三、解答题(共7小题，满分69分)

1

18、一

2

【解析】

根据翻折的性质可得NBAC=NEAC,再根据矩形的对边平行可得AB〃CD,根据两直线平行，内错角相等可得

NDCA=NBAC,从而得到NEAC=NDCA,设AE与CD相交于F,根据等角对等边的性质可得AF=CF,再求出DF=EF,

从而得到△ACF和△EDF相似，根据相似三角形得出对应边成比，设DF=3x,FC=5x,在RtAADF中，利用勾股定

理列式求出AD,再根据矩形的对边相等求出AB,然后代入进行计算即可得解.

【详解】

解：•••矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，

；.CE=BC,ZBAC=ZCAE,

:矩形对边AD=BC,

；.AD=CE,

设AE、CD相交于点F,

在4ADF^ACEF中，

ZADF=ZCEF=9Q°

<NAFD=NCFE,

AD=CE

.,.△ADF^ACEF(AAS),

AEF=DF,

VAB/7CD,

AZBAC=ZACF,

XVZBAC=ZCAE,

AZACF=ZCAE,

AAF=CF,

AAC/7DE,

.•.△ACF^ADEF,

EFDE3

•*•—_—_,

CFAC5

设EF=3k,CF=5k,

由勾股定理得CE=J(5左(34y=4k，

；.AD=BC=CE=4k,

又；CD=DF+CF=3k+5k=8k,

/.AB=CD=8k,

AAD：AB=(4k)：(8k)=-.

2

【点睛】

本题考查了翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，综合题难度较大，求

出AACF和4DEF相似是解题的关键，也是本题的难点.

19、(1)A(4,3)；(2)28.

【解析】

33

(1)点A是正比例函数>=与一次函数y=x+7图像的交点坐标，把尸白与y=x+7联立组成方程组，方程组的

44

7

解就是点A的横纵坐标；(2)过点A作x轴的垂线，在RtAOAD中，由勾股定理求得OA的长，再由BC=§OA求

得OB的长'用点P的横坐标a表示出点B、C的坐标'利用BC的长求得a值'根据.。尸即可求得AOBC

的面积.

【详解】

y=—x\x=4

解：(1)由题意得：4,解得一

y=-x+7H

点A的坐标为(4,3).

(2)过点A作x轴的垂线，垂足为D,

在RtAOAD中，由勾股定理得，

OA=y/ob2+AD1=742+32=5

77

BC=-OA=-x5=7.

55

337

P(a,0),B(a,—ci),C(a,-a+7),BC=—a—(—Q+7)=—a—7,

444

7

；・一a—7=7,解得a=8.

4

•E•^AOC=-^C-OP=-X7X8=28.

ZAC/DBC22

20、(1)证明见解析(2)当NABC=60。时，四边形ABEF为矩形

【解析】

(1)根据旋转得出CA=CE,CB=CF,根据平行四边形的判定得出即可；

(2)根据等边三角形的判定得出AABC是等边三角形，求出尸，根据矩形的判定得出即可.

【详解】

(1)•将△ABC绕点C顺时针旋转180。得到△E尸C,：./\ABC^/\EFC,/.CA=CE,CB=CF,二四边形A3E尸是

平行四边形；

(2)当NABC=60。时，四边形A3E歹为矩形，理由是：；NABC=60。，A3=AC,.*.△ABC是等边三角形，.•.A3=AC=8C.

'：CA=CE,CB=CF,：.AE=BF.

•••四边形ABE尸是平行四边形，...四边形A3E尸是矩形.

【点睛】

本题考查了旋转的性质和矩形的判定、平行四边形的判定、等边三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进

行推理是解答此题的关键.

、证明见解析；(

21(1)2)MC=4-.

【解析】

【分析】（I）连接OC,利用切线的性质证明即可；

（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可.

【详解】（1）连接OC,

AOCICM,ZOCA+ZACM=90°,

VOM1AB,

.,.ZOAC+ZODA=90°,

VOA=OC,

/.ZOAC=ZOCA,

:.ZACM=ZODA=ZCDM,

，MD=MC；

（2）由题意可知AB=5x2=10,AC=4j?,

；AB是。O的直径，

/.ZACB=90°,

-,.BC=^102-（4A/5）2=2A/5，

VZAOD=ZACB,ZA=ZA,

/.△AOD^AACB,

.OP_AO_5

,*BC-AC*°2小—4小'

可得：OD=2.5,

设MC=MD=x,在RtAOCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x?+52,

解得：x=《,

即MC=—.

4

【点睛】本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，准确添加辅助线，正确寻找相

似三角形是解决问题的关键.

22、（1）4—2,y/3）（1）—~2^3.

3

【解析】

（1）根据矩形的性质得出AB=AE=4,进而利用勾股定理得出DE的长，即可得出答案；（1）利用锐角三角函数关系

得出NDAE=60。，进而求出图中阴影部分的面积为：S扇形FAE-SADAE，求出即可.

【详解】

解：（1）'在矩形ABCD中，AB=1DA,DA=1,

，AB=AE=4,

DE=y/AE2_AD2=25/3，

.,.EC=CD-DE=4-173；

,、AD1

(1)sinNDEA=-----=—,

AE2

:.ZDEA=30°,

/.ZEAB=30°,

•••图中阴影部分的面积为: