高考数学 高频考点归类分析 三角函数的图象和性质（真题为例）

三角函数的图象和性质典型例题：例1.（年全国课标卷理5分）已知，函数在上单调递减。则的取值范围是【】 【答案】。【考点】三角函数的性质。【解析】根据三角函数的性质利用排它法逐项判断：∵时，，不合题意，∴排除。∵时，，合题意，∴排除。故选。例2.（年全国课标卷文5分）已知>0，0<<π，直线x=eq\f(π,4)和x=eq\f(5π,4)是函数f(x)=sin(x+)图像的两条相邻的对称轴，则φ=【】（A）eq\f(π,4)（B）eq\f(π,3)（C）eq\f(π,2)（D）eq\f(3π,4)【答案】A。【考点】正弦函数的性质。【解析】∵函数f(x)=sin(x+)图像的对称轴是函数取得最大（小）值时垂直于x轴的直线，∴不妨设x=eq\f(π,4)时，f(x)=1；x=eq\f(5π,4)时，f(x)=－1。则由得，解得。∵0<<π，∴。故选A。例3.（年上海市理5分）设，，在中，正数的个数是【】A．25B．50C．75D．100【答案】D。【考点】正弦函数的周期性。【解析】∵对于（只有)，∴都为正数。当时，令，则，画出终边如右，其终边两两关于轴对称，即有，∴其中=26,27,…,49，此时。∵，，∴。从而当=26,27,…,49时，都是正数。又。同上可得，对于从51到100的情况同上可知都是正数，故选D。例4.（年上海市文5分）若（），则在中，正数的个数是【】A、16B、72C、86D、100【答案】C。【考点】正弦函数的周期性和对称性。【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项：在中，分成7部分，加上。在7部分中，每一部分正数的个数是相同的。讨论一个周期的情况：如图，中，当时，，所以均为正数；当时，由于正弦函数的性质，知也为正数；当时，由于正弦函数的性质，知为0。因此共有12个正数。另为正数。∴在中，正数的个数是。故选C。例5.（年天津市文5分）将函数（其中>0）的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点（，0），则的最小值是【】（A）（B）1（C）（D）2【答案】D。【考点】函数的图象变换。【分析】将函数的图像向右平移得到函数。∵此时函数过点，∴，即。∴。又∵>0，∴的最小值为2。故选D。例6.（年安徽省文5分）要得到函数的图象，只要将函数的图象【】向左平移1个单位向右平移1个单位向左平移个单位向右平移个单位【答案】。【考点】函数图象平移的性质。【解析】∵，∴只要将函数的图象向左平移个单位即可得到函数的图象。故选。例7.（年山东省文5分）函数的最大值与最小值之和为【】AB0C－1D【答案】A。【考点】三角函数的值域。【解析】∵，∴当时，最小，为当时，最大，为。∴函数的最大值与最小值之和为。故选A。例8.（年浙江省理5分）把函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是【】【答案】A。【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换。【解析】把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y1＝cosx＋1，向左平移1个单位长度得：y2＝cos(x＋1)＋1，再向下平移1个单位长度得：y3＝cos(x＋1)。取特殊值进行判断：令x＝0，得：y3＞0；x＝，得：y3＝0。比对所给选项即得答案。故选A。例9.（年湖北省理5分）函数在区间[0,4]上的零点个数为【】A.4B.5C.6D.7【答案】C。【考点】函数的零点与方程，三角函数的周期性。【解析】由得或。当时，，∴是函数在区间[0,4]上的一个零点。当时，∵，∴。∵使余弦为零的角的弧度数为，∴令。则时对应角分别为均满足条件，当时，不满足条件。综上所述，函数在区间[0,4]上的零点个数为6个。故选C。例10.（年湖北省文5分）函数在区间上的零点个数为【】A2B3C【答案】D。【考点】函数的零点与方程，三角函数的周期性。【解析】由得或。当时，，∴是函数在区间上的一个零点。由，得，即。又∵，∴。综上所述，函数在区间[上的零点个数为个。故选D。例11.（年福建省文5分）函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的图象的一条对称轴是【】A．x＝eq\f(π,4)B．x＝eq\f(π,2)C．x＝－eq\f(π,4)D．x＝－eq\f(π,2)【答案】C。【考点】三角函数的图象和性质。【解析】因为三角函数图象的对称轴经过最高点或最低点，所以可以把四个选项代入验证，知只有当x＝－eq\f(π,4)时，函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)－\f(π,4)))＝－1取得最值。故选C。例12.（年湖南省文12分）已知函数的部分图像如图所示.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的单调递增区间.【答案】解：（Ⅰ）由题设图像知，周期，∴。∵点在函数图像上，∴。又∵，∴。∴，即。又∵点在函数图像上，∴。∴函数的解析式为。（Ⅱ）。由得∴的单调递增区间是。【考点】三角函数的图像和性质。【解析】（Ⅰ）结合图形求得周期从而求得.再利用特殊点在图像上求出，从而求出的解析式。（Ⅱ）用（Ⅰ）的结论和三角恒等变换及的单调性求得。例13.（年天津市理5分）设，则“”是“为偶函数”的【】（A）充分而不必要条件（Ｂ）必要而不充分条件（Ｃ）充分必要条件（Ｄ）既不充分也不必要条件【答案】A。【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，函数奇偶性的判断。【分析】∵为偶函数，成立；为偶函数，推不出。∴“”是“为偶函数”的充分而不必要条件。故选A。例14.（年山东省文5分）设命题p：函数的最小正周期为；命题