高考数学 高频考点归类分析 平面向量的概念、性质和计算（真题为例）

平面向量的概念、性质和计算典型例题：例1.（年全国大纲卷理5分）中，边上的高为，若，则【】A．B．C．D．【答案】D。【考点】向量垂直的判定，勾股定理，向量的加减法几何意义的运用。【解析】∵，∴，∴在中，根据勾股定理得。∴由等面积法得，即，得。∴。又∵点在上，∴。故选D。例2.（年四川省理5分）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是【】A、B、C、D、且【答案】C。【考点】充分条件。【解析】若使成立，即要、共线且方向相同，即要。所以使成立的充分条件是。故选C。例3.（年天津市理5分）已知为等边三角形，，设点满足，，，若，则【】（A）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）【答案】A。【考点】向量加减法的几何意义，平面向量基本定理，共线向量定理及其数量积的综合运用.。【分析】∵=，=，又∵，且，，∴，即，即，∴，解得。故选A。例4.（年天津市文5分）在△中，=90°，=1，设点满足，。若，则=【】（A）（B）（C）（D）2【答案】B。【考点】向量加减法的几何意义，平面向量基本定理，共线向量定理及其数量积的综合运用。【分析】如图，设，则。又，。由得，即。故选B。例5.（2012年浙江省理5分）设，是两个非零向量【】A．若，则B．若，则C．若，则存在实数，使得D．若存在实数，使得，则【答案】C。【考点】平面向量的综合题。【解析】利用排除法可得选项C是正确的：∵|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实数λ，使得a＝λb，∴选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量，不正确；选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|，不正确；选项D：若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|，不正确。故选C。例6.（年辽宁省理5分）已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|ab|，则下面结论正确的是【】(A)a∥b(B)a⊥b(C)a=b(D)a+b=ab【答案】B。【考点】平面向量的运算，向量的位置关系。【解析】由|a+b|=|ab|，平方可得ab=0，所以a⊥b。故选B。或根据向量加法、减法的几何意义可知|a+b|与|ab|分别为以向量a，b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a+b|=|ab|，所以该平行四边形为矩形，所以a⊥b。故选B。例7.（年全国课标卷理5分）已知向量夹角为，且；则▲【答案】。【考点】向量运算。【解析】∵，∴。∵向量夹角为，且，∴，解得，。例8.（年北京市理5分）已知正方形ABCD的边长为l，点E是AB边上的动点。则的值为▲；的最大值为▲【答案】1；1。【考点】平面向量的运算法则。【解析】如图，根据平面向量的运算法则，得。∵，正方形ABCD的边长为l，∴。又∵，而就是在上的射影，要使其最大即要点E与点B重合，此时。∴的最大值为。例9.（年浙江省理4分）在中，是的中点，，，则▲．【答案】。【考点】平面向量数量积的运算。【解析】此题最适合的方法是特殊元素法：如图，假设ABC是以AB＝AC的等腰三角形，AM＝3，BC＝10，由勾股定理得AB＝AC＝。则cos∠BAC＝，∴＝。例10.（年江苏省5分）如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是▲．【答案】。【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。【解析】由，得，由矩形的性质，得。∵，∴，∴。∴。记之间的夹角为，则。又∵点E为BC的中点，∴。∴。本题也可建立以为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。例