2024年中考数学暑假复习讲义：斜化直

斜化直

【原题呈现】

如图1所示，已知在矩形ABCD中,AB=4,AD=m,动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位长度的速度向点

A运动，连接CP,作点D关于直线PC的对称点E,设点P的运动时间为t（s）.

（1）若m=6,求当P,E,B三点在同一直线上时对应的t的值.

（2）已知m满足在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t,使点E到直线BC的距离等

于3,求m的取值范围.

【研题策略】

来路

图1

1.因为点E是点D关于直线PC的对称点，故点P不管在线段AD上怎么运动，都不会改变APEC的形状（直

角三角形），由/PEC=90。（斜直角），运用“改斜归正，化斜为直”策略，以/PEC为基础进行完形构造，补全“一线

三直角（K型图广，如图2所示，则有△AECs/XCFB,所以次=因=.两问都贯穿此模型.特别地，若两个三角

CFBFBC

形中有一边对应相等，则两个三角形全等.

图3

2.由对称性,PC平分NEPD和NECD,,当P,E,B三点共线时，出现“平分+平行=等腰”，如图3所示的等腰三

角形PBC,PB=BC.

思路

1.如图4所示，在RtACEB中，由ACEMOACBE,,根据射影定理：（CE?=CM•CB可求CM.再由一线三直角

模型APNEAEMeK型图）表示出PN,利用（CM=PN+PD,列方程求t的值.

图4图5

2.如图5所示，在R3CEB中，利用勾股定理求出BE,由等腰三角形BPC,可得BC=BP,即BC=BE+EP,列

方程求t的值.

3.如图6所示，在RtACEB中，利用勾股定理求BE,在RtAABP中，由AB?+=Bp2,列方程求出t的值.

图6

4.如图7所示，换个角度，另辟蹊径，不妨建立平面直角坐标系x

Cy,设点E的坐标为(x,y).在R3CEB中，用等积法求出点E的纵坐

标，然后在平面直角坐标系中由两直线垂直，可得两直线表达式斜率的

乘积为-1,列出等式求解.(注：本解法不要求掌握)

5.第(2)问探究m的取值范围，到直线BC的距离等于3的点的轨

迹是平行于BC且到BC的距离为3的两条直线，点E的轨迹是以CD

为半径的半圆C,两平行线与圆弧应有唯一交点，如图8所示，因此

点E的终点位置在Ei之后，E2之前.

解

(1)解法一如图9所示，过点E作CD的平行线,分别交AD,BC于点N,M.

由题可知,CD=EC=4.

易证△CEM^ACBE,

=里即CM=空=丝=当

CMCECB63

EM2=•MC=(6-2)X旦,EM=延.

13，33

ENPOCME,；U=%

CEEM图9

PN=在七

3

•••CM=ND=PN+PD,2=V5f+t,解得t=6-2^5.

33

解法二如图10所示.

ZBPC=ZDPC,PD//BC,/.ZBPC=ZBCP./.BP=BC=6.

在RtABEC中,BE={BC2-EC2=V62-42=2次.

又BE+EP=BP,即2«+t=6,解得t=6-2g

图10

解法三如图11所示.

Z.BPC=ADPC,PD\\BC,.-.乙BPC=乙BCP.

.\BP=BC=6.

2222

在Rt△BAP^,AB+AP=BP?,即4+(6-t)=6?,解得［=6-2方或t2=6+2,弓(舍去).

解法四如图12所示，以点C为坐标原点建立平面直角坐标系xCy.

50,4)

设各点坐标分别为C(0,0),D(0,4),P(-t,4),E(x,y),

,.,PE_LCE,；.kPE・kCE=-l,即^■△=一1.整理，得t=4、工.

—t—xX4+y

在RtABEC中BE=^UC-I-EC2=吊62—42=2,耳

..1一,BC-y=L-BE-CE,：.y=竺,

223

*当直线斜率存在时，两直线垂直，斜率乘积为-1.

...t=4,4-限=6-2代.

4+4+V5

3

(2)解法一如图13所示，当点P与点A重合时，点E在BC的上方，点E到BC的距离为3.作EQXBC于点Q,延

长QE交AD于点M,则EQ=3,CE=DC=4,ME=1.在RtAECQ中,(QC=V42-32=V7.

vAMEoEQCf.^=^^=^.

ECQC4-7

AD=AE=①

7

MAiP]D

D

QBCN..............

图13图14

如图14所示，当点P与点A重合时，点E在BC的下方，点E到BC的距离为3.过点E作AD的平行线分别

交AB,CD所在直线于点N,M.

在RtAECM中，EM=Vht2-CM2=«2-32=V7.

•••ANEOEMC,延=吗即£=纥五

ECCM43

AD=477.

综上所述，动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t,使点E到直线BC的距离等于3,

m的取值范围是逋<小<4V7.

7

解法二如图15建立平面直角坐标系xCy,点C为坐标原点，设各点坐标分别为C(0,0),D(0,4),P(-t,4),E(x,y).

•;PE±CE,/.kPE-kcE=-l.

上匕-x=-1,即t=4Vg.

-t—xx4y

—3<y<3,.•.应<t<4V7,即±^<m<4〃所以m的取值范围是

77

^Z<m<4近

【举一反三】

1.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为((一1，1),点B在x轴正半轴上，点

D在第三象限的双曲线y=2上，过点C作CE〃x轴交双曲线于点E,连接BE网JABCE的面积为.

3.如图所示,在矩形ABCD中，ZB=3,BC=4,,点E是边AB上一点，且AE=2EB点P是边BC上一点，连接E

P,过点P作.PQ1PE交射线CD于点Q,若点C关于直线PQ的对称点（C，正好落在边AD上，求BP的值.

3.如图所示，已知抛物线（C:y=x2一2x+l的顶点为P,与y