2025高考数学一轮复习 变化率与导数、导数的计算 专项训练【原卷版】

2025高考数学一轮复习31-变化率与导数、导数的计算-专项训练【原卷版】

［A级基础达标i

1.(多选)下列命题正确的是()

A.若/(%)=xsinx—cos%,贝！］/'(%)=sinx—xcosx+sin%

B.设函数/(%)=xlnx,若/'(%o)=2,则无°=e

C.已知函数/(%)=3x2ex,则/'⑴=12e

D.设函数/(%)的导函数为f(x),且/(%)=/+3%尸(2)+Inx,则［⑵=一］

2.已知函数/(%)可导，则lim⑵=()

Av—O2Ax

A./(%)B.r⑵c.f(x)D./⑵

3.已知函数/(%)的导函数是/'(%),且满足/(%)=2%-⑴+ln；则/(1)=()

A.—eB.2C.-2D.e

4.若曲线3/=如久+%25>0)的切线的倾斜角的取值范围是吟,“，则。=()

A.-B.-C,-D.-

24842

5.已知函数/(%)=%(%+2)-minx的图象在点(；))处的切线与直线％+2y=0

5517

A艮

--C--

242D.4

6.函数/(%)的图象与其在点P处的切线如图所示，则/(I)-/'(I)=()

A.-2B.0C.2D.4

7.已知直线I是曲线y=Inx与曲线y=/+久的一条公切线，直线/与曲线y=

2

x+x相切于点(a,。？+«)，则a满足的关系式为()

A.a2+1—ln(2a+1)=0B.a2+1+ln(2a+1)=0

C.次—1—ln(2a+1)—0D./—1+ln(2a+1)—0

8.已知/(%)=2%3+(a-2)x2-3x是奇函数，则过点P(-1,2)向曲线y-7(%)可

作的切线条数是()

A.1B.2C.3D.不确定

9.已知函数/(%)=2ef(e为自然对数的底数)，则曲线y=/(%)在点

(-2/(-2))处的切线方程为.

10.在平面直角坐标系xOy中，点4在曲线y=In久上，且该曲线在点A处的切线

经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数)，则点2的坐标是_____________.

11.与函数/(%)=e2x-l在点(0,0)处具有相同切线的一个函数

为.

12.设函数y=/"(%)是y=/'(%)的导数，经过探究发现，任意一个三次函数/(%)=

ax3+bx2+ex+d(a丰0)的图象都有对称中心(%o，/Oo)),其中&满足/"(&)=0.

已知函数/(%)=2久3—3/+97,贝!Jf岛)+f岛)+f岛)+…+

〃2022、_

/\20237------------------•

[B级综合运用1

13.(多选)若函数y=/(%)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线

互相垂直，则称y=/(%)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()

A.y=cosxB.y=In%C.y=exD.y=x214.(多选)

若函数/(%)==出+ln(x+1)的图象上不存在互相垂直的切线，则a的值可以是

A.-1B.3C.1D.2

15.已知函数/(%)=%+£,若曲线y=/(%)存在两条过点(2,0)的切线,则实数a

的取值范围是___________________.

16.已知函数/(%)=%2-2,g(x)=31nx-ax,若曲线y=/(%)与曲线y=g(x)

在公共点处的切线相同,则实数a=.

17.已知函数/(久)=%—1+/(aeR,e为自然对数的底数).

(1)若曲线y=/(%)在点(1/(1))处的切线平行于久轴，求a的值；

(2)当a=l时，若直线1：y=/cK—1与曲线y=/(%)相切，求直线2的方程.

IC级素养提升1

18.设点P为函数/(%)=|%2+2ax与g(x)-3a2lnx+2bg>0)的图象的公共点，

以P为切点可作直线I与两曲线都相切，则实数b的最大值为()

2343

A.fB,产C,-eaD,卡

19.已知函数/(%)=_%,g(%)=%2+a,曲线y=f(x)在点01/01))处的切线

也是曲线y=g(%)的切线.

(1)若久1=一1，求a；

(2)求a的取值范围.

2025高考数学一轮复习31-变化率与导数、导数的计算-专项训练【解析版】

[A级基础达标J

1.(多选)下列命题正确的是(BD)

A.若/(%)=xsinx—cosx,贝f'(x)—sin%—xcosx+sinx

B.设函数/(%)=xlnx,若/'(%o)=2,则%o=e

C.已知函数/(%)=3x2ex，则/'⑴=12e

D.设函数/(%)的导函数为/'(%),且/(%)=/+3%/'(2)+In%,则/⑵=一］

4

［解析］选BD.对于选项A，/'(%)=sin%+xcosx+sinX,故选项A不正确；

r

对于选项B,/'(%)=Inx+1，则f(x0)=lnx0+1=2,解得%°=e,故选项B正确；

对于选项C,/'(%)=6xex+3x2ex,则/'(I)=6e+3e=9e,故选项C不正确；

对于选项D，/'(%)=2%+3/'(2)+工，贝!］/'(2)=4+3/(2)+,,解得/'⑵=一：,

XZ4

故选项D正确.故选BD.

2.已知函数/(%)可导，则lim八2+2；；)-八2)=(B)

A.f'(x)B.f(2)C./(%)D./(2)

［解析］选B.因为函数f(x)可导，所以f,(x)=即,所以

3.已知函数f(x)的导函数是/'(无)，且满足f(x)=+ln|,则/⑴=(B)

A.-eB.2C.-2D.e

［解析］选B.由题意得,广⑺=2尸⑴+{-Q)z=2f(l)+X.(—?=2.⑴-j,

X

所以/'⑴=2f(l)-1,解得/'(1)=1.

所以/(%)=2x+ln|,则/(I)=2+Ini=2.

4.若曲线了:出!!光+/(a>o)的切线的倾斜角的取值范围是吗吟)，则。=(B)

A.—B.-C.-D.-

24842

［解析］选B.由题知，y'=2+2%22V2H,因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是

X

K*),所以斜率左2遮，则73=2曲，解得

oZ0

5.已知函数/(%)=%(%+2)-minx的图象在点(；))处的切线与直线x+2y=0

垂直，则TH的值为(C)

［解析］选c.由题知/(%)=2%+2—3，因为函数/(%)的图象在点(I))处的切

线与直线％+2y=0垂直，所以「@=2，即3—2/n=2,解得m，故选C.

6.函数/(%)的图象与其在点P处的切线如图所示，则/(I)-/'(I)=(D)

A.-2B.0C.2D.4

［解析］选D.由题意，切线经过点(2,0),(0,4),可得切线的斜率为左=衿=-2,

u-Z

即1(1)=一2.又由切线方程为y=-2%+4，令％=1，得y=2，即/(I)=2,

所以f⑴-尸(1)=2+2=4.故选D.

7.已知直线I是曲线y=Inx与曲线y=/+久的一条公切线，直线/与曲线y=

x2+x相切于点(a,。？+a)，则a满足的关系式为(C)

A.a2+1—ln(2a+1)=0B.a2+1+ln(2a+1)=0

C.a?—1—ln(2tz+1)—0D.a?—1+ln(2a+1)—0

［解析］选C.记/(%)=In%，得/(%)=：,记g(%)=/+%，得/(久)=2%+1.设直

/'(b)=g'(a),

线I与曲线/(%)=In%相切于点(b,lnb),由于I是公切线,则g(a)-f⑻即

=g'(a),

<a—b

-—2a+

b化简得,故选

a2+a-lnba?-1-ln(2a+1)=0C.

---；—n4

、a—b=2a+1,

8.已知/(%)=2%3+(a-2)x2-3x是奇函数,则过点P(-1,2)向曲线y=/(%)可

作的切线条数是(C)

A.1B.2C,3D.不确定

［解析］选C,由题意得/(-x)+/(%)=0，则2(a-2)/=0恒成立，解得a=2,

即/(%)—2%3—3x，/'(%)=6/—3.

设过点P(-1,2)向曲线y=/(%)所作切线与曲线y=/(%)相切的切点为Q(%o,2%：-

3%),

而点P(—1,2)不在曲线y=/(%)上，则6说—3=%祥,整理得4耳+6说-

1=0,

即(2&+1)(2说+2&—1)=0,解得久.=—1或&=言如,即符合条件的切点有

3个,所以过点P(—1,2)向曲线y=/(%)可作的切线条数是3.故选C.

9.已知函数/(%)=2ef(e为自然对数的底数)，则曲线y=/(%)在点

(-2/(—2))处的切线方程为2e2x+y+2e2三Q.

［解析］因为/'(久)=-2e-,f(-2)2e2,/(-2)=2e2，所以所求切线方程为

y—2e2=-2e2(x+2)，即2e2x+y+2e2=0.

10.在平面直角坐标系xOy中，点4在曲线y=In久上，且该曲线在点A处的切线

经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数)，则点2的坐标是(9).

［解析］设A(m,n),则曲线y=Inx在点A处的切线方程为.

又切线过点(一e,-1)，则n+1=《(nt+e).

由n=Inm,解得m—e,n—l.

故点a的坐标为(e,l).

11.与函数/(%)=e2x-l在点(0,0)处具有相同切线的一个函数为一农口叁

案不唯一).

［解析］因为/'(%)=2e2x,可得在点(0,0)处的切线的斜率为2,切线方程为y=2x.

可取y=/+2%,其导数为V=2%+2,在点(0,0)处的切线方程为y=2%,满足题

意.

12.设函数y=/"(%)是y=/'(%)的导数，经过探究发现，任意一个三次函数/(%)=

ax3+bx2+ex+d(a丰0)的图象都有对称中心(%o，/Oo)),其中%o满足/"(%o)=。•

已知函数/(%)=2炉—3/+9%-1则f(短)+f岛)+/岛)+…+

/(篇=皿

［解析］由f(x)=2%3—3%2+9%—1可得f'(%)=6%2—6%+9,f"(x)=12%—6,

令/"(%)=12%—6=0可得%=；/&=2'5-3XG)2+9X］W=：,所

以函数/⑴图象的对称中心为所以/岛)+/喘)=1"岛)+

/(黑)=1，…"(瑞)+/(装)=1，所以/(/)+/(急)+/(急)+…+

/(—)=1011x1=1011.

7V20237

［B级综合运用1

13.(多选)若函数y=/(%)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线

互相垂直,则称y=/(%)具有T性质.下列函数中具有T性质的是(AD)

A.y—cosxB.y—InxC.y—exD.y—x2

［解析］选AD.由题意，若y=/(%)具有T性质,则存在血，打，使得=

-1.对于A,因为/'(%)=-sin%,存在为1=］,肛=一］,使得=-1,

正确;对于B,因为/'(%)=：>0,不存在久1,%2，使得/'(5)/'(%2)=-1，错误；对于

C,因为f(%)=ex>0,不存在久i,久2，使得/'(%1)/'(%2)=-1，错误;对于D,因为

/'(%)=2x,存在久1=1,%2=-；，使得(久2)=4Kl久2=-1，正确.故选AD.

14.(多选)若函数/(%)=当竺+ln(x+1)的图象上不存在互相垂直的切线，则a

的值可以是(AC)

A.-1B.3C.1D.2

［解析］选AC./，(久)-x+-^――a=%+1+-^―-a-1>2/(x+1)--^―-a-1-

A-I_LJCI.L\jA-I.L

1—a,

当且仅当％+1=±，即％=0时，等号成立.

x+1

因为函数/(久)的图象上不存在互相垂直的切线，

所以/'(%)min>0，即1—a20,解得a<l,故选AC.

15.已知函数/(%)=%+盘，若曲线y=/(%)存在两条过点(2,0)的切线,则实数a

的取值范闱是{a|a8或a>0}.

［解析］由题得，/'(%)=1-羡,

设切点坐标为(劭,即+，则切线方程为y-殉-2=(1-京)(久-久0).由切线过

点(2,0),可得-％o-言=(1-算)(2—%0),整理得2说+ax0—a—0.

因为曲线、=/(%)存在两条过点(2,0)的切线,所以方程有两个不等实根,即A=

a2+8a>0,解得a>0或a8，所以实数a的取值范围是{a［a<-8或a>0}.

16.已知函数/(%)=%2-2,g(%)=31nx-ax,若曲线y=/(%)与曲线y=g(x)

在公共点处的切线相同,则实数a=L

［解析］设函数/(%)=%2-2与g(%)=31nx-ax的公共点为(%(),%)),贝(］

(/(劭)=9(久0)，

=g'g)，

说一2=31nx0—ax0,

即《2x---a,则31nxo+辞一1=0.

0%0U

Jo>0,

令九(%)=31nx+x2-1,易得灰%)在(0,+8)上单调递增，由31n%o+说—1=0,

解得尤o=1,所以公共点为(1,一1),所以一1—31nl-a,解得a=1.

17.已知函数/(%)=x-l+J(aeR,e为自然对数的底数).

(1)若曲线y=f(x)在点(1/(1))处的切线平行于久轴，求a的值;

［答案］解：/'(%)=1-，因为曲线、=/(%)在点(1/(1))处的切线平行于％轴,

即1⑴=1-：=0,解得a=e.

(2)当a=1时，若直线l-.y-kx-1与曲线y-7(%)相切,求直线I的方程.

［答案］当a=l时，/(%)=%—1+匕广(%)=1—9.设切点为(右,%)),

因为/(%0)=%0-1+高=左%0-1，①

1(%0)=1-2=k，②

①+②得%o=kx0—1+k,即(/c—l)(x0+1)=0.

若k=l,则②式无解，

所以％0=-1,左=1-e,

所以直线I的方程为y=(l-e)x-l.

[C级素养提升]

12

-X

18.设点P为函数/(%)2与g(x)=3a2lnx+2bg>0)的图象的公共点,

以P为切点可作直线/与两曲线都相切，则实数b的最大值为(D)

3322

234-3-

A-艮-c

-e4-e4-e3-e3

323D.4

2

［解析］选D.设P(%o，yo),因为点P为公共点，所以Q说+2ax0=3alnx0+2b.又点

__0„2

P处的切线相同，则/'(%o)=g'Oo)，即%o+2a=一,即(%o+3a)(%o-a)=0.又

%0

52

-a222

a>0,x0>0，则％o=a>所以2b2—3alna.设九(%)=-X—3xlnx,%>0,

贝！］九'(%)-2x-(1—31nx).当％C(0,e§)时,h(x)单调递增；当％C(嗝+8)时,

h(X)单调递减.故九(%)max=九(a)=|百，所以b的最大值为|e?.故选

D.

19.已知函数f(x)=E-x,g(%)=/+a,曲线y=/(%)在点Oi/(%D)处的切线

也是曲线y=gO