2024年人教版新九年级数学开学摸底考试卷（解析版）

人教版新九年级数学开学摸底考试卷

二次根式、勾股定理、平行四边形、一次函数、数据的分析、

测试范围

一元二次方程、一元二次函数

一、单选题

1.估计(百+石『的值应在()

A.13与14之间B.14与15之间C.15与16之间D.16与17之间

【答案】C

【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，无理数的估算，先根据完全平方公式求出

(0+若『=8+2后，再根据无理数的估算法则求解即可.

【详解】解：(75+A/3)2

=5+3+2715

=8+2715,

012.25<15<16,

03.5<A/15<4,

E7<2A/15<8,

EH5<8+2A/15<16,

故选：C.

2.下列方程中，是一元二次方程的是()

A.JC+2x=0B.x(x-3)=yC.-；—x=1D.y—x2=4

【答案】A

【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2

的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可.

【详解】解：A、x2+2x=o是一元二次方程，符合题意；

B、x(x-3)=y含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；

C、4-x=l不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；

D、y-Y=4含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意;

故选：A.

3.如图，在平行四边形ABCD中，AC=4,BD=6,则3c边的长可能是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的三边关系等知识，根据平行四边形对角线

互相平分可得OC=gAC=2,30=g8。=3,再根据三角形三边关系可得BC的取值范围即

可得出答案.

【详解】解：在平行四边形A3CD中，AC=4,BD=6,

^\OC=-AC=2,BO=-BD=3

22

由三角形的三边关系得，OB-OC<BC<OB+OC,

03-2<BC<3+2,

EI1<BC<5,

E1BC边的长可能是4,不可能是5,6,7,

故选：A.

4.顺次连结一个四边形各边的中点所得的四边形是矩形，那么这个四边形一定是（）

A.矩形B.菱形

C.对角线相等的四边形D.对角线垂直的四边形

【答案】D

【分析】本题考查矩形的判定定理和三角形的中位线的定理，有一个角是直角的平行四边形

是矩形，据此可知顺次连接对角线垂直的四边形的各边中点得到矩形.

【详解】解：如图,

根据题意得，ACLBD,E,F,G,〃是AB,BC,CD,的中点，

aEH〃BD,FG//BD,

0EH〃FG,

同理：EF//HG,

回四边形EFGH是平行四边形.

EAC7BD,

SEH±EF,

回四边形“八^是矩形.

所以顺次连接对角线垂直的四边形的各边中点是矩形.

故选：D.

5.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,8。相交于点0,下列条件不能判定四边形ABCD

为平行四边形的是（）

A.ABCD,AD〃BCB.OA=OC,OB=OD

C.AD=BC,ABCDD.AB=CD,AD=BC

【答案】C

【分析】根据平行四边形的判定定理依次对各个选项进行判定即可.本题主要考查了平行四

边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.

【详解】解：A、根据"两组对边分别平行的四边形是平行四边形"可判定四边形ABC。为平

行四边形，故此选项不符合题意；

B、根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形A3CD为平行四边形，故此

选项不符合题意；

C、有一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，故此选项符合题意；

D、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形TIBCD为平行四边形，故

此选项不符合题意；

故选：C.

6.某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为：8,5,7,

5,8,6,8,则这组数据中位数为（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】本题主要考查了求中位数，根据中位数的定义求解即可.

【详解】解：这组数据从小到大排列为5、5、6、7、8、8、8,

最中间的一个数为7,所以中位数为7,

故选：C.

7.为抬高水平放置的长方体木箱ABCD的一侧（其中AB=2鬲），在下方垫入扇形木块，

其中木块的横截面是圆心角为60。的扇形，假设扇形半径足够长，将木块推至如图所示位置,

AO=2m,则此时木箱8点距离地面高度为（）

A.万mB.2mC.------mD.#1m

3

【答案】D

【分析】本题考查了勾股定理的应用，含30。角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相

关的知识.由特殊角即目标距离构造直角三角形，利用含30。特殊角中边的比例关系设未知

数表示线段长度，利用勾股定理建立等量关系解之即可.

【详解】解：如图，过点B作鹿，ON,

c

M

/ON=60。，

，ZOBE=180°-ZBON-ZBEO=30°,

设OE=x,贝1JOB=2x,

在Rt8EO中，BE2=OB2-OE2,即BE=A，

在RtAEB中，AE2+BE2=AB2，即（2+尤『+3/=（26了，

解得：x=l（负值舍去），

BE=6x=6,

木箱8点距离地面高度为6m,

故选：D.

8.关于龙的一元二次方程炉-尤=:的根的情况是（）

A.没有实数根B.有一个实数根

C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根

【答案】D

【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，炉-4改>0,方程有两个不同的实数根，

b2-4ac=0,方程有两个相同的实数根，b2-4ac<0,方程没有实数根，根据一元二次方

程根的判别式进行判断是解题的关键.

33

【详解】解：尸一无=—,即：/一无一―=0,

44

回-4ac=l2-4xlx[-1）=4>0,

E方程有两个不相等的实数根.

故选：D.

9.直线4：y=左逮+匕与直线=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，关于X的

不等式勺X+。的解集为（）

C.%v—2D.x>3

【答案】C

【分析】本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的"交点”是两个函数值大

小关系的“分界点"，在"分界点”处函数值的大小发生了改变.由图象可以知道，当x=-2时,

两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式+6解集.

【详解】解：两条直线的交点坐标为(-2,3),且当2时，直线6在直线《的上方,

回不等式的&x>左X+8解集为：x<-2.

故选：C.

10.二次函数“/+弧+。=0(〃W0)的图象如图所示，下列结论中错误的是()

2a+b<0C.a+b+c<0D.b1—Aac>0

【答案】B

【分析】本题考查了根据二次函数的图象判定式子符号，熟练掌握二次函数图象与系数的关

系，二次函数的性质，二次函数与不等式的关系，二次函数与一元二次方程的关系是解题的

关键.

根据二次函数图象的开口方向判定A；根据二次函数图象的对称轴为直线》=-9b=1,可判

2a

定B；根据当x=l时，y<0,可判定C；根据二次函数图象与x轴有两个交点，可得出

A=Z?2-4<2c>0>可判定D.

【详解】解：回函数图象的开口向上，

0a>O,故A选正确，不符合题意；

回函数图象与无轴交于两点（0,0）,（2,0）,

回函数图象的对称轴为直线》=岁=1,

回-2=1,

2a

团2Q+Z?=0,故B选错误，符合题意；

当x=l时，><0,

回a+b+c<0,故C选正确，不符合题意；

回函数图象与x轴交于两点，

团A=Z?2-4ac>0,故D选正确，不符合题意；

故选：B.

二、填空题

11.已知直角三角形的两边长分别为3、1.则第三边长为.

【答案】26或M

【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是注意进行分类讨论，①长为1的边是直

角边，长为3的边是斜边时，②长为3、1的边都是直角边时，分别根据勾股定理求出第三

边长即可.

【详解】解：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨

论：

①长为1的边是直角边，长为3的边是斜边时：

第三边的长为：

"一1=布=2夜;

②长为3、1的边都是直角边时：

第三边的长为：

JF+32=回；

回第三边的长为：2母或回.

故答案为：2近或质.

12.已知一次函数y=(2m+l)x+2中，y随x的增大而减小，则机的取值范围是.

【答案】m＜―

【分析】本题主要考查了一次函数的性质.一次函数＞=析+＞，当人＞。时，y随x的增大而

减小；当左＜0时，＞随x的增大而增大.一次函数＞=区+万，当左＜0时，＞随x的增大而

减小.据此列式解答即可.

【详解】解：•.,一次函数y=(2〃z+i)x+2,y随X的增大而减小，

:.2m+l＜0,

解得也＜一4

2

故答案为：m＜--.

13.如图，在直角三角形纸片A3C中，ZC=90,AC=6,3c=8,点。在边BC上，以A。

为折痕，将折叠得到VAB'D,AB'与边BC相交于点E.若为直角三角形,

则8。的长是

【答案】2或5

【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，根据题意和勾股定理得AB=10,以为折

痕，将折叠得到VABZ),则即=。8',AB'=AB=10,分情况讨论问题：当

ZB'DE=90°时，过点8'作？尸，诙，垂足为尸，设3。=D9=x,则A产=6+x,FB'=8—x,

在忒中，由勾股定理得，AB'2^AF2+FB'2,即可得102=(6+X)2+(8-X)2,进行计

算即可得比＞=2,当NHDE=90。时，点C与点E重合，根据AB'=10,AC=6得？E=4,

设BD=DB，=x,则CD=8-x,在MB'DE中,根据勾股定理得，DB'2=DE2+B'E2，可

得犬=(8-X)2+4?,进行计算可得班＞=5,即可得；掌握翻折的性质，勾股定理，能考虑

到分情况讨论问题是解题的关键.

【详解】解：在及二ABC中，ZC=90,AC=6,BC=8,根据勾股定理得,

AB=^AC-+BC-=A/62+82=10，

回以A£)为折痕，将△ABD折叠得到VABN),

回BD=DB'，AB'=AB=\G,

如图1所示，当N3Z>E=90。时，过点笈作〃尸，AF,垂足为F,

设BD=DB'=x,则A产=6+x,FB'=8-x,

在血AFB'中，由勾股定理得，AB'2=AF2+FB'2.

IO2=(6+X)2+(8-X)2,

100=36+12x+.r2+64-16x+x2,

2x2—4尤=0,

x?—2x=0，

x{x-2)=0

占=2,々=0(舍去)，

BBD=2,

如图2所示，当N3Z>E=90。时，点C与点E重合,

回AB'=10,AC=6,

团3'£=4,

设BD=DB'=x,贝！|CD=8—x,

在m中，根据勾股定理得，DB,2=DE1+B,E1^

222

X=（8-X）+4,

炉=64—16%+%2+16,

16%=80,

x=5,

团BD=5,

综上，50的长为2或5,

故答案为：2或5.

14.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形45co的顶点A（l，2）和顶点C（3,0）,直线

y=-x-l以每秒1个单位长度向上移动，经过秒该直线可将平行四边形A3C0的面积

【分析】连接AC、交于点。，过点。任意作直线MN,交Q4于点M,交BC于点N,

证明直线将（0ABe分成面积相等的两部分，说明当直线V=-xT平移后过点。时，将

."MBC分成面积相等的两部分，设直线平移的时间为f,则平移后的直线解析式为

y=_x-l+f,根据中点坐标公式求出。（2,1）,把。（2,1）代入y=-x-l+f得1=-2-1+/,

求出r=4,即可得出答案.

【详解】解：连接AC、交于点。，过点。任意作直线MN,交。4于点M,交BC于点、

回四边形（MSC为平行四边形，

SDA=DC,OD=BD,OA//BC,AB//OC,AB=OC,

0NOMD=NBND,ZMOD=ZNBD,

0OMD沿BND,

同理得：CND,ABD^.COD,

0SOMD=$BND，^/XAMD=t\CND，ABD~COD，

0S四边形&VWB=S四边形CNMO，

国直线MN将口Q4BC分成面积相等的两部分，

团当直线＞=-彳-1平移后过点D时，将;“MBC分成面积相等的两部分，

设直线平移的时间为二,则平移后的直线解析式为y=-元T+/,

回AB〃OC,AB=OC,点A（l,2）和顶点C（3,0）,

05（4,2）,

SD为08的中点，

自0（2,1）,

把。（2,1）代入y=—x—1+r得：1=—2—1+/,

解得：t=4,

团经过4秒该直线可将平行四边形ABCO的面积平分.

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，一次

函数平移，中点坐标公式，解题的关键是根据平行四边形的性质得出当直线y=-x-i平移

后过点。时，将.；Q4BC分成面积相等的两部分.

15.如图，正方形ABC。的边长为4,点、E,尸分别在边DC,BC上，且BF=CE,AE平

分/CAD,连接DF,分别交AE,AC于点G,M.P是线段AG上的一个动点，过点P作

PNLAC,垂足为N,连接则尸M+PN的最小值为—,SMDM=_.

AD

P

一

BFC

【答案】20472

【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质等知

识.证明AWE当△£>(7尸(SAS),则ZDAE=NCDE,再证明，AGM均AG£>(ASA),则GM=G。，

得到AE垂直平分DM,连接80与AC交于点。，交AG于点连接由AE垂直平

分DM,证明证明当点P与点H重合时，尸M+PN的值最小，此时

PM+PN=HM+HO=HD+HO=DO,即PM+PN的最小值是的长，由。。

2

即可得到尸“+PN的最小值为2应，证明AW=AD=4,DO=2日贝U

S1MmM=~"DO=!x4x2夜=4啦.

22

【详解】解：四边形ABCD是正方形，

：.AD=DC=BC,ZADC=NDCB=90。,

BF=CE,

:.BC-BF=DC-CE,

即C5=DE,

AD=DC

在VADE和DCF中，<NADE=ZDCF,

DE=CF

:.AADE^ADCF(SAS),

.\ZDAE=ZCDF,

ZCDF+ZADG=90°,

ZDAE+ZADG=90°,

..ZAGD=90°,

:.ZAGM=9Q0,

:.ZAGM=ZAGD,

AE平分/CW,

:.ZMAG=ZDAG,

又AG为公共边，

AGM^tAGD(ASA),

:.GM=GD,

又-ZAGM=ZAGD=90°,

EIAE垂直平分DW,

连接8。与AC交于点0,交AG于点H,连接

四边形ABCD是正方形,

:.AC±BD,

即。OJ_AAf,

AE1垂直平分。M,

\HM=HD,

当点尸与点〃重合时，PM+PN的值最小，此时PM+RV=RM+HO=RD+HO=DO,即

PM+PN的最小值是DO的长，

「正方形A?C£)的边长为4,

:.AC=BD=4④，

DO=-BD=2^j2,

2

即PM+PN的最小值为2夜，

AE垂直平分。0,

.-.AM^AD=4,

又。。=2&，

S1MM=；AA/g0=gx4x2&=4双,

故答案为：2&;40

三、解答题

16.计算或解方程:

⑴胸-而+忖

⑵]；疵,叵

⑶d-4x+2=0;

⑷2（X+3）2=（X+3）.

【答案】⑴3指

-I

（3）/=2+A/Z,X[=2-y/2,

5

⑷占=-3,x2=——

【分析】本题主要考查了二次根式的加减法计算，二次根式的混合计算；一元二次方程，熟

练掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解答的关键.

（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可；

（2）先化简二次根式，再计算二次根式加法，最后计算二次根式除法即可.

（3）利用配方法解一元二次方程即可；

（4）利用因式分解法解方程即可.

【详解】（1）解：病一回+若

=4石-2遂+6

=3^/5;

3

2

（3）解：移项，得炉-4》=-2

酉己方，得尤2-4X+22=-2+2?

即（x-2）2=2

开方，得尤-2=±e

解得％=2+y[2,X2=2—也：

（4）解：移项,得2（x+3）Z-（x+3）=0

则（x+3）[2（尤+3）—1]=0,即（x+3）（2x+5）=0,

团x+3=0,2%+5=0,

解得占=-3,x2=|.

17.在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图①，小明据此画出该岛的一个数学模

型（如图②的四边形ABC。），AC是四边形岛屿上的一条小溪流，其中？390?,

AB=3C=5千米，。。=收千米，千米.

图①图②

⑴求小溪流AC的长；

（2）求四边形ABCD的面积（结果保留根号）.

【答案】（1）5四千米

⑵（12.5+2何平方千米

【分析】本题考查的是勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，二次根式的乘法运算，割补

法求解图形面积，熟记勾股定理与勾股定理的逆定理是解本题的关键.

（1）根据勾股定理已知直角边求斜边即可；

（2）将四边形分成两个三角形，求证一。为直角，四边形面积为两个直角三角形面积之和

即可.

【详解】（1）解：如图，连接AC,

A

0?B90?,AB=3C=5千米，

0AC=yjAB2+BC2=A/52+52=5A/2（千米）；

（2）解：0AC=5A/2（千米），千米，4。=4也千米.

0AC2=（5A/2）2=50,由=（4可=48,3=（可=2,

SAC2=CD2+AD2,

国"DC是直角三角形，贝IJ?O90?,

0S四边形ABC。=S&ABC+SAAs=；x5x5+gx0x46=（12.5+2"）（平方千米）.

18.如图，已知点E、尸在YABCD的对角线上，且AELCE于点E,ZBAE=ZDCF.

D

求证：

（1）AABE^ACDF；

⑵四边形AEW为矩形.

【答案】（1）见解析

⑵见解析

【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质.

（1）利用平行四边形的性质得到AB=CD,ZABE=ZCDF,再利用ASA即可证明

△ABEdCDF；

^由^旗后空^^几推出短二仃，ZAEB=ZCFD,由邻补角的性质求得NAEF=NCFE,

得到AE〃C/，据此即可证明四边形AECP为矩形.

【详解】（1）证明：回四边形ABC。是平行四边形，

E1AB=CD,AB//CD,

国ZABE=NCDF,

SZBAE^ZDCF,

0AABE^ACDF(ASA)；

(2)证明：EAABE^ACDF,

0AE=CF,ZAEB=ZCFD,

SZAEF=ZCFE,

^\AE//CF,

回四边形AEC厂为平行四边形，

0AE1CE,

团四边形AEC尸为矩形.

19.如图，直线人的解析表达式为y=-3x+3,且4与X轴交于点D直线6经过点4B,

直线4，4交于点c.

⑴求点D的坐标;

⑵求直线4的表达式;

⑶在直线6上存在异于点C的另一点尸，使得△4DP与AADC的面积相等，求点P的坐标.

【答案】⑴点。坐标为。,0)

(2)y=1.5x-6

⑶点尸坐标为(6,3)

【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点、待定系数法求一次函数表达式、两直线的

交点问题、坐标与图形，正确求得函数表达式和交点坐标是解答的关键.

(1)令直线4的解析表达式y=-3x+3=o求解点D坐标即可;

(2)根据图象所给点42坐标，利用待定系数法求解直线4的表达式即可;

(3)先求得点C坐标，进而求得S^oc，然后利用坐标与图形得到点P的纵坐标是3,进

而代入直线4的表达式中求解x值即可.

【详解】(1)解：由y=—3x+3,当y=0,得一3x+3=0,解得x=l,

所以点。坐标为(1,0)；

(2)解：设直线4的解析表达式为〉=H+万，

由图象知直线k经过(4,0)和(3,-1.5),

4k+b=0,k=1.5

得方程组3左+6=-15'解得

b=-6

•••直线4的解析表达式为y=L5x-6；

(3)解：由一3x+3=1.5x—6,解得％=2,贝|丁二一3.

0C(2,-3),

团AZ>=3.

由面积相等得高相等.则

即C纵坐标的绝对值卜3|=3,则P到AD距离为3.

回尸纵坐标的绝对值3,又点尸不与点C重合.

团点P纵坐标是3.

由y=1.5尤一6=3,解得彳=6,

所以点尸坐标为（6,3）.

20.在践行“生态教育，书香校园"读书活动中，我市某校为了解学生每月课外读物的阅读情

况，随机调查了部分学生的每月课外阅读量，绘制成了不完整的条形统计图（图1）和扇形

统计图（图2）.

4木人数

212

0

8

6

4

2

―►

05678本数

图1

（1）被抽查到的学生总数为一人，补全条形统计图;

⑵求被抽查到的学生每月课外阅读量的众数和平均数;

⑶若该校共有学生2000人，估计学生每月课外阅读量不低于7本的人数.

【答案】（1）40,补全条形统计图，见解析

（2）这组数据的平均数是4.4；众数为7；

⑶学生每月课外阅读量不低于7本的人数约为1100人.

【分析】本题考查了扇形统计图与条形统计图的综合，众数，平均数的求解，样本估计总体,

熟练掌握相关定义是解题关键.

（1）根据扇形统计图和条形统计图可知每月课外阅读量为6本的学生有12人，占30%,

可求出抽查学生人数，再求得每月课外阅读量为7本的学生人数，即可补全条形统计图；

（2）根据众数，平均数的定义进行求解即可；

（3）用样本估计总体即可得出结果.

【详解】（1）解：被抽查到的学生总数为：12+30%=40（人），

每月课外阅读量为7本的学生人数有40-6-12-8=14（人），

补全条形统计图，如下，

(2)解：由条形统计图得：

_6x5+12x6+14x7+8x8..

,x=----------------------=4.4,

40

，这组数据的平均数是4.4；

,在这组数据中，每月课外阅读量为7本的人数有14人，出现的次数最多，

•••这组数据的众数为7；

(3)解：2000=1100(人)

40

答：学生每月课外阅读量不低于7本的人数约为1100人.

21.已知二次函数丫=/-01+6在x=-l和x=5时的函数值相等.

(1)求二次函数y=/一如+》图像的对称轴；

⑵若二次函数y=/-ax+6的图像与无轴只有一个交点，求b的值.

【答案】⑴x=2

(2)4

【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与一元二次方程的应用.

(1)依题意结合二次函数对称性可直接求出其对称轴；

(2)由函数与x轴只有一个交点，进而转化为一元二次方程判别式为。建立等量关系求出

b.

【详解】(1)解：回二次函数y=尤？一ax+万在x=-l和x=5函数值相等，

团对称轴为直线x=2.

(2)解：由(1)得，y=x2-4x+b

又回二次函数y=V-4x+b的图象与x轴只有一个交点，

团A=〃-4ac=16—4xlxZ?=16—46=0

解得，b=4

22.2024年是甲辰龙年；作为中华民族的重要精神象征和文化符号，龙的形象贯穿文学、

艺术等各个领域，呈现了平安幸福的美好寓意.某商店进了一批与龙有关的吉祥物，在销售

中发现平均每天可售出20件，每件盈利40元.为迎接"二月二一一春龙节”，商场决定采取

适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存.经市场调查发现：如果每件吉祥

物降价1元，那么平均每天就可多售出2件.要想平均每天销售这种吉祥物盈利1200元，

那么平均每件吉祥物应降价多少元.

【答案】每件吉祥物应降价20元

【分析】设每件吉祥物应降价x元，原来平均每天可售出20件，每件盈利40元，后来每件

吉祥物降价1元，那么平均每天就可多售出2件.要想平均每天销售这种吉祥物盈利1200

元，由止匕即可歹U出方程(40-劝(20+2x)=1200,解方程就可以求出应降价多少元.考查了一元

二次方程的应用，首先找到关键描述语，找到等量关系，然后准确地列出方程是解决问题的

关键.最后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解.

【详解】解：设每件吉祥物应降价了元，则

(40-x)(20+2x)=1200,

解得%=10,毛=20,

因为扩大销售量，增加盈利，减少库存，

回x=20.

答：每件吉祥物应降价20元.

23.【操作】如图①，矩形纸片A3CD中，点尸在上，点。在8上，ZQPC=45°,

将纸片沿尸Q翻折，使顶点C落在矩形ABC。内，对应点为C',R7的延长线交直线AD于

点、M,再将纸片的另一部分翻折，使顶点A落在直线PC上，对应点为4,折痕为MN.猜

想PQ、之间的位置关系为；

【探究】如图②，将矩形纸片ABCD任意翻折，折痕为尸。(尸在3C上，。在上)，使顶

点C落在矩形A5CD内，点C的对应点为。，pc'的延长线交边AD于点“，再将纸片的

另一部分翻折，使点A的对应点4落在尸。上，折痕为MN.

①若AM=CP,求证：PQ=MN.

②当NQPC=30。，AB=6y/3,BC=12,=时，直接写出c'M的长.

【答案】操作：PQ//MN.探究：①证明见解析；②4

【分析】操作：由矩形的性质可得AD〃BC,则=由折叠可知

?QPC?QPCC45?,ZAMN=ZA'MN,于是得至ljNAMP=NMPC=90。，进而得到

ZAMN=ZAMN=45。,由内错角相等，两直线平行即可证明；

探究：①由矩形的性质可得AD〃3C,/A=/C=90。，则NAMP=NMPC,由折叠可知

1AMN1NMP!?AMP,?CPQ?QPM!?MPC,于是得ZAM2V=NCPQ,可得

一AMN”aCPQ,即可证明；②过点M作MG,8c于点G,则BP=4,PC