10.1.2事件的关系和运算课件高一下学期数学人教A版

10.1.2事件的关系和运算一、课前回顾1.设集合M={1,2,3,4},a∈M,b∈M,(a,b)是一个样本点.(1)写出试验的样本空间;(2)用集合表示下列事件:A=“a+b=5”;B=“a<3,且b>1”;C=“ab=4”.解:(1)这个试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.(2)A={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}.B={(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4)}.C={(1,4),(2,2),(4,1)}.二、学习目标1.了解随机事件的并、交与互斥、对立的含义.2.能结合实例进行随机事件的并、交运算.3.学会用集合的关系与运算探究事件的关系与运算.三、自学指导从前面的学习中可以看到，我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件．这些事件有的简单，有的复杂．我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率，所以需要研究事件之间的关系和运算．事实上，利用样本空间的子集表示事件，使我们可以利用集合的知识研究随机事件，从而为研究概率的性质和计算等提供有效而简便的方法．下面我们按照这一思路展开研究．B图10.1-4ABA图10.1-5图10.1-6ABAB图10.1-7A图10.1-8综上所述，事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示如下（表10.1-1)：表10.1-1事件的关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生并事件（和事件)A

与B至少一个发生交事件（积事件)A与B同时发生互斥（互不相容)A

与B不能同时发生互为对立

A

与B有且仅有一个发生11121214121314212324313234414243图10.1-102121214121314212324313234414243图10.1-102分析:根据集合间的包含、交、并、补,来判断事件间的关系和运算.变式1、掷一枚骰子,观察它朝上的面的点数.设事件A=“点数为1”,B=“点数为偶数”,C=“点数小于3”,D=“点数大于2”,E=“点数是3的倍数”.(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件;(2)事件A与C,C与D,D与E之间各有什么关系?解:(1)因为掷一枚骰子,落地时朝上面的点数有1,2,3,4,5,6共6个可能的基本结果,所以试验的样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},事件A={1},B={2,4,6},C={1,2},D={3,4,5,6},E={3,6}.(2)因为A⊆C,所以事件C包含事件A;因为C∩D=⌀,C∪D=Ω,所以事件C与事件D互为对立事件;因为D⊇E,所以事件D包含事件E.1.事件间的运算:2.进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是写出试验的样本空间及各事件的集合表示,利用集合间的运算判断事件间的运算,必要时可利用Venn图判断.提醒:在一些比较简单的题目中,可以根据集合间的关系来判断事件之间的关系,但对于比较复杂的题目,就得严格按照事件间的关系的定义来推理.变式2、某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件A=“只订甲报”,B=“至少订一种报纸”,C=“至多订一种报纸”,D=“一种报纸也不订”.判断下列事件是不是互斥事件;如果是,再判断它们是不是对立事件.(1)A与C;(2)B与D;(3)B与C;(4)A与D.分析:要紧紧抓住互斥与对立事件的定义来判断;或把事件用集合表示,利用集合的关系来判断.解:(方法一:概念法)(1)由于事件C=“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件.(2)事件B=“至少订一种报纸”与事件D=“一种报纸也不订”是不可能同时发生的,故B与D是互斥事件;由于在任何一次试验中,事件B与事件D两者只能发生其中之一,而且也必然发生其中之一,故B与D是对立事件.(3)事件B=“至少订一种报纸”中包括“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”.事件C=“至多订一种报纸”中包括“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”.也就是说事件B与事件C可能同时发生,故B与C不是互斥事件.(4)事件A=“只订甲报”与事件D=“一种报纸也不订”不可能同时发生,故A与D是互斥事件.但在一次试验中,事件A与事件D有可能都不发生,故A与D不是对立事件.所以A与D是互斥事件,但不是对立事件.(方法二:集合法)分别用x1,x2表示甲、乙两种报纸的订阅情况,用数组(x1,x2)表示可能的结果,以1表示订阅报纸,0表示不订阅报纸,则样本空间Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}.A={(1,0)},B={(1,1),(1,0),(0,1)},C={(1,0),(0,1),(0,0)},D={(0,0)}.(1)因为A∩C={(1,0)},所以A与C不是互斥事件.(2)因为B∩D=⌀,B∪D=Ω,所以B与D是互斥事件,且还是对立事件.(3)因为B∩C={(1,0),(0,1)},所以B与C不是互斥事件.(4)因为A∩D=⌀,A∪D≠Ω,所以A与D是互斥事件,但不是对立事件.互斥事件与对立事件的判断方法:(1)利用基本概念:①互斥事件不可能同时发生;②对立事件首先是互斥事件,且必有一个发生.(2)利用集合的观点:设事件A,B所包含的样本点组成的集合表示分别是A,B.①事件A与B互斥,即A∩B=⌀;②事件A与B对立,即A∩B=⌀,且A∪B=Ω(Ω为样本空间),也即A=∁ΩB或B=∁ΩA.特别提醒:对立事件是针对两个事件来说的,而互斥事件则可以是多个事件间的关系.变式3、设一随机试验有A,B,C三个事件,用A,B,C的运算表示以下事件:(1)A,B,C至少有一个发生;(2)A,B,C同时发生;(3)A,B,C都不发生;(4)仅A发生;(5)A,B,C仅有一个发生.分析:按照事件的和、积、对立的定义表示.解:(1)因为A∪B表示事件A,B至少有一个发生,所以事件A,B,C至少有一个发生,用A∪B∪C(或A+B+C)表示;(2)因为A∩B表示事件A,B同时发生,所以事件A,B,C同时发生,用A∩B∩C(或ABC)表示;1.表示多个事件的运算时,要紧扣运算的定义,常用的定义有:(1)事件A不发生用

表示;(2)并(和)事件表示至少有一个发生;(3)交(积)事件表示同时发生.2.出现“至少”“至多”“恰有”等名词,注意分情况讨论.四、目标检测1.把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四人,每人分得1张,那么事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是(

)A.对立事件 B.互斥但不对立事件C.必然事件 D.不可能事件解析:“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不能同时发生,所以它们是互斥事件.又因为甲、乙可能都分不到红牌,即“甲或乙分得红牌”事件可能不发生,所以它们不是对立事件.答案:B2.(多选题)对空中飞行的目标连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设事件A=“两次都击中目标”,B=“两次都没击中目标”,C=“恰有一枚炮弹击中目标”,D=“至少有一枚炮弹击中目标”,则下列关系正确的是(

)A.A⊆D B.B∩D=⌀

C.A∪C=D D.A∪B=B∪D解析:C=“恰有一枚炮弹击中目标”指第一枚击中第二枚没击中或第一枚没击中第二枚击中,D=“至少有一枚炮弹击中”包含两种情况:一种是恰有一枚炮弹击中,一种是两枚炮弹都击中,所以A,B,C正确;D中,A∪B≠B∪D,故D错误.答案:ABC3.某小组有2名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛.在下列选项中,互斥但不对立的两个事件是(

)A.“至少有1名女生”与“都是女生”B.“至少有1名女生”与“至多有1名女生”C.“恰有1名女生”与“恰有2名女生”D.“至少有1名男生”与“都是女生”解析:A中的两个事件之间是包含关系,故不符合要求.B中的两个事件都包括1名女生1名男生的情况,故不互斥;C中的两个事件符合要求,它们是互斥但不对立的两个事件;D中的两个事件是对立事件,故不符合要求.答案:C4.在30件产品中有28件一级品,2件二级品,从中任取3件,记事件A=“3件都是一级品”,则A的对立事件是

.答案:“至少有1件是二级品”5.设A,B,C为一随机试验的三个事件,则事件

表示的意义是

.答案:A,B,C三个事件中,只有事件B发生

五、课堂小结事件的各种关系与运算1.事件的各种关系与运算,可以类比集合的关系与运算,互斥事件与对立事件的概念的外延具有包含关系,即{对立事件}⊆{互斥事件}.2.在一次试验中,两个互斥事件不能同时发生,它包括一个事件发生而另一个事件不发生,或者两个事件都不发生,两个对立事件有且仅有一个发生.３.事件(A+B）或(A∪B）,表示事件A与事件B至少有一个发生,事件(AB）或A∩B,表示事件A与事件B同时发生.课堂小结课堂小结(1)包含关系、相等关系的判定①事件的包含关系与集合的包含关系相似；②两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生．(2)判断事件是否互斥的两个步骤第一步，确定每个事件包含的结果；第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的．(3)判断事件是否对立的两个步骤第一步，判断是互斥事件；第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立．五、课后作业练习（第233页）A组1．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是()(A)至多一次中靶(B)两次都中靶(C)只有一次中靶(D)两次都没有中靶“至少一次中靶”表示两次射击中一次中靶，另一次没中靶或两次都中靶，其对立事件为两次都没有中靶．故选D．D正确错误正确正确正确正确正确正确正确正确1、盒子里有大小和质地完全相同的6个红球、3个白球,现从中任取3个球,设事件A=“取出的3个球中有1个红球、2个白球”,B=“取出的3个球中有2个红球、1个白球”,C=“取出的3个球中至少有1个红球”,D=“取出的3个球中既有红球又有白球”.问:(1)事件D与A,B是什么样的运算关系?(2)事件C与A的交事件是什么事件?解:(1)对于事件D,可能的结果有“1个红球2个白球”“2个红球1个白球”,故D=A∪B.(2)对于事件C,可能的结果有“1个红球2个白球”“2个红球1个白球”“3个红球”,故C∩A=A.B组2、一名射击手进行一次射击.事件A=“命中的环数大于7环”;事件B=“命中的环数为10环”;事件C=“命中的环数小于6环”;事件D=“命中的环数为6,7,8,9,10环”.判断下列各对事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.(1)事件A与B;(2)事件A与C;(3)事件C与D.解:试验的样本空间Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},A={8,9,10},B={10},C={0,1,2,3,4,5},D={6,7,8,9,10}.(1)不是互斥事件,理由:A∩B={10}≠⌀.(2)是互斥事件,但不是对立事件.理由:A∩C=⌀,但A∪C={0,1,2,3,4,5,8