人教版初中八年级数学上册同步讲义-多边形及其内角和（解析版）

第03讲多边形及其内角和

学习目标

课程标准学习目标

1.掌握多边形及其与多边形有关的概念。

①多边形的认识2.掌握多边形的内角和计算公式，内角和公式的推导

②多边形的内角和与外角和过程及其相关计算，掌握多边形的外角和度数。

③正多边形3,掌握正多边形的概念，且根据正多边形的性质解决

相应的题目。

思维导图

边、角.腹点

知识点01多边形的认识

i.多边形的概念:

在平面内，由多条线段首位顺次连接所组成的图形是多边形。组成的线段有多少条，则图形就是一个

几边形。

2.多边形的相关概念:

如图：组成多边形的线段叫做多边形的边；相邻两条边的交点

叫多边形的顶点：相邻两条边构成的角是多边形的角；任

意两个不相邻的顶点间的连线段叫做多边形的对角线：多边形的

边与邻边的延长线构成的角叫做多边形的外角。

题型考点：判断图形。

【即学即练1】

故选：A.

知识点02多边形的内角和外角和

1.多边形的对角线计算：

总结规律：若多边形的边数为“，则多边形一个顶点的对角线条数为3条,多边形所有的对角

线条数为〃（"3）条。

2

2.多边形一个顶点的对角线把多边形分成的三角形数量计算：

由上图总结：一个顶点的对角线分多边形成三角形的个数为：（〃-2）个。

3.多边形的内角和计算公式：

由上图可知，多边形的内角和等于图中所有三角形的内角和之和。即：（〃-2>180°。

4.多边形的外角和：

任意多边形的外角和都等于360。。

题型考点：①利用内角和公式求内角和或求多边形的边数。

②利用多边形的内外角关系计算。

【即学即练11

2.十二边形的内角和是（）

A.1440°B.1620°C.1800°D.1980°

【解答】解：十二边形的内角和等于：（12-2）780°=1800°；

故选：C.

3.若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为（)

A.6B.7C.8D.10

【解答】解：根据〃边形的内角和公式，得

-2)•180=1080,

解得"=8.

这个多边形的边数是8.

故选：C.

【即学即练2】

4.多边形的边数由3增加到2021时，其外角和的度数（)

A.增加B.减少C.不变D.不能确定

【解答】解：•••任何多边形的外角和都是360°,

...多边形的边数由3增加到2021时，其外角和的度数不变,

故选：C.

【即学即练31

5.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180。，则这个多边形的边数是.

【解答】解：设这个多边形的边数为〃,

根据题意，得(«-2)X1800=3X360°-180°,

解得77=7.

故答案为：7.

6.若一个多边形的内角和比外角和大360°,则这个多边形的边数为

【解答】解：设多边形的边数是",

根据题意得，(»-2)780°-360°=360°,

解得“=6.

故答案为：6.

知识点03正多边形

1.正多边形的概念:

每条边都相等，每个内角都相等的多边形是正多边形。

2,正多边形的每个内角计算:

因为正多边形的内角和为(〃-2)180°,每个内角都相等且有〃个内角，所以正多边形的每个内角度数

为：(〃一办180。。

n

3.正多边形的每个外角计算：

正多边形的外角和是360。，每个外角也相等，所以正多边形的每个外角度数为为V。

n

4.正多边形的内角与外交关系：

nn

题型考点：利用正多边形的相关计算公式计算。

【即学即练1】

7.若一个多边形的每个内角都为135°,则它的边数为()

A.6B.8C.5D.10

【解答】解：•••一个正多边形的每个内角都为135。，

...这个正多边形的每个外角都为：180°-135°=45°,

,这个多边形的边数为：360°+45°=8.

故选：B.

8.一个多边形的每一个外角都等于36°,那么这个多边形的内角和是°.

【解答】解：360°+36°=10,

(10-2)X180°=1440°.

即这个多边形的内角和是1440°,

故答案为1440.

9.如果一个正多边形的一个内角与一个外角的度数之比是7：2,那么这个正多边形的边数是()

A.11B.10C.9D.8

【解答】解：设这个正多边形的边数为小

由题意得：—(〃-2)X180=360,

7

解得：〃=9,

故选：C.

题型精讲

题型01多边形的截角问题

【典例1】

如图，在△N8C中，ZC=70",沿图中虚线截去/C,则/1+/2=()

【解答】解：；/C=70°,

.-.Z3+Z4=180°-70°=110°,

.,.Z1+Z2=(180°-Z3)+(180°-Z4)=360°-(Z3+Z4)=250°.

故选：C.

变式1：

一个多边形截去一个角(截线不过顶点)之后，所形成的多边形的内角和是2520°,那么原多边形的边数

是()

A.19B.17C.15D.13

【解答】解：设内角和是2520°的多边形的边数是

根据题意得：(«-2)•180=2520,

解得：H=16.

则原来的多边形的边数是16-1=15.

故选：C.

变式2：

一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°,则原来多边形的边数是()

A.10B.11C.12D.10或11或12

【解答】解：设多边形截去一个角的边数为“，

贝I](«-2)780°=1620°,

解得n=\\,

••・截去一个角后边上可以增加1,不变，减少1,

，原来多边形的边数是10或11或12.

故选：D.

变式3：

一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为1440°,则原多边形的边数是.

【解答】解：设多边形截去一个角的边数为"，

贝I]-2)«180°=1440°,

解得〃=10,

..•截去一个角后边上可以增加1,不变，减少1,

原多边形的边数是9或10或11.

故答案为：9或10或11.

题型02实际生活与正多边形

【典例1】

小华从/点出发向前直走50m，向左转18°,继续向前走50加，再向左转18°,他以同样的走法回到/点

时，共走了m.

【解答】解：•••多边形的边数为360。+18°=20,

小华要走20次才能回到原地，

...小华走的距离为20X50=1000Cm').

故答案为：1000.

变式1：

如图，小明从点/出发沿直线前进10米到达点£向左转45°后又沿直线前进10米到达点C,再向左转

45°后沿直线前进10米到达点。…照这样走下去，小明第一次回到出发点/时所走的路程为()

A.100米B.80米C.60米D.40米

【解答】解：•••小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度，

，他走过的图形是正多边形，

，边数〃=360°+45°=8,

，他第一次回到出发点/时，一共走了8X10=80（m）.

故选：B.

【典例2】

一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1"，然后，原地逆时针方向旋转角。（0。<a<180°）被称为一次

操作.若五次操作后，发现赛车回到出发点，按照向量考虑，则角a为（）

A.72°B.108°或144°C.144°D.72°或144°

【解答】解：360+5=72°,

720+5=144°.

故选：D.

变式1：

活动课上，小华从点。出发，每前进1米，就向右转体a。（0<a<180）,照这样走下去，如果他恰好能

回到。点，且所走过的路程最短，则。的值等于.

【解答】解：根据题意，小华所走过的路线是正多边形，

二边数“=360°,

走过的路程最短，则〃最小，a最大，

〃最小是3,a°最大是120°.

故答案为：120.

题型03正多边形的图形组合

【典例1】

如图，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，贝>Ja的度数为（）

A.36°B.92°C.144°D.150"

【解答】解：如图，

•.•正五边形的每个内角是108°,正方形的每个内角90°,

：.ZOAB=ZOBA=108°-90°=18°,

.,.Za=180°-18°-18°=144°.

故选：C.

变式1：

如图，由一个正六边形和正五边形组成的图形中，的度数应是（）

【解答】解：如图,

所以/1=360°-48°-120°-108°=84°.

故选：B.

变式2：

如图，正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的边CD重合，DH的延长线与AB交于点P,则的度

数是（）

CD

A.83B.84°C.85°D.86°

【解答】解：・.•六边形为正六边形，

/.ZBCD=ZB=(6-2)X180°4-6=120°,

・・•五边形GHCDL为正五边形，

:・CD=CH,ZDCH=(5-2)X180°4-5=108°,

/CDH=ZCHD=^~—=36。，

2

:四边形3cop的内角和为360°,

:.NBPD=360°-120°-120°-36°=84°,

故选：B.

变式3：

把边长相等的正六边形跖和正五边形G8CW的CD边重合，按照如图的方式叠合在一起，延长

MG交AF于点、N,则//NG等于（）

【解答】解：(6-2)X18004-6=120°,

(5-2)X180°4-5=108°,

ZANG=(6-2)X180°-120°X3-108°X2

=720°-360°-216°

=144°.

故选：B.

强化训练

1.八边形的内角和是外角和的（）倍.

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：•八边形的内角和为：（8-2）X1800=1080°,其外角和为360°,

A108004-360°=3（倍），

故选：B.

2.下列角度不可能是多边形内角和的为（）

A.180°B.270°C.540°D.1440°

【解答】解：设多边形的边数为〃（〃23且〃为整数），

则（.n-2）780°=180°,

解得：〃=3,

则/不符合题意；

-2）780°=270°,

解得：“=3.5,

则3符合题意；

-2）780°=540°,

解得：n=5,

则C不符合题意；

（n-2）780°=1440°,

解得：n=10,

则。不符合题意；

故选：B.

3.如图，NC+/O+/E-的度数是（）

A.180°B.240°C.300°D.360°

【解答】解：VZA+ZB+ZAFB=\S0Q,ZCFE=ZAFB,

：.Z^+Z5=180°-ZCFE

：.ZC+ZD+ZE-ZA-ZB

^ZC+ZD+ZE-(/A+/B)

^ZC+ZD+ZE-(180°-ZCFE)

=ZC+ZD+ZE+ZCFE-180°

=360°-180°

=180°,

故选：A.

4.清明节当天八年级某班组织学生去烈士林园为革命先烈扫墓，以此表达对先烈的追思和崇敬之情，细心

灯小明发现革命烈士纪念塔的塔底平面为八边形，这个八边形的内角和（）

A.720°B.900°C.1080°D.1440°

【解答】解：八边形的内角和为：（8-2）X1800=1080°,

故选：C.

5.如图，四边形为一矩形纸带，点、E、方分别在边45、CD上，将纸带沿跖折叠，点4、。的对

应点分别为H、D',若N2=35°,则N1的度数为（)

C.55°D.45°

【解答】解:VZ2=35°,

ZAEA'=180°-35°=145°,

，由折叠性质可得：ZAEF=ZA'EF=^ZAEA'=72.5°,

2

,:AB〃CD,

：.Z2=ZAEF=72.5°,

故选：B.

6.如图，奇奇先从点/出发前进4冽，向右转15°,再前进4冽,又向右转15°,…，这样一直走下去,

C.64mD.96m

【解答】解：•••奇奇从N点出发最后回到出发点/时正好走了一个正多边形，

根据外角和定理可知正多边形的边数为“=360°+15°=24,

则一共走了24X4=96（米）.

故选：D.

7.若一个正多边形每一个外角都相等，且一个内角的度数是140°,则这个多边形是（）

A.正七边形B.正八边形C.正九边形D.正十边形

【解答】解：180°-140°=40°,

360°+40°=9,

这个多边形是正九边形.

故选：C.

8.如图，在五边形/8CDE中，AE//CD,Zl=50°,Z2=70°,则N3的度数是（)

A1E

2

B\/

3\/

CD

A.40°B.50°C.60°D.70°

【解答】解：•・,四边形45CQE为五边形，

・•・其内角和为(5-2)X1800=540°,

■:AE〃CD,

：.ZZ)+Z£=180°,

AZBAE+ZABC+ZBCD=540°-180°=360°,

.,.Zl+Z2+Z3=180°X3-360°=180°,

VZl=50°,Z2=70°,

.*.Z3=180°-50°-70°=60°,

故选：C.

【解答】解：如图，连接4。,

VZ£+ZF+ZEMF=ZMAD+ZMDA+ZAMD=180°,ZEMF=ZAMD,

：.ZE+ZF=/MAD+/MDA,

：.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF

=ZBAM+ZB+ZC+ZCDM+ZMAD+ZMDA

=ZDAB+ZB+ZC+ZADC

=360°,

故答案为：360.

10.如图，正五边形43CQE的对角线AD、CE相交于点R则NCFZ）的度数为

A

【解答】解：•••五边形N5CDE为正五边形，

:.NBCD=NCDE=(5-2)X18O0+5=108°,BC=CD=DE,

：.4BDC=/CBD=NDCE=NCED=®__=36。，

2

.\ZCFD=180°-/BDC-NDCE=180°-36°-36°=108°,

故答案为：108°.

11.如图，四边形480C中，/A4c与4BOC的角平分线相交于点尸，若N3=16°,ZC=42°,则/尸

【解答】解：延长C。交43于点D,0c与4P交于点E,

根据三角形的外角的性质，

NBDC=NC+/BAC=42°+2ZBAP,

ZBOC=ZB+ZBDC=5S°+2/3/尸则/CO尸=29°+ZBAP,

根据三角形的内角和定理，

ZCOP+NP=NC+ZBAP,

所以/P=NC+/A4P-NC。尸=13°,

故答案为：13.

12.将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边与正方形的边CD在同一条直线上，则N20C

的度数是.

【解答】解：•••图中六边形为正六边形，

ZABO=(6-2)X180°4-6=120°,

AZOSC=180°-120°=60°,

:正方形中，OCJ_CD,

：.ZOCB=90°,

/.ZBOC=ISO°-90°-60°=30°,

故答案为：30°.

13.(1)正八边形的每个内角是每个外角的加倍，求他的值；

(2)一个多边形的外角和是内角和的工，求这个多边形的边数.

6

【解答】解：(1):正八边形的每个内角为：(8-2)X180°+8=135°,

,它的每个外角为：180°-135°=45°,

则加=135+45=3；

(2)设这个多边形的边数为"，

则(.n-2)-180°XA=360°,

6

解得：〃=14,

即这个多边形的边数为14.

(1)如图1,判断N4+N3与/C+ND的数量关系：,并证明你的结论.

(2)如图2,//+/8+NC+/£>+/£+/歹+/M的度数为.

(3)如图3,若CF平分/BCD,DE平分N4DC,CF与DE交于点M,ZE+ZF=50°,请直接写出

ZA+ZB=.

【解答】解：(1),/ZAOB+ZA+ZB=180°=ZCOD+ZC+ZD,ZAOB=ZCOD,

：.ZA+ZB^ZC+ZD,

故答案为：ZA+ZB=ZC+ZD；

(2)如图2,连接工£

由(1)得，ZOBA+ZOAB=ZC+ZD,

：.NDAM+NCBE+NC+ND+/E+NF+NM的度数为五边形A