2024年中考数学复习：三角形中的常见模型综合训练（解析版）

培优专题01三角形中的常见模型综合训练

考点大集合

1

卷考点大过关

考点一：三角形的全等模型

・k核总提炼;查漏补缺

全等三角形在中考数学中的重点不是简单的直接考察，而是作为几何题的中间变量，利用全等三角形的

对应边相等、对应角相等，来传递等量线段或者等价角。而当题目不直接考察时，识别需要的全等模型，

并利用对应结论做题就是最为重要的一个突破口，学习模型，运用模型结论直接做题会给我们提供一个非

常重要的做题思路。

・题型特训•精准提分

题型01三角形常见全等模型及其应用

解题大招：全等常见模型:

①K型图：

图形条件与结论辅助线注意事项

A条件：AC=BC,AC1分别过点A、BK型图可以和等腰直角三

BC作AD1/角板结合，也可以和正方

结论：BE1/形结合

L—DCEAADC^ACEB(AAS)

K型全等模型变形——三垂定理:

如图，亦有△ADC"4CEB(AAS)

总结：当一个直角放在一条直线上时，常通过构造K型全等来证明边相等，或者边之间的数量关系

②手拉手:

模型名称几何模型图形特点具有性质

全''连结BD、CE

等/VE©△ABD^AACE

型②△AOBs\HOC

AD=AEZ

手Y③旋转角相寺

AB=AC

拉(BPZl=zC2=Z3)

ZBAC=ZDAE

手/w④A、B、C、D四点共圆

⑤AH平分立BHE

③倍长中线:

基本图形辅助线条件与结论应用环境

①倍长中线常和△三边

延长AD到点E,条件：ZiABC,AD=BD关系结合，考察中线长的

使DE=AD,连接CE取值范围

玲结论：②倍长中线也可以和其

\/

△ABD^ACED(SAS)他几何图形结合，考察几

1何图形的面积问题

【中考真题练】

1.（2023•长春）如图，工人师傅设计了一种测零件内径N3的卡钳，卡钳交叉点。为也4，、39的中点,

只要量出的长度，就可以知道该零件内径N3的长度.依据的数学基本事实是（

A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

C.两条直线被:一组平行线所截，所得的对应线段成比例

D.两点之间线段最短

【分析】根据点。为44'、59的中点得出CM=O4,OB=OB',根据对顶角相等得到乙4。8=/4。夕,

从而证得和△409全等，于是有48=43',问题得证.

【解答】解：：点。为/4、38的中点，

：.OA=OA',OB=OB',

由对顶角相等得

在△NO8和△©O夕中，

'0A=0A'

-NAOB=NA'OB'，

OB=OBy

.,.△AOB//\AOB，（SAS）,

：.AB=A'B',

即只要量出的长度，就可以知道该零件内径28的长度，

故选：A.

2.（2023•重庆）如图，在Rtz\/8C中，ZBAC=90°,AB=AC,点、D为BC上一点"连接NO.过点3

作BELAD于点E,过点C作CFLAD交AD的延长线于点F.若BE=4,CF=1,则昉的长度为3.

【分析】先证明p（44S）,根据全等三角形的性质可得/尸=3E=4,4E=CF=1,进一

步可得防的长.

【解答】解：,:BEUD,CFLAD,

：.ZBEA=ZAFC=90°,

:.NBAE+N4BE=9Q°,

VZBAC=90°,

AZBAE+ZFAC=90°,

ZFAC=NABE,

在△N3E和/中，

,ZBEA=ZAFC

，ZABE=ZFAC-

,AB=AC

:.AABE出ACAF（AAS）,

：.AF=BE,AE=CF,

；BE=4,CF=\,

:.AF=BE=4,AE=CF=\,

:.EF=AF-AE=4-1=3,

故答案为：3.

3.（2023•呼和浩特）如图，在RtA48C中，ZABC^9Q°,AB=BC,AC=4近，点P为NC边上的中点,

PM交AB的延长线于点M,尸N交3C的延长线于点N,且尸MLLPN.若敏=1,则△「」村的面积为（）

A.13B.V13C.8D.空

2

【分析】依据题意，连接5P,然后先证明△BMPgZiCNP从而CN=BP=1,又由等腰可得

BC=4,从而在RtZXMBN中可以求得A/M又MP=NP,从而可得MN的值，进而可以得解.

在RtZ\A8C中，ZABC=90°,

•.•48=2C,点尸为NC边上的中点，

C.BPLAC,NCBP=NABP=Z/ABC=45°,NBC4=45°,BP=CP=Lc=2近.

22

:.NMBP=NNCP=180°-45°=135°.

'JBPLAC,PMLPN,

：.ZBPM+ZMPC=90°,ZCPN+ZMPC=90°.

NBPM=ZCPN.

又BP=CP,ZMBP=ZNCP,

:.丛BMPS丛CNPCASA）.

:.BM=CN=1,MP=NP.

在RtzXAPC中，8c=4BP2yp2=4.

在RtAMBN中，MN=VBM2+BN2=Vl2+52=^26.

又在Rt/XMPN中，MP=NP,

：.MP2+NP2=MN2.

：.MP=NP=^p^.

：.SAPMN=—MP-NP=1^-.

22

故选：D.

4.（2023•湖北）如图，ABAC,和△/斯都是等腰直角三角形，/B4C=/DEB=/AEF=90°,

点E在△/2C内，BE>AE,连接交/E于点G,DE交AB于点、H,连接CF.给出下面四个结论：

①/DB4=NEBC；②/BHE=/EGF；③AB=DF；④AD=CF.其中所有正确结论的序号是①

⑶⑷.

【分析】由等腰直角三角形的性质可得出//5C=/D2E=45°,可得出①正确；证明△BE/g/VJE尸

(&4S),由全等三角形的性质得出可得出③正确；由直角三角形的性质可判断②不正确；

证明四边形。尸C4为平行四边形，由平行四边形的性质可得出D/=CR则可得出答案.

【解答】解：△。即都是等腰直角三角形，

:.NABC=NDBE=45°,

ZABC-ZABE=ZDBE-AABE,

：.ZEBC=ZDBA,

故①正确；

,:ADEB和△/所都是等腰直角三角形，

:.BE=DE,AE=EF,NBED=NAEF=9Q°,

：.NBEA=/DEF,

・••△BEA/ADEF（SAS）,

：・AB=DF,ZABE=ZEDF,ZBAE=ZDFE.

故③正确；

VZBEH=ZGEF=90°,

；・/ABE+/BHE=90°,/EGF+/DFE=90°,

■:BE>AE,

・・・/ABEW/AEB,

：./ABE7ZDFE,

：./BHE#ZEGF；

VZBAC=90°,ZEAF=45°,

AZBAE+ZE4C=45°,

又♦；NAFD+/EFG=45°,ZBAE=ZDFE,

：.ZDFA=ZFAC,

J.DF//AC,

■:AB=DF,AB=AC,

：・DF=AC,

・•・四边形。尸C4为平行四边形，

：.DA=CF.

故④正确.

故答案为：①③④.

5.（2023•遂宁）如图，以△45。的边45、4C为腰分别向外作等腰直角△42E、AACD,连结瓦入BD、

EC,过点4的直线/分别交线段。回、5C于点M、N.以下说法：①当45=4C=5C时，ZAED=30°；

②EC=BD；③若45=3,AC=4fBC=6,则QE=2愿；④当直线时，点M为线段的中

点.正确的有①②⑷.（填序号）

【分析】由4B=4C=BC,得/B4c=60°,因为AC=AD,ZBAE=ZCAD=90°,所以ZE

=AD,ZEAD=nO°,则N/ED=N/OE=30°,可判断①正确；由NC4O=NA4E=90°,推导出

ZCAE^ZDAB,可证明△口£之△D4B,得EC=BD,可判断②正确；设8。交NE于点G,交CE于

点。，可证明NEO8=90°,则/。。£)=/3。。=/。。片=90°,可根据勾股定理推导出。炉+8。2=

BE2+CD2,可求得8炉=452+/炉=]8,CD1^AD-+AC1^32,BC?=36,则。五#2向，可判断

③错误；当直线/L8C时，作斯〃40交直线/于点R连接。尸，可证明△瓦4尸丝△/2C,贝尸=/C

=4D,所以四边形NDFE是平行四边形，则”为线段。E的中点，可判断④正确，于是得到问题的答

案.

【解答】解：'：AB=AC=BC,

：.ZBAC=60°,

,:AE=AB,AC=AD,/BAE=/CAD=90°,

；.AE=AD,N£4D=360-60°-90°-90°=120°,

ZAED=ZADE=^X(180°-120°)=30°,

2

故①正确；

■:NCAD=NBAE=90°,

：.ZCAE=ZDAB=90°+ZDAE,

：./\CAE^/\DAB(SAS),

：.EC=BD,

故②正确；

如图1,设2。交NE于点G,交CE于点。，

ZAEC=AABD,ZOGE=ZAGB,

：.ZAEC+ZOGE=ZABD+ZAGB=90°,

：.ZEOB=90°,

AZCOD=ZBOC=ZDOE=90°,

：.DE2+BC2=OD1+OE1+OB-+OC1=BE2+CD2,

AE=AB=3,AD=AC=4,BC=6,

：.BE2=AB2+AE2=32+32=18,CD2=AD2+AC2=42+42=32,5C2=62=36,

:・DE='>/BE2-^D2-BC2=V18+32-36=V14W2M,

故③错误；

当直线/_LBC时，如图2,作所〃交直线/于点尸，连接。咒

:/AEF+NDAE=18Q°,ZBAC+ZDAE=180°,

/AEF=ABAC,

■:/ANB=NBAE=90°,

：.ZEAF=ZABC=900-ZBAN,

,:EA=AB,

A/\EAF^/\ABC(ASA),

：.EF=AC=AD,

...四边形ADFE是平行四边形,

为线段的中点，

故④正确，

故答案为：①②④.

图2

6.(2023•鞍山)如图，在正方形/8C。中，点〃为C。边上一点，连接将■绕点4顺时针旋

转90°得到△4BN,在MW,NN上分别截取4E,AF,使AE=AF=BC,连接£巴交对角线2。于点G,

连接/G并延长交8c于点若NM=空，CH=2,则/G的长为—理」.

37

【分析】解法一：由旋转的性质得/M=4V,DM=BN,/MAN=90°,ZDAM=ZBAN,ZAMD=Z

ANB,连接DE,BF,由等线段减等线段相等可得尸N=EM,于是可通过S4S证明△AFN丝得

到2尸=。£,易得AF=AB,AE=4D,由三角形内角和定理可得//2尸=//必=工(180°-/BAF),

2

ZADE^ZAED=1.(180°-NDAE),由/D4E=NBAF得至“NABF=N4FB=/4DE=/AED,易

2

得△/匹为等腰直角三角形，根据等角减等角相等可知NGF5=NGDE,于是可通过44s证明△GEBg

△GDE,得至1」尸G=OG,BG=EG,进而可通过SSS证明得到/D4H=NN4H,由平

行线的性质可得乙4/W=NM4〃，贝空，设BH=x,则/3=BC=x+2,BN=^^,

33

在RtZ\4BN中，利用勾股定理建立方程，求得xi=6,„=L即3〃=6或工，过点G作PG//BC,交

x233

AB于点、P,易得乙APGS^ABH,由相似三角形的性质得£望_,易得△P2G为等腰直角三角形，PG

PGBH

PB,分两种情况讨论：①当3〃=6时，AB=BC=8,则理_工殳=_1,进而可设4P=4a,PG=3a=

PGBH3

PB,由4B=4P+P3=8,解得a总，在RtZUPG中，利用勾股定理即可求出NG的长；②当即工时，

73

AD=CD=AB=L,此时点M在CD的延长线上，与题意不符.

3

解法二：同解法一可得红，没BH：x,BN=y,贝U5C=x+2=45,AN=x+y,以此可建

3

-25

x+y=《-x=6_1

O

立关于x,y的方程组，,解得：＜7或，'W,再同解法一讨论即可得出

/\22/25、2

(x+2n)+y=(―)y=8

【解答】解：解法一：・・,将△4/)河绕点4顺时针旋90°得到△%加,

:.AM=AN,DM=BN,NMAN=90°,/DAM=/BAN,ZAMD^ZANB,

如图，连接DE,BF,

'：AE=AF=BC,FN^AN-AF,EM=AM-AE,

:.FN=EM,

在△瓦W和中,

'BN=DM

<NFNB=NEMD，

FN=EM

:.丛BFN/XDEMQSAS),

：.BF=DE,

:四边形/BCD是正方形，

；./ADB=NABD=45°,AB=AD=BC,

：.AF=AB,AE=AD,

：.AABF和△/££(都是等腰三角形，

：.ZABF=ZAFB=1-(180°-/BAF),ZADE=ZAED=1.(180°-/DAE),

22

ZDAE=ZBAF,

：.NABF=NAFB=N4DE=ZAED,

；AF=AE,ZMAN=90°,

4AFE为等腰直角三角形，

:.NAEG=NAFG=45°,

,：ZGDE=ZADE-NADB=ZADE-45°,

ZGFB=NAFB-ZAFG=NAEB-45°,

：.ZGFB=ZGDE,

在△GFB和△GDE中，

'NBGF=NEGD

<ZGFB=ZGDE-

tBF=DE

：./\GFB^/\GDE(AAS),

:.FG=DG,BG=EG,

在△4FG和△NOG中，

'AF=AD

<FG=DG，

AG=AG

:•△AFG/AADGCSSS),

ZE4G=ZDAG,即

,:AD〃BC,

：.ZDAH=ZAHN,

：./AHN=/NAH,

:.AN=NH=AM=2L,

3

设BH=x,贝！|A8=8C=5H+C7f=x+2,BN=NH-BH=-^--x,

在RtZ\/3N中，AN2=BN2+AB2,

,/25、2,25\2/、2

,,(—)=(~^--x)+(x+n2)，

解得：X1=6,Kc」，

X23

.•.昉r=6或L

3

如图，过点G作尸G〃3C,交4B于点、P,

•■--AP=---P-G-,"g-n-A--P=---A-B-,

ABBHPGBH

■:PG//BC,

・・・NG尸8=180°-ZPBH=1SO°-90°=90°,

TN尸5G=45°,

：・/PGB=90°-N尸5G=45°=/PBG,

:.PG=PB,

①当BH=6时，AD=CD=AB=BH+CH=8,

•-・-A-P二AB=—8=—4,

PGBH63

・••设4尸=4a,PG=3a=PB,

•:AB=AP+PB=8,

4。+3a=8,

解得「专

在中，22=2(2=5a=;

RtZ\NPGAG=VAP+PG7(4a)+3a)-y

②当BH」时，AB=CD=BC=BH+CH=工，

,:DM=8>CD=1~,

3

...点”在CD的延长线上，与题意不符.

综上，AG的长为也.

7

解法二：同解法一可得4N=M/=4W=2且,

3

设BH=x,BN=y,

:.BC=BH+CH=x+2=AB,AN=BH+BN=x+y,

在RtZUBN中，AB2+BN1=AN1,

J25

,x+y=l-

・・<,

z11\22,25、2

(x+2)+y=(—)

'x=6f

解得：，7,,*3,

方|y=8

同解法一讨论，即可得出/G=也.

7

故答案为：40

7

7.(2023•大连)如图，AC=AE,BC=DE,8C的延长线与DE相交于点尸，ZACF+ZAED=^O°.求

证：AB=AD.

【分析】由已知//。尸+//皮）=180°,可得到NZC2=N4E。，再利用S4s证明△/BCq△40£1,从

而得到/8=力。.

【解答】证明："：ZACF+ZAED=ISO°,ZACF+ZACB=l?,0o,

：.ZACB^ZAED,

在△4BC和△4OE中，

，AC=AE,

-ZACB=ZAED,

BC=DE,

:.AABCgA4DE(S4S),

：・AB=AD.

8.（2023•遂宁）如图，四边形N8CD中，/D〃BC,点。为对角线8。的中点，过点。的直线/分别与

AD,3C所在的直线相交于点E、F.（点£不与点。重合）

(1)求证：ADOEmABOF；

(2)当直线/_L3D时，连结BE、DF,试判断四边形E8FD的形状，并说明理由.

【分析】(1)由/D〃2C,得NODE=NOBF,而0。=。8,ZDOE=ZBOF,即可根据全等三角形的

判定定理证明

(2)由00=05,直线/经过点。且WDE=BE,DF=BF,由△OOE四△30尸，得DE=BF,

则DE=BE=DF=BF,所以四边形EBFD是菱形.

【解答】(1)证明：

：./ODE=/OBF,

:点。为对角线5D的中点，

：.OD=OB,

在AD0E和4台。尸中，

fZODE=ZOBF

<OD=OB，

LZDOE=ZBOF

:.丛D0E"4B0F(ASA).

(2)解：四边形EAED是菱形，理由如下：

•：OD=OB,直线/经过点。且

直线I是线段BD的垂直平分线，

：.DE=BE,DF=BF,

"：ADOE沿ABOF,

：.DE=BF,

,:DE=BE=DF=BF,

...四边形班FO是菱形.

9.(2023•巴中)综合与实践.

(1)提出问题.如图1,在△48C和△4DE中，/BAC=/DAE=9G°,S.AB=AC,AD=AE,连接

BD,连接CE交AD的延长线于点。.

①4BOC的度数是90°.

②BD：CE=1：1.

(2)类比探究.如图2,在△45。和△DEC中，ZBAC=ZEDC=90°,S.AB=AC,DE=DC,连接

AD、BE并延长交于点。

@ZAOB的度数是45°；

@AD：BE=

(3)问题解决.如图3,在等边△/2C中，4D_L3c于点。，点£在线段40上(不与/重合)，以

/£为边在的左侧构造等边△NM,将△，跖绕着点4在平面内顺时针旋转任意角度.如图4,M为

所的中点，N为的中点.

①说明△MVD为等腰三角形.

②求乙的度数.

【分析】(1)(2)从图形可辩知，这个是手拉手全等或相似模型，按模型的相关结论解题.

(3)稍有变化，受前两间的启发，连接8RCE完成手拉手的构造，再结合三角形中位线知识解题.

【解答】解：(1)(1),：ZBAC=ZDAE=9Q°,

：.ABAC-NDAC=NDAE-ZDAC,

：.ZBAD=ZCAE.

又；AB=4C,AD=AE,

:.△BAD^dCAE(&4S).

/4BD=ZACE,

：NR4C=90°,

/ABC+/ACB=ZABD+ZOBC+ZACB^90°,

?.ZACE+ZOBC+ZACB=90°,

即：ZBCE+ZOBC=90°,

AZBOC=90°.

故4BOC的度数是90°.

②由①得△240名

：.BD=CE.

故8。：CE=1：1.

(2)@'：AB=AC,DE=DC,

•ABAC

"DF'DC"

又：NBAC=/EDC=90°,

△NBCsADEC,

:.N4CB=NDCB,匹

ACDC

ZACE+ZECB=ZDCA+ZACE,

：.ZECB=ZDCA.

:.△ECBsADCA,

:.NCBE=NCAD,

：.ZAOB=lSQa-ZABO-N2/O=180°-ZABO-ZCAD-N8/C=180°-ZABO-ZCBE-90°

=180°-45°-90°=45°.

故的度数是45°.

②由①得：AECBsADCA.

:.AD：BE=DC：EC,

■:NEDC=90°,S.DE=DC,

：.ZDCE=45°,

AD£=COS45°=迈.

EC2

AD：BE=1：V2.

(3)①解：连接3RCE,延长CE交MN于点、P,交BF于点、O.

在等边△/BC中/8=/C,又于点。，

为8C的中点，

又为斯的中点，N为2E的中点，

:.MN、ND分别是ABEF、△BCE的中位线，

:.MN=LBF,DN=LEC.

22

；/E4E=/BAC=60°,

NE4E+NEAB=ZBAC+ZEAB.

：.NE4B=ZEAC.

在和△48尸中,

'AF=AE

<ZFAB=ZEAC-

LAB=AC

:.AACE沿AABF(S/S).

：.BF=EC.

:.MN=DN.

:AMND为等腰三角形.

②:FACE当A4BF,

：.NACE=/ABF,

由(1)(2)规律可知：ZBOC=60°,

：.ZFOC=180°-ZSOC=180°-60°=120°,

又,：BF〃MN,CP//DN,

：.ZMND=ZMPE=ZFOC=120°.

图5

【中考模拟练】

I.（2023•三穗县校级一模）如图，点，£分别为△48C的边48,NC上的点，连接并延长至R使

EF=DE,连接FC.若FC〃4B,AB=5,CF=3,则8。的长等于（）

A.1B.2C.3D.5

【分析】由尸C〃/8得，ZDAE=ZFCE,再利用44s证明△£）/£1丝△尸C£,得4D=CF,从而解决问

题.

【解答】,JFC//AB,

：.NDAE=ZFCE,

在△£)/£与△bCE中，

,ZDAE=ZFCE

'NAED=/CEF，

.DE=EF

:.ADAE出LFCE(AAS),

：.AD=CF,

,:CF=3,

：.AD=CF=3,

又,：AB=5,

：.BD=AB-AD=5-3=2,

故选：B.

2.(2024•昆山市一模)如图，在平行四边形48CD中，AD=5,48=6衣，是锐角，CE_L4D于点E,

厂是CD的中点，连接AF,EF.若/EFB=90°,则CE的长为2g.

【分析】如图，延长8/交/〃的延长线于0,连接BE,设DE=x,首先证明△8CF之(44S),

得出EQ=BE=x+5,利用勾股定理构建方程即可解决问题.

【解答】解：如图，延长8b交/。的延长线于0,连接5E,设DE=x,

:四边形ABCD是平行四边形,

J.DQ//BC,AD=BC=5,

:./Q=/CBF,

,:DF=FC,ZDFQ=ZBFC,

:.丛BCFW丛QDF(AAS),

：.BC=DQ,QF=BF,

；/MB=90°,

：.EFLQB,

.\EQ=BE=x+5,

u

：CE.LADfBC//AD,

：.CEA.BC,

：.ZDEC=ZECB=90°,

'：CE2=DC2-ED2=EB2-BC2,

(6A/2)2-x2—(x+5)2-52,

整理得：2，+10x-72=0,

解得x=4或-9(舍弃)，

:.BE=9,

CE=7BE2-BC2=792-52=2>/14-

故答案为：2日.

3.（2023•福田区二模）如图，正方形A8CD的边长为8,对角线/C,3。相交于点O,点N分别在

边3C,CD上，且NVON=90°,连接MV交0c于尸，若BM=2,则OP・OC=20.

【分析】过点。作OEL8C于点E,根据正方形的性质可得05=。。=。。，ZBOC=ZCOD=90a,

NO8C=/OCB=NOCD=45°,再根据同角的余角相等可得N3OA/=NCON,以此即可通过N&4证明

/\OBM^/\OCN,得到2M=CN=2,OM=ON,进而得到NCW=/OCM=45°,易证明△OMPs4

OCM,根据相似三角形的性质可得理_旦巳，即。P・OC=O序，由等腰直角三角形的性质可得OE=3£

OC0M

=4,则ME=2,最后根据勾股定理即可求解.

【解答】解：如图，过点。作。于点E,

•/四边形ABCD为边长为8的正方形,

：.OB=OC=OD,BC=8,BDLAC,

：.ZBOC=ZCOD=90°,ZOBC=ZOCB=ZOCD=45°,

VABOC=ZBOM+ZCOM=90°,

又ZMON=ZCOM+ZCON=90°,

ZBOM=ZCON,

在AOBM和△OCN中,

，ZBOM=ZCON

-OB=OC，

,ZOBM=ZOCN

：./\OBM^/\OCN（ASA）,

:.BM=CN=2,OM=ON,

丛MON为等腰直角三角形，

：.NOMN=/0NM=45°,

：.ZOMP^ZOCM=45°,

ZPOM=NMOC,

:.丛OMPs丛OCM,

•••0-M=--O-P,

0C0M

C.OP'OC^OM1,

VZBOC=90°,OB=OC,OELBC,

.".OE=BE=~^l（j=4,

：.ME=BE-BM=2,

在RtAOME中,。胎=OE2+ME2,

.•.OA/2=42+22=20,

：.OP-OC=20.

故答案为：20.

4.（2024•河南一模）如图，在菱形O4BC中，48。。=60°,点C（-3,0）,点。在对角线20上，

且00=22。，点£是射线/。上一动点，连接。E,尸为x轴上一点（尸在左侧），且/ED尸=60°,

连接即，当△。跖的周长最小时，点£的坐标为（）

A.(1,3)B.(-1,-Vs)c.(.1,亨)D.(0,0)

【分析】先说明△£>£下是等边三角形，再利用垂线段最短找到点E的位置，最后确定E的坐标.

【解答】解：如图，取点G(-2,0),连接。G,

:四边形CM2C是菱形点C(-3,0),

OC=OA=BC=3,

•；NBCO=60°,

J.ABCO是等边三角形，

・・・。5=3,ZBOC=60°,

•；OD=2BD,

：.OD=2,

U：OG=2,

•••△OG。是等边三角形，

：.ZGDO=60°,DG=DO,

VZEDF=60°,

・•・ZFDG=ZEDO,

VZFGD=ZEOD=120°,

AAFDG^^EDOCASA),

:・DF=DE,

即是等边三角形，

/./\DEF的周长最小时，DE最小，

如图，过。作DE_L。/,垂足为E,过E作EH_Lx轴，垂足为H,

RtZXDOE中，NDOE=60°,OD=2,

：.OE=loD^l,

2

RtZ\O£77中，ZEOH=60a,

0H=XJOE=—,EH=OE,sinAEOH=OE,sin60°

222

故选：c.

5.（2023•长春模拟）两个大小不同的等边三角形三角板按图①所示摆放.将两个三角板抽象成如图②所

示的△/8C和△/£>£,点8、C、。依次在同一条直线上，连接CE.若CD=1,CE=3,则点/到直线

BC的距离为一百_.

图①图②

【分析】首先根据等边三角形的性质得/A4c=60°,AB=AC,ND4E=60°,AD=AE,进而可得出

ZBAD=ZCAE,据此可依据“S/S”判定和全等，从而得出BD=CE=3,进而得8C=2,

然后过点/作于点X,在中，利用勾股定理可求出的长.

【解答】解：:△/BC和△4DE均为等边三角形，

AZBAC^6Q°,AB=AC,NDAE=60°,AD=AE,

：.ZBAC=ZDAE,

ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,

即：ZBAD=ZCAE,

在△48。和△NCE中，

'AB=AC

,ZBAD=ZCAE-

LAD=AE

:AABD出AACE（.SAS）,

:.BD=CE,

即：BC+CD=CE,

'：CD=\,CE=3,

：.BC+\=3,

:.BC=2,

图①图②

；△NBC是等边三角形,

■,•BH=CH=yBC-1x2=l'"=BC=2,

在RtZ\/77C中，AC=2,CH=1,

由勾股定理得：AH=VAC2-CH2=^22-12=V3-

点A到直线BC的距离为近.

故答案为：V3.

6.(2024•雁塔区校级二模)已知：如图，点E、F在上，AF与DE交于点、G,AB=DC,GE=GF,

【分析】由G£=GF,得出4G跖为等腰三角形，即/G£F=NG/E再判定A/B尸也aDCE,根据/尸

-GF=DE-GE,即可得出结论.

【解答】证明：-：GE=GF,

.•.△GE/为等腰三角形，

：.ZGEF=ZGFE,

:在尸和△OCE中，NB=NC,

/A=ND,

在△48尸和△DCE中，

rZA=ZD

，AB=DC，

LZB=ZC

:.△ABF咨ADCE(ASA),

:.AF=DE,

又,：GF=GE,

：.AF-GF=DE-GE,

即AG=DG.

7.(2024•凉州区一模)某同学用10块高度都是5c%的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，

木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(N4SD=90°,BD=BA)，点8在C£上，点/和。

分别与木墙的顶端重合.

(1)求证：△ACB9ABED；

(2)求两堵木墙之间的距离.

D

【分析】(1)根据题意可得/C=2C,ZACB=90°,ADLDE,BE1,DE,进而得到N/£>C=NC£8=

90°,再根据等角的余角相等可得NDNC,再证明△/OC丝△CE8即可；

(2)利用全等三角形的性质进行解答.

【解答】(1)证明：由题意得：AB=BD,NABD=90°,ACLCE,DELCE,

；.NBED=/ACB=90°,

：.ZBDE+ZDBE^90°,NDBE+/ABC=90°,

：.ZBDE=Z.ABC,

在△NCB和△BED中，

，ZABC=ZBDE

•ZACB=ZBED-

BD=AB

:.LACB咨ABED(AAS):

(2)解：由题意得：NC=5X3=15(cm),£>£=7X5=35(cm),

•?AACB咨ABED,

DE=BC=35cm,BE=AC=l5cm,

：.DE=DC+CE=50(cm),

答：两堵木墙之间的距离为50cm.

8.(2024•龙马潭区一模)如图，抛物线>=°/+/+6(aWO)与x轴交于/(-1,0),3(3,0)两点,

与y轴交于点C,顶点为D

(1)求抛物线的解析式；

(2)若在线段3c上存在一点"，使得N3MO=45°,过点。作08,(W交BC的延长线于点8,求

点M的坐标；

(3)点P是y轴上一动点，点0是在对称轴上一动点，是否存在点P,0,使得以点P,Q,C,。为顶

点的四边形是菱形？若存在，求出点0的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

【分析】⑴把点N(7,0),2(3,0)代入抛物线解析式得卜++6=°,解得(a=-2,即可得

l9a+3b+6=0Ib=4

出结论；

(2)由待定系数法得直线3c的解析式为y=-2x+6,设点〃■的坐标为(/，-2加+6)(0<m<3),

过点M作轴于点N,过点〃作轴于点K,证△OWN四△HOK(44S),得MN=OK,ON

=HK.则X(-2m+6,-m),再由点H(-2加+6,-m)在直线y=-2x+6上，得-2(-2w+6)+6

=-m,解得加=旦，即可解决问题；

5

(3)分两种情况讨论，①当CD为菱形的边时，②当CD为菱形的对角线时，分别求出点0的坐标即

可.

【解答】解：(1)•抛物线了="2+历：+6经过点/(-I,0),5(3,0)两点，

.(a-b+6=0

19a+3b+6=0，

解得：卜=-2,

Ib=4

...抛物线的解析式为了=-2X2+4X+6；

(2)由(1)得，点C(0,6),

设直线BC的解析式为y=kx+c,

:直线3C经过点B(3,0),C(0,6),

.(3k+c=0

"Ic=6,

解得：。=-2

Ic=6

直线2c的解析式为y=-2x+6,

设点Af的坐标为(m,-2m+6)(0<m<3),

如图1,过点〃■作MNLy轴于点N,过点〃作轴于点K,

则/MM9=NOKH=90°,

"：OHVOM,

ZMOH=9Q°,

9：ZOMB=45°,

・・・丛MOH是等腰直角三角形，

：.OM=OH.

VZMON+ZKOH=90°,ZOHK+ZKOH=90°,

ZMON=/OHK,

:•△OMNQAHOK(AAS),

：.MN=OK,ON=HK.

•\H(-2加+6,-m),

■:点、H(-2冽+6,-m)在直线y=-2x+6上，

-2(-2m+6)+6=-m,

解得：,"=旦，

5

把机=2代入y=-2x+6得：歹=理_,

55

...当/。屈3=45°时，点用■的坐标为(旦，-1§.)；

55

(3)存在，理由如下：

:抛物线的解析式为y=-2%2+4X+6=-2(x-1)2+8,顶点为D,

.•.点。的坐标为(1,8),

分两种情况讨论：

①当CD为菱形的边时，

如图2,过。作CE_LD。于£

VC(0,6),D(1,8),

CD=yj(1-0)2+(8-6)2=娓，

:.DQ=CD=0

；.。点的坐标为(1,8-f)或(1,8+75)；

②当CD为菱形的对角线时，

如图3,设点。(1,m),P(0,n),

VC(0,6),D(1,8),

加+〃=6+8=14,

••n=14-m,

：.P(0,14-m),

.'.PC=14-m-6=8-m,

"：CQ^V(l-0)2+(m-6)2=Vl+(m-6)2;PC=CQ,

解得：m=^L,

4

...点。的坐标为（1,.）；

综上所述，点。的坐标为（1,8-A/5）或（1，8+遥）或（1,2工）.

考点二：三角形的相似模型

核心提炼;查漏补缺

相似三角形和勾股定理是解决初中数学求长度问题中的两大重要定理，所有的几何问题就长度，最后几

乎都能转化为这两个定理的应用。而作为应用几率更大的相似三角形，熟悉其常用模型，利用模型的性质

思考对应问题的走向就是一个非常重要的解题思想。所以，先熟悉相似的各种模型，再在问题中识别模型,

最后利用模型找捷径。

・题型特训•精准提分

题型01相似三角形常见模型及其应用

2

解题大招：相似常见模型:

①A字图：

②8字图:

③一线三等角：

常用结论：

1易得△左S△右；

2.如图②，当尸时，ABDE