人教版初中八年级数学上册同步讲义-画轴对称图形（原卷版）

第02讲轴对称作图

学习目标

课程标准学习目标

1.掌握轴对称与轴对称图形的作图，能够熟练的作出

轴对称与轴对称图形的另一半。

①轴对称与轴对称图形作图

2.掌握对称轴的画法，能够数量画出轴对称与轴对称

②画对称轴

图形的对称轴。

③用坐标表示轴对称

3.掌握点关于坐标轴对称以及关于特殊直线对称的对

称特点，熟练应用其应用。

思维导图

步修

轴对稀与•对称8B形的作BB

方法与罗・

画对称轴

关于4H祜献加

关于直线对称的点的坐标特点关于x・mv■人对称

知识点01轴对称作图与轴对称图形作图

1.轴对称与轴对称图形的作图:

具体步骤:

（1）找图形的.

（2）过关键点作对称轴的.,并延长，使延长部分的长度等于关键点到.’的长度,

从而得到关键点的.

（3）按照连接各对应点。

题型考点：①作图。

【即学即练1】

1.如图，以直线/为对称轴，画出轴对称图形的另一半.

【即学即练2】

2.如图，△/2C的三个顶点的坐标分别为/(-4,1),5(-1,-1),C(-3,2).

(I)已知△/BC和△N131C1关于x轴对称，点小，Bi，Ci分别是点/,B,C的对称点，请直接写出点

Ai,Bi,Ci的坐标；

(2)在图中画出△/BC关于y轴对称的△/*2c2.

知识点02画轴对称与轴对称图的对称轴

1.垂直平分线的画法:

具体步骤:

(1)如图①：分别以线段两端点为,大于线段长度的为半径画圆弧。两弧分

别交于两点M，No

(2)如图②，连接儿W所在直线即为线段的垂直平分线。

2,垂直平分线的证明：

如图③，连接M4,MB,NA,NB。

由作图过程可知

MA=MB=NA=NB

在与△V2N中

MA=MB

<NA=NB

MN=MN«*宾蚂

:.丛MAN9AMBN

：.ZAMO=ZBMO

在与ABMO中

AM=BM

<AAMO=ZBMO

MO=MO（公共边）

丛AMO"ABMO

：.OA=OB,/AOM=/BPM=90°

MN垂直平分48。

3.对称轴的画法：

对称轴过任意一组对应点连线的中点且与线段垂直，所以对称轴是任意一组对应点的垂直平分线。

作对称轴即是作任意一组对应点的垂直平分线。按照垂直平分线的作图即可。

题型考点：①尺规作图垂直平分线。

②根据作图痕迹求解题目。

③画对称轴。

【即学即练1】

3.如图所示，一辆汽车在笔直的公路上由/向3行驶，M,N分别是位于公路两侧的村庄，请利用

尺规作图法，在N3上找一点C,使得汽车行驶到C处时，到村庄N的距离相等.（保留作图痕迹，

不写作法）

【即学即练21

4.如图，在△/BC中，NC=90°,NC=3,BC=4,分别以/、8为圆心，/C为半径画弧，两弧分别交

于E、F,直线EF交BC于点、D,连接则△/CD的周长等于（）

A.7B.8C.9D.2

2

【即学即练3】

5.如图，在△N3C中，分别以点N和点3为圆心，以相同的长（大于方旭）为半径作弧，两弧相交于点

”和点N,作直线龙W交A8于点。，交/C于点E,连接CD.若△CDS的面积为12,△/£>£的面积

【即学即练4】

6.如图，两个三角形成轴对称，画出对称轴.

知识点03用坐标表示轴对称

1.关于坐标轴对称的点的坐标特点：

点、P（X,J）关于X轴对称的点的坐标为，

点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为.

2,关于或>=仅对称的点的坐标：

P(a,b')关于直线x=7〃对称的点的坐标为o

P(a,b)关于直线y=m对称的点的坐标为。

题型考点：根据坐标特点求坐标。

【即学即练1】

7.已知点/(a,4)与点2(-2,b)关于x轴对称，贝!I0+6=()

A.-6B.6C.2D.-2

【即学即练2】

8.已知点N(加，2021)与点8(2022,〃)关于y轴对称，则加+〃的值为()

A.-1B.1C.4043D.-2022

【即学即练3】

9.已知点/(4,-3)和点8是坐标平面内的两个点，且它们关于直线x=2对称，则平面内点3的坐标

为()

A.(0,-3)B.(4,-9)C.(4,0)D.(-10,3)

【即学即练4】

10.如图，已知直线I经过点(0,-1)并且垂直于y轴，若点尸(-3,2)与点0(a,b)关于直线I

对称，则。+6=.

y八

^3O

题型精讲

题型01轴对称与轴对称图形的作图与计算

【典例1】

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△48C的三个顶点坐标分别为4（1,1）B（4,2）C（2,3）.

（I）在图中画出△/3C关于x轴对称的图形△481Q；

（2）在图中，若比（-4,2）与点8关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是，此时。点关

于这条直线的对称点C2的坐标为

（3）求△//Ci的面积.

【典例2】

如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，三角形/3C的顶点均为格点（网格线的交点）.

（1）作出三角形/8C关于直线VN的轴对称图形三角形//iCi；

（2）求三角形4bBic1的面积;

（3）在直线上找一点P使得三角形BAC的面积等于三角形我C的面积.

【典例3】

如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点4,B,C,。均为格点（网格线的交点）.

（1）画出线段N3关于直线CD对称的线段小囱；

（2）将线段N3向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段N*2,画出线段加处;

（3）描出线段上的点M及直线CD上的点N,使得直线垂直平分48.

【典例4】

如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点.网格中有一个格点△

ABC（即三角形的顶点都在格点上）.

（1）画出△/BC关于直线的对称图形（不写画法）；

（2）若网格上的每个小正方形的边长为1,求△N8C的面积.

题型02垂直平分线的作图

【典例1】

如图，在△/2C中，NC=90°.用直尺和圆规在边3C上确定一点P,使点P到点/、点2的距离相等,

则符合要求的作图痕迹是（）

B.

D.

【典例2】

如图，己知△/8C,请用尺规作图法在3C边上找一点。，使得点。到/、3两点距离相等.（不写作法,

保留作图痕迹）

【典例3】

（1）图1是小正方形的边长均为1的方格纸，请你涂出一个图形（所有顶点都在格点上），使其满足如下

条件：①图形的面积为7；②图形是轴对称图形.

（2）如图2,一条笔直的公路同一侧有两个村庄/和3,现准备在公路上修一个公共汽车站点

尸，使站点尸到两个村庄/和2的距离相等.请你用尺规作图找出点P的位置，不写作法，保留作图痕

迹.

【典例4】

如图，两条公路CU和相交于。点，在/N08的内部有工厂C和D,现要在//08内部修建一个货站

P,使货站尸到两条公路。/、05的距离相等，且到两工厂C、。的距离相等，用尺规作出货站尸的位

置.（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）

题型03利用垂直平分线的作图痕迹解题

【典例1】

如图，在△NBC中，分别以N,C为圆心，大于工/C长为半径作弧，两弧分别相交于N两点，作直线

2

MN,分别交线段BC,NC于点。，E,若/E=3cm,的周长为10c〃z,则△43C的周长为（）

【典例2】

如图，△NBC中，ZB=9Q°,分别以点/和点C为圆心，以大于/AC的长为半径作弧，两弧相交于点M

和点N,作直线儿W,分别交/瓦NC于点£和点足若BC=3,AB=9,则的长为（）

【典例3】

如图，在中，分别以2,C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点尸，Q，作直线尸。，

分别交8C,/C于点。，E,连接BE.若/EBD=32°,则//的度数为（)

C.60°D.64°

【典例4】

如图，在△NBC中，分别以点/和点2为圆心，以相同的长（大于/*）为半径作弧，两弧相交于点”和

点N,作直线交48于点。，交ZC于点E,连接CD.已知△（?£>£的面积比△CD3的面积小5,则

△4DE的面积为（）

C.3D.2

题型04关于坐标轴对称的点的坐标

【典例1】

点(3,-2)关于X轴的对称点是（)

A.(-3,-2)B.(3,2)C.(-3,2)D.(3,-2)

【典例2】

在平面直角坐标系中，点P（a,3）与点。（-2,b）关于x轴对称，贝Ua-6的值为（）

A.1B.-1C.5D.-5

【典例3】

已知点P（Q,3）和点。（4,b）关于x轴对称，则a+b的值为（）

A.1B.-1C.7D.-7

【典例4】

在平面直角坐标系中，点P（4,1）关于y轴对称的点的坐标是（）

A.(4,I)B.(-4,-1)C.(-4,I)D.(4,-1)

【典例5】

若点-1)与点N(-2,6)关于y轴对称，则(a+6)2022的值是()

A.2022B.-2022C.1D.-1

【典例6】

已知点/(4,a-5)与点、B(6-1,-3)关于y轴对称，则力的值为()

A.-6B.-8C.工D.-工

88

题型05关于直线对称的点的坐标

【典例1】

点(2,5)关于直线x=l的对称点的坐标为.

【典例2】

点尸(-2,-4)与点0(6,-4)的位置关系是()

A.关于x轴对称B.关于y轴对称

C.关于直线x=2对称D.关于直线y=2对称

【典例3】

若点/(a,4)在第二象限，则点4关于直线加(直线加上各点的横坐标都是2)对称的点坐标是()

A.(-a,4)B.(4-a,4)C.(-a-4,-4)D.(-a-2,-4)

【典例4】

点(1,2m-1)关于直线的对称点的坐标是()

A.(2m-1,1)B.(-1,2m-1)

C.(-1,1-2m)D.(2m-1,2m-1)

强化训练

1.在平面直角坐标系中，点P(-3,4)关于歹轴的对称点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.如图，在3X3的正方形网格中有四个格点4、B、C、D,以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴

建立直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（）

A.AB.BC.CD.D

3.已知：点4(m-1,3)与点、B(2,1）关于x轴对称，则（加+几）的值为（

A.0B.1C.-1D.3

4.如图，在△45C中，ZB=30°,ZC=50°,请观察尺规作图的痕迹（D,E,方分别是连线与

边的交点），则ND4E的度数是（

第5题

A.25°B.30°C.35°D.40°

5.如图，在中,结合尺规作图的痕迹，已知40=2。加,AABE的周长为14c加，则△45C的周长是

()

A.17cmB.18cmC.19cmD.20cm

6.如图，在△/BC中,//C8=90°,分别以点/和3为圆心，以相同的长（大于为半径作弧,

2

两弧相交于点M和N,作直线交于点。，交BC于点E,连接CD,下列结论错误的是（）

C./A=NBEDD./ECD=/EDC

7.剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美.如图，蝴蝶剪纸是一幅

轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为（a,1）,其关于y轴对称的点尸的

坐标（2,«）,则（m+w）2022的值为（）

y八

E,F

A.1B.-1C.32022口.0

8.如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若点C坐标是(6,2),则经过第

关于y轴对称关于谟由对称关于y轴对称关于谟由对称

A.(-6,-2)B.(6,-2)C.(-6,2)D.(6,2)

9.把点A(a+2,a-1)向上平移3个单位，所得的点与点/关于x轴对称，则a的值为.

10.如图，在△N8C中，48=10,BC=6,AC=8,分别以点/，点3为圆心，大于费班的长为半径画弧,

两弧相交于点M，N,作直线"N交ZC于点。，则线段CD的长为.

11.如图，在△/BC中，按以下步骤作图：①分别以3,。为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交

于N两点；②作直线交48于点。，连接CD.若/2=24°,则NCZX4的度数为.

12.已知点£(xo,jo)，F