河北省2025届高三数学上学期11月联合考试试题

PAGEPAGE14河北省2025届高三数学上学期11月联合考试试题考生留意：1．本试卷共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数，导数，三角函数，向量，数列，不等式，立体几何．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．在公比为q的正项等比数列中，已知，则（）A．2B．3C．4D．53．函数的图象在点处的切线斜率为（）A．4B．C．2D．4．设，则“且”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．在正方体中，P是正方形的中心，点Q在线段上，且，E是的中点，则异面直线所成角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°6．已知，则（）A．B．C．D．7．如图，战国商鞅铜方升是公元前344年商鞅督造的标准量器．秦始皇统中国后，仍以商鞅所规定的制度和标准统一全国的度量衡．经测量，该铜方升内口（长方体）深1寸，内口长是宽的1.8倍，内口的表面积（不含上底面）为33平方寸，则该铜方升内口的容积为（）A．5.4立方寸B．8立方寸C．16立方寸D．16.2立方寸8．已知所在的平面内一点P（点P与点A，B，C不重合），且，则与的面积之比为（）A．B．C．D．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且直线是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（）A．函数的最小正周期为B．C．函数在区间上单调递增D．点是函数图象的一个对称中心10．下列函数有两个零点的是（）A．B．C．D．11．斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形中作正方形，以F为圆心，长为半径作弧；然后在黄金矩形中作正方形，以H为圆心，长为半径作弧；……；如此接着下去，这些弧就连接成了斐波那契螺线．记弧的长度分别为l，m，n，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．12．设，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知正数a，b满意，则的最小值为______．14．在中，为的中点，E，F都在线段上，且，则_______．15．如图，已知正方体的棱长为3，点H在棱上，且，P是侧面内一动点，，则的最小值为_______．16．已知数列满意的前n项和为，则______．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．问题：设等差数列的前n项和为，__________，求数列的前n项和．注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）当时，求函数的最值．19．（12分）在直四棱柱中，底面为正方形，，M，N，P分别是的中点．（1）证明：平面平面．（2）求直线与平面所成角的正弦值．20．（12分）如图，在三棱锥中，，E为的中点，且．（1）证明：平面平面．（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．21．（12分）已知函数，，，．（1）若在上的最大值与最小值之和为10，求a的值；（2）若对随意的，总存在，能使，求实数a的取值范围．22．（12分）已知函数．（1）设函数，探讨的单调性；（2）当时，恒成立，求a的取值范围．21届河北省高三年级11月份联合考试数学参考答案1．C【解析】本题考查集合的运算，考查运算求解实力．因为，所以．2．A【解析】本题考查等比数列的性质，考查运算求解实力．因为，所以．又，所以，解得．3．B【解析】本题考查导数的几何意义，考查运算求解实力．因为，所以．4．A【解析】本题考查常用逻辑用语的学问，考查推理论证实力．因为且所以且1，所以；若，可取，不满意且，所以前者是后者的充分不必要条件，选A．5．D【解析】本题考查异面直线所成角的大小，考查空间想象实力．如图，在正方体中，在底面的射影为，可证平面，而平面，那么，则异面直线所成角的大小为90°．6．C【解析】本题考查三角恒等变换，考查运算求解实力．因为，所以，且，又，所以．7．D【解析】本题考查数学文化与空间几何体的表面积与体积，考查空间想象实力．设内口宽为a寸，则长为寸，由，整理得，解得（舍去），故所求的容积为立方寸．8．A【解析】本题考查平面对量的线性表示，考查运算求解实力．由化简得，故．9．ACD【解析】本题考查三角函数的性质，考查运算求解实力．因为图象相邻两条对称轴之间的距离为，即的最小正周期为，所以，即，A正确；又直线是其中一条对称轴，所以，即，由，得，所以，从而，所以B错误：由，解得单调递增区间为，取可知C正确：由，解得，取可知D正确．10．BD【解析】本题考查函数的零点，考查数形结合的数学思想．对于选项A，函数与的图象相切于点，因此只有一个零点：对于选项B，画出和的图象（图略）可知它们有两个交点；对于选项C，，所以在上单调递增，所以在上最多只有一个零点；对于选项D，因为，易知在上单调递增，在上单调递减，所以，所以有两个零点．故答案为BD．11．AB【解析】本题考查弧长的计算，考查运算求解实力．不妨设，则，所以．因为，所以．同理可得．所以，所以A，B正确，C，D错误．12．ABD【解析】本题考查指数、对数的运算及比较大小，考查推理论证实力．易知，所以A正确：因为，即，又，所以，B正确；又，所以，从而，C错误；又，可知D正确，综上，A，B，D正确，C错误．13．12【解析】本题考查均值不等式的学问，考查运算求解实力．．14．【解析】本题考查平面对量的数量积，考查运算求解实力．如图，建立直角坐标系，则，所以．15．【解析】本题考查立体几何的有关学问，考查空间想象实力．如图，作交于点G，则．因为，所以，所以点P的轨迹是以G为圆心，2为半径的圆弧，所以的最小值为．16．962【解析】本题考查数列的有关学问，考查逻辑推理实力．由题知，当n为奇数时，，于是，所以．又因为当n为偶数时，，且，所以两式相加可得，于是两式相减得．所以，故．17解：选①由，可知数列的公差为2，2分又，可得，得，4分所以，．6分可知，8分数列的前n项和为．10分选②设数列的公差为d，则由，得2分解得4分所以，，6分可知，8分数列的前n项和为．10分选③当时，，2分当时，，解得，4分所以，6分可知，8分数列的前n项和为．10分评分细则：（1）不管补充的条件是哪个，只要算出这一步都得6分；写出累计得8分，直到算出最终的正确答案得10分．（2）其他解法依据评分标准依步骤给分．18．解：（1）由图可知，，所以，2分所以．因为，所以，则．4分因为，所以．5分故．6分（2）函数．9分因为，所以．10分所以当，即时，y取最大值6；当，即时，y取最小值．12分评分细则：（）第一问中，写出得2分，写出，累计得4分，求出，累计得5分，正确写出函数的解析式累计得6分；（2）其次问中，写出，累计得9分，写出，累计得10分，最终正确求出结果得满分；（3）其他状况依据评分标准酌情给分．19．（1）证明：因为M，N，P分别是的中点，所以．1分又平面，平面，所以平面，3分同理平面，4分又，所以平面平面．5分（2）解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，．6分设平面的法向量为，则8分令，得．9分设直线与平面所成角为，则，11分所以直线与平面所成角的正弦值为，12分评分细则：（1）第一问中，也可以先建立空间直角坐标系，用向量方法证明，不管用哪种方法，证出得5分；（2）其次问中，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量的坐标，得1分，计算出平面的法向量得3分，整个题解答完全正确得满分；（3）若用传统做法，作出直线与平面所成的角得1分，简洁证明得2分，整个题解答完全正确得满分．20．（1）证明：取的中点为O，连接，，因为，所以．1分又，所以，且．2分在中，，所以，即，从而，3分又，所以平面．4分因为平面，所以平面平面．5分（2）解：由（1）知，，两两垂直，如图，分别以，，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，．6分设是平面的法向量，可得令，得．8分设是平面的法向量，因为，则令，得．10分设平面与平面所成的锐二面角为，则，即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．12分评分细则：（1）第一问中，也可以先建立空间直角坐标系，用向量方法证明，不管用哪种方法，证出得5分；（2）其次问中，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，得1分，计算出相关向量坐标，得1分，计算出平面的法向量各得2分，整个题完全正确得满分；（3）若用传统做法，作出二面角的平面角得1分，简洁证明得2分，整个题解答完全正确得满分．21．解：（1）因为，，所以．从而．2分由于在上是增函数，所以，即，解得，4分（2）由题知．5分易知在上单调递减，在上单调递增．6分令，则当时，，且．7分若记，，则，且知函数的开口向上，对称轴是．8分①当，即时，,,所以，解得，又因为，所以；9分②当，即时，，，所以，解得，又因为，所以此时a无解；10分③当，即时，，，所以，解得，又因为，所以此时a无解．11分综上所述，实数a的取值范围是．12分评分细则：（1）第一问中，会去掉肯定值得到给2分，全部正确的得4分；（2）其次问中，写到这一步累计得5分，会推断的单调性，累计得6分，通过换元法写出；，累计得7分，第一次分类探讨正确写出，累计得9分，其次次分类探讨推断a无解，累计得10分，第三次分类探讨推断a无解．累计得11分，正确写出a的取值范围得满分；（3）其他状况依据评分标准依步骤给分．22．解：（1）由已知得，所以．1分①当时，，在上单调递增．2分②当时，令，则；令，则．所以在上单调递减，在上单调递增．综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．4分（2）．令，得．5分设，则．6分当时，，在上单调递增，所以的值域是．