全国I卷2025届高三数学第二次模拟考试题二理

PAGEPAGE19（全国I卷）2025届高三数学其次次模拟考试题（二）理留意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔干脆答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合，，则（）A． B． C． D．2．已知复数与在复平面内对应的点关于虚轴对称，且，则（）A． B． C． D．3．执行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则推断框内可以填（）A． B． C． D．4．已知函数，则“”是“为奇函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知函数的部分图象如图所示．给出下列结论：①，，；②，；③点为图象的一个对称中心；④在上单调递减．其中全部正确结论的序号是（）A．①② B．②③ C．③④ D．②④6．在中，，，，，则（）A． B． C． D．7．已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的体积为（）A． B． C． D．8．已知数列的前项和为，，，则（）A． B． C． D．9．如图所示，高尔顿钉板是一个关于概率的模型，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间．小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落，当有大量的小球都滚下时，最终在钉板下面不同位置收集到小球．若一个小球从正上方落下，落到号位置的概率是（）A． B． C． D．10．已知函数满意和，且当时，，则（）A．0 B．2 C．4 D．511．已知双曲线的焦点在，过点的直线与两条渐近线的交点分别为M､N两点(点位于点M与点N之间)，且，又过点作于P(点O为坐标原点)，且，则双曲线E的离心率（）A． B． C． D．12．已知函数，若恰有四个不同的零点，则a取值范围为（）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．的绽开式中的系数是______．（用数字作答）14．已知函数，过点作曲线的切线l，则直线l与曲线及y轴围成的图形的面积为___________．15．若实数，满意不等式组，则的最大值为________．16．已知圆，，是圆上两点，点且，则最大值是______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）数列的前项和为，点在函数的图象上．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．18．（12分）甲、乙两组各有位病人，且位病人症状相同，为检验、两种药物的药效，甲组服用种药物，乙组服用种药物，用药后，甲组中每人康复的概率都为，乙组三人康复的概率分别为、、．（1）设甲组中康复人数为，求的分布列和数学期望；（2）求甲组中康复人数比乙组中康复人数多人的概率．19．（12分）在如图所示的圆柱中，为圆的直径，，是的两个三等分点，，，都是圆柱的母线．（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值．20．（12分）已知动圆与轴相切且与圆相外切，圆心在轴的上方，点的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）已知，过点作直线交曲线于两点，分别以为切点作曲线的切线相交于，当的面积与的面积之比取最大值时，求直线的方程．21．（12分）已知函数．（1）当时，探讨函数的单调性；（2）当时，关于的不等式有解，求的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知某曲线的参数方程为（为参数）．（1）若是曲线上的随意一点，求的最大值；（2）已知过的右焦点，且倾斜角为的直线与交于两点，设线段的中点为，当时，求直线的一般方程．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数，．（1）若关于的不等式的整数解有且仅有一个值，当时，求不等式的解集；（2）已知，若，，使得成立，求实数的取值范围．理科数学答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】由题可得，则，因此，故选B．2．【答案】C【解析】，又复数与在复平面内对应的点关于虚轴对称，所以，故选C．3．【答案】A【解析】执行给定的程序框图，可得：第1次循环：；第2次循环：；第3次循环：；第4次循环：；第5次循环：；第6次循环：，要使得输出的结果为，结合选项，推断框内可以填，故选A．4．【答案】C【解析】若函数为奇函数，且函数的定义域为，，，解得，所以，“”是“为奇函数”的充分必要条件，故选C．5．【答案】D【解析】由图象可知，，，再由，得，故①不正确，②正确；由于为图象的一个对称中心，又的最小正周期为，故其全部的对称中心为，当时，对称中心为，故③错误；由于为的单调递减区间，的最小正周期为，故的单调递减区间为，当时，即为，故④正确，故选D．6．【答案】A【解析】因为，所以，解得，故选A．7．【答案】B【解析】如图，三视图的直观图为三棱锥为，且，，按如图所示放在长方体中，则其外接球的直径等于长方体的对角线长，且，因为长方体的对角线长为，则外接球半径为，且体积为，故选B．8．【答案】A【解析】当时，，则，且，即，所以．两式作差得，即，即，所以，即．则，所以，故选A．9．【答案】C【解析】当小球经过第层时，第一次遇到钉子，向左或向右滚下的概率均为，所以，．当小球经过第层时，共遇到次钉子，要使得小球经过第号通道，必需满意次向右、次向左滚下，所以，，同理可得．要使得小球经过号位置（即第层号通道），可由第层号通道向右滚下、也可以由第层号通道向左滚下，因此，，故选C．10．【答案】C【解析】函数满意和，可函数是以为周期的周期函数，且关于对称，又由当时，，所以，故选C．11．【答案】C【解析】由题意，可得如下示意图：其中，，知，又，，即且，∴中，有，得，∴在中，，若与x轴夹角为，即，∴，由，即可得，故选C．12．【答案】B【解析】函数，，，，因此时，函数单调递增；，，，可得函数在单调递增；在单调递减，可得：在时，函数取得极大值，．画出图象：可知：．令，①时，函数无零点；②时，解得或，时，解得，此时函数只有一个零点，舍去，，由，可知：此时函数无零点，舍去；③，解得或，解得，．时，，．此时函数无零点，舍去；因此，可得．由恰有四个不同的零点，∴，，，解得，则a取值范围为，故选B．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】【解析】由题设二项式知：，∴项，即，∴系数为，故答案为．14．【答案】【解析】由，过点作曲线的切线l，设切点为，则，所以切线的方程为，由切线过点，则，解得，所以切线的方程为，直线l与曲线及y轴围成的图形的面积为，故答案为．15．【答案】256【解析】作出可行域，如图内部（含边界），，令，作直线，在直线中为直线的纵截距，直线向上平移时增大，所以平行直线，当直线过点时，，所以，故答案为256．16．【答案】【解析】如图所示，设是线段的中点，则，因为，于是，在中，，，，由勾股定理得，整理得，故的轨迹是以为圆心，半径为的圆，故，又由圆的弦长公式可得，故答案为．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意知：点()均在二次函数的图象上，故，，当时，，当时，，也适合上式．所以．（2），．18．【答案】（1）分布列见解析，期望为；（2）．【解析】（1）由题意可知，，所以，，，，，所以，随机变量的分布列如下表所示：因此，．（2）设乙组中康复人数为，记事务甲组中康复人数比乙组中康复人数多人，，，则．19．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）连接，，因为，是半圆的两个三等分点，所以，又，所以，，均为等边三角形，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又因为，平面，平面，所以平面．因为，都是圆柱的母线，所以，又因为平面，平面，所以平面．又平面，，所以平面平面，又平面，所以平面．（2）连接，因为是圆柱的母线，所以圆柱的底面，因为为圆的直径，所以，所以直线，，两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系如图：因为，所以，，，，，，由题知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，令，，，∴．所以．由图可知，二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为．20．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意知，到点的距离等于它到直线的距离，由抛物线的定义知，圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线(除去坐标原点)，则的方程为．（2）由题意知，在曲线上，直线的斜率存在，设方程为，因为直线不经过点，所以．由，可得，设，，则，，以为切点的切线方程为，即，同理以为切点的切线为，由，故两式做差整理得，所以，两式求和整理得，故，所以交点，设到的距离为，到的距离为，则，设，则，当，即时，取最大值，直线的方程为．21．【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）．【解析】（1）函数的定义域为，．，．当时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减．（2）设，则．当时，有两个根，不妨令，又，，，由题意舍去．当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减，存在使成立，，即．又，，，，，．令，则．函数在上单调递增，，即得最大值为．22．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）依题意得，，，当，即时，，，的最