2024-2025学年八年级数学上册：构造三角形全等方法-作公共边、公共角、垂直

专题12.17构造三角形全等方法—作公共边、公共角、垂

直

（知识梳理与考点分类讲解）

第一部分【知识点归纳】

当不能直接证明两个三角形全等时，可以通过添加适当的辅助线，使它们在两个合适的三角

形之中，再证这两个三角形全等，本专题介绍作公共边、公共角、作垂线构造三角形全等的

辅助线方法

第二部分【题型展示与方法点拨】

【题型11连接两点构造公共边

[例1]（24-25八年级上•全国•假期作业）

1.如图：在四边形NBCD中，AD//CB,AB//CD.求证：4B=4D.

B

【变式1]（23-24八年级上•吉林长春•开学考试）

2.如图，RtA48c中，ABAC=9Q°,AB=AC,。是5c的中点，AE=BF.

（1）求证：DF=DE（提示：连接/。）；

（2）^BC=4cm,求四边形4PDE的面积.

【变式2]（23-24八年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）

3.已知：中，/3/C=90。，=点E为内一点，连接CE,

过点3作80,4E,交NE的延长线于点

试卷第1页，共6页

图1图2

(1)如图1,求证：BD=AE；

(2)如图2,点”为8c的中点，分别连接DH,求NED”的度数.

【题型2】延长相交构造等角

【例2】(21-22八年级上•浙江台州•阶段练习)

4.如图，已知点£为上一点，AE,BE分别平分ZCBA.

(1)求证：AE工BE；

⑵求证：AB=AD+BC

【变式1](20-21八年级上•山东德州•期中)

5.如图，ZB=ZC=9O°,M是BC上一点，且NAMD=90。，DM平分NADC,求证：AM平

分NDAB

【变式2】

6.如图，在RtZ\48C中，ZACB=90°,AD、8E是Rt44BC的角平分线，与3E相

交于点尸，交3C的延长线于G,交4c于H.

试卷第2页，共6页

(2)求证：AF=GF；

(3)若N8=10,AH=5,8。=8,贝!|8=

【题型3】作垂线段构造等角或公共边

【例3】(22-23八年级上•广西南宁•期末)

7.综合与实践：

【问题情境】在综合与实践课上，老师对各学习小组出示了一个问题：如图1,

ZACB=90°,AC=BC,AD1CD,BE1CD,垂足分别为点.请证明：AD^CE.

【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2,NCDF=90°,

C0=£D,点A是。尸上一动点，连接NC,作乙4c5=90。且8C=NC,连接B尸交CD于

点G.若。G=1,CG=3,请证明：点A为。尸的中点.

【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3,ZCDF=90°,

=，点A是射线。尸上一动点，连接/C,作乙4。8=90。且5c=/C,连接3尸交射

线CD于点G.若尸D=44尸,请直接写出DG与CG的数量关系.

B

图2图3

【变式1](23-24八年级上•重庆九龙坡•期中)

8.如图，08c与△/££>中，ZE=ZC,DE=BC,EA=CA,过A作垂足为

F,DE交C3的延长线于点G,连接NG.

试卷第3页，共6页

I)

⑴求证：AABC咨LADE；

⑵求证：G/平分NDG3；

(3)若四边形DG84的面积为18,AF=4.5,求尸G的长.

【变式2](23-24八年级上•江苏南京•期中)

9.如图，点A、D、E在一条直线上，AB^AC,ABDE-ZCDE<90°,求证:

BD=CD.

证明：ZBDE=ZCDE,

：.NADB=NADC,第一步

又AD=AD,AB=AC,

：./\ABD^AACD,第二步

BD=CD.第三步

(1)小虎同学的证明过程中，第一步出现错误；

⑵请写出正确的证明过程.

第三部分【中考链接与拓展延伸】

1、直通中考

【例1】(2011•辽宁丹东•中考真题)

10.如图，在八43。中，。是2c的中点，过。点的直线EG交48于点E,交48的平行

线CG于点G,DF1EG,交NC于点?

试卷第4页，共6页

⑵判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论.

【例2】（2011•湖北省直辖县级单位•中考真题）

11.两个大小相同且含30。角的三角板/3C和DEC如图①摆放，使直角顶点重合.将图①

中绕点C逆时针旋转30。得到图②，点RG分别是CD、与N8的交点，点”

是。E与/C的交点.

（1）不添加辅助线，写出图②中所有与4台。尸全等的三角形；

（2）将图②中的△DEC绕点C逆时针旋转45。得△£>/<,点、F、G、X的对应点分别为

Fi、Gi、Hi，如图③.探究线段功为与/团之间的数量关系，并写出推理过程；

拓展延伸

【例1】

12.在“3C中，AC=BC,N4CB=90。，点。在的延长线上，M是20的中点，E是

射线C4上一动点，且CE=CD,连接N。，作。尸，皿，。万交延长线于点?

试卷第5页，共6页

⑴如图1,当点£在G4上时，填空：ADDF（填“=“〈”或

（2）如图2,当点E在C4的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断/。与。尸的数量关

系，并证明你的结论.

【例2】（22-23八年级下•江西景德镇•期中）

13.如图在中，//C8为锐角，点。在射线3C上，以/。为一边在/。右侧作正方

形ADEF.

（1）如果N8=/C,NB4c=90°,

①当点。在线段3C（不含端点）上时，如图1,则线段b与8。的位置关系是

②当点。在线段3c的延长线上时，如图2,①中的结论是否仍然成立?并说明理由.

（2）如果/Bw/C,/B/C是锐角，点。在线段3c（不含端点）上，如图3.当//C3满足

什么条件时，CF1BC?并说明理由.

试卷第6页，共6页

1.证明见解析

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及平行线性质、三角形全等的判定与性质等

知识，连接/c,如图所示，由平行线性质得到Nl=N2,N3=N4,再由三角形全等的判定

与性质即可得证，添加公共边作为辅助线的时候不能割裂所给的条件，根据要证明的结论准

确作出辅助线是解决问题的关键.

【详解】证明：连接4C,如图所示：

•••AD//CB,AB//CD.

:.ZX—N2,N3=N4,

在。3C与△CZU中，

2=/2

<AC=CA,

Z4=Z3

ABC^ACDA(ASA),

:.NB=ND.

2.⑴见解析

2

⑵S四边形4FDE=2cm

【分析】(1)连接4D,证明A3尸,根据全等三角形的性质即可得出。石=小；

(2)根据尸，得到四边形4FDE的面积=$△')=gsaBc，于是得到结论.

【详解】(1)证明：连接

答案第1页，共19页

Rt"5C中,ABAC=90°,AB=AC,

•「AB=AC,DB=CD,

/DAE=/BAD=45°,

ABAD=NB=45°,

:.AD=BD,ZADB=90°,

在ADAE和ADBF中，

AE=BF

</DAE=/B=45°,

AD=BD

:.^DAE^DBF[SAS）,

：.DE=DF；

（2）解：♦：ADAE咨ADBF,

・二四边形AFDE的面积=5硼=；S刈8c，

e.,BC=4cm,

/.AD=—BC=2cm,

2

・二四边形的面积==；S“3c=；x；x4x2=2cm2.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定.考查了学生综合运

用数学知识的能力，连接4。，构造全等三角形是解决问题的关键.

3.（1）证明见解析；

（2"EDH=45。.

【分析】（1）根据全等三角形的判定得出△C4E之△45。，进而利用全等三角形的性质得

出他二他即可；

（2）根据全等三角形的判定得出您/也△瓦汨，进而利用全等三角形的性质解答即可；

答案第2页，共19页

本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学

会利用数形结合的思想思考问题.

【详解】（1）BD1AE,

・•.ZAEC=/ADB=90°,

•・•/BAC=90。,

・•・NACE+CAE=/CAE+ABAD=90°,

ZACE=ABAD,

在△C4E与△43。中，

ZAEC=ZADB=90°

<ZACE=/BAD

AC=AB

.“CAE知ABD(AAS),

AE=BD；

(2)如图，连接力H,

A

vAB=AC,BH=CH,

ZBAH=45°,AAHB=90°,

.-.ZABH=ZBAH=45°,

・•・AH=BH,

-ZEAH=/BAH-/BAD=45°-/BAD,

ZDBH=180。—ZADB-/BAD-/ABH=45。—/BAD,

・・・ZEAH=/DBH,

在△/皿T与中，

AE=BD

<ZEAH=ZDBH

AH=NH

.“AEHABDHa网,

答案第3页，共19页

EH=DH,NAHE=NBHD,

ZAHE+ZEHB=ZBHD+ZEHB=90°即ZEHD=90°,

ZEDH=ZDEH=45°.

4.(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)先根据平行线和角平分线的定义证明乙BNE+ZA8E=9O。，再由三角形内角和定

理求出乙4£8=90。，即可证明/E18E；

(2)如图所示，延长/£交8c延长线于R先证明ZU8E三△F3E得到/8=尸5,AE=FE,

再证明AADE=AFCE得至ljAD=CF,即可证明AB=BC+AD.

【详解】(1)解：•・•/O〃5C,

：.ABAD+/-ABC=IS00,

■：AE,BE分另ij平分N8/。，/.ABC,

:.乙BAD=24BAE,^ABC=1/-ABE,

；.2乙BAE+2乙4BE=180。,

；/BAE+UBE=90°,

；."1EB=18O°-4BAE-乙4BE=90°,即AELBE；

(2)解：如图所示，延长/£交BC延长线于尸，

,-'AE1.BE,

：.^BEA=2LBEF=90O,

,；BE平分乙4BC,

工乙4BE=cFBE,

又・；BE=BE,

・••AABE三AFBE(ASA),

・・.AB=FB,AE=FE,

•・•AD//BC,

:,乙EAD=^EFC,乙EDA=LECF,

•••△ADE三4FCE(AAS),

・・.AD=CF,

：,AB=FB=BC+CF=BC+AD.

答案第4页，共19页

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义,

平行线的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

5.见解析

【分析】延长AM、DC交于点E,利用ASA即可证出△ADMwaEDM,从而得出

ZDAM=ZE,然后根据平行线的判定及性质可证4E=4BAM,从而得出NDAMNBAM,即

可证出结论.

【详解】解：延长AM、DC交于点E

vzAMD=90°

.-.ZEMD=180°-zAMD=90°=zAMD

•.DM平分4ADC,

.,.zADM=zEDM

・••在AADM和aEDM中

ZEMD=ZAMD

<DM=DM

ZADM=/EDM

.-.△ADM=AEDM

.,.zDAM=zE

vzB=zC=90°

.-.zB+zC=180°

.-.DCIIAB

.,.zE=zBAM

答案第5页，共19页

.-.zDAM=zBAM

.-.AM平分NDAB.

【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质和平行线的判定及性质，掌握全等三角形的

判定及性质和平行线的判定及性质是解题关键.

6.(1)见详解

(2)见详解

(3)3

【分析】(1)运用三角形的内角和180。进行列式，即可作答；

(2)先根据直角三角形的两个锐角互余及角平分线的定义证NK45+N尸胡=45。，进而得

NAFB=135°,再证/GE8=135。，据此可依据“ASA”判定和A/GB全等，由全等三角

形的性质得出结论：ZAFB=NGFB,BF=BF,ZFBA=ZFBG；

(3)延长GB交与T,先证"FH和△/尸T全等得AH=AT,再证ABFT和ABFD全等

得BT=BD,据此即可得出结论.

【详解】(1)解：ZACB=90°,

NAFH=ZCGH=90°,

■■■ZGHC=ZAHF,

.-.180°-ZAFH-ZAHF=180°-ZCGH-ZGHC,

即NG=ZCAF；

(2)证明：•・•//C3=90°,

：.ZCAB+ZCBA=90°,

•；AD、BE是Rt44BC的角平分线，

NFAB=-ZCAB,NFBA=ZFBG=-ZCBA,

22

AFAB+NFBA=1(ZG4S+ACBA)=45°,

...ZAFB=180°-(ZFAB+NFBA)=135。,

•••GF1AD,则NG以=90°,

ZGFB=360°-ZGFA-ZAFB=360°-90°-135°=135°,

AAFB=ZGFB,

在AFAB和AFGB中，

答案第6页，共19页

ZAFB=ZGFB

<BF=BF

AFBA=ZFBG

.•.△E480△/GB(ASA),

・•.AF=GF.

(3)解：延长G尸交48与T,如图:

是RtZXZBC的角平分线,

・•・ZHAF=ZTAF,

GFLAD,贝(]//^=/加=/6血=90。，

在八AFH和AAFT中,

ZHAF=ZTAF

<AF=AF,

ZHFA=ZTFA=90°

AAFH汜△AFT(ASA),

・•・AH=AT,

由(2)可知：/AFB=NGFB=135。，

ZBFT=ZAFB-ZTFA=45°,/BFD=ZGFB-ZGFD=45°,

・•・ZBFT=ZBFD,

・••4。是RtZX/BC的角平分线，

・・・ZTBF=/DBF,

在ABFT和丛BFD中，

ZBFT=ZBFD

<BF=BF

ZTBF=/DBF

:.△BFT经4BFD0的，

*'•BT=BD,

答案第7页，共19页

・•.AB=AT+BT=AH+BD.

vAB=10,AH=5,BC=8,

・・・10=5+5。

即皮)=5

-CD=BC-BD

/.CD=8—5=3

【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，三角形内角和性质，角平分线的定义，全等三

角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，理解直角三角形的两个锐角互余，全

等三角形的对应边相等、对应角相等是解答此题的关键.

7.(1)见解析；(2)见解析；(3)CG=9DG

【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，熟练掌握全等三角形的判定及性质，添加适当

的辅助线是解题的关键.

(1)AASffiW^ACD^CBE,即可求证结论；

(2)过B作8HLCD于由(1)得AACD咨4CBH,进而可得40=C*,CD=88,

再利用AAS可证A。尸GgA/ffiG,则可证DG=GH,根据数量关系可得ND=2,DF=4,

进而可求证结论；

(3)过点8作于〃，由(2)得4D=CH,CD=BH=FD,HG=DG,再根据

数量关系即可求解；

【详解】解：(1)证明：・.・44。8=90。，

ZACD+ZBCD=90°,

BEVCD,

ZB+ZBCD=90°,

ZB=NACD,

在A/CD和ACBE中，

'ZACD=ZB

<ZADC=ZCEB=90°,

AC=BC

:.AACD知CBE(AAS),

AD=CE；

(2)证明：过5作于〃，如图：

答案第8页，共19页

F

由（1）得：LACDmACBH,

,AD=CH,CD=BH,

•・•DF=CD,

DF=BH,

在ANG和AHBG中,

"NDGF=ZBGH

</ADH=/DHB=90。,

AD=BH

,△£）尸G%/ffiG（AAS）,

•••DG=\,

DG=GH=\,

•:CG=3,

：.CH=CG=GH=3-1=2,CD=CH+DG=4,

：.AD=2,DF=4,

.•./是。尸的中点;

（3）CG=9DG,理由如下：

过点B作BHLCD于H,如图：

答案第9页，共19页

由(2)得：AD=CH,CD=BH=FD,HG=DG,

•：FD=4AF,

AD=CH=5AF,CD=DF=4AF,

:.DH=CH-CD=AF,

:.DG=-DH=-AF,

22

9

:.CG=CD+DG=-AF,

2

CG=9DG.

8.(1)见解析

(2)见解析

(3)4

【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题

时注意：全等三角形的面积相等.

(1)利用S4S进行证明即可；

(2)先过点A作/8c于“，判定尸0即可得出=进而得

证；

(3)先判定△4FGg,得出S四边形左切=2S^,再根据S四边形济胡=18,AF=4.5®

积公式列出式子，进而得到尸G的长.

【详解】(1)证明：在。与△//)£中，

DE=BC

</E=NC,

EA=CA

答案第10页，共19页

:△ABC知ADE(SAS).

(2)作于"，如图1,

△ABC/4ADE

ZD=ZABC,AD=AB,

AFLDE,

:.ZAFD=ZAHB=90。,

在LADF与“BH中,

ZD=/ABC

<ZAFD=NAHB,

AD=AB

:AADF知ABH(AAS),

AF=AH,

「.G4平分NOG5；

(3)解：-FADF沿AABH,

一S四边形DGBZ=S&4OF+S四边形4FGB=MBH++S四边形4FG8

在Rt△，尸G和中,

AF=AH

AG=AG

RtA4FG父RM/〃G(HL),

一S四边形OGBH=2sA6e,

...S四边形。皿=18,/斤=4.5,

.-.18=2x-xFGx4.5,

2

解得：FG=4.

9.⑴二

答案第11页，共19页

(2)见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键.

(1)根据三角形全等的判定定理求解即可；

(2)过点A分别作交CD的延长线于点G,8。交2。的延长线于点尸，利

用血证明Rt三RtA/CG,根据全等三角形的性质得出NB=NC,利用AAS证明

△ABDmAACD,从而得出8。=CD.

【详解】(1)小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，

故答案为：二；

(2)证明：如图：过点A分别作4GLCD交CD的延长线于点G,/斤交瓦)的延长

线于点尸，

1♦二</e.,ZBDE=ZCDE,ZBDE=ZADF,ZADG=ZCDE,

1c

ZADG=ZADF,

AG1CD,AF1BD,

AG=AF,

在RtAABF和RtAACG中，

UB=AB

\AF=AG,

・•.Rt△4BFzRt"CG（HL）,

/./B=/C,

v/BDE=ZCDE,

/.ZADB=/ADC,

在△43。和△ZCD中，

ZB=ZC

<NADB=NADC,

AD=AD

答案第12页，共19页

AABD三"CD(AAS),

BD=CD.

10.(1)见解析

(2)BE+CF>EF,见解析

【分析】(1)根据题中条件，证得ASDE三△COG(ASA),可证得8E=CG；

(2)先连接NG,再利用全等的性质可得。E=DG,再根据。足LGE,从而得出FG=EF,

依据三角形两边之和大于第三边得出BE+CF>EF,

【详解】(1)解：是2c的中点，

：.BD=CD,

■：AB^CG,

:.乙B=^DCG,

在4BDE和△COG中，

•:乙BDE=LCDG,BD=CD,乙DBE=ADCG,

■.ABDE=ACDG(ASA),

:.BE=CG；

(2)BE+CF>EF.理由：如图，连接尸G,

•.△BDE必CDG,

:.DE=DG,

又•:FDLEG,

•••FD垂直平分EG,

：.EF=GF,

又•••△CFG中，CG+CF>GF,

：.BE+CF>EF.

答案第13页，共19页

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及三角形三边关系

的运用，本题中求证△ADE三△CDG,得出2E=CG是解题的关键.

11.答案见解析

【分析】(1)观察图形，根据全等三角形的判定定理，即可得与△2CF全等的有△GDR

△GAH、AECH-,

(2)利用SAS即可判定A4F/C三△。氏C,则可得对应线段相等，即可求得。尸尸/可；

(3)首先连接CG”利用AAS即可证得△O/G/BmA4G/4/.然后可证得

△CG向必CG即又由平行线的性质即可求得答案.

【详解】解：(1)图②中与△8CF全等的有△GOF、4GAH、4ECH.

(2)DiF尸A/

ZA=ZDj

证明：〜。二。。

ZF.CH,=NF[C&

；.AAFQ三

FQ=HiC,又CD尸CA,

：.CDrFiC=CA-HjC.即D,F^AH]

(3)连接CG/.在△D/G/B和A4G/H/中，

ZD,=N4

NDGK=AAGxHl,

回耳=网

:△DIGIFR^AGIHI.

:GF尸GIHI

答案第14页，共19页

又♦・,HiC=FCG£=GC

•••△CG/卢△CG/印.

.••Z1=Z2.

•・•45=60。,乙BCF=3G。,

：.^BFC=90°.

又・・ZDCE=9O。,

，乙BFC=^DCE,

：.BA\\CE,

•••Nl=z3,

•,.z2=z3,

:・GiI=CI.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理.掌握全等三角形的旋转模型是解题的关

键.

12.(1)=,详见解析；

(2)AD=DF,详见解析.

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的综合应用等知识；

(1)连接BE,先证"CD0ABeE(SAS),得4D=BE,NEBM=NDAC,再证

AEBMaFDM(ASA),得BE=DF,即可得出结论；

(2)连接BE,先证AZCD0ABeE(SAS),得4D=BE,ZADC=ZBEC,再证

xBME应DMF(MK),得BE=DF,即可得出结论.

证明三角形全等是解题的关键.

【详解】(1)AD=DF,理由如下：

连接BE,如图1所示：

•••ZACB=90°,

ZDCA=90°,

在A/CD和ABCE中，

CD=CE

<ZDCA=ZECB,

AC=BC

答案第15页，共19页

・・・"8%5C£(SAS),

AD=BE,ZEBM=ADAC,

vZDAC+ZADC=90°fZFDM+ZADC=90°,

・•.ADAC=ZFDM,

・•.ZEBM=ZFDM,

是的中点，

BM=DM,

在和△FDM中，

ZEBM=ZFDM

<BM=DM,

ZEMB=ZFMD

­.AEBM^AFDMCASA),

*，•BE—DF,

***AD=DF,

故答案为：=；

(2)根据题意将图形补全，如图2所示：

4。与。尸的数量关系：AD=DF,证明如下:

连接班,

・・・/ZCB=90。，点。在5C的延长线上，

："ACD=/BCE=9。。,

在△ZCZ)和ABCE中,

CD=CE

<ZDC