2024新高考数学二轮总复习专题三三角函数与解三角形3.2三角变换与解三角形专项练学案含解析

3.2三角变换与解三角形专项练必备学问精要梳理1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ;tan(α±β)=tanα2.二倍角公式sin2α=2sinαcosα;cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;tan2α=2tanα3.降幂公式cos2α=1+cos2α2;sin2α=1-cos2α2;sin4.正弦、余弦定理(1)正弦定理:asinA=bsinB=c(2)余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,cosA=b2+考向训练限时通关考向一两角和与差的公式的应用1.(2024全国Ⅲ,理9)已知2tanθ-tanθ+π4=7,则tanθ=()A.-2 B.-1 C.1 D.22.(2024全国Ⅲ,文5)已知sinθ+sinθ+π3=1,则sinθ+π6=()A.12 B.33 C.233.(2024湖南师大附中一模,理7)已知α为锐角,且cosα(1+3tan10°)=1,则α的值为()A.20° B.40° C.50° D.70°4.(2024全国Ⅰ,理9)已知α∈(0,π),且3cos2α-8cosα=5,则sinα=()A.53 B.C.13 D.5.(2024山东模考卷,14)已知cosα+π6-sinα=435,则sinα+11π考向二三角函数与三角变换的综合6.已知函数f(x)=asinx+bcosx(x∈R),若x=x0是函数f(x)图象的一条对称轴,且tanx0=3,则a,b应满意的表达式是()A.a=-3b B.b=-3aC.a=3b D.b=3a7.已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则()A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为48.(多选)(2024山东潍坊临朐模拟二,10)已知函数f(x)=sinx·sinx+π3-14的定义域为[m,n](m<n),值域为-1A.5π12 B.7π12 C.9.(2024北京,14)若函数f(x)=sin(x+φ)+cosx的最大值为2,则常数φ的一个取值为.

考向三解三角形10.(2024全国Ⅲ,文11)在△ABC中,cosC=23,AC=4,BC=3,则tanB=(A.5 B.25 C.45 D.8511.(多选)对于△ABC,有如下推断,其中正确的推断是()A.若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形B.若A>B,则sinA>sinBC.若a=8,c=10,B=60°,则符合条件的△ABC有两个D.若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC是钝角三角形12.(多选)(2024山东烟台模拟,11)在△ABC中,D在线段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cos∠CDB=-55,则(A.sin∠CDB=310 B.△ABC的面积为C.△ABC的周长为8+45 D.△ABC为钝角三角形13.(多选)在△ABC中,下列命题正确的有()A.若A=30°,b=4,a=5,则△ABC有两解B.若0<tanA·tanB<1,则△ABC肯定是钝角三角形C.若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,则△ABC肯定是等边三角形D.若a-b=c·cosB-c·cosA,则△ABC是等腰或直角三角形14.(2024全国Ⅰ,理16)如图,在三棱锥P-ABC的平面绽开图中,AC=1,AB=AD=3,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB=.

15.(2024河南试验中学4月模拟,14)如图,为测量出高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从点A测得点M的仰角∠MAN=60°,点C的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,则山高MN=m.

16.(2024山东,15)某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BC⊥DG,垂足为C,tan∠ODC=35,BH∥DG,EF=12cm,DE=2cm,A到直线DE和EF的距离均为7cm,圆孔半径为1cm,则图中阴影部分的面积为cm2.3.2三角变换与解三角形专项练考向训练·限时通关1.D解析由已知得2tanθ-1+tanθ1-tanθ=7,即tan2θ-4tanθ+4=0,解得2.B解析依据两角和的正弦公式绽开得sinθ+sinθ+π3=sinθ+12sinθ+32cosθ=32sinθ+32cosθ=1,即3sinθ+π6=1,解得sinθ+π6=33.3.B解析由cosα(1+3tan10°)=1可得cosα·3sin10即cosα·2sin40°所以cosα=cos10°2sin40°=又因为α为锐角,所以α=40°.故选B.4.A解析原式化简得3cos2α-4cosα-4=0,解得cosα=-23或cosα=2(舍去)∵α∈(0,π),∴sinα=15.-45解析∵cosα+π6-sinα=cosαcosπ6-sinαsinπ6-sinα=32cosα-32sinα=312cosα-32sinα=3cosα+∴cosα+π3=45.则sinα+11π6=sinα-π6=-cosα-π6+π2=-6.C解析f(x)=asinx+bcosx=a2+b2aa2令cosα=aa2+b2,sinα=ba2则f(x)=a2+b2sin(∵x=x0是函数f(x)图象的一条对称轴,则x0+α=π2+kπ,k∈Z,x0=π2-α+kπ,k∈tanx0=tanπ2-α+kπ=tanπ2-α=1tanα=ab=3,则a=3b.7.B解析因为f(x)=2cos2x-(1-cos2x)+2=3cos2x+1=3×1+cos2x2+1=32cos2x+52,所以函数f(x)的最小正周期为2π2=π.当cos2x=1时,f8.AB解析f(x)=sinx·sinx+π3-14=sinx12sinx+32cosx-14=14(1-cos2x)+34sin2x-14=1232sin2x-12cos2x=12sin2x-π易得m满意题意,所以n-m的值可能为区间π3,2π3上的随意9.π22kπ+π2,k∈Z均可解析因为f(x)=cosφsinx+(sinφ+1)cosx=cos2φ所以cos2φ+(sinφ+1)2=2,解得sinφ=1,故可取φ=π2.故答案为π210.C解析由余弦定理得,AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC=16+9-2×4×3×23=9,即AB=由余弦定理的推论知cosB=AB又cos2B+sin2B=1,解得sinB=459,故tanB=sinBcosB=11.BD解析对于A,若sin2A=sin2B,则2A=2B或2A+2B=π,当A=B时,△ABC为等腰三角形,当A+B=π2时,△ABC为直角三角形,故A不正确对于B,若A>B,则a>b,由正弦定理得sinA>sinB成立,故B正确;对于C,由余弦定理可得b=82+102-2×对于D,若sin2A+sin2B<sin2C,由正弦定理得a2+b2<c2,∴cosC=a2+∴C为钝角,∴△ABC是钝角三角形,故D正确.故选BD.12.BCD解析因为cos∠CDB=-55,所以sin∠CDB=1-cos2设CD=a,则BC=2a,在△BCD中,BC2=CD2+BD2-2CD·BD·cos∠CDB,解得a=5,所以S△DBC=12BD·CD·sin∠CDB=12×3×5×255=3,所以S△ABC=3+53因为∠ADC=π-∠CDB,所以cos∠ADC=cos(π-∠CDB)=-cos∠CDB=55在△ADC中,AC2=AD2+CD2-2AD·DC·cos∠ADC,解得AC=25,△ABC的周长=AB+AC+BC=(3+5)+25+25=8+45,故C正确;因为AB=8为最大边,所以cosC=BC2+A即∠C为钝角,所以△ABC为钝角三角形,故D正确.故选BCD.13.BCD解析因为A=30°,b=4,a=5,所以由正弦定理得sinB=bsinAa=25,b<a,所以角B0<tanA·tanB<1,即0<sinAsin所以cosAcosB-sinAsinB>0,即cos(A+B)>0,所以A+B<π所以C=π-A-B>π2.故△ABC肯定是钝角三角形,故B因为cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,所以cos(A-B)=cos(B-C)=cos(C-A)=1,所以A=B=C=60°,故C正确;因为a-b=c·cosB-c·cosA,所以sinA-sinB=sinCcosB-sinCcosA,所以sinA-sinCcosB=sinB-sinCcosA.又因为sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以sinBcosC=sinAcosC,所以sinA=sinB或cosC=0,所以A=B或C=π2,所以△ABC是等腰或直角三角形,故D正确.故选BCD14.-14解析由题意得BD=2AB=6,BC=AC2∵D,E,F重合于一点P,∴AE=AD=3,BF=BD=6,∴在△ACE中,由余弦定理,得CE2=AC2+AE2-2AC·AEcos∠CAE=12+(3)2-2×1×3cos30°=1,∴CE=CF=1.∴在△BCF中,由余弦定理,cos∠FCB=BC215.150解析在△ABC中,∵∠BAC=45°,∠ABC=90°,BC=100m,∴AC=100sin45°=1002在△AMC中,∵∠MAC=75°,∠MCA=60°,∴∠AMC=45°,AMsin∠ACM=解得AM=1003(m).在Rt△AMN中,MN=AM·sin∠MAN