2024年高考数学试卷（上海卷）【含解析】

2024年高考数学（上海卷）【含解析】

一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1-6题每题4分，第7-12题

每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.

1.设全集。={123,4,5},集合/={2,4},则.

2.已知/（切=]«"：°,则/*）=____.

<0

3.已知xeR,则不等式必一2x—3<0的解集为.

4.已知/（x）=d+a,xeR,且/（x）是奇函数，则。=.

5.已知左eR,1=（2,5）石=（6,左），且,/区，则k的值为.

6.在（x+1）”的二项展开式中，若各项系数和为32,则V项的系数为.

7.已知抛物线/=4x上有一点P到准线的距离为9,那么点尸到x轴的距离为

8.某校举办科学竞技比赛，有4B、C3种题库，A题库有5000道题，B题库

有4000道题，C题库有3000道题.小申已完成所有题，他A题库的正确率是

0.92,8题库的正确率是0.86,。题库的正确率是0.72.现他从所有的题中随机

选一题，正确率是.

2

9.已知虚数z,其实部为1,且z+—=加（加eR）,则实数加为.

Z

10.设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆

为偶数，求集合中元素个数的最大值.

11.已知点5在点C正北方向，点。在点C的正东方向，8。=。。,存在点2满

^ZBAC=\6.5°,ZDAC=3T,则N8G4=（精确到0.1度）

12.无穷等比数列{%}满足首项%〉0国〉1,记

/"={x-小,ye[%，%]“%，%+[}，若对任意正整数〃集合/“是闭区间，则^的

取值范围是

二、选择题(本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题满分4分，第

15-16题每题满分5分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号

上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.

13.已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是

()

A.气候温度高，海水表层温度就高

B.气候温度高，海水表层温度就低

C.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势

D.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势

14.下列函数/(x)的最小正周期是2兀的是()

A.sinx+cosxB.sinxcosx

C.sin2x+cos2xD.sin2x-cos2x

15.定义一个集合。，集合中的元素是空间内的点集，任取存在不

全为0的实数使得4丽1+4研+%漉=0.已知(1,0,0)eQ,贝IJ

(0,0,1)任。的充分条件是()

A,(0,0,0)eQB.(-l,0,0)eQ

C(0,l,0)eQD.(0,0,-l)eQ

16.已知函数的定义域为R,定义集合

M={x0|x0eR,xe(-oo,x0),/(x)</(x0)),在使得M=[-1,1]的所有/(x)中，

下列成立的是()

A.存在/(x)是偶函数B.存在/(x)在x=2处取最大值

C.存在/(x)是严格增函数D.存在/(x)在x=-1处取到极

小值

三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解下列各题必须在答题纸相应编号

的规定区域内写出必要的步骤

17.如图为正四棱锥P为底面45co的中心.

(1)若AP=5,AD=30,求AP。/绕旋转一周形成的几何体的体积；

(2)若4P=4D,E为总的中点，求直线AD与平面NEC所成角的大小.

18.若/(x)=log“x(a〉0,awl).

(1).=)(%)过(4,2),求〃2x-2)<〃x)的解集;

(2)存在x使得〃x+l)、/(«%)>〃x+2)成等差数列，求。的取值范围.

19.为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学

生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：

产间范围

[0,0.5)[0,5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)

学业成绩

优秀5444231

不优秀1341471374027

(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？

(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长(精确到0.1)

(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且

小于2小时有关？

2

2n(ad-be)

(附：%-=7----7V7-----Jw-----w7~n=a+b+c+d,

P(z2>3.841)«0.05.)

2

20.已知双曲线「:/一£=1,3〉0),左右顶点分别为4,4,过点"(-2,0)的直

线/交双曲线「于P,。两点.

(1)若离心率e=2时，求6的值.

(2)若6=42P为等腰三角形时，且点P在第一象限，求点P的坐标.

(3)连接。。并延长，交双曲线「于点R,若乖=求6的取值范围.

21.对于一个函数/(x)和一个点"(见»,令s(x)=(x-a)2+(〃x)-b)2,若

P(x°J(x。))是S(x)取到最小值的点，则称P是可在/(X)的“最近点”.

(1)对于/(x)=L(x〉O)，求证：对于点M(0,0),存在点尸，使得点P是M在

X

/(X)的“最近点”；

(2)对于/(x)=e\M(l,0),请判断是否存在一个点尸,它是M在/(x)的“最

近点”，且直线"P与y=〃x)在点P处的切线垂直；

(3)已知了=/(x)在定义域R上存在导函数/'(X),且函数g(x)在定义域R上

恒正，设点初;(/一1,/(。一8(。)，M2(?+l,/(Z)+g(Z)).若对任意的/eR,存

在点P同时是陷,〃2在/(x)的“最近点”，试判断/(x)的单调性.

参考答案

一、填空题

1.【答案】{1,3,5}

【解析】由题设有7={1,3,5},故答案为：{1,3,5}

2.【答案】6

【解析】利用分段函数的形式可求/（3）.

因为/（X）』"'"：。，故/（3）=g,故答案为：G.

l?x<0

3.【答案】3-1<》<3}

【解析】求出方程V—2x-3=0的解后可求不等式的解集.

方程2x-3=0的解为x=-1或x=3,

故不等式2x—3<0的解集为{划一l<x<3},

故答案为：{刘-l<x<3}.

4.【答案】0

【解析】因为/⑺是奇函数，故/（-x）+/（x）=0即/+。+（-呼+。=0,故。=0,

故答案为：0.

5.【答案】15

【解析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.

■：allb，：.2k=5x6,解得左=15,故答案为：15.

6.【答案】10

【解析】令x=l,解出〃=5,再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可.

令x=l,，(1+1)"=32,即2"=32,解得〃=5,

所以(X+l)5的展开式通项公式为,令5-"2,则厂=3,

=c，=10/.

故答案为：10.

7.【答案】4亚

【解析】根据抛物线的定义知马=8,将其再代入抛物线方程即可.

由「=4x知抛物线的准线方程为x=-1,设点P(x0,y0),

由题意得%+1=9,解得/=8,

代入抛物线方程/=4x,得y；=32,解得％=±4&,

则点P到x轴的距离为

故答案为：472.

8.【答案】0.85

【解析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案.

由题意知,4用C题库的比例为:5:4:3,各占比分别为三5,二4，三3,

121212

543

则根据全概率公式知所求正确率^=—x0.92+—x0.86+—x0.72=0.85.

故答案为：0.85.

9.【答案】2

【解析】设z=l+历，6eR且"0,

.2.2肉+3)(b3-b}.

则nz+—=1+61+^^=——+--yi=m,

z1+bi++

b2+3

二m

1+b2

,/mGR,,解得加=2,故答案为：2.

b3-b

二0

[l+b2

10.【答案】329

【解析】三位数中的偶数分个位是0和个位不是0讨论即可.

由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数.

首先讨论三位数中的偶数，

①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样

的偶数有以=72个；

②当个位不为0时，则个位有C：个数字可选，百位有C；=256个数字可选，十

位有C；个数字可选，

根据分步乘法这样的偶数共有C；C；C；=256,

最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为72+256+1=329个.

故答案为：329.

11.【答案】7.8°

［解析】设NBCA=，，在ADCA和V8G4中分别利用正弦定理得到

CACDCACB

sm(O16Sy^l6S两式相除即可得到答案,

sinDsin/CAD+

设NBCA=O,ZACD=90°-0,

CACD

在△DC4中,由正弦定理得

sinDsinACAD

____________CA____________CD

即sin[180°-(90°-。+37.0°)]sin37.0°

C4CD

即sin(90°-^+37.0°)sin37.0°①

CACB

在VBC4中,由正弦定理得

sin5sinZCAB

________CA_______CBCACB

即sin[180°—(6+16.5°)]sin16.5°，即sin(6+16.5°)sin16.5°②

②fsin(90。-。+37.0。)=sin370

因为CD=C3①得一sin(，+16.5°)—sinl6.5°

利用计算器即可得6“7.8。,

故答案为：7.8°.

12.【答案】q>2

【解析】当〃之2时，不妨设则

》_”[0,%_小&—。2，4+1—%]U[0,4+i—%]，

结合/〃为闭区间可得2-工对任意的〃32恒成立，故可求q的取值范围.

q

由题设有4=4q"T,因为%〉0国〉1,故。用>%,故[%，4+]=[%产’%力，

当〃=1时，x/e]4,%]，故x—y，此时L为闭区间，

当2时，不妨设若x,y目区,%]，贝ijx—ye[0,%—。』，

若歹e[%,%]，xe[a“，a“+J,则x-y一%，4加一。』，

若x/e[a〃,a“+J,则x—ye[0,a,+i—%],

综上，x—ye[0,%—%]U[a“—a2，%+l—%]U[0,%+i—a”],

又/〃为闭区间等价于[Og-—%，4+1-%]3°，％+1—4]为闭区间，

aa

而n+i-i>%+「4>%—%，故«„+1-«„出对任意n>2恒成立，

2

故an+1-2%+哈0即a”"T--2)+%20,故^(^-2)+1>0,

故22--五对任意的〃“恒成立，因《>1,

q

故当〃f+8时，一一—0,故q—2N0即qN2.

q

故答案为：q”

二、选择题

13.【答案】C

【解析】根据相关系数的性质可得正确的选项.

对于AB,当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误.

对于CD,因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上

升趋势，故C正确，D错误.

故选：C.

14.【答案】A

【解析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的

性质一一判断即可.

对A,sinx+cosx=V^sin[x+£],周期7=2兀，故A正确；

]2,71

对B,sinxcosx=-sin2x,周期7=彳=兀，故B错误；

22

对于选项C,sin2x+cos2x=l,是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；

2兀

对于选项D,sin2x-cos2x=-cos2x,周期7=了=兀，故D错误，

故选：A.

15.【答案】C

【解析】由题意知这三个向量无I,谑，西共面，即这三个向量不能构成空间的

一个基底，

对A,由空间直角坐标系易知(0,0,0),(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面，则当

(-l,0,0),(l,0,0)eQ无法推出(0,0,1)eQ,故A错误；

对B,由空间直角坐标系易知(-1,0,0),(L0,0),(0,0,1)三个向量共面，则当

(0,0,0),(l,0,0)eQ无法推出(0,0,1)eQ,故B错误；

对C,由空间直角坐标系易知(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0)三个向量不共面，可构成空

间的一个基底，

则由(1,0,0),(0,1,0)eQ能推出(0,0,1)史Q,

对D,由空间直角坐标系易知(1,0,0),(0,0』),(0,0「1)三个向量共面，

则当(0,0,-1)(1Q0)eQ无法推出(0,0,1)eQ,故D错误.

故选：C.

16.【答案】B

【解析】对于ACD利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即

—2,x<—1

可判断，对于B,构造函数/(x)=<x,-即可判断.

>1

对于A,若存在y=/(x)是偶函数,取X0=1G[-1,1],

则对于任意xe(-»,l),/(x)</(l),而/(-1)=/(1),矛盾，故A错误；

—2,x<—1,

对于B,可构造函数/(x)=<x,-l<x<l,满足集合M=[-1,1],

>1,

当x<—l时，贝iJ/(x)=—2,当时，/(x)e[-l,l],当X>1时，/(x)=l,

则该函数/(x)的最大值是〃2),则B正确；

对C,假设存在/(x),使得/W严格递增，则河=区，与已知矛盾,

则C错误；

对D,假设存在/(x),使得/(x)在x=—1处取极小值，则在-1的左侧附近存在

n,使得这与已知集合"的定义矛盾，故D错误；

故选：B.

三、解答题

TT

17.【答案】（1）1271；（2）-

4

［解析】（1）正四棱锥满足且P01平面ABCD，由NOu平面ABCD,则P0VA0,

又正四棱锥底面45co是正方形，由40=3近可得，4。=3,

故尸07PA2-A0?=4，

根据圆锥的定义，AP。/绕P。旋转一周形成的几何体是以P。为轴，4。为底面

半径的圆锥，

即圆锥的高为尸。=4,底面半径为/。=3,

根据圆锥的体积公式，所得圆锥的体积是:X7rx32x4=12兀

（2）连接EA,E0,EC,由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三

角形，

由£是9中点，则必,必，又NEnCE=E,ZE,CEu平面/C£,

故必，平面ZCE,即平面ZC£,又BO。平面ZC£=。，

于是直线BD与平面AEC所成角的大小即为ABOE,

不妨设ZP=/O=6,则5。=30,5£=3,sinZBOE=^=—,

3V22

7TTT

又线面角的范围是0,-,故N80E=?即为所求.

18.【答案】（1）{x|l<x<2}；（2）a>\

【解析】（1）因为尸/（x）的图象过（4,2）,故1吗4=2,故/=4即a=2（负的

舍去），

而/(x)=log2%在(0,+8)上为增函数,故/(2x-2)</(x),

故0<2x-2<x即l<x<2,

故/(2x-2)<f(x)的解集为{x11<x<2}.

(2)因为存在力使得/(x+1卜/㈣、/卜+2)成等差数列,

故2/(*=/(x+1)+/(x+2)有解，故2log“(*=log“(x+l)+logfl(x+2),

因为a〉0,awl,故x>0,故a，？=(x+l)(x+2)在(0,+oo)上有解，

由力=》2+3：+2=]+3+2=2(工+31_'在(0,+8)上有解,

xxxIx4)8

令‘二—€（0,+8）而y=+-:在（0,+8）上的值域为（1,+“）,

X

故">1即a>1.

19.【答案】（1）12500；(2)0.9h；(3)有

179+43+2825

【解析】（1）由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比

58058

则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为

25

29000x—=12500.

58

（2）估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为

10.5+1._1+1.5._1.5+22+2.5.

——X139+-------X191+--------X179+--------x43+---------x28o合0.9.

58022222

则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时.

（3）由题列联表如下:

口，2）其他合计

优秀455095

不优秀177308485

合计222358580

提出零假设“0：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无

关.

其中a=0.05.

580x(45x308—177x50)2

2»3.976>3.841.

z95x485x222x358

则零假设不成立，

即有95%的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有

关.

20.【答案】⑴b=6（2）尸（2,2夜）；（3）

【解析】（1）由题意得0=£=£=2,则c=2,b==5

（2）当6=城时，双曲线r：V一至其中"（—2,0）,4。，0），

33

因为42P为等腰三角形，则

①当以为底时，显然点P在直线x=-g上，这与点P在第一象限矛盾，故舍

去；

②当以4尸为底时，|叱|=|朋4|=3,

_23

y2_r2_=i1111fX=1

设P(x/),则8一，联立解得「或<87二17或^VW=0,

22

(x+2)+y=9^=_8A/17

11

因为点尸在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；

（或者由双曲线性质知IMPDIK42I，矛盾，舍去）；

③当以为底时，|4?|=|初4|=3,设夕（犬0，方），其中天〉Ojo〉o,

2

(X0-1)+V^=9

2»即叩居•

则有《焉_粤=1,解得，

O

3

综上所述：尸（2,2后）.

（3）由题知4（—1,0）,4（1,0），

当直线/的斜率为o时，此时尸=0，不合题意，则左,wo.

则设直线/：》=冲-2,

设点网石,必）,。（々/2），根据。。延长线交双曲线「于点R，

根据双曲线对称性知尺（-打-力），

x=my-2

联立有2y2_4"阳+3廿=0,

E一尸

显然二次项系数廿加2_1w0,

其中A=(—4加/)2一4卜2加2—1)3/=助4加2+12/〉0,

&R=（一々+1，—丁2），42尸=（再-1，%）,

则乖.4?=（-々+1）（苞-1）-=i，因为？（西,必）,。（々,%）在直线/上,

贝I]%[=my1-2,x2=my2-2,

即一（冽为一3）（加%—3）—%>2=1，即％为（"』+1）一（X+%）3加+10=0,

2八3〃4b2m，八八

m+1)—5—5----3m-------F10=0,

7b2m2—1b2m2—1

即3b°[nr+1)—3加-4/掰+10[b2m2-1)=0

化简得廿加2+362—IO=O,

所以/=1_3,代入到/加2_iw0,得/=10_3人271,所以B手3,

且/=1-320,解得尸<T，又因为八0，则0<〃vg,

综上知，Z>2e(O,3)U^3,y

:.b

21.【答案】(1)证明见解析；(2)存在，「(0」)；(3)严格单调递减

22

【解析】(1)当/(0,0)时，5(x)=(x-O)+f--oY=x+4>2AG^=2,

当且仅当f=[即X=1时取等号，

X

故对于点M(0,0),存在点使得该点是M(0,0)在〃x)的“最近点”.

(2)由题设可得5(%)=(%—1)2+(秒一0)-=(%-1)2+02”,

则s，(x)=2(x-l)+