等比数列及其前n项和（9题型分类）-2025年高考数学一轮复习（解析版）

专题28等比数列及其前n项和9题型分类

彩题如工总

题型1:等比数列基本量的运算

彩先我宝库

1.等比数列有关的概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比

数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(#0)表示.

⑵等比中项：如果在a与。中间插入一个数G,使a,G,方成等比数列，那么G叫做。与b的等比中项,

此时，G2=ab.

2.等比数列的通项公式及前n项和公式

(1)若等比数列｛金｝的首项为0，公比是必则其通项公式为a.=aiq"-i.

nm

(2)等比数列通项公式的推广：an=amq-.

(3)等比数列的前〃项和公式：当q=l时，Sn=nau当夕力时，$〃=笔/=竿箸.

3.等比数列性质

(1)若机+〃=p+q,则。加其中机，n,p,q£N*.特另U地，若2w=m+〃，则胡斯=忌，其中机，n,

w£N*.

(2)以，四+叱四+2加，…仍是等比数歹！J，公比为小(左，

(3)若数列｛斯｝,｛儿｝是两个项数相同的等比数列，则数列｛斯右｝,与｝和｛瑞｝也是等比数列(b,p,疗0).

(4)等比数列｛&｝的前〃项和为&,则&,Sln-Sn，S3"一仍成等比数列，其公比为刃(〃为偶数且"=一1

除外)

⑸若久或则等比数列“｝递胤

[ai>0,\ai<o,

若八，或，则等比数列｛斯｝递减.

【常用结论

1.等比数列｛斯｝的通项公式可以写成斯=cq",这里厚0,甘0.

2.等比数列｛斯｝的前〃项和S”可以写成S“=Aq"—A(A/)，^1,0).

3.数列｛斯｝是等比数列，S,是其前〃项和.

⑴若°1刈2・…◎=〃，则〃，景,骁，…成等比数列.

(2)若数列｛斯｝的项数为2〃，则蓑=4；若项数为2w+l,则受a=4,或这£=%

彩”秘籍

(―)

等比数列基本量的运算

等比数列基本量的运算的解题策略

(1)等比数列中有五个量的，n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.

(2)解方程组时常常利用“作商”消元法.

(3)运用等比数列的前"项和公式时，一定要讨论公比q=l的情形，否则会漏解或增解.

题型1：等比数列基本量的运算

1-1.(2024高二下.全国・课后作业)在等比数列｛4｝中，若g=4,a5=-32,则公比q应为()

A.±-B.+2C.gD.-2

22

【答案】D

【分析】由等比数列的通项公式直接求解即可.

【详解】因为4=也贮="=手=-8,解得g=-2.

a2a】xq4

故选：D

1-2.(2024高三下.北京.阶段练习)在等比数列｛q｝中，q=3,q+/+生=9,则%+为+&等于()

A.9B.72C.9或70D.9或一72

【答案】D

【分析】利用等比数列的性质求出公比，即可求出4+%+4的值.

【详解】由题意，neN*.

在等比数列｛%｝中，4=3,4+/+%=9,

设公比为4，

2

:.ax+axq+axq=9,即3+3g+3/=9,解得q=-2或q=],

33

a4+a5+a6=（q+a2+a3'）q=9q,

当4=1时，+%+4=9,

当9=2时，〃4+%+〃6=-72.

故选：D.

1-3.（2024高二下•湖北.阶段练习）已知递增的等比数列｛““｝中，前3项的和为7,前3项的积为8,则明的

值为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】首先由前3项的和为7,得出生+44+q/=7,再由前3项的积为8,根据下标和定理得出4=2,

则用=[代入求值，结合｛%｝为递增的等比数列，得出4的值，根据等比数列通项公式即可得出心.

【详解】由前3项的和为7,得+=7

前3项的积为8,得的必=W=8,即％=2,

22221

贝!J〃i=—,代入q+qq+Qi/=7,得一+—p+—=7,gp2q2-5q+2=0,解得夕=2或q=

qqqq2

因为｛%｝为递增的等比数列，

2

所以9=2,则q=—=1,

q

所以&=1x23=8,

故选：D.

1-4.（2024高三•全国•对口高考）已知数列｛4｝是等比数列，％+%=2,%+6=128,则该数列的小以及4

依次为（）

222

A.682,-B.-682,-2C.682,1或一2D.-682,耳或—2

【答案】C

【分析】根据等比数列的通项公式列方程组，求出生和9,再由前”项和公式求解.

%+%q=2

【详解】根据题意，得

%q6+4屋=128，

2

aq=-2

解方程得'-3,或

q=-2

q=2

q（—。）|02%

或&=

Sio==682,U「/°）=682.

i-q1-2

故选：C

1-5.（2024高三•全国•专题练习）已知等比数歹!]｛q,｝中，《=1,S”为｛叫前〃项和，=5$-4,贝I]S&=（）

A.7B.9C.15D.30

【答案】C

【分析】设公比为4,根据条件列出方程求解，再由求和公式得解.

【详解】等比数列｛%｝中，设公比为4,

4=1,臬为｛.“｝前〃项和，S5=5S3-4,显然#±1,

（如果4=1,可得5=15-4矛盾，如果4=-1,可得一1=-5-4矛盾）,

可得了=5•7-4,

1-q1-q

解得如=4,即限2或"-2,

1-/741-16

所以当q=2时，s,=J=f=15.

1-q1-2

I-//41-16

当4=一2时，=没有选项.

1-q1+2

故选：C.

彩傅题淞籍

等比数列的判定与证明

等比数列的三种常用判定方法

(1)定义法：若如::“⑨为非零常数，〃GN*)或」"=q(q为非零常数且稔2,"GN*),则｛诙｝是等比数列.

斯Cln—\

(2)等比中项法：若数列｛四｝中，斯邦且欣+i=a,&+2("eN*),则｛斯｝是等比数列.

(3)前w项和公式法：若数列｛&｝的前〃项和S“=kq〃一网上为常数且原0,疗0,1),则｛斯｝是等比数列.

题型2:等比数列的判定与证明

2-1.(2024高三.全国.专题练习)甲、乙两个容器中分别盛有浓度为10%,20%的某种溶液500ml,同时从

甲、乙两个容器中取出100ml溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称为一次调和.记4=10%,4=20%,

经(〃-1)次调和后，甲、乙两个容器的溶液浓度分别为bn.

(1)试用“〃一，1bn_i表示〃“，bn.

(2)证明：数列｛%-〃｝是等比数列，并求出％,么的通项.

4141

【答案】⑴。〃=^^_1+二2T,2=三。〃一1+;。〃.1.

(2)证明见解析，氏=一||]x5%+15%,x5%+15%.

【分析】(1)根据题意，得到。”40°工京°°%，2=MO"；；。*,即可求解；

(2)由(1)得到可得得出数歹！]｛4-2｝是等比数列，结合等比数列的通项公

式，即可求解.

【详解】(1)解：由题意，经〃-1(〃22,〃€?^)次调和后甲、乙两个容器中的溶液浓度分别为应,年，

一一」400。,+100Z?.41400万,+lOOa,41

所以""="1665a--'+l7-l，b1=------------------旦=—b7.+-a.

"5005a5a

4141

bba

(2)解：由(1)知，=-«„_1+-^-1，„=-n-l+-n-l>

333

可得g=,(%-%)(〃22),

所以数歹(J{%-2}是等比数列，

因为4=一1。％,所以Q,—2=—10%x[g]①,

又因为。〃+优=%一1+2一1=L=4+4=30%②.

联立①②得a'=一］x5%+15%,2=1|）><5%+15%.

2-2.（2024高三.全国.专题练习）已知数列｛4｝满足4邑-2%=2",女川，其中S,为｛%｝的前a项和.证

明：

⑴伊裔是等比数列.

1111

6%+36%-36%+3x（-l）〃

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）根据。“与S〃的关系，利用相减法结合等比数列的定义即可解决;

,13

（2）由（1）得2=2,利用放缩法得公7+4.<言，求和证明即可.

【详解】（1）：4S“-2an=2",；.4S,T-2%=2^（«>2）,

t

两式相减得：4（S„-S„_I）-2a„+2a,l_I=2"-2"-,即q+4_I=24（〃22）.

S--1-%+211

2"6_2"6

也」一%1

2'-162"-16

当〃=1时，4S「2%=2\即4=1

又••小一底」是以《为首项，为公比的等比数歹山

26312OJ32

(2)由(1)得"-L=LxJ，所以。“=一gx（-l）”+：x2.

2"63I

6«„+3(-1)--2;--(-I)-

,=_J_______14"*3

2/1—1+2〃22〃-1+]+22〃]Z，"-1+-1]<2，〃—122”

不等式左边的前2w项和&＜；+*+...+,=4，

1----

4

又2＞0=&-＜心＜1，原不等式得证.

2-3.（2024.广东东莞三模）已知数列也,｝和也｝,4=2,=1,%=2b..

an

⑴求证数列4-11是等比数列；

（2）求数列的前"项和人

【答案】（1）证明见解析

n+2

(2)7；=/+”-2+

【分析】（i）通过题中关系，可得二--1=］上-1,进而可得数列I，-4是以-《为首项，公比为;的

a2

n+x21%JJ2

等比数列.

2〃nnn

（2）由⑴可得,b=2n-,贝|二=2〃-9，可利用分组求和与错位相减求和解题.

2—1n2/

I112I।

【详解】（I）由6=2,--------=1,%=2b“得-------=1,

%«„an+1an

整理得,一i==

。用AanJ42

所以数列］是以为首项，公比为1的等比数列

J22

11/1Y1z

(2)由(1)矢口一一1=一一-=一一,・•・〃〃=」

an2⑶T〃T

n+1

12〃n2-l.几

,,b=-ci———,—=n----------=2rl------,

xn+1

〃22-lbnXT

,几。12n112n

设s“—泊则mil5$c“=*西'

1〃+2

两式相减得gs,=g+*+nn----=]------

2〃+i2〃+i

从而S〃=2一等

n（2+2n）

2n+2

—2——=n+n-2+

彩他题,秘籍(二)

等比数列项的性质

(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前”项和公式的变形,

根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.

(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要.

题型3:等比数列项的性质

3-1.(2024.江西•二模)在正项等比数列｛%｝中，的与网是方程/-30x+10=0的两个根，贝!I

lg%+lga2++lga10=.

【答案】5

【分析】

利用韦达定理，可得。3a8=1°，再根据对数的运算法则和等比数列性质求解即可.

【详解】因为的与。8是方程/_30工+10=0的两个根，所以％%=10，

因为｛可｝为正项等比数列，所以=。3。8=%%=。5。6=1°，

55

所以lgq+lga2+H-lg^o=lg(o1xa,x,-.xt?10)=lg(a3a8)=lglO=5,

故答案为：5.

3-2.(2024高三下.四川成者B•阶段练习)若数列｛4｝是等比数列，且4%%=8,则%%=.

【答案】4

【分析】根据等比数列的性质求解即可.

(详解］根据等比数列的性质，有。自3=婿，

则1%为3=%=8,解得“7=2,

所以=婿=4.

故答案为:4.

3-3.（2024•河南新乡•二模）已知等比数列｛%｝的首项为1,且纭+4=2（%+4），则%=.

【答案】128

【分析】先由等比数列的通项公式得到如;色誉二？，进而得到%=。//=2,再根据等比数列的性质得

到结果.

【详解】设等比数列｛叫的公比为4,因为4+%=2（/+4）,根据等比数列的通项公式的计算得到：

q'=」~=2,所以&=%•/=2.由等比数列的性质得到：axa2a3%=&=2’=128.

。3-T-4]

故答案为128.

【点睛】这个题目考查了等比数列的通项公式的写法，以及等比数列的性质的应用，题目比较基础.对于等

比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码

关系，即利用数列的基本性质.

彩健题祕籍

（四）

等比数列前“项和的性质

（1）等比数列｛a"中，所有奇数项之和S奇与所有偶数项之和“具有的性质，设公比为q.

①若共有2〃项，则生=4；②若共有2〃+1项，=

（2）等比数列｛%｝中，S*表示它的前七项和.当#-1时,有…也成等比数列，公比为

qk-

题型4:等比数列前n项和的性质

4-1.（2024•河北沧州•模拟预测）已知等比数列｛%｝的前〃项和为%若邑=2,$6=6,贝US”=.

【答案】510

【分析】利用等比数列的性质：与，s2m-sm,s3nl-邑“，…构成等比数列，再利用条件即可求出结果.

【详解】因为数列｛%｝为等比数列，由等比数列的性质知，

S.-S,6-2c

S3,S6-S3,S9-S6,$2「右,…构成首项为邑=2,公比为4=y二=一r=2的等比数列，且邑,

是该等比数列的前8项和，

所以S?4=2（1-2）=510.

241-2

故答案为:510.

4-2.（2024高三.全国•对口高考）已知数列｛%｝为等比数列，S,为其前”项和.若S3。=13%，%+%=140,

贝”2。的值为.

【答案】40

【分析】用等比数列的前〃项和的性质：当公比qWT时H。，Sw-SlQ,S30-S20也是等比数列，即可求解.

【详解】因为%=13几，几+解=140,所以九=10,%=130,

则等比数列｛““｝的公比q/T,

所以S„,S2n-Sn,SlJ也是等比数列，

所以小,S20-Sw,S30-S20也是等比数列，

2

所以IS2。一工。）2=S10（S30-S2fl）,gp（S20-10）=10（130-S20）,

解得$20=4。或S?°=—30,

又邑0=工。（1+/°）＞0,所以$2。=40.

故答案为：40.

4-3.（2024高三•全国•课后作业）已知S“是正项等比数列｛叫的前见项和，510=20,贝I］风。-2s为+几的最

小值为.

【答案】-5

【分析】当4=1时,530-2520+510=0;当#1时，可推出邑。-&=20q\邑。-丛。=20/,代入整理可

得S30-2s20+4。=20-一5.即可得出答案.

【详解】解：设｛4｝公比为“

当q=l时，Sio=lO%=2O,贝[J%=2,止匕时有S30—2820+Si。=30%—2x20〃]+10%=0；

当4w1时，

因为S30—S?。=%]+%2+L+。30，S20—Si。=4+%2++々20，5]0=%+%++〃10，

匚匚【、|§30_*^20_%1+〃22+L+〃30_「10§20-^io_41+〃12+L+出。_「10

所以%+弓2+1+电。一"'FT=q+az+L+q。-"'

w2020

所以邑0-工0=工0X，°=2Qq'°,S30-S20=(52O-S1O)Xq=Swxq=2Oq,

2010

所以S30—2S20+S]（）=530—520—（S20-510）=2Oq-20，°=2O^--j-5,

当，°=；时，S3。—2s2。+S10有最小值为一5.

综上所述，S3。-2邑。+&的最小值为-5.

故答案为：-5.

1010

4-4.（2024•江苏南京•一模）设正项等比数列｛%｝的前〃项和为S“，＞2S30-（2+1）5,0+Slo=O,则公比

q=.

【答案】1/o.5

【分析】利用变形求得?。右=焉,利用等比数列的性质可以得到/=击，结合等比数列｛。〃｝为正项

》20》10乙

数列，进而求出公比。

Kl10

【详解】由2s30-(*+1)520+510=0,^2(S30-S20)=520-S10.

又正项等比数列｛4｝的前〃项和为S,,故邑。-H。w0,

:数列｛。〃｝是等比数列，

.S30_5*20_〃21+〃22+〃23+'+〃30_~10

・・7厂一—q

»20—）10"11+"12+”13+'+”20

故/°=],解得：4=

因为等比数列｛〃〃｝为正项数列，所以4＞。，故夕=；

故答案为：g

彩健题海籍.

（五）

由S〃求数列的通项氏

已知S“求是一种非常常见的题型，这些题都是由%,与前”项和S”的关系来求数列｛%｝的通项公式，可由

数列叫的通项。,与前”项和S“的关系是%=｛1],:小，注意：当〃=1时，%若适合S则〃=1

S"一S"T（W?2）

的情况可并入"22时的通项《；当”=1时，%若不适合S“-S"T，则用分段函数的形式表示.

题型5:由S“求数列的通项。,

5-1.（2024高三全国•对口高考）已知等比数列｛%｝的前〃项和为S"=3"i-c,贝卜=.

【答案】|

【分析】根据等比数列的定义，结合前〃项和为S“=3"T-c,列出前三项计算即可求得J

1-1

［详解］由题意可得H=3-c^\-c=ax,邑=327_(?=3_(?=4+%=%=2,

S3=33T—c=9—c=«3+S2=>«3=6,故有a；=%q=>4=6(1—c)=>c=-^.

故答案为：g

5-2.(2024・广西玉林•三模)记数列｛%｝的前〃项和为S“，已知向量根=(4+i，S〃)，丸=(1,2),若％=2,且

m//n,则｛%｝通项为.

2,〃=1

【答案】4=

收42

【分析】由平面共线向量的坐标表示可得S“=2a”+「利用S”与%的关系求出数列的通项公式，即可求解.

【详解】m//n,：.Sn=2an+l,

当九=1时，S[=alf得〃2=+=1,

当〃22时，2a〃+i=Sn,2an=S%i,

30耳3

两式作差得：册，即1；=,，

所以｛%｝是以|■为公比，1为首项的等比数列,

则4=(1)5力2),

2,n—l

又q=2不符合上式，所以为=“丫-2

2,n=l

故答案为：见=(3丫一2.

匕42

5-3.(2024.全国.模拟预测)已知数列｛4｝的前”项和为S“且满足耳+4=-2,则数列｛4｝的通项

n—1

【答案】-I

【分析】先求得"=1时4=T;再由S"+“"=-2可得”)2时S"_i+a“_]=-2,两式作差可得2°“-%=0,

进而求解.

【详解】当〃=1时，，+q=2%=-2,解得q=-1；

由S,+4=-2,可知当a22时,Ei+an-i=-2,

两式相减，得2。“-即%=：%_](〃..2),

所以数列｛%｝是首项为-1，公比为1•的等比数列，

故答案为:

【点睛】本题考查由S.与%的关系求通项公式，考查等比数列的通项公式的应用.

彩他题祕籍

奇偶项求和问题的讨论

求解等比数列的前〃项和S“，要准确地记住求和公式，并合理选取公式，尤其是要注意其项数”的值；对于

奇偶项通项不统一问题要注意分类讨论.主要是从“为奇数、偶数进彳亍分类.

题型6:奇偶项求和问题的讨论

：为偶数

6-1.(2024高三.全国.对口高考)设数列｛q｝的首项％=〃，且4+i=,

1,

,〃为奇数

4

1己%=2,3-..

(1)求出，“3；

(2)判断数列抄/是否为等比数列，并证明你的结论；

(3)求l\+b2+L+bn.

［答案］⑴%=Q+了,%=彳a+7，

428

(2)若a色｝不是等比数列；若aw；色｝是以为首项，-（为公比的等比数列.

444

11L-i¥i-F）1

(3)若°=！，b+b+L+b„=0若aw,,〃+b,+L+6“=k_

t2;——-=2a--------.

44122"-1

11--

2

【分析】(1)直接代入已知条件计算即可；

(2)由已知及递推公式可得再讨论。的值即可判定；

(2)结合(2)的结论分情况由公式求和即可.

【详解】(1)由题意可知：%=4+:==不。2=大。+小

44228

、“11111(1^11\(

(2)由2=__=a2n-2l_H=5%〃-3+1_W=］1%〃一3=lb

+2n-3--\=-n-l>

N711

而4=Oy――=9

若a=；,则4=0,显然也｝不能是等比数列，

若分；，则抄/是以为首项，J为公比的等比数列.

44/

(3)由(2)可知，若〃=；,则｛2｝为常数列，各项均为0,故4+1

>2+L+bn=0.

若a《,则｛〃｝是以a-J为首项，J为公比的等比数列，

44z

［。力1-j1a-｛

则由等比数列的求和公式得：伪+4+L+”,△一4八2——

I122"一

1-----

2

2%,"是偶数，

6-2.(2024.湖南长沙•模拟预测)已知数列｛%｝满足％=3,

a“T,"是奇数

⑴设勿=%+%“一，求数列｛2｝的通项公式;

(2)设数列｛%｝的前n项和为Sn,求使得不等式S">2023成立的n的最小值.

【答案】(1也=2"+3

(2)20

【分析】⑴通过构造得%-3=2色,-3),则可得到或的通项；

(2)利用等比数列求和公式得邑"=2""+3〃-2,通过作差得邑,+「邑”=2”+2>。，邑“+2-52„+1=2"+1>0,

则得到｛S,,｝是一个增数列，计算几,邑。即可得到答案.

2a”,”为偶数，

【详解】(1)因为4+1

%-1,〃是奇数,

aaO+

所以。2”=。2”-1—1，2n+l=2az.，2n+2=fl2„+l->所以02M-1=2n1•

b-1

又因为包=〃2“+。21，所以2=%,+%,+1=2%,+1，所以％.

因为6"+1=02n+2+a2n+l>所以2+1=。2"+1-1+“2”+1=2的“+1-1,

又因为%用=2%“，所以优+|=4%“-1,所以%,=，一，所以代一=三

即年―，

所以%-3=2包-3),

b-3

又因为4_3=%+氏_3=氏=%_1=270,所以a_3片0,所以^^=2,

所以数列他「3｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以N-3=2X2"T=2",即么=2"+3.

(2)由(1)可知。2“-1+。2,=2"+3，所以52“=2,一；)+3〃=2向+3“_2,

所以邑,+2=2"2+3W+1,

又因为。2“=T，所以«2„.1+/"=2a2,-1-1=2"+3,

即%T=2-+2,所以%1M=2"+2,

所以邑用=邑“+a2n+1=2向+3〃-2+2"+2=3.2"+3n,

因为邑用-邑，=电用=2"+2>0,

n+2

S2n+2-S2n+l=2+3"+1-(3・2"+3")=2"+1>。，

所以｛S，M〃eN*)是一个增数列，

11

因为519=3x29+3x9=1563,S20=2+3x10-2=2076>2023,

所以满足题意的”的最小值是20.

为奇数,

6-3.（2024・河北•模拟预测）已知数列｛%｝满足q=2,^+1=<

%+5，”为偶数

⑴记b„=*一*，证明：数列也｝为等比数列；

（2）记c„=出.一g，求数列｛“%｝的前”项和T„-

【答案】（1）证明见详解

【分析】（1）根据题意结合等比数列的定义分析运算；

（2）先根据等比数列结合累加法求%,再利用错位相减法求和.

=£Z=a+=

【详解】（1）由题意可得：«2^1=1^32~~'且。2"=W%I，%,+1=%0+5=5见1，

则bn+i_%〃+3-

b

n。2〃+1一〃2〃-1〃2〃+1-a2n+l~a2n-l2

所以数列也｝是以首项々=%-q=-g,公比4的等比数歹U.

⑵由(1)可知：2=一(xg)=一g)'即％〃+1一%〃-1

可得：=（々2“+1_々21）+（%〃-1_々2〃-3）+…+（々3-%）+%=_1g]—[J]-------g+2

12YL

可得看=2+21+'"+2^，

则'$+>,,+"

nnn+2

两式相减得:-----=]1-।

2〃+i------2,2"+i--------2"+i

所以q=2一展

6-4.（2024•山东济宁•二模）已知数列｛4｝的前w项和为S,,a〃T+a,+i=2a，eN2,“eN*）,且%=1,$5=15.

(1)求数列｛4｝的通项公式;

⑵若〃=；：'「；倬粉，求数列也｝的前2n项和&.

[2-1,〃为偶数

【答案】⑴。“=〃

02〃+1Q

⑵笃“=〃2+^_Z±

【分析】(1)根据等差数列的基本量计算即可求解，

(2)由分组求和，结合等差等比数列的求和公式即可求解.

【详解】(1)由a“_i+a“+i=2a“("22),得%，一％(心2)

所以数列｛%｝为等差数列.所以55=5乂幺券=54=15,得。3=3.

所以公差1=与二?=1.所以%=〃.

3-1

(2)当"为奇数时，bn=an=n.当"为偶数时勿=2%=22.

所以或=3+4++邑-)+(4+%++邑)=。+3++2«-1)+(2+23++221)

222n+1-2

二〃+-------

3

彩僻题秘籍

(七i)

等差数列与等比数列的综合应用

(1)等差数列与等比数列的相互转化：等差数列通过指数运算转化为正项等比数列，正项等比数列通过对

数运算转化为等差数列.

(2)等差数列和等比数列的交汇，若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列为非零常数数列.

题型7:等差数列与等比数列的综合应用

7-1.(2024高二上.陕西渭南•期末)在等差数列｛4｝中，4+必=12,g+%=16.

(1)求等差数列｛%｝的通项公式；

(2)设数列｛2%+2｝是首项为1,公比为2的等比数列，求数列｛2｝的前〃项和S”.

【答案】⑴4=2〃-1；

(2)2"-2n2-l.

【分析】(1)根据等差数列的通项公式列出方程组求解即可；

(2)设数列｛2%+%｝的通项公式为c“，由等比数列公式求出c“可得",

再由分组求和得解.

【详解】(1)设等差数列｛4｝的公差为d,

%+4=122%+5d=12%=1,

由题知,解得

a2+%=162q+7J=16d=2.

an=l+2(/j—l)=2n—1.

（2）设数列｛2%+2｝的通项公式为G，

则%=2。“+2=2"T,

x

.-.b,=cn-2an=T--2(2n-\),

贝l]S'=0+2+4++2"T）-2（l+3+5++2〃-1）

一1一2"»（1+2«-1）_

=-----2----------—L—Zn—1.

1-22

7-2.（2024.江苏）已知｛%｝是等差数列，他,｝是公比为q的等比数列，01n4,出=瓦丰生,记S“为数列也｝

的前”项和.

（1）若a=4“Cm,左是大于2正整数），求证：Sy；

（2）若么=6（，•是某一正整数），求证：4是整数，且数列｛2｝中每一项都是数列｛%｝中的项；

（3）是否存在这样的正数q,使等比数列也,｝中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明;

若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；

⑵证明见解析；

（3）存在“=与1,理由见解析.

【分析】（1）根据等比数列，等差数列通项公式和前”项和的基本量，列出等量关系，求解即可证明；

（2）根据等差数列和等比数列通项公式的基本量，结合i为正整数，即可证明；

（3）假设存在三项满足题意，根据等比数列和等差数列基本量的计算，列出方程，即可求得满足题意的“

【详解】（1）设数列｛%｝的公差为d,由%=4，的=打*%，可得dwO,4Wl,d=4（q—1）,（%彳0）；

因为4=册，故％qJ=%(q—l),qk~'=l+(m-l)(^-l)=2-m+(/n-l)^,

q(l-qi)q[m

故心

1—q\—q

(2)2=4/4=4+«_1)4(9_1),由4=q可得d=1+«_])(夕_1),

解得4=1或4="2,但qwl,故4=z•-2,因为i为正整数，故9是整数;

设数列｛2｝中任意一项为2=以严，只要证明数列｛%｝中存在某一项4=%+(机一l)q(q-l),

使得£=%即可，即方程％qi=%+(租-1)%(q-1)关于m有正整数解即可.

n—1-I

贝Ui=l+(m—1)(^—1),m-l=----=l+q+q2++qn~2,

也即m=q+/++q〃2,

若i=1,贝ljq=-1,那么b2tl_[=a=ax,b2n=b2=a2；

若i=2,则4=0(舍)；

若i=3,则4=1(舍)；

若江4,则4为正整数，又因为％=配%=仇，故只要考虑"N3时的情况，此时机是正整数.

数列｛2｝中任意一项与数列｛%｝中的第2+“+d++广2项相等，故结论成立.

(3)设数列｛2｝中有三项%优也(租</<P，m,",°eN*)成等差数列，

则有=%q'"T设〃一m=x,p—“=y,(x,ywN*),则2=±+?'，

q

令无=l,y=2,则“3-24+1=0,(^-1)(^2+^-1)=0,因为qwl,故《=(舍去负根)，

故存在q=与1使得｛2｝中有三项耙，或…粼+3成等差数列.

【点睛】关键点点睛：本题考查数列基本量的计算；处理问题的关键是能够熟练应用等差数列和等比数列

通项公式和前w项和基本量的计算，属综合难题.

7-3.(2024高二上•福建龙岩•阶段练习)公差不为0的等差数列｛4｝中，%+%=2,且%，％，生成等比数

列.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若S“为等差数列｛4｝的