矩形的判定（解析版）-2024年九年级数学暑假讲义（北师版）

第04讲矩形的判定

模块导航素养目标—

模块一思维导图串知识1.理解并掌握矩形的判定定理，能有理有据的推理证明,

模块二基础知识全梳理（吃透教材）精练准确地书写表达；

模块三核心考点举一反三2.能熟练应用矩形的性质、判定等知识进行有关证明和

模块四小试牛刀过关测计算。

6模块一思维导图串知识-----------------------------

1.定义法：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形;

矩形的判定2.对角线相等的平行四边形是矩形；

3.有三个角是直角的四边形是矩形.

6模块二基础知识全梳理-----------------------------

矩形的判定

矩形的判定有三种方法：

1.定义法：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；

2.对角线相等的平行四边形是矩形；

3.有三个角是直角的四边形是矩形.

要点：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.

模块三核心考点举一反三

考点一：矩形的判定定理理解

例1.（23-24八年级下•重庆九龙坡•期中）下列说法正确的是（）

A.对角线互相垂直的平行四边形是矩形B.有一个角是直角的平行四边形是矩形

C.有一组邻边相等的平行四边形是矩形D.对角线互相垂直且相等的四边形是矩形

【答案】B

【分析】本题考查了矩形的判定定理，掌握以上定理是解题的关键.根据矩形的判定定理逐项分析即可.

【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以A选项不符合题意；

B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以B选项符合题意；

C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以C选项不符合题意；

D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以D选项不符合题意；

故选：B.

【变式1-1］（23-24八年级下•江苏南京•期中）要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是（）

A.测量两组对角是否互补B.测量对角线是否相等

C.测量对角线是否互相平分D.测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等

【答案】D

【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形;

（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形.根据矩形的判定定

理判定即可.

【详解】解：A、测量两组对角是否互补，不能判定四边形的形状，故本选项不符合题意；

B、对角线相等的四边形不一定是矩形，故本选项不符合题意；

C、测量对角线是否互相平分，能判定平行四边形，不一定是矩形，故本选项不符合题意；

D、根据对角线相等且互相平分四边形是矩形，可知量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等，可

判断是否是矩形.故本选项符合题意.

故选：D.

【变式1-2］（23-24八年级下•重庆江津•阶段练习）下列说法错误的是（）

A.对角线互相平分的四边形是矩形

B.对角线相等的平行四边形是矩形

C.对角线互相平分且相等的四边形是矩形

D.三个角是直角的四边形是矩形

【答案】A

【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，熟知矩形的判定定理是解题的关键.

【详解】解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原说法错误，符合题意；

B、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法正确，不符合题意；

C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原说法正确，不符合题意；

D、三个角是直角的四边形是矩形，原说法正确，不符合题意；

故选：A.

【变式1-3］（23-24八年级下•广东深圳•阶段练习）已知四边形/BCD的对角线相交于点O,则下列条件中

不能判定它是矩形的是（）

A.AB=CD,AB//CD,ABAD=90°

B.AO=CO,BO=DO,AC=BD

c.ZBAD=ZABC=90°,ZBCD+ZADC=180°

D.NBAD=ZBCD,ZABC=/ADC=90°

【答案】C

【分析】本题考查的是矩形的判定，熟记判定方法是解本题的关键.矩形的判定定理有：（1）有一个角是

直角的平行四边形是矩形.（2）有三个角是直角的四边形是矩形.（3）对角线互相平分且相等的四边形

是矩形.据此判断即可.

【详解】解：如图，

AB=CD,AB//CD,

二四边形/BCD是平行四边形，

又/B4D=90°,

平行四边形/BCD是矩形，故A不符合题意；

,/AO=CO,BO=DO,AC=BD,

根据“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”可以判定平行四边形ABCD是矩形,

故B不符合题意；

/BAD=ABC=90°,NBCD+/ADC=180°,

二AD//BC,

但NBCD不一定与//OC相等，无法判定四边形48CD是矩形，

故C符合题意；

,//BAD=NBCD/ABC=NADC=90°,

ABAD=ZABC=ZACD=90°,

四边形/BCD是矩形，故D不符合题意；

故选：C.

考点二：添一条件使四边形是矩形

［、］例2.（23-24八年级下•山西吕梁•期中）如图，在平行四边形48。中，对角线/C,BD交于点O,

AC=6,若要使平行四边形/BCD为矩形，则08的长度应为

【答案】3

【分析】本题考查了矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可解答，熟知相关判定方法是

解题的关键.

【详解】解：•••四边形/BCD为平行四边形，

:.BO=-BD,

2

要使平行四边形48co为矩形，则需要AD=/C=6,

08的长度应为，BD=3,

2

故答案为：3.

【变式2-1]（2024•云南曲靖•二模）如图，已知在四边形48CD中，对角线ZC,5。交于点O,且

OA=OC,OB=OD,要使四边形/BCD是矩形，可添加一个条件是.

【答案】/C=BZ）不唯一

【分析】根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形，添加条件即可.本题考查了矩形的判定，熟练掌握

判定定理是解题的关键.

【详解】•/OA=OC,OB=OD,AC=BD,

.••四边形N8C。是矩形，

故答案为：AC=BD.

【变式2-2]（2024•黑龙江佳木斯•二模）如图，已知Y中对角线ZC,AD相交于点O,请你添加一

个适当的条件，使Y成为一个矩形.你添加的条件是（填一个即可）.

【答案】AC=BD（答案不唯一）.

【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可.此题主要考查了矩形的判定,

关键是熟练掌握矩形的判定定理，难度不大.

【详解】解：添加的条件是/C=3D（答案不唯一），

理由是：•・•/C=8。，四边形/BCD是平行四边形，

二平行四边形/BCD是矩形，

故答案为：AC=BD（答案不唯一）.

【变式2-3］（23-24八年级下•江苏泰州•期中）如图，在Y48co中,AC、相交于点0,点、E、F在BD

上，8E=D厂，顺次连接4RC、E,添加一个条件使得四边形/ECF是矩形，则该条件可以是.

（填一个即可）

【答案】NE4F=90。（答案不唯一）

【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，由矩形的判定可得出答案，熟记矩形的判定定理是

解题的关键.

【详解】解:添加/区4尸=90。使得四边形/EC尸是矩形.

•••四边形是平行四边形，

.­.OA=OC,OB=OD,

-：BE=DF,

:.OE=OF,

四边形AECF是平行四边形，

ZEAF=90°,

四边形NECF是矩形.

故答案为：NEAF=90°.

考点三：证明四边形是矩形

\例3.（23-24八年级下•广东江门•期末）平行四边形/BCD中，过点。作。£1/8于点£,点尸在CQ

上，CF=AE,连接ERN厂.求证：四边形8FDE是矩形.

【答案】见解析

【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定.根据平行四边形的性质，可得N5与C0的关系，根

据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案.

【详解】证明：,•・四边形/BCD是平行四边形，

AB//CD,AB=CD,

'：CF=AE,

：.AB-AE=CD-CF,

即DF=BE,

BE〃DF,

四边形BEDE是平行四边形，

DEJ.AB,

:.ZDEB=90°,

四边形BEDE是矩形.

【变式3-1](2024•陕西榆林•三模)如图，在Y4BCD中，点£、b是8c上两点，BE=CF,连接/£、DF,

AE=DF,求证：四边形48CD是矩形.

【答案】见解析

【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定等知识.熟练掌握平行四

边形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定是解题的关键.

由YZBCD,可得NB=DC,/3+/C=180。，证明△48E也△DCb(SSS),贝!]N5=NC=90。，进而结论得

证.

【详解】证明：；Y48CD,

AB=DC,ZS+ZC=180°.

*.*AB=DC,BE—CF,AE=DF,

△/BE也ADCF(SSS),

ZB=ZC=90°,

.•・四边形/BCD是矩形.

【变式3-2](23-24八年级下•辽宁鞍山•期中)如图，在菱形/BCD中，对角线/C,8。交于点O,点£为

3c边上一点，连接NE,AE与BD交于点、N,且/NNO=/NCE,过C作C/〃NE交4D于尸，求证：

四边形NEC尸是矩形.

AF

■D

【答案】见解析

【分析】本题考查了矩形的判定、菱形的性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质和

矩形的判定是解题的关键.先证四边形/EC尸是平行四边形，再证44EC=90。，即可得出结论.

【详解】证明：•••四边形/BCD是菱形

AC1BDAD//BC

■：CF\\AE

四边形AECF是平行四边形.

■：AC"BD

ZAON=90°

ZANO+ZNAO=90°

•••ZANO=NACE

ZACE+ZCAE=90°

ZAEC=90°.

•••四边形/ECF是平行四边形

四边形ZECF是矩形.

【变式3-3](2024•江苏无锡・二模)如图，在Y4BCD中，。为对角线/C的中点，E尸过点。且分别交40、

BC于点、E、F.

(1)求证：AAOE/ACOF；

(2)连接上'、CE,若CEL4D,求证：四边形/ECF是矩形.

【答案】(1)详见解析

(2)详见解析

【分析】此题考查矩形的判定，关键是根据ASA证明三角形全等解答.

(1)根据平行四边形的性质得出〃BC,进而利用全等三角形的判定解答即可;

(2)根据全等三角形的性质得出OE=OF,平行四边形的判定解答即可.

【详解】(1)证明：•.•四边形/BCD是平行四边形，

.-.AD//BC,

.•.NEAO=/FCO,

・.,。是/C的中点，

:.AO=CO,

在△4。£与£0厂中，

ZAOE=ZCOF

<AO=CO,

/EAO=/FCO

华△CO厂(ASA)；

(2)证明：如图，

由(1)可知，八4。£四△COb,

:.OE=OF,

-：AO=CO,

二.四边形4£C尸是平行四边形，

­.•CELAD,

:.ZAEC=90°,

.\Y/£CF是矩形.

考点四：根据矩形的性质与判定求角度、线段长、面积

［、］例4.如图平行四边形48。中，对角线NC、2。相交于点。，且CM=OB,ZOAD=65°,则

NODC=.

【答案】25°

【分析】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，以及矩形的性质和判定，根据题意证得四边形45s

是矩形，利用矩形的性质和等腰三角形性质即可计算出ZODC的度数.

【详解】解：•・•四边形是平行四边形,

/.OA=OC,OB=OD,

•「OA=OB,

OA=OB=OC=OD,

..・四边形45CD是矩形，

ZADC=90°f

•/ZOAD=65°,

/ODA=/LOAD=65°,

/.NODC=ZADC-NODA=25°,

故答案为：25°.

【变式4-1]（23-24八年级下•广东广州•期中）如图，在中3。中,AC=12,BC=5,AB=13,P为边AB

上一动点，作于。，PELBC于E,则。E的最小值为.

【答案】等哈

【分析】本题主要考查了矩形的性质及判定与三角形等面积法的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关

键.连接CP,首先证明四边形。CE尸为矩形，由此得出尸C=Z)£,然后进一步利用三角形等面积法求出尸C

的最小值，从而得出答案即可.

【详解】解：如图，连接CP,

/.122+52=132,即=/B2,

为直角三角形，N4CB=90。,

VPD1AC,PELBC,

：.ZPDC=APEC=90°,

...四边形。CEP为矩形，

：.PC=DE,

：点C到AB的最短距离就是点C到AB的垂线段的长，即AB边上的高,

设45边上的高为。，

x

则：ARC=~~ACxBC=—xABxa,

22

—xl2x5=—xl3x«,

22

._60

・・a——，

13

即PC的最小值为9，

•••DE的最小值为普，

故答案为：案■

【变式4-2］（19-20九年级下•江苏宿迁•阶段练习）在“3C中，AB=AC=26,BC=20,点。在“BC

内，且BD=CD,ZBDC=90°,E、F、G、H分别是A3、AC.BD、CD的中点，则四边形£7田G的面积

【分析】连接/。并延长交8c于点尸，得到/尸是线段BC的垂直平分线，根据勾股定理得到E尸是“3C的

中位线，四边形跳HG为平行四边形，即可得到四边形屏HG为矩形，即可得到结果.

【详解】解：连接/。并延长交于点P,

VAB=AC=26,BD=CD,

/尸是线段3c的垂直平分线，

BP=CP=-BC=1Q,APLBC,

2

在Rtz^DC中，ZBDC=9Q°,BP=CP,

：.DP=-BC=\O,

2

在Ri^APB中，AP=JAB2-8P2=24，

/尸一。尸=24—10=14,

,:E、/分别是AB、NC的中点，

E/是AA8C的中位线，

：.EF=-BC=10,EF//BC,

2

同理，GH=-BC,GH//BC,EG=-AD=1,EG//AD,

22

GH=EF,GH//EF,

.•.四边形欧HG为平行四边形，

APVBC,

：.EG±GH,

平行四边形EFHG为矩形，

二四边形跳HG的面积=GH-EG=10x7=70,

故答案为：70.

【点睛】本题主要考查了四边形综合.掌握矩形的判定定理和性质定理、勾股定理、三角形中位线定理、

等腰三角形的性质是解题的关键.

【变式4-3］（23-24八年级下•浙江杭州•期中）已知以A、B、C、。为顶点的四边形是平行四边形，且“3C

为直角二角形，AB=4,AC=3,则4D=.

【答案】5或旧或回

【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理.当/A4C=90。时，根据勾股定理得

到80=71百芯="7F=5,①当3C为对角线时，四边形4。。啰为矩形；②当A8为对角线时；③

当4C为对角线时；当44c3=90。时，BC=^AB2-AC2=^42-32=V7）①当为对角线时，四边形

4c2犯为矩形；②当/C为对角线时；③当8C为对角线时.分类讨论的运用是解题的关键.

【详解】解：如图，当/8/。=90。时，

•.•以A、B、C、。为顶点的四边形是平行四边形，AB=4,AC=3,

•*-BC=^AB2+AC2=■+32=5，

①当2c为对角线时，此时四边形48出为平行四边形，

,?ABAC=90°,

，四边形』8出为矩形，

g=BC=5；

②当Z8为对角线时，此时四边形/CBD2为平行四边形,

，AD2=BC=5-

③当/C为对角线时，此时四边形/BCA为平行四边形，

如图，当a1C8=9O。时，

•.•以A、B、C、。为顶点的四边形是平行四边形，AB=4,AC=3,

BC=y]AB2-AC2=A/42-32=不，

①当为对角线时，此时四边形/CB"是平行四边形，

:44cB=90。，

，四边形/C8A为矩形，

；.AD[=BC=&,ZAD1B=90°,BD、=AC=3；

②当NC为对角线时，此时四边形Z8C2为平行四边形，

，AD2=BC=y/l；

③当8c为对角线时，此时四边形/C。/为平行四边形，

BD3=AC=3,

•：ZAD.B=90°,

在Rt^/_D|Z>3中，AD、=S,DjOj=BD}+BD3=3+3=6,

2

AD3=J/DJ+A/V=J(V7)+6=而;

综上所述，AD=5或出或底.

故答案为：5或不或用.

考点五：根据矩形的性质与判定解决多结论问题

\例5.（2024•福建三明•二模）如图，在"BC中，AABC=90°,BA=BC,把“3C绕点/逆时针

[A1

旋转得到VNOE,点。与点3对应，点。恰好落在/C上，过£作E尸〃交8C的延长线于点凡连接8。

并延长交跖于点G,连接CE交BG于点H下列结论：①BD=DG；②CE=^BD;③CH=EH；

@FG=41EG-其中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】A

【分析】连接DRHF,可证四边形A8FE是矩形，AABC必4DE,即可判断①③；根据①③的结论可

推出CE垂直平分。尸，进而可得AHDB是等腰直角三角形，从而可判断②；证明ABCD以ADEG,推出

CD=EG=CF,设AB=BC=m,推出EG=CF=（近一1）机，FG=EF-EG=（2-亚）m,判断④即可.

ABAC=NBCA=45°

由题意得：4ABC会AADE

：.AD=AB,ZADE=90°,ZDEA=ZDAE=45°

ieno_45。

:./ABD=ZADB=-------------=67.5°

2

・•・NBAE=90°

EF//AB,

：.ZAEF=90°

・•・四边形是矩形，

AZGFB=90°,EF=AB=AD=ED,ZDEF=90°-ZAED=45°

ZGBF=90°-/ABD=22.5°

•.・ZEDC=/EFC=90°,ED=EF,EC=EC

：.VEDC@EFC

：.CD=CF

：.ZCFD=ZCDF=-ZACB=22.5°=ZGBF

2

ZGFD=90°-ZCFD=67.5°=ZFGD

：.BD=FD=GD

・••点。是BG的中点

即：BD=DG,故①正确；

・.・/GDC=ZADB=675。，,

：.ZEDG=90°-/GDC=22.5°

VVEDC@EFC

：./DEH=ZFEC=-/DEF=22.5。=ZEDG

2

JDH=EH

同理可证=

CH=EH,故③正确；

VVEDC@EFC

・・・CE垂直平分

：.HD=HF

丁ZHDF=/DBF+ZDFB=45°

•••△”O/是等腰直角三角形

DF=41DH

•；CE=2DH,BD=DF

:・CE=6BD,故②正确；

BC=DE,/BCD=/DEG=45°,ZFBG=EDG=22.5°,

ABCDADEG,

・•・CD=EG,

：.EG=CF,

设AB=BC=m,

贝lj：BF=AE=AC=42m,EF=m,

：.EG=CF=,

：.FG=EF-EG=[2-g）m,

/•FG=42EG;故④正确；

故选：A.

【点睛】本题综合考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、斜中半定理等知识点，综合性较

强，需要学生具备扎实的几何基础.

【变式5-1]（23-24八年级下•湖北武汉•期中）如图，在四边形48co中，AC,AD相交于点。，且

OA=OB=OC=OD,动点E从点3开始，沿四边形的边A4-/。运动至点。停止，CE与5。相交于点N,

点尸是线段CE的中点.连接。尸，下列结论中：

①四边形/BCD是矩形；

②当CD=40户时，点E是的中点；

③当AB=3,BC=4时，线段。尸长度的最大值为2；

④当点E在边48上，且/COF=60。时，△。厂N是等边三角形，其中正确的有（）个

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，三角形中位线定理，等边三角形的判定，平行线的性质等等,

由对角线互相平分且相等的四边形是矩形证明四边形43co是矩形，即可判断①；可证明。尸是中位

线，AB=CD=4OF=2AE,而点£可以在45上，也可以在4D上，据此可判断②；根据。尸=!/£,贝1J4E

2

有最大值时，O尸有最大值，则点£与点。重合时，NE的最大值为4,则。尸长度的最大值为2,据此可判

断③；CE,C不平行，则NEFOw/COF=60。，据此可判断④.

【详解】解：,/OA=OB=OC=OD,

：.OA+OC=OB+OD,BPAC=BD,

四边形NBCD是矩形，故①正确；

当点£在48上时，

•.•0、尸分别是NC,CE的中点,

0尸是中位线，

：.OF=-AE,

2

•.•四边形Z8CD是矩形，

AB=CD,

二CD=4OF,

：.AB=4OF=2AE,

二点E是NB的中点；

当点E在4D上时，同理可得/E=；A8,但此时点E不是48的中点，故②错误;

由②可知，OF=；4E,

•..点£沿四边形的边A4-/O运动至点。停止，且/B=3,AD=BC=4

4E的最大值为4,此时点£与点。重合，

当点£在边48上，

CE,CA不平行，

ZEFO丰ZCOF=60°,

.•.△OFN不可能是等边三角形，故④错误；

.•.正确的有①③，共2个，

故选；B.

【变式5-21（20-21九年级上•福建漳州•期中）如图，矩形Z8CD中，ZC,AD相交于点O,过点B作

交CD于点、F,交/C于点过点、D作DE〃BF交4B于点、E,交AC于点、N,连接FN,EM.则下列

结论：①DN=BM；©EM//FN；③AE=FC；④当时，四边形尸是菱形.其中，正确结论的

个数是（）

AEB

A.①③B.①②③C.①③④D,①②③④

【答案】D

【分析】证也△BMC（AAS）,得出DN=BM,ZADE=/CBF,判断①；证&4DE注ACBF（ASA）,

得出=OE=8尸，判断③；证四边形NE址F是平行四边形，得出EM〃FN,判断②；证四边形。£5厂

是平行四边形，证出NOON=N45Q,则。石=5石，得出四边形。即厂是菱形；判断④；即可得出结论.

【详解】解：••・四边形/5C。是矩形，

/.AB=CD,AB//CD,ZDAE=ZBCF=90°,OD=OB=OA=OC,AD=BC,AD//BC,

ADAN=/BCM,

•rBFLAC,DE〃BF,

:.DE±AC,

ZDNA=/BMC=90°,

在和中，

'/DAN=/BCM

</DNA=/BMC,

AD=BC

.-.△D7VZ4^AWC（AAS）,

:.DN=BM,ZADE=NCBF,故①正确；

在V/。石和VCAF中，

ZADE=ZCBF

<AD=BC,

/DAE=ZBCF

:AADE均CBFgK）,

：.AE=FC,DE=BF,故③正确；

:.DE-DN=BF-BM,IP2VE=MF,

丁DE〃BF,

二.四边形NEMF是平行四边形，

：.EM〃FN,故②正确；

•/AB=CD9AE=CF,

BE=DF,

BE〃DF,

•••四边形。酸厂是平行四边形，

-：AO=AD,

AO=AD=OD,

/.△AOD是等边三角形，

ZADO=ADAN=60°,

NABD=90°-ZADO=30°,

DELAC,

ZADN=ZODN=30°,

/.AODN=/ABD,

/.DE=BE,

，四边形。£8厂是菱形；故④正确；

故选：D.

【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等

边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等

是解题的关键.

【变式5-3］（22-23八年级下•四川宜宾・期末）如图，菱形/BCD的边长为6,对角线相交于。，AE

垂直平分CO,垂足为E;另有一动点P在BC上运动，过点P作尸M垂直ZC交ZC于点M,PN垂直AD交

BD于■点、N,连接MN,OE.下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）

①/8CD=120。；

②菱形48co的面积为18百；

@OE=CM+PN；

④KN的最小值为WL

BPC

【答案】①②③④

【分析】先根据菱形/BCD,得4D=CD,AD//BC,AC1BD,OA=OC,OB=OD,再根据垂直平妥

线的性质可证得A/CZ）是等边三角形，得4DC=60。，从而可得出/8C0=12O。，查判定①正确；根据菱

形的性质与勾股定理求得00=3百，则80=6百，根据菱形的面积公式可得

S菱/8s=；/C/O=；x6x6百=18百，或判定②正确；证明°£是A/CD的中位线，得

OE=-AD=-AC=OC,证明四边形PMON是矩形，得PN=OM,则OE=OC=CW+（W=CW+PN,

22

可判定③正确；根据动点尸在5C上运动，所以当。尸，8C时，此时。尸最小，利用面积法可求出OP最小

值是空，再根据矩形的性质知=O尸，所以当。月最小时，MN最小,即可求得"N的最小值为±8,

22

可判定④正确.

【详解】解：：菱形/BCD，

AD=CD,AD//BC,AC1BD,OA=OC,OB=OD,

/E垂直平分CD,

AD=AC,CE—DE,

AD=AC=CD,

**.△ZCD是等边三角形，

ZADC=60°,

*：AD//BC,

：.ZBCD+ZADC=1SO09

：.ZBCD=nO°,故①正确；

・・•菱形々CD的边长为6,

:.AC=AD=6,

：.OA=3,

在RtA/C©中，由勾股定理得8=J/D2-O/2=162-32=36，

/.BD=2OD=673,

/.S^ABCD=1^C-5D=1x6x6V3=18V3,故②正确；

垂直平分CO,OA=OC

二。£是A/CD的中位线，

OE=-AD=-AC=OC,

22

•；尸河垂直4。交/。于点河，PN垂直BD交BD于彘N,AC1BD

：.NPMO=ZPNO=AMON=90°

二四边形PMON是矩形，

PN=OM

：.OE=OC=CM+OM=CM+PN,故③正确；

:动点P在2C上运动，

,当。尸，8c时，此时。尸最小，

在RMBOC中，5=-OBOC=-BCOP

'AZBJCO/C22

—x3A/Jx3=—x6OP

22

:四边形EWON是矩形，

MN=OP

,当。尸最小时，最小，

.•.MN的最小值为地，故④正确.

2

综上，正确的有①②③④共4个，

故答案为①②③④.

【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定与性质，三角形中位线性质，线段垂直平分线的性质，垂线段

最短，勾股定理，此题属四边形综合题目，熟练掌握相关判定与性质是解题的关键.

考点六：矩形的性质与判定的综合问题

例6.(23-24八年级下•江苏盐城・期中)如图，在平行四边形/BCD中，/4CB=90。，过点。作

8c交3C的延长线于点£,连接/£交于点尸.

(1)求证：四边形ZCED是矩形；

(2)连接B尸，ZABC=60°,CF=5,求BF的长.

【答案】(1)见解析

(2)5^3

【分析】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知

识，证明/C〃。2及“3C是等边三角形是解题的关键.

(1)由NC13C,DE1BC,得AC〃DE,由四边形48c。是平行四边形，点E在8C的延长线上，得

AD//CE,则四边形/CED是平行四边形，即可由4CE=90。，根据矩形的定义证明四边形ZCED是矩形;

(2)由平行四边形的性质和矩形的性质得==,AF=EF,AD=CE=CB=3,因为N48C=60。，

所以A/BE是等边三角形，贝!!/B=4E=BE=2CE=2C尸=6,/AFB=90°,所以/尸=!/石=3,即可根据勾

2

股定理求得BF=y)AB2-AF2=30>■

【详解】(1)证明：ZACB=90°,

:.AC±BC,

•/DEIBC,

:.AC//DE,

・•・四边形4BCD是平行四边形，点片在BC的延长线上,

AD//CE,

二.四边形ZCED是平行四边形，

•・•ZACE=90°f

二.四边形4C£D是矩形.

(2)解：•・・四边形ZCED是矩形，四边形45CD是平行四边形,

\AE二CD二AB,AF=EF=CF=DF=5,

•・・//BC=60。，

:.AABE是等边三角形，

:.NAEB=60。,

.•.△CEF是等边三角形，

BFLAE,AB=AE=BE=2CE=2CF=2x5=10,

ZAFB=90°,AF=-AE=-xlQ=5,

22

BF=^AB--AF-=>/102-52=573，

，8厂的长是5百.

【变式6-1]（2024•云南德宏•一模）如图，在菱形/BCD中，对角线/C,BD相交于点。，尸是C0的中

点，连接。尸并延长至点E,使EF=OF,连接CE,DE.

（1）求证：四边形。。CE是矩形；

⑵若OE=4,ZBAD=60°,求菱形/BCD的面积.

【答案】（1）见解析

（2）873

【分析】（1）先证明四边形。OCE为平行四边形，再根据菱形的性质得到NDOC=90。，然后根据矩形的

判定可证得结论；

（2）根据矩形的性质求得。尸=2,再根据菱形的性质和勾股定理求出对角线/C,8。的长，再根据菱形的

面积等于其对角线乘积的一半求解即可.

【详解】（1）证明：..•尸是CO的中点

DF=CF

EF=OF,

.•.四边形。OCE是平行四边形,

在菱形48co中，AC1BD

：.ZDOC=90°

...四边形。OCE是矩形

OF=—OE=2

2

在菱形/8CC•中，。是/C的中点

・.•万是。的中点

厂是A/CZ）的中位线

AD=2OF=2x2=4

在菱形ABCL1中，AC1BD,ADAO=-ADAB=-x60°=30°

22

NAOD=90°

在RtA/OD中，ZAOD=90a,ZDAO=30°

OD^-AD=-x4=2

22

根据勾股定理得NO=siAD2-OD2=V42-22=273

在菱形/BCD中，AC=2AO=2x273=473，BD=2OD=2x2=4

菱3=pC皿=gx4V3x4=85

【点睛】本题考查平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30。的直角

三角形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解答的关键.

【变式6-2］（23-24八年级下•陕西西安•阶段练习）如图，在“3C中，AB=AC,是"3C的角平分线,

NN是“3C的外角NC/M的平分线，过点C作CEL/N,垂足为E.

(1)求证：四边形是矩形；

(2)若/3=45。，80=20，求四边形/DCE的面积.

【答案】(1)见解析

(2)矩形4DCE的面积为2.

【分析】此题考查了矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识.

(1)证明NADC=ZDAE=NAEC=90°,根据矩形的判定即可得到结论；

(2)证明A以。是等腰直角三角形，再根据矩形的面积公式即可求解.

【详解】(1)证明：=4D是NA4c的平分线，

AD1BC,ABAD=ACAD,

AADC=90°,

：/N是“8C外角ZCAM的平分线，

AMAN=ZCAN.

：.ZDAE=ACAD+ZCAN=^(ZBAC+ACAM)=1xl80°=90°,

CE1.AN,

：.ZAEC=90°.

：.ZADC=ZDAE=ZAEC=90°,

.••四边形/DCE为矩形；

(2)解：=4D是/R4c的平分线，

AD±BC,BD=CD=-BC=y/2,

2

,/ZB=45°,

ABAD=ZB=45°,

•*-AD=BD=4I

矩形ADCE的面积为4DxCZ)=2.

【变式6-3](2024八年级下•浙江・专题练习)在YABCD^,E,尸为3c上的两点，且BE=CF,AF=DE.

(1)求证：AABF出Z\DCE；

(2)求证：Y/BCD是矩形；

(3)连接NE,若反是/A4O的平分线，BE=2,AF=430,求四边形48co的面积.

【答案】(1)见解析；

(2)见解析;

(3)15+2715.

【分析】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线定义，熟练掌握矩形的判定

和性质定理是解题的关键.

(1)首先根据平行四边形的性质得到“5=CD,然后结合已知条件利用SSS判定两三角形全等即可；

(2)根据全等三角形的性质得到N8=NC=90。，从而判定矩形；

(3)根据矩形的性质和角平分线的定义以及矩形的面积公式即可得到结论.

【详解】(1)证明：,•・四边形43。是平行四边形，

AB=CD,

•「BE=CF,

BF=CE,

在△力AF和中，

AB=CD

<AF=DE,

BF=CE

△AS厂名△Z)CE(SSS)；

(2)证明：•;AABF2ADCE,

/B=NC,

在平行四边形中，vAB//CD,

：.Z5+ZC=180°,

/.NB=/C=90°,

二.四边形/BCD是矩形；

(3)解：•・・四边形/BCD是矩形，

:./BAD=/B=9G。,

•.•4厂是的平分线，

NBAF」NBAD=45。,

2

:.AB=BF,

AF=V30,

AB=BF=岳,

•・•CF=BE=2,

BC=后+2,

••・四边形ABCD的面积=(V15+2)=15+2^/15.

考点七：与矩形的性质与判定有关的无刻度作图

［、］例7.（23-24九年级上•江西吉安•阶段练习）一副三角板如图放置，ZA=ZCBD=90°,ZACB=45°,

々CD=30。，点E是的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹，不写作

法）.

（1）在图（1）中作一个等边三角形;

（2）在图（2）中作一个矩形.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三

角形的三条中线相交于一点，中位线的性质，矩形的判定.

（1）根据题意得“3C为等腰直角三角形，由点E是5c的中点，连接/£并延长交C0于点R得到/£是

8c的垂直平分线，即CF=B尸，NBCD=NCBF=30°,推出/E8D=/CSD-NCAF=60。，进而得到

ZBFD=ZD=60°,即V5Z）厂为所求；

（2）由（1）知BF=CF=FD,得到点尸为CD的中点，在（1）图的基础上连接。£,交3F于一点，连

接点C与这一点，边延长交BD于点G,此时点G为5。的中点，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,

推出尸G〃BC且尸G=L_8C=8E,即四边形3EFG为矩形.

2

【详解】（1）解:如图，YBDF为所求;

・.,"8C为等腰直角三角形，点E是8C的中点，连接NE并延长交C0于点尸,

•••NE是3c的垂直平分线，

CF=BF,NBCD=NCBF=30°,

：.ZFBD=ZCBD-ZCBF=60°,

vZ£>=90°-ZBC£>=60°,

NBFD=ND=60°,

，VM）下是等边三角形；

（2）解：如图，四边形3EFG为所求,

由（1）知BF=CF=FD,

，点/为CO的中点，

在（1）图的基础上连接交BF于一点、,连接点C与这一点，边延长交50于点G,

・・・点厂为CQ的中点，点£为8C的中点，BF,DE,CG交于一点,即三角形的三条中线相交于一点，

..•点G为2。的中点，

FG//BC,FG=-BC=BE,

2

四边形8EFG为矩形.

【变式7-1]（2024•江西吉安・三模）如图，在矩形48co中，AD=2AB,£是对角线NC上一点，且

AC=3AE.请仅用无刻度的直尺分别按要求完成以下作图（保留作图痕迹）.

⑴在图1中作/。的中点尸.

（2）在图2中作点N,使得/C=3CN

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】（1）根据/C=3/E得到EC=2/E,作直线5E,交/。于点P,则点尸即为所求.

（2）连接5。交/C于点。，作直线尸。，交8c于点G,作直线。G,交/C于点N,则点N即为所求.

本题考查了矩形的性质，三角形相似的应用，尺规作图，熟练掌握性质和尺规作图是解题的关键.

【详解】（1）VAC=3AE,

二EC=2AE,

故作直线3E,交4D于点P,

•.•矩形4BCD,

AAP//BC,AD=BC,

・•・LAPEsACBE,

・BCEC

••一—2,

APAE

BC=24P,

：.AD=2AP,

即尸为NO的中点,

(2)连接2。交/C于点。，作直线尸。，交8C于点G,作直线。G,交/C于点N,

APD

C

则点N即为所求.

【变式7-2](22-23九年级下•江西景德镇•阶段练习)如图，四边形/BCD为菱形，请仅用无刻度的直尺,

按照下列要求作图.(保留作图痕迹，不写作法)

图⑴图(2)

(1)在图(1)中，E,尸分别是48,4D的中点，以E尸为边作一个矩形.

(2)在图(2)中，£是对角线8。上一点，(2石＜。£),以/E为边作一个菱形.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)连接NC,8。交于点。，连接E。，延长E。交CQ于点G,连接尸。，延长尸。交2C于〃，

连接EH,GH,FG即可；

(2)连接/C交2。于点。，延长/£交8C于点。，连接。。，延长。。交于点P,连接CP交8。于点

F,连接相，EC即可.

【详解】(1)解：如图：连接/C,8。交于点。，连接E。，延长交CD于点G,连接R9,延长尸O交

BC于H,连接GH,FG,四边形EFG8即为所求作的矩形，

证明：••・四边形4BCD是菱形，

:.AB=BC=CD=AD,点。是NC,5。的中点，AD//BC,AB//CD,

又•；E,尸分别是48,4D的中点，

EG//AD,FH//AB,

四边形NEGD与都是平行四边形，

AD=EG,AB=FH,

EG=FH,

四边形E尸G”是矩形；

(2)解：连接/C交5。于点O,延长/E交3C于点。,连接。。，延长。。交40于点尸，连接。尸交AD

于点R连接"，EC,四边形即为所求作的菱形，

•••四边形/BCD是菱形，

AC1BD,OA=OC,AD//BC,

:.NPAO=NQCO,EF垂直平分NC,

又•；ZAOP=NCOQ,

\4Aop丝ACOQ(ASA),

OP=OQ,

四边形"2CP是平行四边形，

\AQ//CP,

NOAE=NOCF,

又•；ZAOE=NCOF=9Q°,

\AAOE知COF(\SA),

OE=OF,

二/C垂直平分EF,

，四边形/ECF是菱形.

【点睛】本题考查了作图-复杂作图、三角形中位线定理、矩形的判定、菱形的判定与性质，解决本题的关

键是综合运用以上知识.

【变式7-3］（23-24八年级下•江苏镇江•期中）如图，在矩形/BCD中，48=3,40=4.

备用图

（1）请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：（不写作法，保留作图痕迹）

①在BC上作一点E,使AE=BC；

②若F是AD上一点，将AABF沿直线BF翻折得到时.请找出点尸的位置,使得A'B落在对角线BD

上.

（2）在（1）的条件下，求出线段"的长度.

（3）若将ACDE的面积记为H，AA'DF的面积记为邑，则岳_邑.（填或心”）

【答案】（1）①作图见详解；②作图见详解

*

（3）＞

【分析】（1）①以/为圆心，3C为半径作弧与BC相交，点E即为所求；

②作Z/AD的角平分线与ND相交，交点即为点B；

（2）先求BD=5,^.AF=A'F=x,贝尸=4-x,在RtAE4;D中，由勾股定理得：x2+22=（4-x）2,解

方程即可；

（2）分别计算岳，邑，比较