陕西省咸阳市2024年高考模拟检测（三）数学（文科）试题

咸阳市2024年高考模拟检测(三)

数学(文科)试题

注意事项：

1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟.

2.答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚.

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标

号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将

答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.

第I卷(选择题共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若复数z满足z(l+i)=|l+百i|,贝日=()

A.B.C.1—iD.1+i

1-il+i

2.已知全集为R,集合/={X|，-5XV6},集合”{木<2},则8c(C/)=()

A.(6,+co)B.[6,+oo)C.(-co,-l)D.(-oo,-l]

3.在数列{a“}中，q=1,=a”+2"—1,则%=()

A.43B.46C.37D.36

4.已知。：ln(a+l)>0,2*+l(a,则〃是「4的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.在。8c中，a、b、c分别为的内角4B、C的对边，M为边/C上一点，满足

MC=3AM,^a2+c2-b2+ac=0,c=2,a=4,则眄卜()

V3「3nV39

A.—B.------C.—D.----------

2772

6.随机取实数则关于x的方程x?+2px+4p-3=0有两个负根的概率为(

试卷第1页，共6页

7.已知各棱长都为1的平行六面体/BCD-中，棱/4、AB、两两的夹角均

8.为了进一步提升城市形象，满足群众就近健身和休闲的需求，2023年某市政府在市区多

地规划建设了“口袋公园”.如图，在扇形“口袋公园”0尸。中，准备修一条三角形健身步道

7T

OAB,已知扇形的半径。尸=3,圆心角=A是扇形弧上的动点，B是半径。。上

的动点，ABHOP,贝UAO/8面积的最大值为（）

Q

9

9.某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为石，从第二题开始，甲同学回答第

17

〃题时答错的概率为夕，勺=5勺-+：，当”22时，月》河恒成立，则”的最大值为

（）

15-17〃15-17

A.—B.—C.—D.—

22222121

10.已知一个圆锥的三视图如图，该圆锥的内切球也是棱长为。的正四面体的外接球，则此

正四面体的表面积为（）

试卷第2页，共6页

9999

11.已知函数/（x）=VJsincox-coscox（a>>0）,若/（%）在区间［。㈤内有且仅有4个零点和4

条对称轴，则。的取值范围是（）

22

12.已知双曲线T：5-5=1（〃〉0,b〉0）的左右焦点分别为片、F2,左右顶点分别为

ab

A、B,M为OA（。为原点）中点，尸为双曲线T左支上一点，且抽，片工，直线

的斜率为-：，。为△两用的内心，则下列说法正确的是（）

A.T的离心率为病

B.7的渐近线方程为：y=土是x

3

C.PM平分NF'PFz

D-SAQP%=^/^QPFy+§SA眄6

第II卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20

分.

22

13.已知椭圆C:土+匕=1的左、右焦点分别为耳、F2,M为椭圆C上任意一点，尸为曲

54

线氏/+/一6x-4〉+12=0上任意一点，则十|四周的最小值为.

y+l>0

14.%,y满足约束条件<工->22,贝1=1+2歹的最大值为.

x—3W0

15.已知函数/（x）为偶函数，满足/。+2）=-矗，且一2WxV0时，=一2,

试卷第3页，共6页

若关于X的方程/(X)-2loga(3x+l)=0有两解,则a的值为.

16.关于x的不等式xem+6x-lnx21(a>0)恒成立，则公的最小值为.

a

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题

为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.数列｛%｝满足q=1,an+lan+an+l-an=0.

(1)求数列｛%｝通项公式；

COSZZ7C

⑵设"=31+2,求数列也,｝的前〃项和S”.

18.阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径.1995年，联合国教科文组织宣

布4月23日为“世界读书日”，致力于向全世界推广阅读、出版和对知识产权的保护.某学校

为了打造“书香校园”，使学生养成好的阅读习惯，健康成长，从学校内随机抽取了200名学

生一周的课外阅读时间进行调查，了解学生的课外阅读情况，收集了他们阅读时间(单位:

小时)等数据，并将样本数据分成[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],

(14,16],(16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图：

(1)求。的值及200名学生一周课外阅读时间的平均数;

(2)为进一步了解这200名学生一周课外阅读时间的情况，从课外阅读时间在(12,14],(16,18]

两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，选取其中两人组成小组，现求其中两名

组员全在(12,14]内的概率.

19.已知平行四边形48CD中，AB=6,AD=272,且4=/.若£为边上一点，满足

试卷第4页，共6页

TT

DE=2EC,若将三角形BCE沿着BE折起，使得二面角C-BE-4为1.

⑴求证：DC，平面3CE；

(2)求四棱锥C-ABED的体积.

20.已知函数/(幻=辿匹+苫一1.

X

(1)当。=1时，求函数g(x)=/(x)-x极值；

(2)若对任意xe[l,+e),”x)2a+l恒成立，求实数。的取值范围.

21.已知直线y=无。-2)过定点“，动圆C过点“，且在》轴上截得的弦长为4,设动圆圆

心轨迹为曲线C.

⑴求曲线C的方程；

(2)点4(2,1),P,。为C上的两个动点，若尸，Q,8恰好为平行四边形R4Q8的其中三个

顶点，且该平行四边形对角线的交点在P=2x上，记平行四边形以。8的面积为S,求证:

5<3.

(二)选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按

所做的第一题计分.

【选修4-4：坐标系与参数方程】

|\=1+cosa

22.在平面直角坐标系x切中，曲线G的参数方程为.(a为参数)，以坐标原

[y=sina

点。为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线G上的动点，点8在线段。4

的延长线上且满足|。4到=10,点8的轨迹为Q.

⑴求曲线£,G的极坐标方程；

⑵设点M的极坐标为,求A/BM面积的最小值.

【选修4-5:不等式选讲】

23.已知当xe[―2,—1]时，,一同W|x+3Hx+2卜恒成立.

试卷第5页，共6页

⑴求加的取值范围；

⑵若a,6e(0,+oo),加的最大值为/,证明：(1+a+b2)(l+b+a2)>ab(t+4)2.

试卷第6页，共6页

1.D

【分析】根据给定条件，利用复数模及除法运算求得z,再求出共轨复数.

【详解】由z(l+i)=|l+后|，得Z(l+i)=a+(6)2,则Z=R==l_i,

所以z=1+i.

故选：D

2.C

【分析】求出集合A中元素范围，然后根据补集和交集的概念得答案.

【详解】^4=x2-5%<6j-1<x<6},则图/={%|工<—1或工〉6},

所以8C(CR/)=(—oo,—l).

故选：C.

3.C

【分析】由递推公式%+1=〃〃+2〃-1用累加法公式

〃〃=(。〃一〃〃—1)+(%一1一。〃一2)+…+(。2-》2)求出Q”,再求％即可.

【详解】法一：由题得〃〃二(〃“一。〃_1)+(〃〃_1一〃“_2)+-・+(〃2

=(2〃一3)+(2〃一5*..+3+1+1=("吼(；-3)+1]+1=/一2〃+2叱2)，

所以%=72-2x7+2=37.

aa=

法一■：由题。[=1,n+l~n2H—1,

以%=(%—&)+(&-%)+,,,+(%—0])+4=11+9+7+5+3+1+1=37.

故选：C.

4.D

【分析】分别求得P为真时，a>0,「4为真时，。<2,可得结论.

【详解】P为真时，可得。+1>1,所以。>0,

9为真时，a2(2,+1焉，又xNO,所以2，+&20+1=2,所以心2,

所以为真时，a<2,

所以〃是「4的即不充分又不必要条件.

故选：D.

答案第1页，共15页

5.A

【分析】由已知条件求出6,由余弦定理求出B,再由正弦定理求出sin/,进而求出cos/,

在A/8”中，由余弦定理即可求出|京可

【详解】

由已知，a2+c2-b2=-ac,则cos5="°"=±=-上

2ac2ac2

2

因为8e（O,兀），所以8=胃7r，

又c=2,。=4,代入/+C2=-ac,解得6=2>/7,

因为M为边/C上一点，满足证=3而，所以NM=，NC=a,

42

ba2币4用0万

由正弦定理一^=—即一^一而二，解得sin/=»,所以cos/=V生，

sin5sin/sin—77

3

设|萧卜x,则在河中，由余弦定理3河2=432+4/—243ZMcos/,

得一=22+[?[-2X2X^X2^Z=Z,解得X=',gp|5A7|=^.

故选：A.

6.C

【分析】考查几何概率，求出关于x的方程f+2px+40-3=0有两个负根的p的取值范围

即可求所求概率.

【详解】方程/+2px+4P—3=0有两个负根,

A=（2^）2-4xlx（4/?-3）=4/72-16/7+12>0

3

贝！J<西+/—-20<0=^>-<夕<1或P>3,

x{x2=42一3>0

（7-3）+[1-1

17

所以所求概率为-------

26

7——

2

答案第2页，共15页

故选：c.

7.C

【分析】根据给定条件，结合平行六面体的结构特征，利用几何法求出异面直线24与CA

所成角.

【详解】在平行六面体ABCD-AXBXCXDX中，连接A.D,BD,

A,BXHAB//CD,=4B=CD,

则四边形44是平行四边形，BO/AQ,于是ZB/。是异面直线台4与eg所成角或其补

角，

JT

由/&=42=ND=1,棱AA,,AB,AD两两的夹角均为:，

冗

得AABDQAB&AADAI都是正三角形，即48=2。=4。=1,则NB&D=-,

所以异面直线B4与CB,所成角为|.

【分析】设/PCM=e,在AO/8中利用正弦定理及三角形面积公式列出函数关系，再求出

函数最大值即得.

TT27t

【详解】设/尸。/=仇。€(。,]),由/B//OP,得NOAB=8,NOBA=w，

OBOA_j-

在中，由正弦定理得sin。sin空，即O8=2gsin。，

sinT

则AOAB的面积S^-OBOAsinZAOB=3百sin6sin(/-6»)

=3Gsincos。一;sin8)=3^3(-^-sin2。一；---

答案第3页，共15页

=^-[sin（20+-）-l],显然28+鼻邑当，因此当26+99即时，S”也,

262666626max4

所以AOAB面积的最大值为巫.

4

故选：A

9.A

【分析】根据给定条件，求出数列优｝的通项，再借助单调性求出月的最小值即可得解.

921?Q1Q

【详解】依题意，^=1--=-,当"22时，由£=不£-+、，得勺-77=不（匕「77），

11J.J.J.NJ1J.L11

而因此数列优哈是首项为-白，公比为:的等比数列，

-LA1_LJ.J.XJ.X4

则匕严，即勺$一白吊尸，显然数列出,｝是递增数列，

J.111L/J.J._L_LL乙

当〃22时，（£焉=£=白一票・与，而当”22时，月2M恒成立，于是河卓，

J.J.J.J.J.乙乙乙乙乙

所以”的最大值为II.

故选：A

10.C

【分析】先由三视图获取圆锥的高、底面半径和母线的长，从而求出圆锥内切球，再结合正

四面体和正方体的关系即可探究正四面体棱长和该内切球半径的关系，进而即可求出正四面

体的表面积.

【详解】由圆锥的三视图如图可知圆锥的高为26,底面半径为2,

则母线长/=4,由圆锥结构特征可知：圆锥的轴过其内切球（半径设为r）球心。,

所以过圆锥的轴截圆锥及其内切球得到的截面图如下:

由上可知NBSa=30。，故有OG=：SO,BPr=1（2V3-r）2百

=>r=--

3

将棱长为。的正四面体补形为正方体，如图，

答案第4页，共15页

DiG

4

A

则正方体的棱长为正Q,且该正四面体的外接球即为正方体的外接球,

2

所以正四面体的表面积为S=4x注/=4x^x士32A/3

4413J9

故选：C.

11.C

【分析】利用辅助角公式化简函数“X),再结合正弦函数的零点及对称性列式求解即得.

【详解】函数/(x)=2sin(0x-z),当xe［O,兀)时，a)x--e［---,11(0----),

6666

冗1925

由/⑴在区间［0,无)内有且仅有4个零点，得3兀＜兀0-兀，＜ty＜—,

0OO

由/(X)在区间［。,兀)内有且仅有4条对称轴，得7兀解TT得9兀一11＜0414?,

26233

所以。的取值范围是1:1＜。42丁5.

36

故选：C

12.C

【分析】由题设及双曲线性质可得|咫|=且且。=2°,即可判断A、B；根据角平分线性质

a

PEME

只需判断I扁I、匕I告是I否相等判断C；设△A尸片外的内切圆的半径为「，由三角形面积公

IIIMt2I

式计算即可判断D.

【详解】由题设耳g(c,0)且c＞0,又尸耳，耳E，

所以|P片|=S,tanZPF2F1==-tanZPF2x=1,故匕=3,

1a巧用42ac4

由贝［|(2c+a)(c-2a)=0,故c=2a,所双曲线7的离心率为2,故A正确;

由上可得尸=3/,故C的渐近线方程为/=±2工=土后，B错误；

答案第5页，共15页

L2IPFI3

由|咫|=幺=3。，则|%|=2〃+|尸乙|=5〃，故治之二£,

aI4213

而胡为。区的中点，则|龙阴|=。一台,，|A^|=C+j=y,

\MFI3

故甘号=£，由角平分线性质易知：PM平分/F'PF2,C正确；

设△尸耳片的内切圆的半径为r,tan/Pg耳=*=],

可得|W|=3m,|F{F2\=4m,由勾股定理可得|PF21=5m,

所以与跳；=\\PFi\'r=^-mr,SAQPF+1SAQFF=^-1PF,|«r+1x|\-r=mr,故D不正

22213122326

确.

故选：C.

13.272-1

【分析】求出点入的坐标，求出圆E的圆心和半径，再利用圆的性质求出最小值.

22

【详解】椭圆C：土+匕=1中,右焦点1(1,0),圆E:(x-3y+G-2)2=1的圆心E(3,2),半

54

径r=1,

显然椭圆。与圆E相离，由点。在圆£上，得|儿。1mhi

于是+闫〃石|-1+|〃工因理|-1=二5^?一」？拒-1,

当且仅当尸分别是线段巡与椭圆C、圆E的交点时取等号，

所以+\MF2曲最小值为2V2-1.

故答案为：2拒-1

14.5

【分析】作出约束条件表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义求出最大值.

y+l>0

【详解】约束条件<x->22表示的平面区域，如图中阴影“8C,其中/(3,1),5(3,-l),C(l,-l),

x-3<0

答案第6页，共15页

]71Z

目标函数z=x+2y,即＞=一5工+5表示斜率为-5,纵截距为:的平行直线系,

画直线4：y=-;x,平移直线4到直线小当直线4经过点A时，4的纵截距最大，z最大,

Zmax=3+2xl=5,

所以z=x+2y的最大值为5.

故答案为：5

—1

15.49或一

169

【分析】由己知可得/(X)是以为4周期的周期函数，结合已知可作出函数“X)的图象，关于

x的方程/(x)-2log0(3x+1)=。有两解，可得”/(x)与＞=2log.(3x+1)的图象有两个交点,

数形结合可求。的值.

【详解】由/0+2)=-7^,可得〃x+4)=-乙1r、=/(x),

f(x)/(x+2)

所以/(x)是以为4周期的周期函数，又/(x)为偶函数，且/(x)=(4)=2(-2VxV0),故可

作出函数“X)的图象如图所示：

若关于x的方程〃x)-2log.(3x+1)=0有两解,

则V=/(x)与了=2log.(3x+1)的图象有两个交点,

当。>1,则y=21og“(3x+l)过点4(2,1),所以l=21og“(3x2+l),解得。=49,

当0<a<1,则y=21og“(3x+l)过点3(4,-1),所以-l=21og“(3x4+l),解得。=工，

169

综上所述：。的值为49或上.

答案第7页，共15页

故答案为：49或工.

169

16.-1

【分析】由—lnxNl(a>0),得产1nx2—及+Inx+l(a〉0),利用导数证明炉之x+1,

贝U问题转化为"+Inx+12-bx+Inx+1(。〉0)恒成立，即可得解.

【详解】令〃x)=e-x-l,则〃x)=e，-l,

当x<0时，/'(x)<0,当x>0时，/'(x)>0,

所以函数〃无)在(-双0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

所以以无)2〃0)=0,所以e，2x+l,

由xe"+6x-lnxWl(a>0),得e'-lnx+l(a>0),

而QX+Inx£R,

令办+Inx+12-bx+Inx+1(。>0),

贝Ua+bZO,所以92一1,

a

若a+b<0,

如图作出函数〉=-办(°>0),夕=111工的图象，

由函数图象可知，方程"+Inx=0有唯一实数根X。€(0,1),

即ax0+Inx0=0,

由双火+乐一山工21(。>0),得e3in、2—bx+lnx+1,

即6G+山工-(办+lnx)2l-(a+b)x,

当％=%时，e。一021—(a+b)%,gp(a+b)x0>0,

又。+6<0,x0e(O,l),所以(。+6)/<0,

答案第8页，共15页

所以(0+6区20不成立,

即当〃+6<0时，xe^+bx-\nx>l(a>0)不恒成立,

综上所述，2的最小值为T.

a

故答案为：-1.

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略:

(1)通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范

围；

(2)利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

(3)根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到

分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题,

就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.

1

17.(1)«„=";

n

9n

丁“=2k

⑵工=丘N*.

7n-l

-,n=2k-l

4

【分析】(1)变形给定等式，利用等差数列求出通项即得.

(2)利用(1)的结论，求出“，按〃为奇数和偶数并结合并项求和法分别求和.

【详解】(1)数列｛%｝中，"1=1,=。，显然生尸。，贝！I=1,

an+\an

数列｛1｝是首项为1,公差为1的等差数列，—=l+(n-l)-l=n,

ana„

所以数列｛%｝通项公式是

n

w

(2)由(1)知，bn=(-l),—+2,

-1

当〃=2冗左eN-时，bn_t+bn=(-1)"-+2+(-1)"-y+2=-|,=

乙乙乙乙乙I,

91

当,二2左一1,左eN*时，S“=Sn+l-bn+l==(»+),ZL±l_2=Z^-l,

答案第9页，共15页

9n

不〃=2k

所以S〃=，斤eN*.

7n—l

■,n=2k-I

4

18.(l)a=0.10,9.16小时;

【分析】(1)利用给定的频率分布直方图，结合各小矩形面积和为1求出。，再估计一周课

外阅读时间的平均数.

(2)求出指定的两组内各抽取的人数，利用列举法、结合古典概率求解即得.

【详解】(1)由频率分布直方图得：2(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+0+0.05+0.04+0.01)=1,解

得a=0.10,

平均数元=2x(1x0.02+3x0.03+5x0.05+7x0.05+9x0.15+11x0.10

+13x0.05+15x0.04+17x0.01)=9.16(小时)，

所以4=0.10,200名学生一周课外阅读时间的平均数为9.16小时.

(2)在(12,14］,(16,18］这两组采用分层抽样的方法抽取6人，

则从课外阅读时间在(12,14］内的学生中抽取5人，记为1,2,3,4,5,

课外阅读时间在(16,18］内的学生中抽取1人，记为加，

于是有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,⑼,(2,3),(2,4),(2,5),(2,⑼,(3,4),(3,5),(3,⑼,(4,5),(4,⑼,(5,m),

共15种，且每种结果的发生是等可能的，

而满足两名组员都在(12,14］内的情况有

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种，

1Q7

所以两名组员全在(12,14］内的概率为三=*

19.(1)证明见解析；

0、10百

【分析】(1)在平行四边形中结合余弦定理证明在几何体中，由二面

角结合余弦定理证明。C±CE,再利用线面垂直的判定推理即得.

(2)在线段OE上取一点O,使得。O=3OE,证明OC1平面4BED,再利用锥体体积公

式计算即得.

答案第10页，共15页

【详解】（1）在〃/BCD中，连接AB=6,AD=2y/2,且

在ABCE中，NC=q,8C=2后，又DE=2EC,贝!|£C=2,

4

由余弦定理得：BE2^BC2+CE2-2BCxCExcosC=4,解得8E=2,

TT

因为BE2+CE?=BC?,贝|N2EC=5，即BE工CE,BE工DE,

在折叠后的几何体中，由BELCE,BELDE,且。£门。£=£,€'瓦。£<=平面0/)£,

则8E_L平面CDE,又。Cu平面。)£,则8E_LZ)C,

JT

由BELCE,BELDE,及二面角C-3E-/为可，得/DEC为二面角C-8E-/的平面角,

7T

即ZDEC=—,

3

在△”?£'中，DE=4,CE=2,由余弦定理得〃C=小4?+22-2x4x2x；=2班,

IT

于是。（32+以2=。片2,则/。即DC^CE,

2

因为BE，DC,BECCE=E,BE,CEu平面BCE,

所以DC_L平面8c£;

（2）如图，在线段OE上取一点。，使得。。=3。£,连接C。,

在ACOE中，OE=1,CE=2,NOEC」,由余弦定理得0C=+2?-2xlx2x」=若,

3V2

TT

于是Ob+OE?=C炉，贝!|/COE=—,即。C_LOE,

2

由(1)知8E_L平面CD£,OCu平面DCE,则OC_L8E,

又OERBE=E,且OE,8Eu平面48即，

则。C_L平面/BED即四棱锥C-48E。的高为OC,

又$，皿=；(NB+OE)•BE=10,则VC_ABED=\SABED•OC=竺"，

答案第11页，共15页

106

所以四棱锥C-ABED的体积为

3

20.⑴极大值g(e)=L,无极小值;

e

⑵(-8,-1].

【分析】(1)把。=1代入，并求出函数g(x),再利用导数探讨极值即可得解.

(2)变形给定不等式，证明lnx<x并分离参数，构造函数°(x)=1凸，利用导数求出最

x-\nx

小值即得.

【详解】⑴函数/0)=亚+》-1的定义域为(0,+8),当0=1时，

X

g(x)=/(x)-x=--1,

求导得g'(x)=E学，由g'(x)=0,得『,由g'(x)>0,得0<x<e,由g'(x)<0,得

x>e,

因此g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减,

所以g(x)在x=e处取得极大值g(e)=--l,无极小值.

e

(2)函数/(x)=♦10％+x—1,f(x)>a+1a(lnx-x)>2x-x2,XG[1,+OO),

x

1—V

设加(x)=lnx-x,XG[1,+OO),求导得环(工)=---<0,函数加⑴在1+⑹上单调递减,

X

r2_Or

则〃?(x)〈加⑴=-1<0,即lnx<x,因此。41~,

x-lnx

令夕(x)=±名，xe[1,+»),求导得0'(x)=(x-1)(%+2-2Inx)

2

x-lnx(x-Inx)

2

令/z(x)=x+2—21nx,XG[1,+OO),求导得/(1)=1一一,当1<％<2时，h\x)<0,

x

当x〉2时，〃'(x)>0,即〃(x)在(1,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增,

则〃(x)血n=〃⑵=4-21n2>0,gp(p\x)>0,因此函数=x)在[1,+8)上是增函数,

O(X)min=旗1)=-1,

所以即实数a的取值范围为(-8,-1].

【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导

数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.

21.(1)/=4x；

答案第12页，共15页

（2）证明见解析.

【分析】（1）设出点C的坐标，利用圆的弦长公式列式化简即得.

（2）设出点尸，。的坐标，结合给定条件，探讨直线尸。的斜率，表示出该直线方程，再与

抛物线方程联立，建立四边形尸的面积S的函数关系，利用导数求出最大值即得.

【详解】（1）设圆心C坐标为（x/）/=Mx-2）过定点”（2,0）,依题意，

7（x-2）2+y2=y/x2+22,

化简得/=4x,

所以曲线C的方程为/=4x.

（2）显然点A不在曲线C上，设尸（西,必）,。（尤2，%）,直线尸Q的斜率为左（左产0）,线段

PQ的中点为T,

由平行四边形P/Q2对角线的交点在＞=2x上，得线段P0的中点T在直线y=2x上,

疗=4占

设7（刃,2"）（机70）,显然两式相减得（%-％）（弘+力）=4（再一%）,

=4工2

又必+%=4%，”92=勺，即左=工，

x1—x2m

设直线PQ的方程为歹一2加=’(x—m),x-my+lm1-m=0,

m

,x-my+2m2-m=0,,、

由《2消去x并整理得，y-4my+8m2-4m=0,

=4x,

则A=16加一16加2＞0,解得0＜加＜1,必+%=4加，%％=8加2—4加,

贝！J\PQ\=,1+加2必一%|=J1+12.J(11+y2)2—4%>2=471+加2.yjm-m2,

\2—m+2m2一机

又点A到直线PQ的距离为d=J——~,

y11+m2

____________2—+ZT/Z2_^2_______

2222

所以,S=2sAAPQ—|P0|d—4\1+my/m—m•------1------=4Jm—m-|2-2m+2m1,

〜J1+机2

记udm-rn2，由0<加<1,得，《(。，或，贝lJS=8《l")"£(o,5],

令/⑺=8/(1")"£(O],求导得/⑺=8-24",令/⑺=0,得”组，

2