平面向量的数量积（6题型分类）-2025年高考数学一轮复习（解析版）

专题24平面向量的数量积6题型分类

彩题如工总

题型6:平面向量的实际应用题型1:平面向量数量积的基本运算

\_________

题型5:向量的投影题型2:向量的模

专题24平面向量的数量积6题

型分类

题型4:向量的夹角题型3:向量的垂直

彩和泅宝库

1.向量的夹角

已知两个非零向量a,b,。是平面上的任意一点，作宓=a,OB=b,则/4。8=。(0(6»(无)叫做向量。与

b的夹角.

2.平面向量的数量积

已知两个非零向量a与"它们的夹角为仇我们把数量|a|依cos。叫做向量。与力的数量积，记作

3.平面向量数量积的几何意义

B

A,

b\

C4B,D

设a,6是两个非零向量，它们的夹角是仇e是与匕方向相同的单位向量，AB=a,CD=b,过油的起点A

和终点B,分别作诙所在直线的垂线，垂足分别为Ai，Bi，得到前1，我们称上述变换为向量a向向量B

投影，工商叫做向量a在向量b上的投影向量.记为⑷cosOe.

4.向量数量积的运算律

(l)ab=ba.

(2)(脑)•力=2(。・5)=a-(Ab).

(3)(a+b)c=ac+bc.

5.平面向量数量积的有关结论

已知非零向量。=(沏，")，b=g,")，。与万的夹角为夕

几何表示坐标表示

数量积a-b=\a\\b\cos0a-b=x\X2+yiyi

模\a\=N|a|=q屑+y?

八abxix+yiy2

夹角COSu-||»|2

x⑷步1

alb的充要条件ab=0的入2+%丁2=0

|a创与⑷向的关系|a创W|a||臼kiX2+yiy2|<^/(xi+y1)(%2+^2)

6.平面向量数量积运算的常用公式

(l)(a+，＞(a—5)=/一/；

(2\a±b')2=(r+2a-b+b2.

7.有关向量夹角的两个结论

(1)若a与〃的夹角为锐角，则a2＞0；若。力＞0,则a与入的夹角为锐角或0.

(2)若。与〃的夹角为钝角，则“协＜0；若〃协＜0,则a与。的夹角为钝角或兀.

彩偏题祕籍

平面向量数量积的基本运算

计算平面向量数量积的主要方法

(1)利用定义：。•'=|。||例cos〈a,b).

(2)利用坐标运算，若。=(阳，yi),)=(冗2,yi),则。6=阳工2+〉1丁2.

(3)利用基底法求数量积.

(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义.

题型1：平面向量数量积的基本运算

1-1.(2024・陕西西安•模拟预测)已知向量b满足同向共线，且恸=2,1-4=1,则(a+6)/=()

A.3B.15C.-3或15D.3或15

【答案】D

【分析】先根据题意确定向量a,6的倍数关系，然后可直接求解.

【详解】因为向量a,B满足同向共线，所以设2=4次彳＞0),

又因为卜_0=1,忖=2,所以,/?_区=|(2-1)Z?|=(2-1)21^|=4(2-1)2=1,

1、31、3

所以4=—或丸=一，即〃=一。或Q二—

2222

①当of时，+=/=3；

②当a=?时，（Z+炉=（|@{|q=%=15；

所以（a+到a的值为3或15.

故选：D.

1-2.（2024•北京）已知向量a,。,c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1,则

（a+6）-c=；a-b=.

【分析】根据坐标求出a+b,再根据数量积的坐标运算直接计算即可.

【详解】以a力交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：

则4=(2,1),6=(2,-1)*=(0,1),

:.a+b=(4,0),/.(a+/?)•<?=4x0+0xl=0,

.'.a-b=2x2+1x(—1)=3.

故答案为：0；3.

1-3.(2024•全国)正方形A3CD的边长是2,E是的中点，则EC-EO=()

A.75B.3C.2亚D.5

【答案】B

【分析】方法一：以｛(AB,A。\｝为基底向量表示EULC1U,EUUUD,再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系,

利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求cos/DEC,进而根据数量积的定义运算求解.

,、IUUUIiuuai|uimuum

【详解】方法一：以｛AB)。｝为基底向量，可知,耳=,口=2,4丛/1。=0

uimuuruunimmuumuimuiruuniuuuuun

贝1JEC=E2+2C=—AB+AZ),ED=EA+AD=——AB+AD,

22

uunuuu(iuunuuinA(\uunuum>iuun。num。

所以=++=+AD=-1+4=3；

方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，

UUUULIU

则E(l,0),C(2,2),0(0,2),可得EC=(1,2),EO=(-1,2),

UU1UUUIU

所以石。・匹=—1+4=3；

方法三：由题意可得：ED-EC-y/5,CD-2,

DE2+CE2-DC25+5—4_3

在4cDE1中,由余弦定理可得cos/DEC=

2DECE2x^/5x^/55

uunuun|UUD|iUum|3

故选：B.

1-4.(2024・湖南长沙•二模)已知菱形ABC。的边长为1,ABAD=­,G是菱形A8C£＞内一点，若

GA+GB+GC=0,贝UAG.A8=()

13

A.-B.1C.-D.2

22

【答案】A

【分析】由题意可得出/54D=120。，点G为/RC的重心，所以|AG|=g|AM|=Y，ZBAM=30°,再由

向量的数量及定义求解即可.

【详解】在菱形ABCD菱形ABC。的边长为1,ABAD=--,

2

所以A3•AO=•|AD|COSABAD=cosABAD=,

所以/BW=120。，贝IJ,ABC为等边三角形，因为GA+G3+GC=0，

所以GA=-（GB+GC）,设点M为2C的中点，则GA=-2G£>,所以GA〃GD，

所以G,A,M三点共线，所以AM为2C的中线，

同理可得点AB,AC的中线过点G,

所以点G为11ABe的重心，故|AG|=jAM|=*,

在等边二ABC中，M为的中点，则ZBAM=30°,

所以AG.AB=|AG|-|AB|COSZBAM=冬lx乎二.

故选：A

3

1-5.（2024•天津）如图，在四边形ABCD中，ZB=60°,AB=3,3c=6,5.AD=ABC,AD-AB=,

2

则实数几的值为，若是线段BC上的动点，且|MN|=1,则。Z）N的最小值为.

【分析】可得N54D=120,利用平面向量数量积的定义求得彳的值，然后以点8为坐标原点，BC所在直

线为x轴建立平面直角坐标系，设点M（%0）,则点N（尤+1,0）（其中0VxW5）,得出功0勿葡关于x的函

数表达式，利用二次函数的基本性质求得。M.DN的最小值.

【详解】AD=ABC，AD!IBC,，Zft4D=180-N3=120,

ABAD=2BC-AB=/1|JBC|-|AB|COS120

=

=2x6x3x(-g]=~~J

解得2=

6

以点2为坐标原点，8C所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy,

回又回AD=」BC,则。，设M（x,0）,贝!JN（x+l,0）（其中04x45）,

6

(5AO(3

DM=\X2--2--,DN=x——

IJ122

ZWQN大一|卜|]+律]*一4X+/（X-2）2+,

___.13

所以，当％=2时，0M.OV取得最小值了.

113

故答案为：-：—.

62

【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于

中等题.

1-6.（2024•全国♦一模）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.在2022

年虎年新春来临之际，许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛，寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望，设

计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如左图）.己知正方形ABCD的边长

为4,中心为0,四个半圆的圆心均在正方形A5CD各边的中点（如右图）.若点尸在四个半圆的圆弧上运

动，则AC•0尸的取值范围是.

pIX

【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标系表示向量，写出而以乙的解析式，再求OPAC的取

值范围即可.

【详解】以。原点，0C为x轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示.

因为正方形ABCD的边长为4,所以AC=8£）=4e'，

贝根卜20,0）、C（20,O）,则AC=（4夜,0）,

设AD的中点为E,则网一点,虚），A£=（V2,V2）,所以，卜J-=2,

因为尸是半圆E上的动点，设点Pb0+2cosd,a+2sin，b

贝UOP=b0+2cos。,应+2sin。)，其中:贝iJ-lwcosdW孝，

所以，OP-AC=—8+8&cosde[—8—80,o]

由对称性可知，当点尸在第三象限的半圆弧上运动时（包含点A、8）,

OP-ACe[-8-8>/2,0]

当点尸在第一象限的半圆弧上运动时（包含点C、D）,8的中点为（a,3）,半圆的半径为2,

可设点尸（应+2cosd,®+2sind）,其中一冷，贝I］一孝《cosOWl

OP=(0+2cosa0+2sine),贝!]OPAC=8+80cos6e[o,8+8立],

同理可知，当点尸在第四象限内的半圆弧上运动时（包含点8、C）,

OF-ACe［0,8+8A/2］.

综上可知，OPAC的取值范围是18-8夜,8+8及］.

故答案为：［-8-8直,8+8夜］.

【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：

（1）利用定义：

（2）利用向量的坐标运算；

（3）利用数量积的几何意义.

具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用.

彩健题海籍

（二）

平面向量数量积的应用

（1）求平面向量的模的方法

①公式法：利用⑷=及（〃±方）2=|。|2±2。•方+|例2；

②几何法：利用向量的几何意义.

（2）求平面向量的夹角的方法

、U'b

①定义法：cos而；

②坐标法.

（3）两个向量垂直的充要条件

〃_1_万=〃仍=00|〃一例=|〃+）|（其中a#0,万W0）.

题型2:向量的模

2-1.（2024•陕西咸阳•模拟预测）已知°,b是非零向量，忖=1,（a+26）_La,向量［在向量6方向上的投

影为一字，则，一力|=.

【答案】2

【分析】根据数量积的性质，结合投影定义求解可得.

71|-|21

【详解】团(”+2〃)，团(〃+2/?)〃=卜|+2b-a=0团0•〃=_/网=——,

历a-bV2

团向量〃在向量人方向上的投影为-2，回工7二一丁，

4忖4

--^=a-b=\[2

团_2a/+”――,加沙

回卜=2.

故答案为：2

2-2.(2024高三上,海南•期末)已知向量a,b满足。=(1,1),忖=4,a-(a-b^=-2,贝川3°-可=

【答案】710

【分析】由。•(“叫=-2可得无匕=4,再由13a-小也力+/_6am,代入化简即可得出答案.

【详解】因为。=(1,1)，忖=4,a\a-b)=-2,贝ij|4=0,

所以a-(a—6)=q-—a-6=—2,所以a-(a—b)=2—a=-2,解得：a-b=4<

愀一小卜J(3o-6)=\)9a2+b2-6a-b

=79x2+16-24=A/10.

故答案为：7w.

2-3.(2024・四川南充・二模)已知2出为单位向量，且满足卜-其卜而，则|2a+b|=.

【答案】75

【分析】将|"屈|=几两边平方可得分6=0,进而可得%+〃

【详解】为单位向量，且满足,一后卜布，所以1一2氐.6+562=6,

即1一2后山+5=6,解得夕6=0，

所以12。+N=yl4a2+4a-b+b2=垂■

故答案为：下.

2-4.(2024•河南郑州•模拟预测)已知平面向量斯满足忖=丽帆=2,且(2々+今仅叫=14,则忖+可

【答案】3A/2

【分析】由数量积的运算律求出。2=2,再由向量的模长公式即可得出答案.

【详解】由(2a+b^-^a-b^=2a-a-b-b=20-a-b-4=14,^a-b=2,

所以卜+©=J(a+力=+2a-b+b=J10+4+4=30.

故答案为：30

题型3:向量的垂直

3-1.(2024•全国)设向量。=(1,-1)/=(租+1,2a-4),若“_16则根=.

【答案】5

【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.

【详解】由a_Lb可得。.6=0,

又因为a=(1,-1),6=Qw+1,2m-4),

所以a/=L(〃z+l)+(-l>(27w-4)=0,

即加=5,

故答案为：5.

【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.

3-2.(2024•河南开封•模拟预测)已知向量2=(—2,3),/=(4,—5),若卜。-6)，6,则八.

【答案】一M41

【分析】首先求出彳〃-6的坐标，依题意“a-b)/=。，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.

【详解】因为〃=(—2,3),b—(4,-5),所以Xa—/?=X(—2,3)—(4,—5)=(—24—4,32+5),

又(小山6,所以("6)6=4(-22_4)_5(3X+5)=0,解得2=_||.

故答案为：—I41I

3-3.(2024•江西赣州•一模)已知向量)=(1,2),8=(4,左).若(2a-b)_L(2a+6),则实数％的值为.

【答案】±2

【分析】根据两个向量垂直的坐标公式计算求解即可.

【详解】因为＜7=（1,2）,。=（4,左）,所以2°-6=（—2,4—左）,2（7+6=（6,4+左），

又因为（2a-6）J_（2a+6）,所以（2a-b）（2a+6）=-2x6+（4-左）（4+左）=4-笈2=0,

所以左=±2.

故答案为：±2.

TT

3-4.（2024iWi三下,江西南昌,开学考试）已知两单位向量q,02的夹角为若a=q+2e2，Z?=e]+me2，且a_L6,

则实数机=1.

【答案】-1/-0.8

【分析】利用向量的数量积公式和向量垂直的性质解决本题.

【详解】因为单位向量q,e；的夹角为T，所以e/e2=lxlxcosm=g；

因为a_Lb，所以£.=（4+2^）-（4+«26）=不，+（2晟）―（宿）+（加+2）（£江）

154

=l+2m+（m+2）x—=—m+2=0,所以m=一1.

4

故答案为：-彳.

3-5.（2024高三・全国•专题练习）非零向量1=（cos（a-/）,sin。），b=（l,sina），若〃_LZ?,则tanatan^=.

【答案】-g/-0.5

【分析】由〃_L匕得cosacos£+2sinasin£=。，从而求得tanatan/的值.

【详解】因为Q_LZ?,所以a2=（cos（a—/?）,sin0・（l,sina）=c0sg—£）+sinasin/?

=cosacos£+2sinasin/?=0,

由题易知cwg,吟,

一一,八sinasinBsinasmB1

所以tanatan13=-----------=----------=一一.

cosacosP-2sinasin/32

故答案为：-§

题型4:向量的夹角

4-1.（2024•河南驻马店•二模）若单位向量0,6满足|2。-6|=#，则向量°,石夹角的余弦值为

【答案】一/-0.25

4

【分析】利用性质同2=力，将已知条件转化为数量积求解即可.

【详解】设向量a，b的夹角为凡因为|2〃，=痣，所以4L_4Q・b+L=6-

又忖=W=1,所以4一4cos9+1=6,所以cos。=一;.

故答案为：

4

42（2024高三・广东•阶段练习）若q,是夹角为60。的两个单位向量，则a=2q+e；与人=-3《+2』的夹

角大小为.

2

【答案】120°/§万

【分析】先利用数量积公式求出=：,再求出最后代入向量的夹角公式得解.

【详解】e”e；是夹角为60。的两个单位向量，则=卜小同cos6（T=：,

0°V〈a,6〉W180°,二.〈0,6〉=120。.

故答案为：120°

43（2024高三下•重庆•阶段练习）已知向量。和b满足：同=1,忖=2,NT-2a为=0,则。与b的

夹角为.

【答案】1JT/60°

【分析】记向量a和b的夹角为。，将|2a-b|=2a?6平方化简即可求出答案.

【详解】记向量a和。的夹角为，，将|2"-可=2期平方得到：

4\a^-4\a\\b\cos0=4\af\b^cos20n2cos20+cos6-1=0=>cos。」或-1,

2

又因为|2立一目二2源方NOncos"-!,gpCos<9=-=>6>=-.

1123

故答案为：y.

4-4.(2024・四川•模拟预测)已知向量。=1+1,百)，b=(l,0),a,b=—2,则向量Q+〃与b的夹角为

2兀

【答案】y

【分析】

由小6=-2可得x,a+b,后由向量夹角的坐标表示可得答案.

/\\a+b\-b]

【详解】4力=-2=尤+1=-2=尤=一3，贝6=贝！|cos(“+"耳=-^-----ppp=又

''''\a+b\\b\2

(a+b,e[0,可，则卜+"匕)=g

2兀

故答案为：y.

4-5.（2024•浙江）设q,e2为单位向量，满足|20-《2区正，a=el+e2,b=3q+e；,设。，b的夹角为0,

则cos20的最小值为.

【答案】笥OQ

IIurq

【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得e/6>|,再根据向量夹角公式求cos?。函数关系式,

根据函数单调性求最值.

UU—

【详解】Q24-02区0,

uu

4—4q,4+1K2,

ITir3

UuuII

.•.cos^=4C(4+4,,%y4(1+6♦2)

-------ir-1---urir=-----0ir

a-b(2+2ex-e2)(10+6e1•e2)5+-e2

424228

=-(l-------->-(l------------------)=—

3¥29

5+3,35+3xl-

4

OQ

故答案为：II

【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合

分析求解能力，属中档题.

4-6.(2024•天津)在4ABe中，CA=a,CB=b,。是AC中点，CB=2BE，试用表示DE为

若AB_LDE，则/ACB的最大值为

【分析】法一:根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出DE，以｛。，叶为基底，表示出/尻庞，由

可得37+J=4b-a，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出.

法二：以点E为原点建立平面直角坐标系，设E(0,0),B(L0),C(3,0),A(x,y),由AB，DE可得点A的轨迹为

以M(TO)为圆心，以r=2为半径的圆，方程为(x+iy+V=4,即可根据几何性质可知，当且仅当C4与M

相切时，NC最大，即求出.

【详解】方法一：

31.

DE^CE-CD=-b--a,AB=CB-CA=b-a,AB±DE^>(3b-a)-(b-a)=Q,

3/,2_i_z/22\/3alb\,

3b2+a=4a-b^cosZACB=r-[\^^JILIJL当且仅当同=百忖时取等号，而

\a\\b\4网84La\b2

7T

0<ZACB<TI,所以/AC3E(0,—].

6

31n

故答案为：-b-—a•—.

226

方法二：如图所示，建立坐标系:

£(0,0),B(l,0),C(3,0),A(x,y),DE=(—),AB=(1—九,—y),

D£IAB=>(^1^)(x-l)+^-=0=>(x+l)2+y2=4,所以点A的轨迹是以"(TO)为圆心，以r=2为半径的

r217C

圆，当且仅当C4与:“相切时，NC最大，止匕时411。===：=；,/。=：.

CM426

3171

故答案为：—b~—a■—.

226

题型5：向量的投影

5-1.（2024・全国•模拟预测）已知向量。=（1,0）,6=（0,1）,4・o=万0=1,则向量“在向量"上的投影向量

【分析】设c=（a,）），利用数量级的坐标运算得c的坐标，再利用投影向量的公式求解即可.

【详解】解：设2=(。,。),因为a=(l,O),b=(O,l),a-c=6-c=l

lxa+Ox/?=l_a=1

所以

Oxa+lxZ?=lb=l

所以c=(l,l)

空.£」.他/_LL}

则向量2在向量工上的投影向量为:|c||c|V2V2〔2'21

故答案为:

52（2024高三下•上海宝山•期中）已知向量。=（3,6）,6=（3,-4）,则a在。方向上的数量投影为.

【答案】-3

【分析】根据题意，结合向量的投影公式，即可求解.

【详解】因为向量。=(3,6),6=(3,-4),

所以a在6方向上的数量投影为

,,7a-b3x3+6x(-4)-15

回cos<a,b>=-FT]-=---------——---------=—3

bJ9+165

故答案为：-3.

5-3.(2024高一下•山东泰安•期中)已知向量H=6,e为单位向量,当向量a、e的夹角等于45。时，则向

量a在向量e方向上.的投影向量是.

【答案】3忘e

【分析】根据投影向量的定义结合条件即得.

【详解】因为向量a、e的夹角等于45,同=6,e为单位向量,

所以向量a在向量e上的投影向量是忖鬃os45e=3日，

故答案为：30e.

5-4.(2024高三上■云南昆明■开学考试)已知向量。=(-1,2),向量6=(1,1),则向量d在向量b方向上的投

影为.

【答案】正

2

【分析】利用向量的投影的定义直接求解即可.

->—>

>->->_1_A/2

a-cos(a,b

【详解】=?T=T.

故答案为：三

5-5.(2024・上海虹口•三模)已知。=(-2,-1)/=(-4,7”),若向量/,在向量.方向上的数量投影为逐，则实数

m=.

【答案】3

【分析】根据数量投影公式，代入求值.

【详解】由条件可知，向量b在向量a方向上的数量投影为蕊=£=石,

解得：m=3.

故答案为：3

彩僻题秘籍

平面向量的实际应用

用向量方法解决实际问题的步骤

题型6：平面向量的实际应用

6-1.（2024高三上•安徽合肥•开学考试）一质点受到同一平面上的三个力可，B，F3（单位：牛顿）的作

用而处于平衡状态，已知耳，尸2成120。角，且耳，尸2的大小都为6牛顿，则鸟的大小为牛顿.

【答案】6

【分析】根据向量的合成法则以及向量的模长公式，进行计算即可

【详解】设三个力的，F2,工分别对于的向量为：a,b,c

则由题知a+6+c=0

所以c=-（a+b）

所以卜卜|—（a+Z?）|=4a+2a-b+b

又W=6，W=6,a・6=WWcosl20=6x6x（-；）=-18

所以卜|=736+2x（-18）+36=6

所以用的大小为：6

故答案为：6

6-2.（2024高三上•福建泉州•期中）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳

再由向量的坐标运算可得答案.

【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，做轴于A点，所以|2A|=11,

由已知可得01(—26,0),^(-13,-11),05(13,-11),

所以aq=(T3,ll),项=(26,0),04a=(13,11),

所以O.•(。4。5+瓯)=(-13,11).(39,11)=-507+121=-386.

故选：B.

■>

X

媒习与梭升

一、单选题

1.(2024高三上•吉林四平•期末)已知向量a,6满足|a|=2,但|=豆，且不与b的夹角为则

(a+6).(2a-6)=()

A.6B.8C.10D.14

【答案】B

【分析】应用平面向量数量积的运算律展开所求的式子，根据已知向量的模和夹角求值即可.

【详解】'

由|£|=2,回=6，且4与6的夹角为

rr、/rr、rrrr

22

a+by\2a-b\=2a+a-b-b

故选：B.

2.（2024高一下•天津西青•阶段练习）已知同=6,忖=3,向量。在匕方向上投影向量是4e，贝以1）为（）

A.12B.8C.-8D.2

【答案】A

【分析】由投影向量和数量积的定义即可得出结论.

【详解】d在方方向上投影向量为问cosd-e=4e,

.".|o|cos0=4,a-b=|fl||z?|cos6*=4x3=12.

故选：A

3.（2024高三下•云南昆明•阶段练习）已知单位向量H，且〈。,6〉=1,若日+1）,1岛=2,则＞；=（）

A.1B.12C.—2或2D.-1或1

【答案】D

【分析】由题意结合向量加法的几何意义可得S，c〉=]或g，再根据数量积的定义计算，即得答案.

【详解】由题意单位向量:工，且〈：工〉=],可知上了与：的夹角为巳，

因为(a+b)J_e,所以§或不，

二

C

兀rrrr.j*j*]

故当(O,c)=_时，a-c=同・ccos=1x2x二,=1:

32

当=g时，=向.同cos(。韦=1x2x(-f=T

故选：D.

4.(2024广东•模拟预测)将向量OP=(血，血)绕坐标原点。顺时针旋转75。得到OP-则OPO4=（）

A/6—^2

A.D.娓-及

2

指+应

C.V6+V2D.

2

【答案】B

【分析】利用向量的坐标求出模长，再利用向量的数量积公式即可求解.

【详解】因为0尸=（在匈，所以旭=J（可+（可=2,

因为向量。户绕坐标原点。顺时针旋转75。得到。尸1,

lUimI

所以向量OP与向量0p的夹角为75。，且|。叫=2,

uimuiunlUtmiiuuai|

所以OP•O耳=OP.陷•cos75。=2X2Xcos（30°+45°）

=4亭等f字

故选：B

TT

5.（2024•山东济宁•二模）如图，在.ASC中，ZBAC=-,AD=2DB，P为CD上一点、,且满足

AP=mAC+^AB（meR）,若AC=3,AB=4,则APCD的值为（）.

【答案】C

【分析】由P、C,。三点共线及AD=2/）8，可求机的值，再用AB、AC作基底表示C。，进而求APC£>

即可.

【详解】ElAP=〃zAC+gAB(7〃eR),AD=2DB>

971

即AO=—AB且CO=—C2+—CA,

333

3

BAP=mAC+—AD^mGR),

31

又,、「共线’有它7-即〃，，

即AP=!AC+:AB,而C5=CA+AB,

42

21?2

^CD=-(CA+AB)+-CA=CA+-AB=-AB-AC

3333

———-1-21--------1—.216913

BAPCD=(-AC+-AB\-AB-AC)=-ABABAC——AC=——2--=—.

4233343412

故选：c

6.（2024・吉林长春•模拟预测）在矩形A3CD中，=1,AD=2,AC与8。相交于点。，过点A作AELfiD

于E,则AE-AO=（）

1224124

A.—B.—C.—D.一

252555

【答案】D

【分析】建立直角坐标系，设£（羽》）,由AELBD和可列方程求出点E，再根据数量积坐标运算即

可求解.

【详解】建立如图所示直角坐标系:

则4(0,1),8(0,0),。(2,0),。(2,1),

设E(x,y),贝UAE=(x,y-1),BE=(x,y),BD=(2,l)

AE工BDAELBD且BE”BD，

2

X=

2x+y—1=05

〜0，解得

y

y=

5

在矩形ABCD中，。为8。的中点,

7.（2024・湖北•模拟预测）已知平面向量a,b,C满足。=（2,1）,8=（1,2）,且ale.若b<=3也,贝U©=

A.VioB.2V5c.50D.3^5

【答案】A

【分析】根据向量的垂直和数量积的坐标表示求出e,再用坐标公式求模即可.

a-c=2x+y=0x-—A/2

【详解】设G=（x,y）,贝卜可得＜

b-c=x+2y=3直y=2y/2

故选:A

1

8.（2024•山东泰安•模拟预测）已知|。|=|川=|。|=1,。必=一5，c=+6R）,则V的最小值为（）

A.-2B.C.-y/3D.-1

3

【答案】B

【分析】利用数量积定义可得6的夹角为，=?,不妨设。=（1，。）,公c=(cosa,sina),ae[0,2兀),

3.

x=cosa-\-----sina厂

「3,再利用辅助角公式可得

即可得x-y=2ecos(a+4即可求得其最小值.

2A/3.36

y-------sina

3

【详解】设a,6的夹角为夕，v|a|=|^|=1,ab=~

cos6,=—1,0e[0,7t],又口=1，

不妨设〃=（1,0）力=c=(cosa,sina),ae[0,2兀),

y

COS6Z=X----x-cosad-----sina

厂即＜3

c=xa+yb=，所以，2,

.A/32出.

sma-——yy=-----sina

23

、2

cos(a+,竽cos(a+凯

..x—y=cosoc------

33J

兀

由0£[0,2兀)/.6Z+—G

，当呜舍时,即a吟时，一有最小值一半

故选：B

9.（2024•安徽•三模）以边长为2的等边三角形ABC每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一

JT

段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P为弧AC上的一点，且=则8P.e尸的值为（）

6

B.4+0

C.4-2A/3D.4+2A/3

【答案】C

【分析】如图所示，以B为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示计算即可.

【详解】如图所示，以B为坐标原点，直线为x轴，过点2且垂直于BC的直线为y轴,

建立平面直角坐标系，则3（0,0）,C（2,0）,

由ZPBC=F，得P(6,1),

所以3尸=(百,1),CP=(73-2,1),

所以BPC户=6(若-2)+lxl=4-2石.

故选：C.

10.（2024・陕西安康•模拟预测）如图，在圆内接四边形ABCQ中，1840=120。,AB=AD=1,AC=2.若E为

8的中点，则的值为（）

c

3

C.一D.3

2

【答案】c

【分析】根据余弦定理得到8。=若，确定AC为圆的直径，△38为等边三角形，建立坐标系，确定点

坐标，计算向量的数量积得到答案.

【详解】连接由余弦定理知出乎=F+F-2xlxlx[-g)=3,所以=君.

由正弦定理得一条=2=AC,所以AC为圆的直径，

sml20°

所以CDLAD,所以C£»=VL从而。0=班),

又NBCD=180°-120。=60。，所以ABCD为等边三角形，

以。为原点，以D4所在直线为x轴，DC所在直线为〉轴建立如图所示的平面直角坐标系.

EA=IF,EB=?°

所以以物［-3］别（

故选：c.

11.（2024•安徽合肥•模拟预测）如图，已知一ABC是面积为36的等边三角形，四边形MNPQ是面积为2

的正方形，其各顶点均位于ABC的内部及三边上，且恰好可在JlfiC内任意旋转，则当BQCP=0时,

\BQ+CP\2=()

A.2+4/B.4+2&C.3+2#D.2+3底

【答案】A

【分析】先分别求出等边三角形和正