人教版初中七年级数学上册同步讲义-整式（解析版）

第01讲整式

学习目标

课程标准学习目标

1.掌握代数式的概念及其书写要求，能够列简单的代数

①代数式及其书写要求

式。

②整式的概念

2.掌握整式的概念并判断整式。

③单项式

3.掌握单项式及其单项式的系数与次数。

④多项式

4.掌握多项式、多项式的项、多项式的次数。

⑤升塞与降暴排列

5.能够对多项式进行升幕或降塞排列。

思维导图

\开厚与・幕建列

知识清单

知识点01代数式及其书写要求

1.代数式的概念:

代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的

式子。单独的一个数或一个字母也是代数式。

2.列代数式：

把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来,就是列代

数式。同一个问题中同一个字母表示同一个量。

3.代数式的书写要求：

①数与数相乘必须写“义”，数与字母相乘，字母与字母相乘时把“义”用“•”代替或直接

省略。

②在数与字母相乘中，数字写在前,字母写在后,单项式写在多项式的前面。

③带分数写成假分数。

④写含有字母的除法时，要把除法写成分数的形式。

⑤代数式后面有单位时一定要用括号把代数式括起来。

题型考点：①判断代数式。

②代数式的书写要求。

③列代数式。

④代数式的求值。

【即学即练1】

1.下列各式中，不是代数式的是()

A.-3B.三也C.5x-1=9D.x2-4x

a-b

【解答】解：A、-3是代数式，故A不符合题意.

B、生也是代数式，故2不符合题意.

a-b

C、5%-1=9不是代数式，故。符合题意.

D、7-4尤是代数式，故。不符合题意.

故选：C.

【即学即练2】

22

2.下列各式：(1)12xy2；(2)3(a+b)；(3)20%尤；(4)-6+c；(5)a-b；(6)m-3℃；其中符

7xy5

合代数式书写要求的有()

A.5个B.4个C.3个D.2个

【解答】解：(1)孙2中分数不能为带分数，故原式书写错误；

(2)3(a+b)书写正确；

(3)20%x书写正确；

(4)-b+c除号改为分数线，故原式书写错误；

2_,2

(5)--b.书写正确;

5

(6)"L3。。前面的代数和应加括号，故原式书写错误；

符合代数式书写要求的有3个.

故选：C.

【即学即练3】

3.“机与〃差的3倍”用代数式可以表示成()

A.3m-nB.m-3nC.3Gi-m)D.3(tn-n)

【解答】解：“相与〃差的3倍”用代数式可以表示为：3(m-n).

故选：D.

【即学即练4】

4.某服装店新开张，第一天销售服装a件，第二天比第一天多销售12件，第三天的销售量是第二天的2

倍少10件，则第三天销售了()

A.(2a+2)件B.(2a+24)件C.(2«+10)件D.(2a+14)件

【解答】解：第二天销售服装(fl+12)件，第三天的销售量2(a+12)-10=2G+14(件)，故选D

【即学即练5】

5.如果a-36=4,那么2a-66-1的值是()

A.-7B.5C.7D.-5

【解答】解：36=4,

原式=2(a-3b)-1

=2X4-1

=8-1

=7,

故选：C.

【即学即练6】

6.当x=l时，代数式°龙3+云+7的值为4,则当x=-1时，代数式ad+法+7的值为()

A.4B.-4C.10D.11

【解答】解：；当x=1时，代数式办3+6无+7的值为4,

/.〃+/?+7=4,

a+b=-3.

当x=-1时，

代数式

=aX(-1)3+bX(-1)+7

=-a-。+7

(〃+b)+7

=-（-3）+7

=3+7

=10.

故选：c.

知识点02整式

1.整式的概念：

单项式和多项式统称为整式。简单理解：即分母中不含字母的式子叫做整式。

题型考点：整式的判断。

【即学即练1】

下列各式：——mn,m,8,1,d+2x+6,红，2y2-5y+工中，整式有（

2a5兀y

A.3个B.4个C.6个D.7个

2

【解答】解:整式有加，8,X2+2X+6,2'.:'-x--+-4-y-，一共6个.

25兀

故选：c.

知识点03单项式

1.单项式的概念：

表示数或字母，字母与字母的积的式子叫做单项式,单独的一个数或字母也是单项式。里

面只有乘法运算。

2.单项式的系数：

单项式中的数字因数叫做单项式的系数。包含单项式前面的符号。特别的，单个的字母的系

数为1或-1。

3.单项式的次数：

一个单项式中所有字母的次数的和叫做单项式的次数。单项式的次数是几次则就叫做几次

单项式。没有字母的单项式次数是0。

题型考点：①单项式的判断。

②单项式的系数与次数。

【即学即练1】

8.代数式生生，_1_,马-2,a,7/+6尤-2中，单项式有（）

22m3-b

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：代数式2色，A,生，-2,a,7/+6X-2中，单项式有：2?y,-2,。共3个.

2-2m3-b

故选：C.

【即学即练2】

9.单项式-2/y的系数和次数分别是（）

A.3,4B.-2,2C.3,-2D.-2,3

【解答】解：-2/y的系数为-2,次数为2+1=3.

故选：D.

【即学即练3】

22

10.下列关于单项式卫三红的说法正确的是（）

3

A.次数是2,系数是-2nB.次数是5,系数是上

3

C.次数是4,系数是N•兀D.次数是4,系数是2

33

22

【解答】解：根据单项式定义得：单项式用工上_的次数是4,系数是工兀.

33

故选：C.

【即学即练4】

11.如果蒋a2b2nT五次单项式，则〃的值为（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：•••二a2b2nT五次单项式，

2

：.2+2n-1=5,

解得n=2.

故选：B.

知识点04多项式

1.多项式的概念：

几个单项式的和叫做多项式O

2.多项式的项：

组成多项式的每一个单项式叫做多项式的项。包含单项式前面的符号

3.多项式的次数：

组成多项式的项中，次数最高的项的次数即为多项式的次数。

4.多项式的名词:

根据多项式的次数与项数把多项式命名为几次几项式。

题型考点：①多项式的判断。

②多项式各项的判断。

③多项式的次数以及命名。

【即学即练1】

12.在下列式子上浦，3也，ab2+b+l,3j，/+x3-6中，多项式有（）

22xy

A.2个B.3个C.4个D.5个

【解答】解：史主，al^+b+l,/+/-6是多项式,

2

故选：B.

【即学即练2】

13.多项式3/-2x-1的各项分别是（）

A.3<,2x,1B.3/,-2x,1C.-3X2,2x,-1D.3/,-2x,-1

【解答】解：多项式3/-2x-1的各项分别是：38-lx,-1.

故选：D.

【即学即练3】

14.多项式2?+4xy3-5?-1的次数和常数项分别是（）

A.5,-1B.5,1C.10,-1D.4,-1

【解答】解：多项式2?+4xy3-5/-1的次数和常数项分别是5,-1.

故选：A.

【即学即练4】

15.多项式6x4+2?y3-3孙2-1的次数是（）

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：：多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数,

多项式6/+2X2/-3孙2-1的次数是5.

故选：C.

【即学即练5】

16.多项式2x3-x2j2-3xy+x-1是次项式.

【解答】解：多项式2x3-x272-3xy+x-1是四次五项式.

故答案为：四，五.

知识点05多项式的升幕或降幕排列

1.升幕排列（降幕排列）的概念：

把多项式按照各项的次数由高到低（由低到高）的顺序排列的方式叫做升幕（降塞）排列。有

时也按照某个字母进行升哥排列或者降嘉排列。

题型考点：对多项式进行升幕或降幕排列。

【即学即练1】

17.将代数式4/计3"2,2/+/按a的升嘉排列的是（）

A.-2Z?3+3aZ?2+4fl2/j+a3B.c^+4crb+3ab2-2b3

C.4a2b+3ab2-2Z?3+a3D.4crb+3ab2+ai-2Z?3

【解答】解：多项式4/6+3。/-2b3+/的各项为4J43步,-2b3,a3.

按字母a升幕排列为：-2bi+3ab1+Acrb+ai.

故选：A.

【即学即练2】

18.把多项式/-/_3a2b+3"2重新排列.

（1）按。升幕排列；

（2）按。降幕排列.

【解答】解：⑴多项式a3-b3-3办+3步按a的升幕排列是-/+3/-3«2W；

（2）按a的降暴排列的是a3-3<rb+3ab1-b3.

题型精讲

题型01代数式的求值

【典例1】

已知代数式尤+2y的值是3,则代数式2x+4y+l的值是.

【解答】解：Vx+2y=3,

**•2x+4y+1—2（x+2y）+1

=2X3+1=7.

故答案为：7.

【典例2】

若m2+3n-1的值为5,则代数式2m2+6n+5的值为.

【解答】解：由题意得：m2+3n-1=5,即〃P+3"=6,

则原式=2（m2+3n）+5=12+5=17,

故答案为：17

【典例3】

已知当x=l时，2a的值为3,则当x=2时，办2+少尤-8的值为.

【解答】解：当x=l时，2axi2+bxi=3,

整理得，2a+b=3,

当x=2时，o?+6x-8=aX22+6X2-8=4。+26-8=2(2a+b)-8=2X3-8=6-8=-2.

故答案为：-2.

【典例4】

若代数式尤-2y=3,则代数式2(x-2y)2+4y-2x+l的值为()

A.7B.13C.19D.25

【解答】解：：x-2y=3,

.'.2(x-2y)2+4y-2x+l

=2(x-2y)2-2(x-2y)+1

=2X32-2X3+1

=18-6+1

=13.

故选：B.

题型02整式的判断

【典例1】

x2+4y

下列各式-工机孔，m,8,X2X乙'>'

—,+2+6,■,--------,工中，整式有（）

2a5兀y

A.3个B.4个C.6个D.7个

2

/+2x+6,2x-y,x+4y

【解答】解：整式有—-mn,m,8,--------,

25兀

故选：C.

【典例2】

在以下的6个代数式：TT,尤，3孙，三包，2，2a+l中，整式有（）个.

2X

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：根据题意得：单项式有m尤，3孙;

多项式有：211,2°+1；

2

这些单项式和多项式都是整式，所以整式有5个.

故选：C.

【典例3】

在式子」，a,2x+5y,0.9,-3—,-2a,-37y,三包中，单项式的个数是（)

x23

A.5个B.4个C.3个D.2个

【解答】解：单项式有：a,0.9,-3工，-2a,-3/y,

2

故选：A.

【典例4】

在整式5abe,-77+1,--,21-1,"ZZ一中，单项式共有（)

532

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：5abe,-区，21工是单项式，

53

故选：C.

【典例5】

22UU2

2x+yzab-c

下歹U式子：2ab,3孙-2y2，——答—，4,-iri，-----，，其中是多项式的有（)

2x冗

A.2个B.3个C.4个D.5个

222

【解答】解：由题意得3盯-2/，a+b,ab-c-均是多项式,共三个;

2兀

生是分式；

2x

2a2匕，4,-tn,是单项式；

故选：B.

【典例6】

明明在学习完多项式后，自己设计了如下一道题目：在工ab，—ab2+b+\,33f+x3-6中，多项

22xy

式有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【解答】解：多项式有：/+N-6,

2

故选：B.

题型03单项式的次数与系数

【典例1】

若单项式《xy3z2的系数、次数分别是。、b,则（）

A.a=—,b—6B.a=--,b=6C.a——,b=lD.a=--,b=l

3333

【解答】解：单项式」xy'2的系数、次数分别是。、b,

3

则a=-—,b—6.

3

故选：B.

【典例2】

单项式-xy2z3的系数及次数分别是（）

A.系数是0,次数是5B.系数是1,次数是6

C.系数是-1,次数是5D.系数是-1,次数是6

【解答】解：根据单项式系数、次数的定义可知：

单项式-孙的系数是-1,次数是1+2+3=6.

故选：D.

【典例3】

单项式-工町3的系数是，次数是

7

【解答】解：单项式-工孙3的系数是-工，次数是4,

7-7

故答案为：——,4.

7

【典例4】

如果单项式2a72c是六次单项式，那么〃的值取（）

A.6B.5C.4D.3

【解答】解：•••单项式2a%2c是六次单项式，

几+2+1=6,

解得：〃=3,

故〃的值取3.

故选：D.

【典例5】

已知单项式3/一》的次数是3,则a的值为（）

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：由题意知a-1+1=3,

解得〃=3.

故选：B.

题型04多项式的项与次数

【典例1】

X2/-3孙3一2的次数和项数分别为（）

A.5,3B.5,2C.2,3D.3,3

【解答】解：xY一3孙3-2的次数和项数分别为5,3.

故选：A.

【典例2】

多项式2?+4盯3-5?-1的次数和常数项分别是（）

A.5,-1B.5,1C.10,-1D.4,-1

【解答】解：多项式22+4盯3-5?-1的次数和常数项分别是5,-1.

故选:A.

【典例3】

已知多项式x-3xy^+jc'y-3x4-1是五次多项式，则m=.

【解答】解:「多项式x-3x/M+1+x3y-3x4-1是五次多项式，

l+m+l=5,

解得：m=3.

故答案为：3.

【典例4】

多项式5amb4-2a2b+3与单项式6a%3c的次数相同，则m的值为.

【解答】解：•••多项式5amb4-2a2^+3与单项式6a%3c的次数相同，

/.加+4=4+3+1,

解得：m=4.

故答案为：4.

【典例5】

已知多项式-25j^ym+l+xy2-4x3-8是五次多项式，单项式3口严加与该多项式的次数相同，求机+江

【解答】解：•••多项式的次数是5,

/.2+僧+1=5,

•・加=2,

;单项式与该多项式的次数相同，

2H+6-2=5,

••n—,

2

故答案为：

2

题型05升哥或降塞排列

【典例1】

将多项式5/y+y3-3孙2一一按x的升塞排列为.

【解答】解：按尤的升塞排列为/-3盯2+50--

故答案为：y3-3盯2+5号-%3.

【典例2】

3

将代数式3fy+5町2-3y3-5x按y的降塞排列是（）

A.-5?+3o+5xy2-3^3B.-3j3+5Ay2+3^-5x3

C.-5x3-3y3+3/y+5孙2D.ijTy+Sxy2-3y3-5x3

【解答】解：3x1y+5xy2-3y3-5x3=-3/+5^/+3^-5x3.

故选：B.

强化训练

2

1.代数式/+2,工+4,至工，独，5,上，-X中，整式的个数是（）

afc兀

A.7B.6C.5D.4

【解答】解：整式有/+2,丝直，5,

—,-工,共5个.

7兀

故选：C.

22

2.下列关于单项式-2兀&b的说法正确的是（）

3

A.次数是2,系数是-2nB.次数是5,系数是上

3

D.次数是4,系数是2

C.次数是4,系数是-TT

33

22

【解答】解：根据单项式定义得：单项式b的次数是%系数是N■兀.

33

故选：C.

3.下列结论中正确的是（）

2

A.单项式.nxy.的系数是工,次数是4

44

B.单项式机的次数是1,没有系数

C.多项式2?+盯2+3是二次三项式

2

D.在2，2x+y,-^a,工二E,旦，0中整式有4个

x3冗4x

2

【解答】解：A、单项式2EAJL的系数是的系数是111,次数是3,不符合题意；

44

B、单项式相的次数是1,系数是1,不符合题意；

C、多项式2?+孙2+3是三次三项式，不符合题意；

22

D、在』，2x+y,—a,工二E,且，0中整式有2x+y,—a,2二工，0,一共4个，符合题意.

x37T4x3兀

故选：D.

4.当x=l时，代数式〃%3+析+7的值为4,则当％=-1时，代数式〃%3+析+7的值为（）

A.4B.-4C.10D.11

【解答】解：・.•当犬=1时，代数式法+7的值为%

/.〃+。+7=4,

.•.〃+。=-3.

当x=-1时，

代数式〃/+法+7

=aX(-1)3+bX(-1)+7

=-a-b+1

=-(a+b)+7

=-(-3)+7

=3+7

=10.

故选：c.

5.在下列给出的四个多项式中，为三次二项式的多项式是()

A.a~-3B.+2.ab~1C.-bD.4a2-3b+2

【解答】解：A选项是二次二项式，故该选项不符合题意；

8选项是三次三项式，故该选项不符合题意；

C选项是三次二项式，故该选项符合题意；

。选项是二次三项式，故该选项不符合题意；

故选：C.

6.有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是5,可发现第1次输出的结果是16,第2次输

出的结果是8,第3次输出的结果是4.依次继续下去，第2022次输出的结果是()

力为奇数

A.8B.4C.2D.1

【解答】解：第1次输出结果是16,

第2次输出结果是8,

第3次输出结果是4,

第4次输出结果是方=2，

第5次输出结果是

第6次输出结果是3X1+1=4,

从第3次开始，输出结果每3个数一个循环，分别是4、2、1,(2022-2)4-3=673--1,

,第2022次输出结果是4.

故选：B.

7.探索规律：观察下面的一列单项式：X、-2/、4?、-8尤％16尤5、…，根据其中的规律得出的第9个单

项式是（）

A.-256/B.256尤9C.-512x9D.512x9

【解答】解：根据题意得：

第9个单项式是2%9=256#.

故选：B.

8.甲，乙两商场以相同的价格出售同样的商品，当购物金额超出一定数额后，各自推出不同的优惠方案，

若在两个商场购买无（x＞100）元的商品，在甲商场需付费［100+0.9（%-100）］元，在乙商场需付费［50+0.95

（尤-50）］元，下列关于两个商场优惠方案的说法正确的是（）

A.购买金额不超过100元时，两个商场都不优惠

B,购买金额超过50元时，两个商场都有优惠

C.购买金额超过100元时，甲商场按90%收费，乙商场按95%收费

D.购买金额超过100元时，超出100元的部分，甲商场按90%收费，乙商场按95%收费

【解答】解：•当尤＞100时，在甲商场需付费［100+0.9（X-100）］元,

甲商场推出的优惠方案是：购买金额不超过100元时，不优惠，购买金额超过100元时，超出100元

的部分按90%收费；

；当比＞100时,在乙商场需付费［50+0.95（x-50）］元,

•••乙商场推出的优惠方案是：购买金额不超过50元时，不优惠，购买金额超过50元时，超出50元的部

分按95%收费.

故选：D.

9.已知cr+3a-2023=0,则2a2+6rz-1的值为.

【解答】解：：（r-+3a-2023=0,

/+30=2023,

2a-1

—2（a2+3cz）-1

=2X2023-1

=4045,

故答案为：4045.

10.若x-3y=4,贝l|（尤-3y）2+法-6y-10的值为.

【解答】解：：（尤-3y）2+2X-6y-10

=（x-3y）2+2（x-3y）-10,

.,.当x-3y=4时,

原式=42+2X4-10

=16+8-10

=14,

故答案为：14.

11.已知方程组JX+V-7，则4(x+y)-2(3x-5y)的值是_______

13x-5y=-3

【解答】解：•*+y=?,

\3x-5y=-3

•".4(x+y)-2(3x-5y)

=4X7-2X(-3)

=28+6

=34,

故答案为：34.

12.把7个长和宽分别为a,6的小长方形纸片（如