2024年人教版九年级上册数学期末复习训练：点和圆的位置关系

二十八点和圆的位置关系

【A层基础夯实】

知识点1点与圆的位置关系

1.已知点P到圆心。的距离为5,若点P在圆内，则。。的半径可能为(D)

A.3B.4C.5D.6

2.已知。。的半径为6cm,线段0P的长为4cm,则点P在0。内(填“内”“外”或"上”).

3.在矩形/aP中，/左6cm,AD=8cm.

(1)若以A为圆心,6cm长为半径作。4则B,C。与圆的位置关系是什么？

【解析】⑴如图，连接阳

\'AB=6cm,AD=8cm,

/.JO10cm,

,/QA的半径为6cm,

.•.点8在。/上，点。在。/外，点。在。4外；

(2)若作04使8,c。三点至少有一点在内，至少有一点在外，则GM的半径r的取值范围

是.

A.--------------------.D

BC

【解析】(2)以点A为圆心作。4使B,C,〃三点中至少有一个点在圆内,且至少有一点在圆外,

0/的半径r的取值范围是6cm<X10cm.

答案：6cm<X10cm

知识点2三角形的外接圆

4.如图所示，已知点。是△力质的外心，ZJ=50°,连接班,C0,则N6%的度数是(B)

A

A.90°B.100°C.110°D.95°

5.如图，△/8c内接于OQ,Z<=50°，则/侬的度数为(C)

A.25°B.30°C.40°D.50°

6.如图，在平面直角坐标系xOy中，点48的坐标分别为(0,2)和(4,0),则△0/8的外接圆的圆心坐标是

⑵1).

知识点3反证法

7.用反证法证明：一个三角形中，至少有两个角是锐角.应先假设三角形中(B)

A.至少有两个角是锐角

B.至多有一个角是锐角

C.只有一个角是锐角

D.没有一个角是锐角

8.反证法是数学证明的一种重要方法.请将运用反证法进行证明的过程补全.

已知：在△力比'中，2户力C求证：N5<90°.

证明：假设/6—90°.

庐阳

：.ZB=ZC^90°,

：.ZA+ZB+ZO180°,

这与三角形内角和定理矛盾，

此假设不成立,

【B层能力进阶】

9.(2024•衡水期末)已知△/回的外心为0,连接BO,若/的=18；则NC的度数为(D)

A.60°B.68C.70°D.72

10.如图，在平面直角坐标系中,/(4,0),6(0,3),以点方为圆心,2为半径的。6上有一动点尸.连接/已

若点C为/P的中点,连接OC,则%的最小值是(A)

A.1.5B.2C.2.5D.3

11.在平面直角坐标系中有4旦C三点,/(I,3),5(3,3),C(5,1).现在要画一个圆同时经过这三点，则圆

心坐标为(2,0).

12.如图所示,等边△/国内接于为圆周上一点.

(1)求证:应平分N/0C;

【解析】(IL.•△上为等边三角形，

ZBAC=ZACB=60°,

■:/ADB=/ACB=60°,NCDB=/BAC=60°,

：.ZADB=ZCDB,

即DB平分NADC;

⑵若Cg,AD=2,求BD的长度.

【解析】⑵在如截取份好1,如图，

,:ZCD即60°,DE=DC,

△〃北为等边三角形，

：.CE-CD,,

的用180°-N应0=120°,NADe/AD/NCDB=12Q°,

：./BE伉/ADC,

；N鹿和NOZ?都对应比，

:.NCB&NCAD,

•△板为等边三角形，

：.B(^CA,

在△颂和△/以?中，

(NBEC=ZADC

JNCBE=NCAD，

(BC=AC

：.A^CE^AAO)(AAS),

：.BE^AD=2,

:.BD=BE+DE=22=3.

【C层创新挑战（选做）】

13.（推理能力、几何直观、模型观念）阅读下列材料，并完成相应学习任务：

我们知道，圆内接四边形的对角互补，那么过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆吗？学习小组经

过探究发现:过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆.下面是学习小组的证明过程：

已知：在四边形/颇中，//+/e180°.

求证:过点A,B,C,〃可作一个圆.

证明：假设过点A,B,C。四点不能作一个圆，设过点A,旦。三点作出的圆为。0.分两种情况讨论.

①如图1,若点。在。。内.延长加交。。于点Z连接跖

及/是△以方的外角，

：.ZBCD>^E.

斤180°,,

：.ZE=ABCD,与N3CDNE矛盾；

②如图2,若点C在。。外.设切交。。于点名连接龙.

：N跖9是△砂的外角，

:./BED>/C.

VZ^+ZC=180°,Z^+Z5£»=180o,

：.ZBED=AC,与/庞沙NC矛盾.

综上可知，假设不成立,故过点A,B,C。可作一个圆.

学习任务:

(1)在以上应用反证法的证明过程中主要体现的数学思想是.

【解析】(1)根据题意，分点。在圆内与圆外两种情况讨论，.•.应用反证法的证明过程中主要体现的数

学思想是分类讨论思想.

答案:分类讨论思想

(2)应用上述结论,解决以下问题：

如图，已知正方形仍1口的边长为6,点尸是边上的一个动点，连接CP,过点尸作气的垂线交A0于点

E,以房为边作正方形PEFG,顶点G在线段PC上,对角线EG,勿相交于点0.当点P从A运动到6时，点

。也随之运动,求。经过的路径长.

【解析】(2)连接出如图所示,

二•四边形被力是正方形，后90°,/掰