2023-2024学年人教版九年级数学上册重难点题型突破训练：二次函数的图像与性质（一） （六大题型）

专题2.1二次函数的图像与性质（一）（六大题型）

一名丸臣女蚣独_________________________________

【题型1判断二次函数的个数】

【题型2利用二次函数的概念求字母的值】

【题型3二次函数的一般式】

【题型4根据实际问题列二次函数-销售问题】

【题型5根据实际问题列二次函数-面积类】

【题型6根据实际问题列二次函数-几何类】

国清合於神

【题型1判断二次函数的个数】

【典例1】已知函数：①.y=2r-l；（2）v=-Zx2-1；（3）v=3x3-2x2；④y=2

（"3）2-2x2；⑤、=仃2+加叶0,（6）y=x2+A+5其中二次函数的个数为（）

x

A.1B.2C.3D.4

【变式1-1］已知函数：①y=2x-1；②尸-2/-1；③y=3x3-改；④尸2

（x+3）2-2x2；（5）y=ax2+bx+c,其中二次函数的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【变式1-2］已知函数：①y=2x-1；②,尸-2x2-1；③y=3x3-2x2；（4）y=

2x2-x-1；（5）y=ax2+bx+c,其中二次函数的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【变式1-3］己知函数：（l）v=ax2；（2）v=3（x-1）2+2；（3）v=（x+3）2-Zx2；

④y=」^+x.其中，二次函数的个数为（）

X

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式1-4］（2022秋•扬州期末）下列函数是关于x的二次函数的有（）

①y=x（2.r-1）；（2）y=®y=^-x2-l；@y=ax2+2x（a为任意实

数）；⑤P=（x-1）2-x2；⑥y=Vx2+x+1.

A.2个B.3个C.4个D.5个

【变式1-5］（2022秋•广汉市期中）观察：①歹=6x2；②y=-3./+5；（3）y=

232

200x+400x+200；@y=x-2x；@y=%_1+31.⑥尸(x+i)2,x2.这

六个式子中，二次函数有.(只填序号)

【题型2利用二次函数的概念求字母的值】

【典例2］已知y关于x的二次函数解析式为y=(m-2)则机=()

A.±2B.1C.-2D.±1

【变式2-1］有二次函数y=x"T-2x+l,则机的值是()

A.4B.2C.0D.4或2

【变式2-2］已知>=如刖-2|+2mx+l是y关于X的二次函数，则机的值为()

A.0B.1C.4D.0或4

【变式2-3］(2022秋•江油市校级月考)函数y=(m2-3m+2)x2+mx+l-m,

则当机=时，它为正比例函数；当机=时，它为一次函数；当

m时，它为二次函数.

2m22m+2

【变式2-4］(2022秋•新昌县校级月考)已知函数y=(m+m)x-.

(1)当函数是二次函数时，求机的值；;

(2)当函数是一次函数时，求机的值..

【变式2-5］若关于x的函数y=(2-a)x2-3x+4是二次函数，则。的取值范

围是.

【题型3二次函数的一般式】

【典例3】二次函数y=x2-2x+3的一次项系数是()

A.1B.2C.-2D.3

【变式3-1】将二次函数(x-1)+3x化为一般形式后，正确的是()

A.y~x~~x+3B.y=x2-2x+3C.y=x?-2xD.y=x^~t~2x

【变式3-2］把二次函数y=-(x+3)2+11变成一般式是()

A.y—~x2+20B.y=-x2+2

C.y=-x2+6x+20D.y=-x2-6x+2

【变式3-3］把二次函数y=-(x+3)Cx+4)+11变成一般形式后，其二次项系

数和一次项系数分别为()

A.-1>-1B.-1,1C.-1,7D.-1,-7

【变式3-4】二次函数的一般形式为()

A.y=ax2+bx+cB.y=ax2+bx+c(aWO)

C.y=ax2+bx+cQN-4acN0)D.y=ax2+bx+c(Z>2-4ac=0)

【变式3-5】把抛物线了=(x-1)2+1化成一般式是.

【变式3-6]把了=(3x-2)(x+3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的

和为.

【变式3-7](2022春•肇东市期末)已知二次函数y=l-5x+3x2,则二次项系

数。=,一次项系数6=，常数项c=.

【变式3-8](2022秋•新昌县期末)若二次函数y=(2x7)2+1的二次项系

数为。，一次项系数为从常数项为。，则按-4ac0(填写“〉”或

“<”或"=”)

【题型4根据实际问题列二次函数-销售问题】

【典例4】某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元，

销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上

涨1元，每天销量减少10个.现商家决定提价销售，设每天销售量为y个,

销售单价为x元(x>44),商家每天销售纪念品获得的利润w元，则下列等

式正确的是()

A.y=10x+740B.y=10%-140

C.w=(-10x+700)(x-40)D.w=(-10x+740)(x-40)

【变式4-1】某商品现在的售价为每件60元，每星期可销售300件.商场为了清

库存，决定让利销售，已知每降价1元，每星期可多销售20件，那么每星期

的销售额W(元)与降价x(元)的函数关系为()

A.W=(60+x)(300+20%)B.W=(60-x)(300+20%)

C.W=(60+x)(300-20x)D.W=(60-x)(300-20x)

【变式4-2】“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销

某一品牌的电子产品(这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进

行结算，未售出的由厂家负责处理).销售中发现每件售价99元时，日销售

量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件.已知每

售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品

售价为x(元)，主播每天的利润为w(元)，则w与x之间的函数解析式为

()

A.w=(99-x)[200+10(x-50)]

B.w=(x-50)[200+10(99-x)]

C.w=(x-50)(200+^1x10)

5

D.w=(x-50)(200+毁工X10)

5

【变式4-3J2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会

的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品.某商家以每套34元的价

格购进一批冰墩墩和雪容融套件.若该产品每套的售价是48元时，每天可售

出200套；若每套售价每提高2元，则每天少卖4套.设冰墩墩和雪容融套

件每套售价定为x元时，则该商品每天销售套件所获利润w与x之间的函数

关系式为（）

A.w=（200+^^X4）（x-48）

2

B.w=（200-^1x4）（x-48）

2

C.w=（2OO-^Z18,X4）（x-34）

2

D.w=（200+^^-X4）（x-48）

2

【变式4-4】某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200

件.如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于

72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y

元，那么y与x的函数关系式是.

【变式4-5】某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与

日销售量V（件）之间的关系如下表.

X（元/件）15182022・・・

V（件）250220200180・・・

按照这样的规律可得，日销售利润w（元）与销售单价x（元/件）之间的函数

关系式是.

【变式4-6］（2022春•西湖区校级月考）某商品的进价为每件40元，如果售价

为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每

件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再

涨价，则每涨1元每月少卖3件.设每件商品的售价x元(x为整数)，每个

月的销售量为y元.

(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

(2)设每月的销售利润为力,请直接写出次与x的函数关系式.

【题型5根据实际问题列二次函数-面积类】

【典例5】将一根长为50c7〃的铁丝弯成一个长方形(铁丝全部用完且无损耗)

如图所示，设这个长方形的一边长为戈(cm),它的面积为y(c〃A),则了

与x之间的函数关系式为()

A.y=-x2+50.rB.v=x2-50x

2

C.y=-AX+25XD.尸-2^+25

-2

【变式5-1］长方形的周长为24c/〃，其中一边长为(其中x>0),面积为

van2,则这样的长方形中.v与x的关系可以写为()

A.y=x2B.y=\2-x2C.y=(12-x)*xD.y=2(12-x)

【变式5-2］长方形的长为10cm、宽为6c加，它的各边都减少xc〃/,得到的新长

方形的周长为则y与x之间的关系式是()

A.y=32-4x(0<x<6)B.y=32-4x(0WxW6)

C.y=(10-x)(6-x)(0<x<6)D.y=(10-x)(6-x)(04W6)

【变式5-3】如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其

余各面用木材围成栅栏，该农场计划用木材围成总长24〃/的栅栏，设面积为s

(一)，垂直于墙的一边长为X(7〃).则S关于X的函数关系式：.

(并写出自变量的取值范围)

///////////////

【变式5-4】如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a

为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为便于进出，开了3道宽

为1米的门.设花圃的宽N5为x米，面积为S平方米，则S与x的之间的函

数表达式为;自变量x的取值范围为.

AD

bl-----------1----------0

【变式5-5】如图，某农场要盖一排三间同样大小的长方形的羊圈，打算一面利

用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，栅栏的总长为24〃?，设羊圈的总面积为S

（〃/），垂直于墙的一边长为x（加），则S关于x的函数关系式

为.（不必写出自变量的取值范围）

【变式5-6】有一长方形纸片，长、宽分别为8cm和6c加，现在长宽上分别剪

去宽为xcm（x<6）的纸条（如图），则剩余部分（图中阴影部分）的面积y

,其中一是自变量，是因变量.

【题型6根据实际问题列二次函数-几何类】

【典例6】如图，在△4SC中，N5=90°,45=12,BC=24,动点、P从点、A

开始沿边4B向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点。从点B开始

沿边6c以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，如果点尸、。分别从点

A.5同时出发，那么△尸5。的面积S随出发时间，（s）如何变化？写出函数

关系式及/的取值范围.

【变式6-1］如图，已知等腰直角三角形45C的直角边长与正方形MAP。的边

长均为20a〃，NC与在同一条直线上，开始时点N与点N重合，让A45C

以2c的速度向左运动，最终点N与点M■重合，求重叠部分的面积yc〃户与

时间白之间的函数关系式.

【变式6-2】如图所示，在矩形48C。中，N5=6厘米，5c=12厘米，点尸在

线段48上，尸从点2开始沿边以1厘米/秒的速度向点3移动.点、E为

线段3c的中点，点0从E点开始，沿EC以1厘米/秒的速度向点C移

动.如果尸、0同时分别从2、E出发，写出出发时间/与△AP0的面积S的

函数关系式，求出,的取值范围.

B

【变式6-3】如图，在RtA45C中，ZC=90°,AC=12nun,5c=24"〃〃，动点尸

从点A开始沿边幺。向。以2nmi/s的速度移动，动点Q从点C开始沿边CB

向5以4〃/〃加的速度移动.如果尸、。两点同时出发，那么△尸C0的面积S

随出发时间，如何变化？写出函数关系式及f的取值范围.

【变式6-4］如图，正方形48CD的边长为4c〃/,E,尸分别是5C、。。边上的

动点，点及尸同时从点。均以每秒la〃的速度分别向点5,点。运动，当

点E与点5重合时，运动停止.设运动时间为x(s),运动过程中A4E厂的

面积为y(0〃2),请写出用x表示y的函数表达式，并写出自变量x的取值

范围.

【变式6-5］如图，正方形488的边长为4,点£是48的中点，点尸从点E

出发，沿EfNfQfC移动至终点C.设尸点经过的路径长为x,△CPE的

面积为y,求y与x之间的函数关系式.

专题2.1二次函数的图像与性质（一）（六大题型）

一名丸臣女蚣独_______________________________

【题型1判断二次函数的个数】

【题型2利用二次函数的概念求字母的值】

【题型3二次函数的一般式】

【题型4根据实际问题列二次函数-销售问题】

【题型5根据实际问题列二次函数-面积类】

【题型6根据实际问题列二次函数-几何类】

-呈语至更度___________________________________

【题型1判断二次函数的个数】

【典例1】已知函数：（l）v=2r-1;（2）,v=-2x2-1；（3）v=3x3-2x2；④y=2

（"3）2-2x2；（5）v=ax2+bx+c,（6）v=x2+A+5其中二次函数的个数为（）

x

A.1B.2C.3D.4

【答案】N

【解答】解：@V=2x-1是一次函数；

②y=-2Y2-1是二次函数；

（3）V=3.Y3-NF不是二次函数；

@y=2（x+3）2-左2不是二次函数；

（5）1v=ax2+Z>x+c不一定是二次函数；

（6）v=x2+—+5不是二次函数；

X

.•.②是二次函数，共1个，

故选：A.

【变式1-1］己知函数：①y=2x-1；②尸-2x2-1；③y=3x3-2x2；@y=2

（x+3）2-2./；⑤y=ax2+bx+c,其中二次函数的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】/

【解答】解：②是二次函数，共1个，

故选：A.

【变式1-2］已知函数：①y=2x-1；-2x2-1；③y=3x3-2x2；④y=

2x2-x-1；（5）y=ax2+bx+c,其中二次函数的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解答】解：②④是二次函数，共2个，

故选：B.

【变式1-3］已知函数：（l）v=ax2；（2）v=3（x-1）2+2；③y=（.x+3）2-2x2；

其中，二次函数的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解答】解：根据定义②.V=3（x-1）2+2；③产（x+3）2-2/是二次函数

故选:B.

【变式1-4］（2022秋•扬州期末）下列函数是关于x的二次函数的有（）

①,y=x（2x-1）；②y=2；③丫=苧/一1；（4）y=ax2+lx（a为任意实

数）；⑤呻（x-1）2-x2；（6）v=Vx2+x+1.

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】A

【解答】解：是关于x的二次函数的有①③，

故选：A.

【变式1-5］（2022秋•广汉市期中）观察：①尸6./；②y=-3./+5；（3）y=

200x2+400.v+200；@y=x3-2x；（5）y=x2-|+3|;（6）.v=（.r+1）2-x2.这

六个式子中，二次函数有.（只填序号）

【答案】①②③

【解答】解：这六个式子中，二次函数有：①.V=6K2；（2）V=-3X2+5；（3）V=

200x2+400x+200；

故答案为：①②③.

【题型2利用二次函数的概念求字母的值】

【典例2］已知y关于x的二次函数解析式为y=（W-2）x^l,则机=（）

A.±2B.1C.-2D.±1

【答案】C

【解答】解：由题意得：

附=2且机-2W0,

.'.m=±2且in于2,

/.m=-2,

故选：C.

【变式2-1］有二次函数y=x"-2-2x+l,则/〃的值是（）

A.4B.2C.0D.4或2

【答案】A

【解答】解：•••函数y=x叱2-2x+l是二次函数，

・■•加-2=2,

解得

故选：A.

【变式2-2］已知;；=加加-21+2加什1是了关于％的二次函数，则他的值为（）

A.0B.1C.4D.0或4

【答案】C

【解答】解：由题意得：\m-2|=2,且MWO,

解得：m=4,

故选：C.

【变式2-3］（2022秋•江油市校级月考）函数y=（m2-3m+2）x2+mx+i-m,

则当机=时，它为正比例函数；当机=时，它为一次函数；当

m时，它为二次函数.

【答案】1;1或2；且加W2

【解答】解：根2-3机+2=0,

贝I］（m-1）（掰-2）=0,

解得：mi=1,机2=2,

故机W1且加W2时，它为二次函数；当加=1或2时，它为一次函数，当机=

1时，它为正比例函数；

故答案为：1；1或2；机W1且忆#2

【变式2-4］(2022秋•新昌县校级月考)已知函数y=(m2+m)xm2-2m+2.

(1)当函数是二次函数时，求机的值；;

(2)当函数是一次函数时，求能的值..

【答案】(1)2(2)1

【解答】解：(1)依题意，得加2-2以+2=2,

解得m=2或m=0；

又因m2+m^0,

解得mW0或机W-1；

因此m=2.

(2)依题意，得加2-2%+2=1

解得m=l；

又因m2+m^0,

解得mW0或机W-1；

因此m=l.

【变式2-5］若关于x的函数y=(2-a)x2-3x+4是二次函数，则。的取值范

围是a于2.

【答案】。字2.

【解答】解：•••函数y=(2-a)x2-3x+4是二次函数，

.,.2-a^O,即。#2,

故答案为：

【题型3二次函数的一般式】

【典例3］二次函数了=/-2x+3的一次项系数是()

A.1B.2C.-2D.3

【答案】C

【解答】解：二次函数了=--2x+3的一次项系数是-2,

故选：C.

【变式3-1］将二次函数歹=x(x-1)+3x化为一般形式后，正确的是()

A.=x2-x+3B.y=x~_2x+3C.=x^-2xD.y=x?+2x

【答案】D

【解答】解：y=x(x-1)+3x=x2+2x,即y=N+2x.

故选：D.

【变式3-2］把二次函数y=-(x+3)2+11变成一般式是()

A.y=-x2+20B.y--x2+2

C.y=-x2+6x+2QD.y=-x--6x+2

【答案】D

【解答】解：y—~(x+3)2+11=-x2-6x-9+11=-x2-6x+2.

故选：D.

【变式3-3］把二次函数y=-（x+3）Cx+4）+11变成一般形式后，其二次项系

数和一次项系数分别为（）

A.-1>-1B.-1>1C.-1,7D.-1,-7

【答案】D

【解答】解：y=-(x+3)(x+4)+11

=-(x2+7x+12)+11

=-x2-7x-12+11

=-x2-7x-1,

故二次项系数和一次项系数分别为：-1,-7.

故选：D.

【变式3-4】二次函数的一般形式为（）

A.y=ax2+bx+cB.y=ax?+Zzx+cCaW0)

C.y=ax2+bx+c(按-4acN0)D.y=ax2+bx+c(抉-4ac=0)

【答案】B

【解答】解：根据一元二次方程的一般形式的概念知，应为y=ax2+bx+c（«

WO,a、b、c为常数），

故选：B.

【变式3-5］把抛物线＞=（x-1）2+1化成一般式是v=》2-2X+2

【答案】y=x2-2x+2.

【解答】解：y—(x-1)2+1=x2-2x+l+l=x2-2x+2.

故答案为：y^x2-2x+2.

【变式3-6]把>>=(3x-2)(x+3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的

和为1.

【答案】1.

【解答】解：y=(3x-2)(x+3)

=3N+7X-6,

其中一次项系数为7,常数项为-6,

.••一次项系数与常数项的和为：7+(-6)=1,

故答案为：1.

【变式3-7](2022春•肇东市期末)已知二次函数y=l-5x+3N,则二次项系

数。=,一次项系数6=，常数项c=.

【答案】3--5,1

【解答】解：二次函数y=l-5x+3N,则二次项系数。=3,一次项系数6=-

5,常数项c=l,

故答案为：3,-5,1.

【变式3-8](2022秋•新昌县期末)若二次函数>=(2x7)2+1的二次项系

数为一次项系数为上常数项为c,则岳-4ac0(填写“〉”或

“<”或"=”)

【答案】<

【解答】解：Vj=(2x7)2+1,

••d~-4tb-4,c=2,

：.b2-4ac=l6-4X4X2=-16<0,

故答案为<.

【题型4根据实际问题列二次函数-销售问题】

【典例4】某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元，

销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上

涨1元，每天销量减少10个.现商家决定提价销售，设每天销售量为〉个,

销售单价为x元(x>44),商家每天销售纪念品获得的利润收元，则下列等

式正确的是()

A.j=10x+740B.y=lOx-140

C.w=(-10x+700)(x-40)D.w=(-10x+740)(x-40)

【答案】D

【解答】解：当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨

1元，每天销量减少10个，

，销售单价为x元时，每天的销售量y=300-10(x-44),商家每天销售纪

念品获得的利润w=(x-40)y,

•\y=-10x+740,(-10x+740)(x-40).

故选：D.

【变式4-1】某商品现在的售价为每件60元，每星期可销售300件.商场为了清

库存，决定让利销售，已知每降价1元，每星期可多销售20件，那么每星期

的销售额W(元)与降价x(元)的函数关系为()

A.W=(60+x)(300+20x)B.W=(60-x)(300+20%)

C.W=(60+x)(300-20x)D.W=(60-x)(300-20x)

【答案】B

【解答】解：依题意，每星期的销售额W(元)与降价x(元)的函数关系为

W=(60-x)(300+20x),

故选：B.

【变式4-2】“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销

某一品牌的电子产品(这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进

行结算，未售出的由厂家负责处理).销售中发现每件售价99元时，日销售

量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件.已知每

售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品

售价为x(元)，主播每天的利润为w(元)，则w与x之间的函数解析式为

()

A.w=(99-x)[200+10(x-50)]

B.w=(x-50)[200+10(99-x)]

C.w=(x-50)(200+x-99X1Q)

5

D.w=(x-50)(200+-^^-X10)

5

【答案】D

【解答】解：设每件电子产品售价为x(元)，主播每天的利润为w(元)，

则每件盈利(x-50)元，每天可销售(200+毁NX10)件，

5

根据题意得：w=(x-50)(200+毁Xx10),

5

故选：D.

【变式4-312022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会

的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品.某商家以每套34元的价

格购进一批冰墩墩和雪容融套件.若该产品每套的售价是48元时，每天可售

出200套；若每套售价每提高2元，则每天少卖4套.设冰墩墩和雪容融套

件每套售价定为x元时，则该商品每天销售套件所获利润w与x之间的函数

关系式为()

A.w=(200+2^1x4)(x-48)

2

B.w=(200-^1x4)(x-48)

2

C.w=(200-2^211x4)(x-34)

2

D.w=(200+^^-X4)(x-48)

2

【答案】C

【解答】解：设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，则该商品每天销售

套件所获利润及与x之间的函数关系式为：

w=(200-^^-X4)(x-34).

2

故选：C.

【变式4-41某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200

件.如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于

72元)，设每件商品的售价上涨x元(x为整数)，每个月的销售利润为y

元，那么y与x的函数关系式是y=-10x2+与Ox+2函0(0WxW12).

【答案】y=-10x2+100.r+2000(0<x〈12).

【解答】解：每件商品的售价上涨x元，则每件的利润为60-50+*=(10+.r)

元，每月销售量减少10x件，

根据题意可得，

y=（10+x）（200-10.r）

=-10x2+100x+2000,

•••每件售价不能高于72元，

与x的函数关系式是.y=-10X2+100"2000（0<xW12）.

故答案为：y=-10x2+100x+2000（0WxW12）.

【变式4-5】某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与

日销售量y（件）之间的关系如下表.

X（元/件）15182022•••

.V（件）250220200180・・・

按照这样的规律可得，日销售利润卬（元）与销售单价x（元/件）之间的函数

关系式是w=-10./+500K-4000.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：由图表中数据得出y与x是一次函数关系，设解析式为：y=

kx+b,

则［15k+b=250,

[18k+b=220

解得：fk=-10

lb=400

与x之间的函数关系式为：y=-lOx+400；

故日销售利润卬（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：

w=（x-10）v

=（x-10）（-10x+400）

=-10/+500.「4000.

故答案为：w=-10x2+500.v-4000.

【变式4-6］（2022春•西湖区校级月考）某商品的进价为每件40元，如果售价

为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每

件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再

涨价，则每涨1元每月少卖3件.设每件商品的售价x元（x为整数），每个

月的销售量为y元.

(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

(2)设每月的销售利润为万，请直接写出印与x的函数关系式.

【解答】解：(1)当50<x<80时，y=210-(x-50),即y=260-x,

当80Vx<140时，y=210-(80-50)-3(x-80),即y=420-3x.

<=260-x(50<x<80)

=420-3x(80<x<140):

(2)由题意可得，

W=-x2+300x-10400(50«80),

W=-3x2+540x-16800(80<x<140).

【题型5根据实际问题列二次函数-面积类】

【典例5】将一根长为50c7〃的铁丝弯成一个长方形(铁丝全部用完且无损耗)

如图所示，设这个长方形的一边长为x(cm),它的面积为y(5户)，则y

与x之间的函数关系式为(

A.y=-x2+50xB.v=x2-50x

C.y=-Ax2+25.rD.尸-2x2+25

2

【答案】C

【解答】解：设这个长方形的一边长为x3"则另一边长为/5…)

an,根据题意可得：

V=—(50-x)*x=-工/+25X.

22

故选：C.

【变式5-1］长方形的周长为24c7〃，其中一边长为xc7〃(其中x>0),面积为

则这样的长方形中y与x的关系可以写为()

A.y=x2B.y=12-x2C.y=(12-x)*xD.y=2(12-x)

【答案】C

【解答】解：•.•长方形的周长为24c其中一边为x(其中x>0)，

长方形的另一边长为12-x,

.,.y=(12-x)*x.

故选：C.

【变式5-2]长方形的长为10c〃/、宽为6c加，它的各边都减少xa〃，得到的新长

方形的周长为"加，则.V与x之间的关系式是()

A.y=32-4x(0<x<6)B.y=32-4x(0WxW6)

C.y=(10-x)(6-x)(0<x<6)D._y=(10-x)(6-x)(0<x<6)

【答案】A

【解答】解：•.•长方形的长为10.〃、宽为6c加，它的各边都减少得到

的新长方形的周长为"7〃，

与x之间的关系式是：y=2[(10-x)+(6-x)]=32-4.x(0<x<

6).

故选：A.

【变式5-3】如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其

余各面用木材围成栅栏，该农场计划用木材围成总长24加的栅栏，设面积为s

。〃2),垂直于墙的一边长为*in).则s关于x的函数关系式：s=-4>+24x

(0VxV6)(并写出自变量的取值范围)

【答案】见试题解答内容

【解答】解：根据题意可知，三间羊圈与旧墙平行的一边的总长为(24-

4x),

贝!J：5=(24-4x)x=-4x2+24.x

由图可知：24-4%>0,x>0,

所以x的取值范围是0VxV6,

故答案为：5=-4X2+24X(0<X<6).

【变式5-4】如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度。

为10米)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为便于进出，开了3道宽

为1米的门.设花圃的宽N5为x米，面积为S平方米，则S与x的之间的函

数表达式为S=-3/+24一自变量x的取值范围为一野E

【答案】S=-3x2+24x,JAWXV6.

3

【解答】解：设花圃的宽48为x米，面积为S平方米，

则S与x的之间的函数表达式为：S=（21-3x+3）x=-3x2+24*

x>1

21-3x+3>2

由题意可得：

21-3x+3<10,

,x<21-3x+3

解得：H〈xV6.

3

故答案为：S=-3x2+24x,

3

【变式5-5】如图，某农场要盖一排三间同样大小的长方形的羊圈，打算一面利

用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，栅栏的总长为24〃?，设羊圈的总面积为S

（〃户），垂直于墙的一边长为x（〃?），则S关于x的函数关系式为S=-

4/+24X.（不必写出自变量的取值范围）

【答案】S=-4x2+24x.

【解答】解：根据题意可知，三间羊圈与旧墙平行的一边的总长为（24-

4x）,

贝！J：S=（24-4x）x=-4x2+24x,

故答案为：S=~4x2H-24x.

【变式5・6】有一长方形纸片，长、宽分别为8c7〃和6。〃，现在长宽上分别剪

去宽为xcm（x<6）的纸条（如图），则剩余部分（图中阴影部分）的面积y

=x2-14x+48，其中x是自变量，V是因变量.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：•.•剩余部分是一个长方形，

而长方形面积=长又宽，

(6-x)(8-X)=x2-14x+48»

y因x的变化而变化，

是自变量，y是因变量.

故答案为：x2-14x+48,x,y.

【题型6根据实际问题列二次函数-几何类】

【典例6］如图，在△NBC中，Z5=90°,45=12,3c=24,动点尸从点/

开始沿边向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点。从点B开始

沿边3C以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，如果点尸、。分别从点

/、3同时出发，那么△尸50的面积S随出发时间，(s)如何变化？写出函数

关系式及/的取值范围.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：△尸5。的面积S随出发时间，(s)成二次函数关系变化，

•.•在△4SC中，NB=90°,45=12,BC=24,动点尸从点N开始沿边48

向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，

动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，

：.BP=n-2t,BQ=4t,

...△尸50的面积S随出发时间/(s)的解析式为：S=A(12-2?)X4/=-

4r2+243(0</<6).

【变式6-1］如图，已知等腰直角三角形48c的直角边长与正方形肋花。的边

长均为20c"/,/。与在同一条直线上，开始时点/与点N重合，让人45。

以2c7〃/s的速度向左运动，最终点/与点V重合，求重叠部分的面积产7〃2与

时间/s之间的函数关系式.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：△ABC是等腰直角三角形，

，重叠部分也是等腰直角三角形，

又,：AN=2t,

：.AM=MN-AN=2Q-2t,

：.MH=AM=20-It,

，重叠部分的面积为v=—