2025年高考数学复习大题题型归纳：数列的证明和通项公式的四种求法（原卷）

第02讲数列的证明和通项公式的四种求法

考法呈现

考法四：累乘法求数列的通项公式

考法五:已知Sn求数列的通项公式

考法六:构造法求数列的通项公式

弘考法一：等差、等比数列基本量的运算

例题分析

【例1】已知｛册｝为正项等差数列，｛%｝为正项等比数列，其中。2=3,/=的，且。2，。3+1，。5+3成等

比数列,bi+b2+b3=13.

求｛册｝，｛4｝的通项公式;

满分秘籍

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在等差数列五个基本量药，d,n,an,£中，已知其中三个量，可以根据已知

条件结合等差数列的通项公式、前n项和公式列出关于基本量的方程（组）来求余下

的两个量，计算时须注意等差数列性质、整体代换及方程思想的应用.

等比数列中有五个量为，n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”，通过列方程

求关键量药和q,问题可迎刃而解.

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窗变式训练

【变式1-1］已知数列｛an｝是等差数列，其前n和为Sn,a3+a9=12,S9=45,数列｛%｝满足的瓦+a2b2+•••+

a也=*271-1廿+1+*

(1)求数列｛册｝,｛以｝的通项公式;

【变式1-2］已知数列｛an｝是等差数列，｛%｝是各项均为正数的等比数列，数列｛%｝的前〃项和为Sn，且的=

瓦=1,奥=62+1，。4=

⑴求数列｛%｝,｛bn｝的通项公式;

【变式1-3］已知正项等比数列5｝的前n项和为Sn，且S3=孑画-=£等差数列也｝满足匕7+瓦2=12+

68,a2bl=1.

(1)求数列｛册｝,仍九｝的通项公式；

【变式1-4］已知等差数列｛册｝满足=4,2a4—。5=7,等比数列｛%｝满足坛=4,%+h=8血+b2~).

(1)求｛%｝与｛刈｝的通项公式；

【变式1-5】已知等差数列｛%｝满足O+l)an=»—8/i+K数列｛bj是以1为首项，公比为3的等比数歹！J.

(1)求0n和%;

【变式1-6］已知｛&J是等差数列，的=1，d40,且内，a2,。4成等比数列•

求数列｛册｝的通项公式；

我考法二：等差、等比数列的证明

&例题分析

【例2】已知等比数列｛册｝的公比q<l,。4=1,且由，。3的等差中项等于羡

(1)求｛册｝的通项公式；

(2)设“=log20ns证明：数列｛6n｝为等差数列.

满分秘籍

证明等差数列的常用方法：(1)定义法：证明对任意正整数A都有

a〃+i—a0等于同一个常数；(2)等差中项法：证明对任意正整数A都有

22+1=2+为+2；(3)通项公式法：得出a〃=w+g(p,g是常数)；(4)

前〃项和公式法：得出£=2"+劭(46是常数).

等比数列的四种常用判定方法

(1)定义法：若盟1=q(g为非零常数，AWN*)或反=(?(。为非零常数

anan-l

且A22,AGN*),则｛aj是等比数列；(2)中项公式法：若数列｛当｝中，

且用+i=a〃・a〃+2(/7eN*),贝！H%｝是等比数列；(3)通项公式法：

若数列｛当｝的通项公式可写成名=c・/.Ye,4均是不为0的常数，n

GN*),贝！Haj是等比数列；(4)前n项和公式法：若数列｛aj的前A项

和£=A・HA为常数且20,。=0,1),贝|｛aj是等比数列。

1变式训练

【变式2-1］已知正项等比数列｛an｝和数列｛%｝,满足logz^是名和6n的等差中项，(neN*).

(1)证明：数列｛%｝是等差数列，

【变式2-2］设数列｛册｝的前兀项和为Sn，且即与一4n的等差中项为Sn—册.

(1)证明:数列｛斯+2｝是等比数列；

【变式2-3］已知数列｛册｝的前n项和为Sn,且满足的=1,^S.+i是3与4an的等差中项.

(1)设“=an+1-2an,证明数列｛%｝是等比数列；

【变式2-4】已知正项数列｛时｝满足的=1，a2=2,且对任意的正整数止1+屋+i是成和a"2的等差中项.

⑴证明：｛成+1-碎｝是等差数列，并求｛%J的通项公式；

【变式2-51已知数歹我册｝的前n项和为Sn，|sn=an-2^.

⑴证明：｛禽｝是等差数列;

n+2

【变式2-6］已知｛%｝数列满足的=3,3an+1-90n=3.

(1)证明：数列｛$｝为等差数列；

弘考法三：累加法求数列的通项公式

百函例题分析

【例3】数列｛“｝满足即+2-4%+i+3an=0,且的=8,a?=2,求通项an.

满分秘籍

当出现a〃=aLi+f(A)时，一般用累加法求通项.

变式训练

【变式3-1］已知数列｛册｝满足册+i=3册+2•3九+1,%=3,求数列｛册｝的通项公式.

【变式3-2］已知数列｛an｝各项均为正数，的=式an+1>an,且册+2+册=。2,册+i(九CN*).

(1)若数列｛册+1-斯｝为等差数列，求数列｛册｝的前n项和％;

(2)若数列｛册+1-2即｝为等比数列，且数列｛册｝不为等比数列，求数列｛斯｝的通项公式.

【变式3-3］数列｛斯｝中，0n+i=2"】+?'。1=2,求｛an｝的通项.

然考法四：累乘法求数列的通项公式

&例题分析

【例4】已知数列｛an｝的前几项和为Sn,且臼=1,震｝是公差为2的等差数列.

(1)求｛册｝的通项公式;

⑵求S®

满分秘籍

当出现三=〃力时，一般用累乘法求通项.

an-\

变式训练

【变式4-1］已知数列｛an｝,Sn为数列｛an｝的前n项和,且满足臼=1,3Sn=(n+2)an.

(1)求｛an｝的通项公式；

【变式4-2］在数列｛册｝中，a1=l,-^=f^7（n>2）,求0n.

Z7T十_L

【变式4-3］已知数列｛册｝中，ai=l,an+1=^(neN*).

(1)求数列｛册｝的通项公式;

弘考法五：已知Sn求数列的通项公式

例题分析

【例5】已知数列｛%｝的前"项和为%，且%=2与-2.

(1)求｛%｝的通项公式；

满分秘籍

通过Sn求an.已知数列｛an｝前n项和Sn.

贝！I当n=l时a尸Si

n22时an=Sn-S(n-1)

变式训练

【变式5-1］设数列｛册｝的前n项和为S”，且满足=2an-l(neN*).

(1)求数列5｝的通项公式；

【变式5-2］设正项数列｛%｝的前ri项和为Sn,成+2an=4Sn-l(neN*).

(1)求数列｛%｝的通项公式；

【变式5-3］已知数列｛禺｝的前n项和Sn=个,neN*.

(1)求数列｛%｝的通项公式;

(2)证明：对任意几＞1,都有m€N*,使得。〜。山口也成等比数歹!J.

【变式5-4］已知外是数列｛册｝的前几项和，=2,5九—。九+i+1.

(1)求数列｛a“｝的通项公式；

弘考法六：构造法求数列的通项公式

息.例题分析

【例6】已知：的=L?1之2时，an=1an_1+2n—1,求｛an｝的通项公式.

满分秘籍

构造法的常见类型一般有：①当+l=。a；2+。(pWO,LqWO,其中ai=a),

②%+i=p%+效+c(pW0,1,qWO)；③2+i=p多+/(pW0,1,qWO,1).

构造法的构造方法：①形如当+i=aa〃+£(aWO,1,£#0)的递推式可用

构造法求通项，构造法的基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性

质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差数

列或等比数列.

②递推公式当+i=aa〃+£的推广式当+i=aa〃+£义7"(aWO,1,£#0,

/NO,1),两边同时除以广+1后得到一匕=,a+£,转化为小+I=44+£(3"

YyynyY,、

l#o,D的::通过构造公比是4的等比数列I"二求解.

变式训练

【变式训练6.1】已知数列｛an｝中，的=1,即+i=c-工.设c=\,垢求数列初九｝的通项公式.

CLnLdn-Z

【变式训练6-2］已知数列｛斯｝的前几项和为%,的=1,On+1=Aan+4(2为常数).

(1)若2=3,求｛a九｝的通项公式；

【变式训练6-3］已知数列｛册｝满足的=3,a2=6,an+2=2an+1+3an,求0n

真题专练

1记分为数列｛册｝的前律项和，已知S”2n的等差中项为“.

(1)求证｛演+2｝为等比数列;

2.记5n为数列｛aj的前n项和，已知S“=(an-n)(n+1).

⑴求数列也"的通项公式;

3.已知各项均为正数的数列&｝满足2疯=即+1,其中又是数列｛an｝的前〃项和.

(1)求数列｛册｝的通项公式；

4.已知数列｛an｝和｛九｝,%=2,金--=1,0n+i=2b»

bn即

⑴求证数歹哈-1｝是等比数列；

5.设数列｛册｝的前n项和为端,已知的=1,且数列｛3-驾是公比为?的等比数歹U.

⑴求数列｛%｝的通项公式;

6.已知数列｛册｝的前〃项和为Sn,且2s九=3斯一1.

(1)求｛。九｝的通项公式；

7.已知正项数列｛斯｝的前ri项和为又，满足册=2店-1.

⑴求数列｛册｝的通项公式；

8.在等比数列｛册｝中，a7=8a4,且;4，。3-4,%-12成等差数歹！J.

(1)求｛册｝的通项公式;

9.已知数列｛时｝的前n项和为%,Sn=q(n+2)an,且的=1.

(1)求证：数列｛第［是等差数列;

10.已知数列｛册｝的前n项和为S”，且满足Sn=2an-2,数列｛f｝是首项为1,公差为2的等差数列.

(1)分别求出数列｛an｝,｛九｝的通项公式；

11.在等差数列｛册｝中，a2=4,其前n项和Sn满足Sn=/+eR).

(1)求实数入的值，并求数列｛&J的通项公式；

12.已知公差为正数的等差数列｛an｝的前n项和为Sn，a2=3,且。1，a3,2&6+3成等比数列.

(1)求0n和%.

13.已知数列｛册｝的前n项和为Sn,满足5„=|即—1.

⑴求数列5｝的通项公式;

14.已知各项为正数的数列｛%｝的前n项和为Sn，