数学（天津卷2）-2024年高考押题预测卷

2024年高考押题预测卷02【天津卷】

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答

案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合"={X€^^|x45},N={1,2,4},8={0,3,4},贝1]/口（。3）=（）

A.{2,4}B.{2,5}C.{1,2}D.{0,2,4）

2.设xeR,则“l<x<2”是“f_2x-3<0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

cinx

3.函数/■（对=一7的部分图像大致为（）

|x|+l

4.政府为了了解疫情当下老百姓对防控物资方面的月花费情况，抽取了一个容量为〃的样

本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[40,50）的有54人，则〃的值为（）

试卷第1页，共4页

频率

A.100B.150C.90D.900

5.已知Q=V^，=1°§37,c=In27则Q,b,。的大小关系为（)

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

6.^log74=a,log73=6,则log4936=

111717

A.—ci—bB.—7匕+QC.—a+bD.-b-a

2222

22

7.已知双曲线十方=l（a>0,6>0）的左顶点与抛物线V=2px（p>0）的焦点的距离为4,

且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2,1）,则双曲线的方程为（）

A/九122x2D-"1

B.土-匕=1Cr.「2=1

36932

8.“迪拜世博会”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华

夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明.它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某

爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为6cm,外层底面直径为

8cm,且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为10cm的球面上.此模型的体积为（）

9.关于函数f（x）=sin|x|+卜inx|有下述四个结论:

①/（X）是偶函数；②〃X）在区间停兀）上单调递增；③/（X）的最大值为2；④/（X）在

[-&兀]有4个零点.

其中所有正确结论的编号是（）

试卷第2页，共4页

A.①②④B.②④C.①④D.①③

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.

10.已知i是虚数单位，计算：岩=.

11.13-工]的展开式共有8项，则常数项为.

12.直线/：=0被圆C：/+/一4》+6>-3=0截得的弦长为4a,则仅的值

为.

13.某城市的电力供应由1号和2号两个负荷相同的核电机组并联提供.当一个机组发生故

4

障时，另一机组能在这段时间内满足城市全部供电需求的概率为已知每个机组发生故障

的概率均为，，且相互独立，则机组发生故障的概率是.如果机组发生故障，那么供

电能满足城市需求的概率是.

14.如图，A,3是OC上两点，若弦的长度为2,则方.就=,若向量次在向

量/C上的投影向量为:/c,则方与就的夹角为.

V

15.已知函数/(x)=~—,若关于x的方程"■(x)]~+@r(x)+aT=O，有且仅有三个不同的

In|x

实数解，则实数。的取值范围是.

三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

16.在。2c的内角4瓦。所对边的长分别是4c,已知q=4,c=2j^,cos/=-Y2.

4

⑴求6的值；

⑵求sinC的值；

⑶求cos12N+]]的值.

17.如图所示，在三棱柱中，侧面N2CD和斯都是边长为2的正方形，平

面N8CA工平面ADER点G、M分别是线段8尸的中点.

试卷第3页，共4页

⑴求证：/M//平面8EG；

(2)求直线DM与平面BEG所成角的正弦值；

⑶求平面BEG与平面ABCD夹角的余弦值.

18.已知数列｛。“｝的前"项和S"=3"-l,其中〃©N*.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵若数列也｝满足4=1,bn=3bl+an｛n>2),求数列也｝的前〃项和7；；

⑶若存在“eN*,使得%W+成立，求实数彳的最小值.

22/T

19.已知椭圆C:a+方=1(“>6>0),其离心率为三，若耳，g分别为C的左、右焦点,

x轴上方一点尸在椭圆C上，且满足咫1■尸工，|所+对卜26.

(1)求C的方程及点尸的坐标；

⑵过点P的直线/交C于另一点0(点。在第三象限)，点M与点。关于X轴对称，直线

产初交x轴于点N,若APON的面积是AQW的面积的2倍，求直线/的方程.

20.已知函数/任卜⑪-,一⑺+中门苫M已尺

(1)若a=-2,求曲线V=/(x)在点处的切线方程；

(2)若且/(x)>l在区间-,e上恒成立，求。的取值范围；

e_

(3)若a>：,判断函数g(x)=x[〃x)+a+l]的零点的个数.

试卷第4页，共4页

1.c

【分析】根据交集与补集的定义求解.

【详解】•••U={xeN|无45}={0,1,2,3,4,5},

.•1/={1,2,5},.•./口(1；网={1，2}，

故选：C.

2.A

【分析】先解出不等式X2-2X-3<0,再判断充分性和必要性即可.

【详解】由于不等式/-2x-3<0的解集为{x[7<x<3},则1〈尤<2可推出-l<x<3,反

之不成立，

所以"l<x<2”是“》2_2》_3<0”的充分而不必要条件.

故选：A.

3.C

【分析】根据奇偶性及函数值的正负判断即可.

cinx

【详解】因为〃上加，定义域为R

sin(-x)sinx

所以/（一%）==_/(x)

卜司+1

所以/（幻为奇函数，且"0）=0,排除AB；

当xe（0,兀）时，sinx>0,BPf（x）>0,排除D

故选：C.

4.B

【分析】利用频率分布直方图求解.

【详解】解：因为支出在[40,50）内的有54人，

54

所以由频率分布直方图得：«=———=150,

0.036x10

故选：B

5.B

【分析】利用幕函数和对数函数的单调性判断.

3

【详解】解：因为2=圾<0=历<河=3,b=log37<log39=2,c=ln27>lne=3,

所以6<a<c，

答案第1页，共13页

故选：B.

6.C

【分析】根据对数的运算性质计算即可.

2

【详解】解：log4936=log726=log76=log72+log73=log74+log73^^a+b.

故选：C.

7.C

f+fl=4

【分析】根据题意，由/=2求解.

b__]_

a2

*4

【详解】解:由题意得:

b__]_

a2

a=2

解得”=4,

b=\

2

所以曲线的方程为3r-r=1,

故选：C

8.C

【分析】根据题意可求出内、外侧圆柱的高分别为用、鱼，底面半径为小々则模型的体积为

兀r；%+兀r；x（4-九）.

【详解】内层圆柱的底面半径4=3cm,外层圆柱底面半径弓=4cm,

内外层的底面圆周都在一个直径为10cm的球上，球的半径4=5cm,

如图，以内层圆柱为例，

答案第2页，共13页

,•,内层圆柱的底面圆周在球面上，

・•・球心。与内层圆柱的底面圆心的连线垂直于底面圆，

则±A0,,=用力=4cm,

根据球的对称性可得，内层圆柱的高为％=2x4=8cm,

同理可得，外层圆柱的高为〃2=2,5?-4?=6cm,

故此模型的体积为：兀+町2*(九一为)=96万+18万=114^(cm3).

故选：C.

9.D

【分析】对于①，将T替换X,判断/(f)=/(X)即可；对于②，由去掉绝对

值号，得出/'(x)=2sinx,判断即可；对于③，对于xNO,分xe[2fat,2E+7t)(左eN)、

jr

xe[2ht+7t,2kn+2n)(keN)和x=2E+万(左eN)三种情况去绝对号，同时结合偶函数做出

判断即可；对于④，分OWxW兀和一兀Wx<0分析，可得出有3个零点：-兀，0,久，判断

即可.

【详解】因"-x)=sinT+卜in(-x)|=sink|+|sinx|=f(x),则/(x)为偶函数,①正确；

当时，/(x)=2sinx,它在区间弓㈤单调递减，②错误；

当时，当工£[24兀,2Ml+兀)(左£N)时，f(x)=2sinx；

当x£[2kjt+71,2kn+2兀)(左£N)时，f(x)=0；

IT

贝U当x=2E+]/eN)时，/(x)max=2,

又〃x)是偶函数，如图所示:

答案第3页，共13页

-3兀5兀・2兀3兀・兀兀OTI兀3兀2兀5兀3兀

"T'T'22TT

所以/(X)的最大值为2,③正确；

当OVXVTI时，/(x)=2sinx,它有两个零点：0和兀，

当-7tVx<0时，/(x)=-2sinx,它有一个零点：-兀，

所以函数〃尤)在［-凡可有3个零点：-兀，0,兀，④错误；

所以所有正确结论的编号是①③.

故选：D.

【点睛】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三角

函数的性质是解决本题的关键，属于中档题.含有绝对值号的三角函数的图象与性质的判断

问题，其解题的思路是：(1)先判断函数的奇偶性；(2)再对自变量进行分情况讨论去绝对

号，构造分段函数形式；(3)对各个分段分析函数的图象与性质，根据题目要求各个击破.

47.

10.一一+—1

1313

【分析】由复数的除法法则计算.

…l+2i(l+2i)(2+3i)2+3i+4i+6i247.

2-3i(2-3i)(2+3i)131313

47

故答案为：i-

【分析】利用二项式的性质可求得〃，利用其通项公式即可求得"一的展开式中的常

数项.

【详解】•••(/的展开式共有〃+1项,

依题意得：〃+1=8,

设(丁-的展开式的通项为1+1,则乙=c;《-gy=c;•(-/子

由21-----=0得「=6,

2

答案第4页，共13页

7

的展开式中的常数项为4=C；•

64

.、7

故答案为：—.

12.1或9

【分析】根据圆的弦长公式计算即可.

【详解JX+_©+6>-3=0=>(x-2)2+(>+3>=16,

圆心C(2,-3),半径r=4,

|2+3-m|

圆心。到直线/的距离d

V2

贝112犷二*=4收，即16—尘筌=8,解得加=9或1.

故答案为：9或1.

72

13.—##0.19

10095

【分析】利用互斥事件和相互独立事件的概率公式计算机组发生故障的概率，再利用条件概

率公式计算作答.

【详解】设供电能满足城市需求为事件4机组发生故障为事件3,

1o414

贝IJ尸(8)=C；尸(45)=C；x—x—x—=——,所以

V7210105125

相加黯嚏・

1972

故答案为：丽；女

71

14.230°##-

6

【分析】(1)根据数量积的公式求解即可；

(2)根据投影向量的公式求解即可

【详解】(1)M•就=|方’就卜os/C42=|君卜；|布|=J罚(=2；

AB-ACAC3-I——q3I——H3I——d

(2)由题意，国^[=5仁故.4，COS/C4B=5.故cos/C4B=j/q,又

AB-AC=2,故园•困cos/C48=2,即2.同中阿=2,解得冈=手，故

答案第5页，共13页

cosZCAB=-x^-=—,所以/C48=30°

432

15.(-oo,l-e)

【分析】首先利用导函数求/(x)的单调性，作出函数的大致图象，将方程解得问题转换成交

点问题即可求解出答案.

Y1nJC—1

【详解】解：因为/(》)=贰，贝/立)=而彳，

当0<x<l或1cx<e时，f'(x)<0,

当x>e时，r(x)>0,

所以〃X)在(0,1)和(1,e)上单调递减，在(e,+8)上单调递增，

且当xfO时，/(e)=e,

故/(x)的大致图像如图所示：

关于x的方程[/(x)]2+妙'(x)+a-1=0等价于[/(x)+l][/(x)+a-l]=O,

即〃幻=一1或〃幻=1一。，

由图可得，方程〃x)=-l有且仅有一解，则〃x)=l-。有两解，

所以1-a>e,解得a<\-e,

故答案为：(-巴>e)

16.(1)2；

答案第6页，共13页

(2)，

4

⑶4

o

【分析】(1)根据余弦定理，结合已知条件，计算即可;

(2)利用正弦定理，结合已知条件，即可求得结果;

(3)根据cos/,sin/,结合余弦的和角公式和倍角公式，计算即可.

【详解】(1)因为Q=4,C=2后,COS/=-Y^,故由余弦定理cos%=里土《二《

42bc

可得一旦"+/6,即伍+4)(6-2)=0,解得6=-4(舍)或6=2.

44V26

(2)因为/£(0,万)，故sinZ>0,则sin/=Jl-cos?/=，

4

4_2A/2r-

由正弦定理，^二三，则而一击不，解得sinC=".

sinAsmC———4

4

(3)因为cos[24+=;cos2/sin24=；(2cos?4-1)-6sin/cos4

又sinZ=^^,cosZ=,

44

17.(1)证明见解析;

(2)I；

⑶李•

6

【分析】(1)由面面垂直的性质可得4F_L面48CD,再由面面垂直有4r_L48,结合已知

AF、AB、两两垂直，构建以/为原点，以冠,赤,赤的方向为x轴，y轴，z轴正方

向的空间直角坐标系，求面8EG的法向量蔡及)应，判断它们的位置关系，即可证结论.

(2)由(1)DM=(1,-2,1),应用空间向量夹角的坐标表示求DM与平面3EG所成角的正

弦值；

(3)由N=(0,0,2)是面的一个法向量，结合(1)所得面3EG的法向量工，应用空

答案第7页，共13页

间向量夹角的坐标表示求平面BEG与平面ABCD夹角的余弦值.

【详解】(1)由四边形NDE尸是正方形，则/尸_L/D,又面48CD1面ND£F,面48coe

面ADEF=AD,/尸u面ADEF,

所以N尸，面N3C。，而NBu面43C。，则/尸_L/3,又4BL4D,

所以斯、48、40两两垂直.

建立以/为原点，以方，而，通的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，

则40,0,0),5(2,0,0),C(2,2,0),Z>(0,2,0),£(0,2,2),川(0,0,2),G(0,l,0),

所以砺=(-2,2,2),BG=(-2,1,0),

n-BE=-2x+2y+2z=0一,口一

设"=(x,y,z)为面BEG的法向量，则万面=3+昨。，令Az=L可得—1)，

又为7=(1,0,1),则而i=o,所以而_LE,又平面BEG,

所以AM〃平面5EG.

(2)由(1)知：万必=(1,-2,1)且7=(-1,-2,1)为面5EG的法向量,

27

即直线与平面3EG所成角的正弦值为日

(3)由平面ABCD的一个法向量N=(0,0,2)且3=(-1,-2,1)为面BEG的法向量,

方.万V6即平面BEG与平面ABCD夹角的余弦值为四.

6

同网6

18.(l)a„=2-3"-'

答案第8页，共13页

(2)北=("1)3+1

(3)1

\S,n=l,、

【分析】(1)利用%=']_s〃>2来求得数列｛%｝的通项公式.

(2)利用凑配法构造等差数列来求得数列｛"｝的通项公式，利用分组求和法、错位相减求

和法求得1.

(3)由%«〃(〃+1)彳分离4,结合差比较法来求得几的最小值.

【详解】(1)当力=1时，ax=Sx=2,

当”22时，S"=3:1,S,T=3"T-1,

两式相减并化简得g=2-3"T(心2),

当〃=1时，上式也符合，

所以%=23一.

(2)数列｛"｝满足乙=1,bn=34T+a„=34T+2•3”一(«>2),

则4=生+2,^-^=-(«>2),

3"3"T33"3、'

所以数列是首项为a=；，公差为；的等差数列，

所以D；，

所以6,,=y3"-3"T,

设数列｛%｝满足c“=〃-3”,且前〃项和为““，

1?23B+1

Mn=l-3+2-3+---+H-3",3Af„=1-3+2-3+---+«-3,

两式相减得一2%=9+3?+…+3"-〃•3向=-I").3向=(1-2〃卜3’用-3,

1-32

所以M=(2"』3%3."7.

〃444

设数列｛4,｝满足d“=3"、则｛4,｝的前"项和N,=匕h=土」=L3"-，，

1—3222

答案第9页，共13页

所以4=：%一乂=『2〃-1印

.3用+11=(n-l)-3"+l.

422

（3）依题意,存在〃eN*,使得雄+成立,

2.3"--i2・3〃T

2-y-l<n可，则只需求的最小值.

n[n+矶〃+1)

/2、.3,"、厘=23口31

(几+1)(〃+2)H(H+1)

1

=23一•

〃+1

=2-3"-''

4n(w+2)—3H(W+1)—(«+1)(«+2)

=2-3"，

=4・3"T------2/7-2-----

NO,

2・3"T2

当力=1或〃=2时,取得最小值为万”

«(«+1)

所以彳的最小值为1.

19.(1)^+^=1；P(O,V3)

(2)如-2y+2百=0

【分析】（1）根据数量积的性质，因为两，尸玛，所以西.班=0,因为

|对+班卜26，则|对「+|尸乙「=|耳月『=花=12,可得到c的值，在根据离心率的定义,

可得到。的值，进而得到最后答案；再根据椭圆的定义以及向量的等式，可得到尸耳，尸耳的

长度，进而得到点尸的值；

（2）根据题意，设出直线方程，联立方程，求点的坐标，然后根据三角形的面积关系，列

方程即可求解结果.

【详解】（1）因为理，尸月，所以珂•用=0,且归与（+|尸局耳用二

又西+呷=2。所以西。+2西.成+成a=12,

答案第10页，共13页

即对?+逐2=12,即|所朋『二|百月『=4°2=12,所以c=G，

222

又禺心率？=£=4^,所以a=V^,c=a—bJ所以b=g\

a2

所以椭圆方程为

05

••・西?+丽2=12,又•.•冏+|%=2a=2指，

』西卜|成卜庭,...尸点的坐标为(0,月).

(2)依题意直线/的斜率存在，设直线/的方程为了=履+6，

y=kx+y/3

解得x=°或、=需

由＜*/消去y整理（2/+1）/+4%=0,

--F——=1

163

「4限g-2限1

所以0点坐标为Jk2+l，2k2+\j

所以直线PM的方程为_V=彳尸+班,

因为△尸0N的面积是A0MV的面积的2倍，点。在第三象限，

所以SgQM=SXQMN，

即*^=，x(-2限)，解得左=侦(舍负)，

所以满足条件的直线/的方程为y=乎x+6,

即：屈-2y+2g=0.

20.(1)＞=-3；(2)。＞2；(3)当。＞工时，函数g(x)恰有1个零点.

e

【分析】(1)当a=-2时，对/(x)求导，求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；

(2)若且〃x)＞l在区间/,e］上恒成立，即：/(x)在d，e］上的最小值大于1；利

ee

用导数求判断函数〃x)的最小值.

(3)分类讨论判断g'(x)的单调性与函数的最小值，从而验证g(x)在区间(0,+s)上单调递

答案第11页，共13页

增.再构造新函数"(a)=e%_(21na+6),证明4.)>0,进而判断函数g(x)是否穿过X轴即

可.

【详解】解：(1)若。=-2,则/(x)=-2x-L+lnx,/(1)=-3

X

所以7•'(》)=T2x+?(xl),所以/，⑴=0,所以切线方程为尸_3

X

(2)依题意，在区间-,e±>1-

e

因为-尤)=&一(。讨卜+1=("1)产1),磋1.

X2X2

令/'(x)=0得，尤=1或x=L.

a

若。次，则由/'(x)>0得，l<x(e；由/'(x)<0得，！令<1.

e

所以满足条件；

若l<a<e,则由/''(x)>0得，［或l<xWe；由/''(x)<0得，-<x<l.

eaa

，/(x)加