2023-2024学年9上数学期末考点（北师大版）专题02 一元二次方程（考点清单）解析版

专题02一元二次方程（考点清单）【考点1】一元二次方程的定义．【考点2】一元二次方程的一般形式．【考点3】一元二次方程的解．【考点4】解一元二次方程【考点5】一元二方程的判别式【考点6】根与系数的关系；【考点7】一元二次方程的应用【考点1】一元二次方程的定义．1．（2022秋•新余期末）下列方程为一元二次方程的是（）A．x﹣1＝3 B．x+y＝5 C．x2+2x﹣2＝0 D．【答案】C【解答】解：A、未知数的最高次数为1，不符合题意；B、含有两个未知数，不符合题意；C、为整式方程，只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2，是一元二次方程，符合题意；D、不是整式方程，不符合题意；故选：C．2．（2023春•肇东市期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（）A．x﹣1＝0 B．x3+x＝3 C．x2+3x﹣5＝0 D．ax2+bx+c＝0【答案】C【解答】解：A、不是一元二次方程，故此选项错误；B、不是一元二次方程，故此选项错误；C、是一元二次方程，故此选项正确；D、a＝0时，不是一元二次方程，故此选项错误；故选：C．3．（2022秋•平昌县校级期末）若方程（m﹣2）x|m|﹣2x＝3是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．不存在【答案】B【解答】解：∵方程（m﹣2）x|m|﹣2x＝3是关于x的一元二次方程，∴|m|＝2，且m﹣2≠0．解得m＝﹣2．故选：B．【考点2】一元二次方程的一般形式．4．（2022秋•广平县期末）下列一元二次方程中，一次项系数为3的是（）A．2x2+3x﹣1＝0 B．x2+3＝0 C．2x2﹣3x﹣1＝0 D．3x2+2x﹣1＝0【答案】A【解答】解：A、2x2+3x﹣1＝0的一次项系数是3，故此选项符合题意；B、x2+3＝0的一次项系数是0，故此选项不符合题意；C、2x2﹣3x﹣1＝0的一次项系数是﹣3，故此选项不符合题意；D、3x2+2x﹣1＝0的一次项系数是2，故此选项不符合题意．故选：A．5．（2022秋•抚州期末）将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（）A．x2﹣2x+5＝0 B．x2﹣2x﹣5＝0 C．x2+2x﹣5＝0 D．x2+2x+5＝0【答案】B【解答】解：（x﹣1）2＝6，x2﹣2x+1﹣6＝0，x2﹣2x﹣5＝0，即将方程（x﹣1）2＝6化成一般形式为x2﹣2x﹣5＝0，故选：B．6．（2022秋•永定区期末）方程x（2x﹣3）＝2x+10化为一元二次方程的一般形式是（）A．2x2﹣5x＝10 B．2x2﹣5x﹣10＝0 C．2x2﹣x﹣10＝0 D．【答案】B【解答】解：x（2x﹣3）＝2x+10，2x2﹣3x﹣2x﹣10＝0，2x2﹣5x﹣10＝0．故选：B．7．（2023春•岳麓区校级期末）一元二次方程x2﹣4x＝5的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A．1，4，5 B．0，﹣4，﹣5 C．1，﹣4，5 D．1，﹣4，﹣5【答案】D【解答】解：一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别为1，﹣4，﹣5，故D正确．故选：D．【考点3】一元二次方程的解．8．（2023春•长沙期末）一元二次方程x2+mx＝2的一个根为2，则m的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【答案】C【解答】解：把x＝2代入方程x2+mx＝2得22+2m＝2，解得m＝﹣1．故选：C．9．（2023春•岚山区期末）若x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+5＝0的一个根，则m的值是（）A．2 B．﹣2 C． D．【答案】C【解答】解：将x＝2代入方程x2﹣mx+5＝0，得4﹣2m+5＝0，解得：m＝．故选：C．10．（2023春•南关区校级期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0的一个解是x＝1，则代数式2023﹣a﹣b的值为（）A．﹣2021 B．2021 C．﹣2025 D．2025【答案】D【解答】解：由题意知，a+b+2＝0，∴a+b＝﹣2，∴2023﹣a﹣b＝2023﹣（a+b）＝2023﹣（﹣2）＝2025．故选：D．【考点4】解一元二次方程11．（2023春•蜀山区期末）用配方法解方程x2+4x﹣3＝0，配方后的方程可以是（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝7 D．（x+2）2＝7【答案】D【解答】解：x2+4x﹣3＝0，x2+4x＝3，x2+4x+4＝3+4，（x+2）2＝7，故选：D．12．（2022秋•平泉市期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是（）A．只有甲 B．甲和乙 C．甲和丙 D．丙和丁【答案】C【解答】解：x2+2x﹣3＝0，x2+2x+1＝3+1，（x+1）2＝4，x+1＝±2，x+1＝2或x+1＝﹣2，x1＝1，x2＝﹣3，∴接力中，自己负责的一步出现错误的是甲和丙，故选：C．13．（2022秋•漳州期末）解方程：x2+2x﹣1＝0．【答案】见试题解答内容【解答】解：方程变形得：x2+2x＝1，配方得：x2+2x+1＝2，即（x+1）2＝2，开方得：x+1＝±，解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．14．（2022秋•通道县期末）解方程：（1）（3x﹣1）2﹣25＝0（2）x2﹣2x﹣6＝0【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵（3x﹣1）2﹣25＝0，∴（3x﹣1）2＝25，则3x﹣1＝±5，解得：x1＝2，x2＝﹣；（2）∵x2﹣2x﹣6＝0，∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣6，则△＝4﹣4×1×（﹣6）＝28＞0，∴x＝＝1±，即x1＝1+，x2＝1﹣．15．（2022秋•京口区校级期末）解下列方程：（1）3（x﹣1）2﹣12＝0；（2）2x2﹣4x﹣7＝0．【答案】（1）x1＝3，x2＝﹣1；（2）x1＝1+，x2＝1﹣．【解答】解：（1）3（x﹣1）2﹣12＝0，（x﹣1）2＝4，x﹣1＝±2，所以x1＝3，x2＝﹣1；（2）2x2﹣4x﹣7＝0，x2﹣2x＝，x2﹣2x+1＝，（x﹣1）2＝，x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1﹣．16．（2022秋•无锡期末）解方程：（1）（x﹣1）2﹣25＝0；（2）x2﹣4x﹣1＝0．【答案】（1）x1＝6，x2＝﹣4；（2），．【解答】解：（1）由原方程得：（x﹣1）2＝25，得x﹣1＝±5，解得x1＝6，x2＝﹣4，所以，原方程的解为x1＝6，x2＝﹣4；（2）由原方程得：x2﹣4x＝1，得x2﹣4x+4＝1+4，（x﹣2）2＝5，得，解得，，所以，原方程的解为，．17．（2022秋•铁西区期末）解方程：3x2﹣3x﹣1＝0．【答案】，．【解答】解：3x2﹣3x﹣1＝0，这里a＝3，b＝﹣3，c＝﹣1，∵b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×3×（﹣1）＝21＞0，∴x＝＝，∴，．【考点5】一元二方程的判别式18．（2022秋•越秀区期末）不解方程，判断方程2x2﹣6x＝7的根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定【答案】B【解答】解：∵2x2﹣6x＝7，∴2x2﹣6x﹣7＝0，原方程中，a＝2，b＝﹣6，c＝﹣7，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×2×（﹣7）＝36+56＝92＞0，∴原方程有两个不相等的实数根，故选：B．19．（2023春•垦利区期末）若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠0【答案】D【解答】解：∵一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，∴（﹣6）2﹣4×9k≥0，且k≠0，解得k≤1且k≠0，故选：D．20．（2022秋•河西区校级期末）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＞0 C．m＜0 D．m＜2【答案】D【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）＝﹣4m+8＞0，∴m＜2．故选：D．21．（2023春•河东区期末）已知m、n是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【答案】D【解答】解：∵m是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的根，∴m2+m﹣2023＝0，∴m2＝﹣m+2023，∴m2+2m+n＝﹣m+2023+2m+n＝m+n+2023，∵m、n是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣1，∴m2+2m+n＝﹣1+2023＝2022．故选：D．22．（2022秋•武汉期末）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：由于x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0是一元二次方程，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（2k﹣1）＝k2﹣4k+8＝（k﹣2）2+4，无论k取何实数，总有（k﹣2）2≥0，（k﹣2）2+4＞0，所以方程总有两个不相等的实数根．（2）解：把x＝3代入方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0，有32﹣3（k+2）+2k﹣1＝0，整理，得2﹣k＝0．解得k＝2，此时方程可化为x2﹣4x+3＝0．解此方程，得x1＝1，x2＝3．所以方程的另一根为x＝1．23．（2023春•昌平区期末）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果方程有一个根为正数，求m的取值范围．【答案】（1）见解答；（2）m＜1．【解答】（1）证明：∵Δ＝m2﹣4（m﹣1）＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）x＝，解得x1＝﹣1，x2＝﹣m+1，∵方程只有一个根是正数，∴﹣m+1＞0，∴m＜1．【考点6】根与系数的关系；24．（2023春•文昌校级期末）若α，β是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则α+β的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣3 D．3【答案】D【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，∴α+β＝﹣＝﹣＝3．故选：D．25．（2022秋•汉台区期末）若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣10＝0的两个根，则x1•x2的值为（）A．3 B．10 C．﹣3 D．﹣10【答案】D【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣10＝0的两个根，∴x1x2＝﹣10．故选：D．26．（2022秋•嘉陵区校级期末）已知m，n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（）A．3 B．﹣10 C．0 D．10【答案】C【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，∴mn＝﹣5，∵m是x2+2x﹣5＝0的一个根，∴m2+2m﹣5＝0，∴m2+2m＝5，∴m2+mn+2m＝m2+2m+mn＝5﹣5＝0．故选：C．【考点7】一元二次方程的应用27．（2022秋•墨玉县期末）随着中考结束，初三某毕业班的每一个同学都向其他同学赠送一张自己的照片留作纪念，全班共送了2256张照片，若该班有x名同学，则根据题意可列出方程为（）A．x（x﹣1）＝2256 B．x（x+1）＝2256 C．2x（x﹣1）＝2256 D．x（x﹣1）＝2256【答案】A【解答】解：若该班有x名同学，那么每名学生送照片（x﹣1）张，全班应该送照片x（x﹣1）张，则可列方程为x（x﹣1）＝2256．故选：A．28．（2022秋•泉州期末）2022年卡塔尔世界杯足球赛正在进行，小组内比赛采用单循环制，即每支球队必须和其余球队比赛一场．现A组有x支球队参加，共比赛了28场，则下列方程中符合题意的是（）A．x（x﹣1）＝28 B． C． D．x（x+1）＝28【答案】B【解答】解：根据题意得x（x﹣1）＝28．故选：B．29．（2023春•鼓楼区校级期末）某厂家2023年1～5月份的某种产品产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家这种产品产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（）A．180（1﹣x）2＝461 B．180（1+x）2＝461 C．368（1﹣x）2＝442 D．368（1+x）2＝442【答案】B【解答】解：设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2＝461，故选：B．30．（2023春•合肥期末）某商店将进货价格为20元的商品按单价36元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为1200元，则下列关系式正确的是（）A．（x+16）（200﹣5x）＝1200 B．（x+16）（200+5x）＝1200 C．（x﹣16）（200+5x）＝1200 D．（x﹣16）（200﹣5x）＝1200【答案】A【解答】解：根据题意可得：（36+x﹣20）（200﹣5x）＝1200，即：（x+16）（200﹣5x）＝1200．故选：A．31．（2023春•鼓楼区校级期末）一份摄影作品【七寸照片（长7英寸，宽5英寸）】，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的2倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（）A．2（7+x）（5+x）＝7×5 B．（7+x）（5+x）＝2×7×5 C．2（7+2x）（5+2x）＝7×5 D．（7+2x）（5+2x）＝2×7×5【答案】D【解答】解：设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，根据题意得：（7+2x）（5+2x）＝2×7×5，故选：D．32．（2023春•铜梁区校级期末）如图，露在水面上的鱼线BC长为3m．钓鱼者想看看鱼钩上的情况把鱼竿AC提起到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C′长为4m，若BB′的长为1m，试问的鱼竿AC有多长？设AB′长xm，则下所列方程正确的是（）A．x2+42＝（x+1）2+32 B．x2+42＝（x+1）2﹣32 C．（x﹣1）2+42＝x2+32 D．（x﹣1）2+32＝x2+42【答案】A【解答】解：设AB'＝xm，∵AC'＝AC，∴根据勾股定理得：AB'2+B'C'2＝AB2+BC2，即x2+42＝（x+1）2+32．故选：A．33．（2022秋•细河区期末）一花户，有26m长的篱笆，要围成一边靠住房墙（墙长12m）的面积为80m2的长方形花园，且垂直于住房墙的一边留一个1m的门（如图），设垂直于住房墙的其中一边长为xm，则可列方程为（）A．x＝80 B．x（26﹣2x）＝80 C．x＝80 D．x（27﹣2x）＝80【答案】D【解答】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（27﹣2x）m，根据题意得：x（27﹣2x）＝80．故答案为：D．34．（2023春•金安区校级期末）2023年4月23是第28个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为x，则可列方程为（）A．600（1+2x）＝2850 B．600（1+x）2＝2850 C．600+600（1+x）+600（1+x）2＝2850 D．2850（1﹣x）2＝600【答案】C【解答】解：设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：600+600（1+x）+600（1+x）2＝2850．故选：C．35．（2022秋•新市区校级期末）某树主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支总数是43．若设主干长出x个枝干，则可列方程（）A．（1+x）2＝43 B．x（1+x）＝43 C．x+2x+1＝43 D．x2+x+1＝43【答案】D【解答】解：设主干长出x个枝干，则长出x2个小分支，根据题意得：1+x+x2＝43．故选：D．36．（2022秋•赫山区期末）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了39m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．（1）若要建的矩形养鸡场面积为120m2，求鸡场的长AB和宽BC；（2）该扶贫单位想要建一个130m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．【答案】（1）长AB为15m，宽BC为8m；（2）想法不能实现．【解答】解：（1）设BC＝xm，则AB＝（39﹣3x）m，由题意得：x（39﹣3x）＝120，整理得：x2﹣13x+40＝0，解得：x1＝5，x2＝8，当x＝5时，39﹣3x＝24＞15，不符合题意；当x＝8时，39﹣3x＝15，符合题意；答：鸡场的长AB和宽BC分别为15m与8m．（2）设BC＝xm，则AB＝（39﹣3x）m，由题意得：x（39﹣3x）＝130，整理得：3x2﹣39x+130＝0，Δ＝（﹣39）2﹣4×3×130＝1521﹣1560＜0，方程无实数解；所以想法不能实现．37．（2022秋•宁德期末）寿宁“金丝粉扣”是地方名优特产，深受消费者喜爱．某超市购进一批“金丝粉扣”，进价为每千克24元．调查发现，当销售单价为每千克40元时，平均每天能售出20千克，而当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出2千克．（1）设每千克降价x元，用含x的代数式表示实际销售单价和销售数量；（2）若超市要使这种“金丝粉扣”的销售利润每天达到330元，且让顾客得到实惠，则每千克应降价多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意得：实际销售单价为（40﹣x）元，销售数量为（20+2x）千克；（2）由题意得：（40﹣x﹣24）（20+2x）＝330，整理得：x2﹣6x+5＝0，解得：x1＝1，x2＝5，∵让顾客得到实惠，∴x＝5，答：销售利润每天达到330元，且让顾客得到实惠，每千克应降价5元．38．（2022春•延庆区期末）某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？【答案】见试题解答内容【解答】解：设人行道的宽度为x米，由题意得（21﹣3x）（8﹣2x）＝60，解得：x1＝2，x2＝9（不合题意，舍去）．答：人行道的宽度为2米．39．（2023春•城厢区校级期末）某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于38