2023-2024学年9上数学期末考点（北师大版）猜题08 圆（易错必刷40题13种题型专项训练）解析版

第8章圆（易错必刷40题13种题型专项训练）圆的认识切线的判定垂径定理切线的判定与性质圆周角定理切线长定理圆内接四边形的性质三角形的内切圆与内心点与圆的位置关系正多边形和圆三角形的外接圆与外心扇形面积的计算切线的性质一．圆的认识（共1小题）1．如图，一个人握着板子的一端，另一端放在圆柱上，某人沿水平方向推动板子带动圆柱向前滚动，假设滚动时圆柱与地面无滑动，板子与圆柱也没有滑动．已知板子上的点B（直线与圆柱的横截面的切点）与手握板子处的点C间的距离BC的长为Lm，当手握板子处的点C随着圆柱的滚动运动到板子与圆柱横截面的切点时，人前进了2Lm．【答案】见试题解答内容【解答】解：因为圆向前滚动的距离是Lm，所以人前进了2Lm．二．垂径定理（共4小题）2．如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为（）A．3 B．4 C．3 D．4【答案】C【解答】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，由垂径定理、勾股定理得：OM＝ON＝＝3，∵弦AB、CD互相垂直，∴∠DPB＝90°，∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP＝∠ONP＝90°∴四边形MONP是矩形，∵OM＝ON，∴四边形MONP是正方形，∴OP＝3故选：C．3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝AP＝8，则⊙O的直径为（）A．10 B．8 C．5 D．3【答案】A【解答】解：连接OC，∵CD⊥AB，CD＝8，∴PC＝CD＝×8＝4，在Rt△OCP中，设OC＝x，则OA＝x，∵PC＝4，OP＝AP﹣OA＝8﹣x，∴OC2＝PC2+OP2，即x2＝42+（8﹣x）2，解得x＝5，∴⊙O的直径为10．故选：A．4．如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC＝4，DE＝4，则BC的长是（）A．1 B． C．2 D．4【答案】C【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵OD⊥AC，∴点D是AC的中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC，且OD＝BC，设OD＝x，则BC＝2x，∵DE＝4，∴OE＝4﹣x，∴AB＝2OE＝8﹣2x，在Rt△ABC中，由勾股定理可得，AB2＝AC2+BC2，∴（8﹣2x）2＝（4）2+（2x）2，解得x＝1．∴BC＝2x＝2．故选：C．5．在半径为10cm圆中，两条平行弦分别长为12cm，16cm，则这两条平行弦之间的距离为（）A．28cm或4cm B．14cm或2cm C．13cm或4cm D．5cm或13cm【答案】B【解答】解：有两种情况：①如图，当AB和CD在O的两旁时，过O作MN⊥AB于M，交CD于N，连接OB，OD，∵AB∥CD，∴MN⊥CD，由垂径定理得：BM＝AB＝8cm，DN＝CD＝6cm，∵OB＝OD＝10cm，由勾股定理得：OM＝＝6cm，同理ON＝8cm，∴MN＝8cm+6cm＝14cm，②当AB和CD在O的同旁时，MN＝8cm﹣6cm＝2cm，故选：B．三．圆周角定理（共5小题）6．如图，半圆O的直径AB＝7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD＝，且BD＝5，则DE等于（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解法一：∵∠D＝∠A，∠DCA＝∠ABD，∴△AEB∽△DEC；∴＝；设BE＝2x，则DE＝5﹣2x，EC＝x，AE＝2（5﹣2x）；连接BC，则∠ACB＝90°；Rt△BCE中，BE＝2x，EC＝x，则BC＝x；在Rt△ABC中，AC＝AE+EC＝10﹣3x，BC＝x；由勾股定理，得：AB2＝AC2+BC2，即：72＝（10﹣3x）2+（x）2，整理，得4x2﹣20x+17＝0，解得x1＝+，x2＝﹣；由于x＜，故x＝﹣；则DE＝5﹣2x＝2．解法二：连接OD，OC，AD，∵OD＝CD＝OC则∠DOC＝60°，∠DAC＝30°又AB＝7，BD＝5，∴AD＝2，在Rt△ADE中，∠DAC＝30°，所以DE＝2．故选：A．7．如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，且AB＝，则弦AB所对圆周角的度数为（）A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°【答案】D【解答】解：如图，连接OA、OB，过O作AB的垂线；在Rt△OAC中，OA＝1，AC＝；∴∠AOC＝60°，∠AOB＝120°；∴∠D＝∠AOB＝60°；∵四边形ADBE是⊙O的内接四边形，∴∠AEB＝180°﹣∠D＝120°；因此弦AB所对的圆周角有两个：60°或120°；故选：D．8．如图，半圆的半径OC＝2，线段BC与CD是半圆的两条弦，BC＝CD，延长CD交直径BA的延长线于点E，若AE＝2，则弦BD的长为．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，连接OD，AD，∵BC＝DC，BO＝DO，∴∠BDC＝∠DBC，∠BDO＝∠DBO，∴∠CDO＝∠CBO，又∵OC＝OB＝OD，∴∠BCO＝∠DCO，即OC平分∠BCD，又∵BC＝DC，∴BD⊥CO，又∵AB是直径，∴AD⊥BD，∴AD∥CO，又∵AE＝AO＝2，∴AD＝CO＝1，∴Rt△ABD中，BD＝＝＝．故答案为：．9．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长．【答案】（1）△BDE为等腰直角三角形．证明过程见解答部分；（2）BC＝8．【解答】（1）解：△BDE为等腰直角三角形．证明：∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，∴∠BED＝∠DBE．∴BD＝ED．∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴△BDE是等腰直角三角形．另解：计算∠AEB＝135°也可以得证．（2）解：连接OC、CD、OD，OD交BC于点F.∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．∴BD＝DC．∵OB＝OC．∴OD垂直平分BC．∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，∴BD＝2．∵AB＝10，∴OB＝OD＝5．设OF＝t，则DF＝5﹣t．在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，解得t＝3，∴BF＝4．∴BC＝8．另解：分别延长AC，BD相交于点G．则△ABG为等腰三角形，先计算AG＝10，BG＝4，AD＝4，再根据面积相等求得BC．10．已知：如图，在半径为2的半圆O中，半径OA垂直于直径BC，点E与点F分别在弦AB、AC上滑动并保持AE＝CF，但点F不与A、C重合，点E不与A、B重合．（1）求四边形AEOF的面积．（2）设AE＝x，S△OEF＝y，写出y与x之间的函数关系式，求x的取值范围．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵BC为半圆O的直径，OA为半径，且OA⊥BC，∴∠B＝∠OAF＝45°，OA＝OB，又∵AE＝CF，AB＝AC，∴BE＝AF，∴△BOE≌△AOF∴S四边形AEOF＝S△AOB＝OB•OA＝2．（2）∵BC为半圆O的直径，∴∠BAC＝90°，且AB＝AC＝2，y＝S△OEF＝S四边形AEOF﹣S△AEF＝2﹣AE•AF＝2﹣x（2﹣x）∴y＝x2﹣x+2（0＜x＜2）．四．圆内接四边形的性质（共1小题）11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，＝，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E．（1）求证：CD平分∠ACE；（2）若AC＝9，CE＝3，求CD的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠DCE＝180°，∴∠DCE＝∠BAD，∵＝，∴∠BAD＝∠ACD，∴∠DCE＝∠ACD，∴CD平分∠ACE；（2）解：∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠ADC，∵∠DCE＝∠ACD，∴△DCE∽△ACD，∴＝，即＝，∴CD＝3．五．点与圆的位置关系（共4小题）12．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A．+1 B．+ C．2+1 D．2﹣【答案】B【解答】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，∴C在⊙B上，且半径为1，取OD＝OA＝2，连接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM＝CD，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，∴BD＝2，∴CD＝2+1，∴OM＝CD＝，即OM的最大值为+；故选：B．13．如图，AB是半圆O的直径，AB＝5cm，AC＝4cm．D是弧BC上的一个动点（含端点B，不含端点C），连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D移动的过程中，BE的取值范围是（）A．﹣2＜BE≤ B．﹣2≤BE＜3 C．≤BE＜3 D．﹣≤BE＜3【答案】B【解答】解：如图，由题意知，∠AEC＝90°，∴E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），∴BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中E′点），∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝5，AC＝4，∴BC＝3，CM＝2，则BM＝＝＝，∴BE长度的最小值BE′＝BM﹣ME′＝﹣2，当BE最长时，即E与C重合，∵BC＝3，且点E与点C不重合，∴BE＜3，综上，﹣2≤BE＜3，故选：B．14．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），⊙A的半径为2，点C为⊙A上一动点，D为BC的中点，连接OD，则OD的最大值为3.5．【答案】3.5．【解答】解：∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），∴OA＝4，OB＝3，如图1，作点B关于x轴的对称点B'，连接B'C，∴OB＝OB'＝3，∵D是BC的中点，∴OD是△BB'C的中位线，∴OD＝B'C，∴当B'C最大时，OD有最大值，如图2，当B'，C，A共线时，B'C有最大值，由勾股定理得：AB'＝＝5，∴B'C＝B'A+AC＝5+2＝7，此时OD有最大值是B'C＝3.5，故答案为：3.5．15．如图，等边△ABC的边长为4，D为BC边上的中点，P为直线BC上方的一个动点，且满足∠PAD＝∠PDC，则线段CP长的最小值为﹣．【答案】﹣．【解答】解：∵等边△ABC的边长为4，D为BC边上的中点，∴∠ADC＝90°，∴∠ADP+∠PDC＝90°，∵∠PAD＝∠PDC，∴∠PAD+∠ADP＝90°，∴∠APD＝90°，∴点P在以AD为直径的⊙O上，连接OC，当O，P，C三点共线时，PC的长最小，在Rt△ADC中，AC＝4，CD＝2，∴AD＝＝2，∵O是AD的中点，∴OD＝＝OP，由勾股定理得：OC＝＝＝，∴CP＝﹣，即线段CP长的最小值为﹣．故答案为：﹣．六．三角形的外接圆与外心（共3小题）16．下列四个命题：①等边三角形是中心对称图形；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；③三角形有且只有一个外接圆；④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧．其中真命题的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：∵等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，∴①是假命题；如图，∠C和∠D都对弦AB，但∠C和∠D不相等，即②是假命题；三角形有且只有一个外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，即③是真命题；垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，即④是真命题．故选：B．17．在△ABC中，I是外心，且∠BIC＝130°，则∠A的度数是（）A．65° B．115° C．65°或115° D．65°或130°【答案】C【解答】解：当三角形的外心在三角形的内部时，则∠A＝∠BIC＝65°；当三角形的外心在三角形的外部时，则∠A＝180°﹣∠BIC＝115°．故选：C．18．如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（）A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣【答案】D【解答】解：如图：作AB的垂直平分线MN，作BC的垂直平分线PQ，设MN与PQ相交于点O，连接OA，OB，OC，则点O是△ABC外接圆的圆心，由题意得：OA2＝12+22＝5，OC2＝12+22＝5，AC2＝12+32＝10，∴OA2+OC2＝AC2，∴△AOC是直角三角形，∴∠AOC＝90°，∵AO＝OC＝，∴图中阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣△AOC的面积﹣△ABC的面积＝﹣OA•OC﹣AB•1＝﹣××﹣×2×1＝﹣﹣1＝﹣，故选：D．七．切线的性质（共5小题）19．如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，半圆的圆心O在BC上，半圆与AB、AC分别相切于点D、E，则半圆的半径为（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：连接OE，OD，∵圆O切AC于E，圆O切AB于D，∴∠OEA＝∠ODA＝90°，∵∠A＝90°，∴∠A＝∠ODA＝∠OEA＝90°，∵OE＝OD，∴四边形ADOE是正方形，∴AD＝AE＝OD＝OE，设OE＝AD＝AE＝OD＝R，∵∠A＝90°，∠OEC＝90°，∴OE∥AB，∴△CEO∽△CAB，同理△BDO∽△BAC，∴△CEO∽△ODB，∴＝，即＝，解得：R＝，故选：A．20．如图，P是抛物线y＝x2﹣4x+3上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线y＝0相切时，点P的坐标为（2+，1）或（2﹣，1）或（2，﹣1）．【答案】见试题解答内容【解答】解：当y＝1时，x2﹣4x+3＝1，解得：x＝2±，∴P（2+，1）或（2﹣，1），当y＝﹣1时，x2﹣4x+3＝﹣1，解得：x1＝x2＝2，∴P（2，﹣1），则点P的坐标为：（2+，1）或（2﹣，1）或（2，﹣1）．21．已知一个三角形的周长和面积分别是84、210，一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是84﹣π（结果保留准确值）．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图；设△ABC的内切圆半径为R，△DEF的内切圆半径为r；依题意有：×84×R＝210，即R＝5；易知：△DEF∽△ABC，且r：R＝4：5，∴C△DEF＝C△ABC＝67.2；易知：被圆滚过的三角形内部的三角形也和△ABC相似；且其内切圆半径为：R﹣2＝3，即其面积＝S△ABC＝75.6；由图知：S四边形AHDG＝2S△AGD＝AG•1＝AG，同理S四边形PEQB＝BQ，S四边形CNFM＝CM；∴S四边形AHDG+S四边形PEQB+S四边形CNFM＝AG+CM+BQ＝（C△ABC﹣C△DEF）＝8.4；而S扇形DHG+S扇形PEQ+S扇形FMN＝S单位圆＝π，∴所求的面积＝75.6+8.4﹣π＝84﹣π．22．已知点M（2.0），⊙M的半径为1，OA切⊙M于点A，点P为⊙M上的动点，当P的坐标为（1，0），（3，0）（，）时，△POA是等腰三角形．【答案】（1，0），（3，0），（，）．【解答】解：如图，当P的坐标为（1，0），（3，0），（，）时，△POA是等腰三角形．理由如下：连接AM，∵M（2.0），⊙M的半径为1，∴OM＝2，AM＝PM＝1，∴OP＝1，∵OA切⊙M于点A，∴∠MAO＝90°，∴∠AOM＝30°，∴∠AMO＝60°，∴PA＝AM＝PM＝1，∴OP＝PA＝1，∴P（1，0）；当OA＝OP′时，连接AP′交x轴于点H，∵OA切⊙M于点A，∴OP′切⊙M于点P′，∴∠P′OM＝∠AOM＝30°，∴∠AOP′＝60°，∴△AOP′是等边三角形，∴AP′＝OA＝＝＝，∴OH＝OA＝，P′H＝AP′＝，∴P′（，）；∵MA＝MP″，∠AMO＝60°，∴∠MAP″＝∠MP″A＝30°，∴∠AOP″＝∠MP″A＝30°，∴OA＝OP″，∴P″（3，0）．综上所述：当P的坐标为（1，0），（3，0），（，）时，△POA是等腰三角形．故答案为：（1，0），（3，0），（，）．23．△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于D，交BC于E（BE＞EC），过点D作⊙O的切线DF，交AB的延长线于F．（1）求证：DF∥BC；（2）连接OF，若tan∠BAC＝，BD＝，DF＝8，求OF的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：连接OD，∵DF是⊙O的切线，∴OD⊥DF，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴，∴OD⊥BC，∴DF∥BC；（2）解：连接OB，∵，∴∠BOD＝∠BAC，由（1）知OD⊥BC，∴tan∠BOD＝，∵tan∠BAC＝2，∴，设ON＝x，BN＝2x，由勾股定理得：OB＝3x，∴OD＝3x，∴DN＝3x﹣x＝2x，Rt△BDN中，BN2+DN2＝BD2，∴，x＝2或﹣2（舍），∴OB＝OD＝3x＝6，Rt△OFD中，由勾股定理得：OF＝＝＝10．八．切线的判定（共2小题）24．如图，半圆O的直径DE＝12cm，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12cm．半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，当圆心O运动到点B时停止，点D、E始终在直线BC上．设运动时间为t（s），运动开始时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8cm．当t＝1s，4s，7s时，Rt△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．【答案】1s，4s，7s．【解答】解：①当圆心O运动到点E与点C重合是时，∵AC⊥OE，OC＝OE＝6cm，此时AC与半圆O所在的圆相切，点O运动了2cm，所求运动时间为t＝2÷2＝1（s）；②当圆心O运动到AC右侧与AC相切时，此时OC＝6cm，点O运动的距离为8+6＝14（cm），所求运动时间为t＝14÷2＝7（s）；③如图1，过C点作CF⊥AB，交AB于F点；∵∠ABC＝30°，BC＝12cm，∴FO＝6cm；当半圆O与△ABC的边AB相切时，∵圆心O到AB的距离等于6cm，且圆心O又在直线BC上，∴O与C重合，即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切；此时点O运动了8cm，所求运动时间为t＝8÷2＝4（s），当点O运动到B点的右侧，且OB＝12cm时，如图2，过点O作OQ⊥直线AB，垂足为Q．在Rt△QOB中，∠OBQ＝30°，则OQ＝6cm，即OQ与半圆O所在的圆相切．此时点O运动了32cm．所求运动时间为：t＝32÷2＝16s，综上可知当t的值为1s或4s或7秒或16s时，Rt△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．因为圆心O运动到点B时停止，所以此种情况不符合题意舍去，故答案为：1s，4s，7s．25．已知，如图，点A的坐标为（2，0），⊙A交x轴于点B和C，交y轴于点D（0，4），过点D的直线与x轴交于点P，且tan∠APD＝．（1）求证：PD是⊙A的切线；（2）判断在直线PD上是否存在点M，使得S△MOD＝2S△AOD？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵A（2，0）D（0，4），∴AO＝2，OD＝4，∴在Rt△ADO中，tan∠ADO＝＝＝，∵tan∠APD＝，∴∠ADO＝∠APD，∵∠AOD＝90°，∴∠ADO+∠DAO＝90°，∴∠DAO+∠APD＝90°，∴∠PDA＝180°﹣90°＝90°，∴AD⊥PD，∵AD是⊙A的半径，∴PD是⊙A的切线．（2）解：在△ADO中，OA＝2，OD＝4，由勾股定理得：AD＝2，在Rt△PDA中，tan∠APD＝＝，即PD＝4，由勾股定理得：AP＝＝10，∵OA＝2，∴OP＝8，即P（﹣8，0），∵D（0，4），∴设直线PD的解析式是：y＝kx+4，把P的坐标代入得：0＝﹣8k+4，解得：k＝，∴直线PD的解析式是y＝x+4，假如存在M点，使得S△MOD＝2S△AOD，设M的坐标是（x，x+4），如图：当M在y轴的左边时，过M作MN⊥OD于N，∵S△MOD＝2S△AOD，∴×4×（﹣x）＝2××2×4，解得：x＝﹣4，y＝x+4＝2，即此时M坐标是（﹣4，2），当M点在y轴的右边时，同法可求M的横坐标是4，代入y＝x+4得y＝6，此时M的坐标是（4，6），即在直线PD上存在点M，使得S△MOD＝2S△AOD，点M的坐标是（﹣4，2）或（4，6）．九．切线的判定与性质（共6小题）26．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．（1）求证：DH是圆O的切线；（2）若＝，求证：A为EH的中点．（3）若EA＝EF＝1，求圆O的半径．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）连接OD，如图1，∵OB＝OD，∴△ODB是等腰三角形，∠OBD＝∠ODB①，在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB②，由①②得：∠ODB＝∠OBD＝∠ACB，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴DH⊥OD，∴DH是圆O的切线；（2）如图1，在⊙O中，∵∠E＝∠B，∴由（1）可知：∠E＝∠B＝∠C，∴△EDC是等腰三角形，∵＝，∵AE∥OD，∴△AEF∽△ODF，∴＝＝，设OD＝3x，AE＝2x，∵AO＝BO，OD∥AC，∴BD＝CD，∴AC＝2OD＝6x，∴EC＝AE+AC＝2x+6x＝8x，∵ED＝DC，DH⊥EC，∴EH＝CH＝4x，∴AH＝EH﹣AE＝4x﹣2x＝2x，∴AE＝AH，∴A是EH的中点；（3）如图1，设⊙O的半径为r，即OD＝OB＝r，∵EF＝EA，∴∠EFA＝∠EAF，∵OD∥EC，∴∠FOD＝∠EAF，则∠FOD＝∠EAF＝∠EFA＝∠OFD，∴DF＝OD＝r，∴DE＝DF+EF＝r+1，∴BD＝CD＝DE＝r+1，在⊙O中，∵∠BDE＝∠EAB，∴∠BFD＝∠EFA＝∠EAB＝∠BDE，∴BF＝BD，△BDF是等腰三角形，∴BF＝BD＝r+1，∴AF＝AB﹣BF＝2OB﹣BF＝2r﹣（1+r）＝r﹣1，∵∠BFD＝∠EFA，∠B＝∠E，∴△BFD∽△EFA，∴，∴，解得：r1＝，r2＝（舍），综上所述，⊙O的半径为．27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为5，sinB＝，求ED的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：连接OM，如图1，∵OC＝OM，∴∠OCM＝∠OMC，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴CD＝AB＝BD，∴∠DCB＝∠DBC，∴∠OMC＝∠DBC，∴OM∥BD，∵MN⊥BD，∴OM⊥MN，∵OM过O，∴MN是⊙O的切线；（2）解：连接DM，CE，∵CD是⊙O的直径，∴∠CED＝90°，∠DMC＝90°，即DM⊥BC，CE⊥AB，由（1）知：BD＝CD＝5，∴M为BC的中点，∵sinB＝，∴cosB＝，在Rt△BMD中，BM＝BD•cosB＝4，∴BC＝2BM＝8，在Rt△CEB中，BE＝BC•cosB＝，∴ED＝BE﹣BD＝﹣5＝．28．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝BC＝CD，AB∥CD，连接BD．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AB＝10，cos∠BAC＝，求BD的长及⊙O的半径．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：如图1，作直径BE，交⊙O于E，连接EC、OC，则∠BCE＝90°，∴∠OCE+∠OCB＝90°，∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴∠A＝∠D，∵OE＝OC，∴∠E＝∠OCE，∵BC＝CD，∴∠CBD＝∠D，∵∠A＝∠E，∴∠CBD＝∠D＝∠A＝∠OCE，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OBC+∠CBD＝90°，即∠EBD＝90°，∴BD是⊙O的切线；（2）如图2，∵cos∠BAC＝cos∠E＝，设EC＝3x，EB＝5x，则BC＝4x，∵AB＝BC＝10＝4x，x＝，∴EB＝5x＝，∴⊙O的半径为，过C作CG⊥BD于G，∵BC＝CD＝10，∴BG＝DG，Rt△CGD中，cos∠D＝cos∠BAC＝，∴，∴DG＝6，∴BD＝12．29．如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF．（1）求证：BF与⊙O相切；（2）若AP＝OP，cosA＝，AP＝4，求BF的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：连接OB，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ABD＝180°﹣∠ABC＝90°，∵点F为DE的中点，∴BF＝EF＝DE，∴∠FEB＝∠FBE，∵∠AEP＝∠FEB，∴∠FBE＝∠AEP，∵PD⊥AC，∴∠EPA＝90°，∴∠A+∠AEP＝90°，∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∴∠OBA+∠FBE＝90°，∴∠OBF＝90°，∵OB是⊙O的半径，∴BF与⊙O相切；（2）解：在Rt△AEP中，cosA＝，AP＝4，∴AE＝＝＝5，∴PE＝＝＝3，∵AP＝OP＝4，∴OA＝OC＝2AP＝8，∴PC＝OP+OC＝12，∵∠A+∠AEP＝90°，∠A+∠C＝90°，∴∠AEP＝∠C，∵∠APE＝∠DPC＝90°，∴△APE∽△DPC，∴＝，∴＝，∴DP＝16，∴DE＝DP﹣PE＝16﹣3＝13，∴BF＝DE＝，∴BF的长为．30．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，与BC交于点D，点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB＝2∠BAE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若sinB＝，BD＝5，求BF的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：连接AD．∵E是弧BD的中点，∴＝，∴∠BAD＝2∠BAE．∵∠ACB＝2∠BAE，∴∠ACB＝∠BAD，∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAC+∠ACB＝90°．∴∠BAC＝∠DAC+∠BAD＝90°．∴AC是⊙O的切线；（2）解：过点F作FG⊥AB于点G．∵∠BAE＝∠DAE，∠ADB＝90°，∴GF＝DF，在Rt△BGF中，∠BGF＝90°，sinB＝＝，即＝，解得，BF＝3．31．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且D为弧BC中点，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接AD．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠DAB＝30°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积；（3）若sin∠EAF＝，DF＝4，求AE的长．【答案】（1）证明过程解解答；（2）阴影部分的面积为2﹣π；（3）AE的长为．【解答】（1）证明：连接OD，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∵D为弧BC中点，∴＝，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC∥OD，∴∠E＝∠ODF＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）∵∠DAB＝30°，∴∠DOF＝2∠DAB＝60°，在Rt△ODF中，DO＝2，∴DF＝OD•tan60°＝2，∴阴影部分的面积＝△ODF的面积﹣扇形BOD的面积＝OD•DF﹣＝×2×2﹣π＝2﹣π，∴阴影部分的面积为2﹣π；（3）∵AC∥OD，∴∠EAF＝∠DOF，∴sin∠EAF＝sin∠DOF＝，在Rt△ODF中，sin∠DOF＝＝，∴OF＝5，∴OD＝＝＝3，∴OA＝OD＝3，∴AF＝OA+OF＝3+5＝8，∵∠F＝∠F，∴△AEF∽△ODF，∴＝，∴＝，∴AE＝，∴AE的长为．十．切线长定理（共1小题）32．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为44．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，∴AD+BC＝AB+CD＝22，∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44，故答案为：44．十一．三角形的内切圆与内心（共1小题）33．在锐角三角形ABC中，BC＝5，sinA＝，（1）如图1，求三角形ABC外接圆的直径；（2）如图2，点I为三角形ABC的内心，BA＝BC，求AI的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）解：作DB垂直于BC，连DC，∵∠DBC＝90°，∴DC为直径．∵∠A＝∠D，BC＝5，sinA＝，∴sinD＝＝，∴CD＝，答：三角形ABC外接圆的直径是．（2）解：连接IC、BI，且延长BI交AC于F，过点I作IG⊥BC于点G，过I作IE⊥AB于E，∵AB＝BC＝5，I为△ABC内心，∴BF⊥AC，AF＝CF，∵sinA＝＝，∴BF＝4，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF＝3，∵BA＝BC，I是内心，即BF是∠ABC的角平分线，∴AC＝2AF＝6，∵I是△ABC内心，IE⊥AB，I