满分线性代数（第二版）课件 第3章 矩阵的秩与线性方程组

第三章矩阵的秩与线性方程组3.1矩阵秩的定义3.2矩阵秩的求法3.3矩阵秩的性质3.4利用初等行变换解线性方程组3.5利用初等行变换解非齐次线性方程组举例3.6线性方程组解的判定3.7典型例题分析

3.1矩阵秩的定义

1.k阶子式

m×n矩阵A的任意k行与任意k列交叉处的k2个元素构成的k阶行列式称为矩阵A的k阶子式。显然矩阵A共有CkmCkn个k阶子式。图3.1给出一个3×4矩阵A的1个二阶子式。

图3.1矩阵A的1个二阶子式示意图

2.矩阵的秩

若矩阵A的某一个k阶子式D不等于零,而A的所有k+1阶子式全为零,那么D称为A的最高阶非零子式,数k称为矩阵A的秩,记作R(A)。并规定零矩阵的秩等于0。

3.与秩相关的几个矩阵

(1)行满秩矩阵:矩阵的秩等于其行数的矩阵。

(2)列满秩矩阵:矩阵的秩等于其列数的矩阵。

(3)满秩矩阵:若n阶矩阵A的行列式|A|≠0,则A的秩等于n,称其为满秩矩阵。显然满秩矩阵就是可逆矩阵,也称非奇异矩阵。

(4)降秩矩阵:若n阶矩阵A的行列式|A|=0,则A的秩小于n,称其为降秩矩阵。显然降秩矩阵就是不可逆矩阵,也称奇异矩阵。

(5)行阶梯矩阵:满足两个条件,

①如果有零行(元素全为0的行),则零行位于非零行的下方;

②每一行第一个非零元素前面的零的个数逐行增加。

任意一个矩阵A总可以经过若干次初等行变换化为行阶梯矩阵。图3.2给出了3个行阶梯矩阵的示意图,图3.3又给出了2个反例。图3.2行阶梯矩阵示意图

图3.3非行阶梯矩阵示意图

(6)行最简形矩阵:满足两个条件,①是一个行阶梯矩阵;

②每一行的第一个非零元素为1,且这个元素所在列的其他元素都是0。

任意一个矩阵A总可以经过若干次初等行变换化为行最简形矩阵。图3.4给出了一个具体的行最简形矩阵。

图3.4行最简形矩阵示意图

(7)标准形矩阵:把分块矩阵的形式称为标

准形,任意秩为r的矩阵A总能够经过若干次初等变换(行变换

和列变换)化为标准形

3.2矩阵秩的求法

1.初等变换不改变矩阵秩的定理因为初等变换不改变矩阵的秩,所以,若矩阵A与矩阵B等价,则有R(A)=R(B),即“等价则等秩”。

2.求矩阵秩的方法

通过寻找矩阵的最高阶非零子式来确定矩阵的秩是一个比较繁琐的过程。根据初等变换不改变矩阵秩的定理,可以通过初等行变换把矩阵A化为行阶梯矩阵B,而矩阵B的非

零行数就是矩阵B的秩,也就是矩阵A的秩。图3.5给出了构造行阶梯矩阵最高阶非零子式的示意图。

图3.5构造行阶梯矩阵最高阶非零子式示意图

3.3矩阵秩的性质

1.秩是非负整数矩阵A的秩就是它最高阶非零子式的阶数,或者是把它化成行阶梯矩阵的非零行数,所以它永远不会是负数,即R(A)≥0。

2.零矩阵的秩为零规定零矩阵O的秩为0。所以,若R(A)=0,则A=O。

3.秩不大于矩阵“尺寸”

根据矩阵秩的定义,显然矩阵A的秩不大于其“尺寸”,即

4.转置、数乘秩不变换．

5.初等变换秩不变

矩阵A经过有限次初等变换(行或列)变为B,那么A与B的秩相等。并有以下定理:若P、Q为可逆矩阵,则

6.部分的秩不大于整体的秩

矩阵A和B分别是分块矩阵(A,B)的一部分,那么有:R(A,B)≥R(A),R(A,B)≥R(B)。

7.和的秩不大于秩的和

矩阵和的秩不会超过矩阵秩的和:R(A+B)≤R(A)+R(B)。

8.合并的秩不大于秩的和

把矩阵A和B合并为一个分块矩阵(A,B),那么有合并矩阵的秩不会超过矩阵秩的和:R(A,B)≤R(A)+R(B)。

9.矩阵越乘秩越小

矩阵乘积的秩不会大于其中任意一个矩阵的秩:R(AB)≤R(A);R(AB)≤R(B)。

若A列满秩,则R(AB)=R(B)。若B行满秩,则R(AB)=R(A)。

10.关于AB=O的秩

根据公式R(AB)≥R(A)+R(B)-n,当AB=O时,有R(A)+R(B)≤n。

11.方阵的秩

针对n阶矩阵,有以下结论:

|A|≠0⇔A是满秩矩阵(R(A)=n)⇔A是可逆矩阵⇔A是非奇异矩阵。

|A|=0⇔A是降秩矩阵(R(A)<n)⇔A是不可逆矩阵⇔A是奇异矩阵。

12.伴随矩阵的秩

n阶矩阵A的伴随矩阵A*的秩只有以下三种情况:

13.分块矩阵的秩

设A、B、C、D均为n阶矩阵,O为n阶零矩阵,则

3.4利用初等行变换解线性方程组

1.线性方程组与矩阵在学习矩阵乘法运算时,知道线性方程组可以抽象成矩阵形式Ax=b。(1)非齐次线性方程组与增广矩阵。当常数向量非零(b≠0)时,称方程组Ax=b为非齐次线性方程组,其中,(A,b)称为增广矩阵。一个非齐次线性方程组Ax=b与一个增广矩阵(A,b)一一对应,我们常常通过研究增广矩阵来分析非齐次线性方程组的解。

(2)齐次线性方程组与系数矩阵。当常数向量b=0时,称方程组Ax=0为齐次线性方程组,其中,A称为系数矩阵。一个齐次线性方程组Ax=0与一个系数矩阵A一一对应,我们常常通过研究系数矩阵来分析齐次线性方程组的解。

2.利用初等行变换解线性方程组

用高斯消元法解非齐次线性方程组的过程实质上就是对增广矩阵进行初等行变换的过程。

(1)针对非齐次线性方程组Ax=b,有

方程组Ax=b与方程组Cx=d同解。

(2)针对齐次线性方程组Ax=0,有

方程组Ax=0与方程组Bx=0同解。

3.5利用初等行变换解非齐次线性方程组举例

例求非齐次线性方程组

解对非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵进行初等行变换,将其化为行最简形。

3.6线性方程组解的判定

1.非齐次线性方程组解的判定非齐次线性方程组的解有三种不同的情况:无解、有唯一解和有无穷组解。以下分别根据系数矩阵和增广矩阵的秩来研究非齐次线性方程组解的情况。

(1)Am×nx=b

无解⇔R

(A)≠R((A,b))。

把增广矩阵(A,b)经过初等行变换化为行最简形时,若R

(A)≠R((A,b)),则必有一行为(0,0,…,0,1),其对应的是一个矛盾方程:0x1+0x2+…+0xn=1,所以方程组无解。

(2)Am×nx=b

有唯一解⇔R

(A)=R((A,b))=n。

增广矩阵的秩就是把其化为行阶梯矩阵的非零行数,即是方程组的约束条件数,而矩阵A的列数是方程组未知数的个数,于是当方程组约束条件数R((A,b))等于未知数个数n时,方程组就只能有唯一解了。

(3)Am×nx=b有无穷多解⇔R(A)=R((A,b))<n。

在没有矛盾方程的前提下R(A)=R((A,b)),当方程组约束条件数R((A,b))小于未知数个数n时,方程组就有多解了。

(4)若A为方阵,则有克莱姆法则相关定理:

(5)R(Am×n)=m⇒Am×nx=b有解。

由于m=R

(Am×n

)≤R((A,b)m×(n+1))≤m,

于是R(A)=R((A,b))=m,则Am×nx=b有解。

2.齐次线性方程组解的判定

(1)齐次线性方程组Ax=0一定有解。

因为齐次线性方程组Ax=0一定有零解,即所有未知数都为零。

(2)Am×nx=0只有零解⇔R(

A)=n。

当方程组约束条件数R(

A)等于未知数个数n时,方程组就只能有零解了。

(3)Am×nx=0有非零解⇔R(A)<n。

当方程组约束条件数R(

A)小于未知数个数n时,方程组就有非零解了。

(4)若m<n,则Am×nx=0一定有非零解。

因为R(

Am×n

)≤m<n,所Am×nx=0有非零解。

(5)若A为方阵,则有克莱姆法则相关定理:

3.7典型例题分析

【例3.1】已知ai(i=1,2,…,n)不全为零,bi(i=1,2,…,n)不全为零。求矩阵题分析

【解】

所以R(A)≤R((b1,b2,…,bn))=1,

又知ai(i=1,2,…,n)不全为零,bi(i=1,2,…,n)不全为零,所以矩