数学史融入数学课堂教学的方法-天津师范大学课程中心展示系统

数学史融入数学课堂教学的方法天津师范大学初等教育学院李林波随着HPM研究的深入开展，学术界日益注重数学史融入数学教学的可操作性具体方法的探讨以及数学史在数学教育中作用的实际证据的获取。如何将数学史融入数学教学的实践探索是未来HPM研究的重要方向之一。主要内容数学教学中如何运用数学史数学史融入数学教学的困难我国HPM研究的现状与思考数学史融入数学课堂教学的若干案例一、数学教学中如何运用数学史1、将数学史融入数学教学的层次

台湾师范大学的洪万生先生指出教师应用数学史至少可以分为三个层次：

讲故事；在历史脉络中比较数学家所提供的不同方法，拓宽学生的视野，培养全方位的认知能力和思考弹性；从历史的角度注入数学活动的文化意义，在数学教育过程中实践多元文化关怀的理想。台湾师范大学数学系教授2、将数学史融入数学教学的过程

学习历史资料

选出适合于课堂教学的话题

分析课堂需要

制定课堂活动计划

完成方案

对活动的评价（Furinghetti）

教科书编者、课程标准与教科书内容构成 古代数学家、数学理论和数学内容构成 I教师诠释 T教师教学 T：数学教学；E：教科书编写者；S：课程标准；K：数学知识；C：教科书内容；M：古代数学家；O：数学内容；T：数学理论；I：教师自我诠释图1：诠释学模型（Jahnnke）

经由T-C1-I循环即是教师融入教材编者所编写的教科书内容，领会教材的精神，做出自己的诠释。一般的数学教师在从事数学教学时经历的思考过程当在数学中融入数学史之后，教师必须进入C2循环，领会古代数学家对数学内容所做得解释，经过自己的诠释，显现于教学。同时，教师还必须斟酌C1和C2之间的连结，此时，教师能够体会到教学目标是数学知识，这样，当真正进入实际教学时，教师的数学教学活动就不会迷失在漫无目的琐碎历史细节之中。荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔（H.Freudenthal,1905～1990）所主张的“经过引导的再创造”(guidedre-invention)的真正含义：“我们不应该完全遵循发明者的历史足迹，而是经改良过同时有更好引导的历史过程。”

在C1和C2的连结上，教师可以采取不同的路径，例如：T-C1-I-C2-I-C1-I-…

代表的是教师从教科书入手，寻找数学史料，然后来回地思考C1和C2之间的联系，用以教学。此时教师是针对教材寻找史料，对所寻找素材的重要性加以自我诠释。另外教师也可能经由T-C2-I-C1-I-C2-…等路径这是因为当教师认识了HPM之后，当发现有趣的数学史料，也会进入C1，寻找适合的角度融入教学。

3、将数学史融入数学教学的形式讲数学史融入数学教学有隐性和显性两种形式.隐性融入是指根据历史对教学内容重新设计和加工，制作适用于教学的“历史套装”，在隐性融入过程中，数学史扮演的角色是担当教学设计的指南，因为‘数学史并非最终目的，而是通过数学史的途径以达到教学目的”

。台湾的HPM团队中，有很多教师致力于开发供课堂教学使用的“学习单”，便是将数学史隐性融入数学教学的具体例证。另一方面，“注入历史的教学法”——发生教学法（geneticapproachtoteachingandlearning），即属于数学史在教学中的隐性融入。这种教学方法的理论依据即为“历史发生原理”（参阅第3章）。为了用发生教学法来讲授数学，教师首先应了解所教主题的历史，并确定该主题历史发展的关键步骤；然后重新构建这些关键步骤，使之适用于课堂教学。显性地融入数学史旨在“描述数学发展的进程”

。Barbin指出了显性融入的两种错误倾向，首先是如果教师只提供给学生有限的历史片段，就可能造成学生对数学发展过程的错误或片面的理解。当前的不少数学教材，表面看起来注重数学史的应用，但大多数只局限于在每一章节的后面增加几个历史注解，如数学家小传、个别概念的发展历史等，这实际上势必导致教师将数学史与数学课程割裂开来，甚至认为将数学史融入数学教学“与日常课堂教学背道而驰”

。另一个错误倾向是“脱离数学史融入数学教学的目的，将融入数学史转化为数学史教学”

。这种做法的直接结果是让学生感到数学史只不过是新增加的考试内容而已，如此一来，恐怕连“激发学生兴趣”这一作用也会消失殆尽。4、将数学史融入数学教学的途径在具体的教学过程中，将数学史融入数学教学有很多种做法，这取决于教师的信念、教学观、课程内容、历史资料等诸多因素，已有的HPM文献也提供了很多成功的经验，包括使用传记、游戏、历史调查、本地历史考察、历史家庭作业、历史命题、参观、观看影视作品甚至戏剧表演。JohnFauvel于1991年在《数学学习》（FortheLearningofMathematics）上编辑了一期教学中如何应用数学史的专刊，其中列举了应用数学史的12种不同的具体做法。萧文强对各种做法进行了概括，提出了应用数学史的八种具体方法和途径：（1）在教学中穿插数学家的故事和言行。此即所谓的“历史花絮”。如我们在上一章所介绍的纳皮尔和布里格斯的故事、韦达的故事等等。（2）在讲授某个数学概念时，先介绍它的历史发展。如讲授复数概念时，介绍复数概念的简短历史。（3）应用数学历史名题讲授数学概念，根据数学史上典型的错误帮助学生克服学习困难。

Swetz主张，教师可以搜集历史上的不同时期和不同文化的数学问题，并布置给学生去解决、比较。如不同文化背景下的勾股定理应用问题：●长30英尺的梯子倚墙而立，当上端沿墙下移6英尺的距离时，下端离墙移动多远？（巴比伦，公元前1600-1800）（答案：18英尺）●今有垣高一丈。倚木于垣，上与垣齐。引木却行一尺，其木至地。问木长几何？（中国，公元1世纪）（答案：5丈5寸）●矛长20英尺，倚塔而立。若将末端外移12英尺，则尖端抵塔多高？（意大利，公元1300年）（答案：16英尺）●梯长25英尺，倚墙而立，上端距墙角比下端距墙角远17英尺。问梯子抵墙多高？（Dolciani，1970）（答案：24英尺）Swetz认为，从历史上的数学问题中，学生还可以获得一些文化的和社会的信息。●给船制作帆布，每块帆布1000平方腕尺（clothcubits），帆高与宽之比为1比。问帆高为多少？（1腕尺＝20英寸）（答案：25.8腕尺）从中可以了解到公元前250年一艘埃及船只桅杆的高度；●当1蒲式耳小麦值8里拉时，面包师傅可制作一块重6盎司的面包；问：当1蒲式耳值5里拉时，一块面包重几盎司？（答案：盎司）从中可以推出到15世纪威尼斯一块面包的大小。●一位先生劳动一天，得工钱4元，每周付伙食费8元；10周后他挣得144元；求他空闲的天数和劳动的天数。（答案：14天空闲，56天工作）从中可以确定内战后美国人的每小时的薪水（12小时工作日）。

历史上数学家的错误是很好的教育素材如古代埃及人取四边形面积为两组对边算术平均之积；中国《九章算术》中的球与外切立方体体积之比为9:16（意味着球与外切圆柱体积之比为3:4，这里π取3）；欧拉的、斐波纳契（Fibonacci,1170～1250）根据圆与外切正方形周长之比和面积之比均为

:4类比得到椭圆周长为

(a+b)（图4-8）、历史上分式方程求解的错误、费马的归纳错误、错误的三等分角尺规作图法，等等。

斐波纳契的类比

（4）指导学生制作富有数学史趣味的壁报、专题研究、剧本、录像等。

专题研究如：“任意角的三等分：一个古典问题”、“复数理论的历史”、“非欧几何的诞生及其对数学发展的影响”、“概率论的产生和早期发展”、“欧几里得与刘徽”、“球体积的历史”、“二项式定理史略”等等。事实上，《普通高中新课程标准》中的选修系列3和4已经有这方面的要求。（5）应用数学历史文献设计课堂教学。如等比数列教学。（6）在课堂内容里渗透历史发展的观点。如函数的历史发展观。（7）以数学史作指引设计整体课程。（8）讲授数学史的课。二、数学史融入数学教学的困难尽管数学史对数学教育的作用已经得到广大数学教育工作者的肯定，但课堂教学的实践却多少有些让人气馁。很多调查研究表明，对数学史“高评价、低应用”的现象普遍存在，究其原因，在数学教学中融入数学史还面临很多的困难，而这些困难直接影响着HPM理想的实现，所以，要使数学史真正融入数学教学，首先必须面对现实，分析并逐步解决这些困难。1、教师缺乏必要的历史知识具备必要的数学史知识是将其应用于数学教学的基本要求，但大量的调查显示，教师的数学史知识非常贫乏。造成教师数学史知识缺乏的一个直接原因是他们缺乏这方面的教育。尽管“数学史已被公认为师范教育及大中学校学生自由教育中的重要学科”，但从世界范围看，在教师教育过程中数学史课程是普遍受忽视的，即便是开设了数学史课程，对数学史的教育价值也很少关注。事实上，在教师教育的计划中，开设的数学史课程应该是教育取向的数学史课程，数学史教育者（特别是教师教育者）的一个重要任务就是精心选择那些和教师将来的教学有关的数学史知识，并对它们的教育意义加以分析。这个任务，需要联合数学史家和数学教育家的共同力量才能完成。鉴于以上分析，在教师教育的过程中，对未来的数学教师开设数学史课程是非常必要的，特别是开设的课程要注重挖掘数学史料的教育价值。另外，对于在职教师而言，以各种形式提高他们的数学史素养也非常必要。台湾洪万生、苏意雯等人的研究表明，以学校为中心，组织教师开展HPM实践活动，不仅可以增强教师的HPM素养，而且可以促进他们在各方面的专业发展。所以，将HPM作为在职数学教师培训的一个新课程是可取的。2、教师缺乏必要的教学资料Tzanakis和Arcavi将可供教学使用的数学史资料分为三类：原始文献、二手文献和教学材料。后者是指基于原始文献和二手文献，根据教学的需要，以历史的视角写成的融入了数学史的教学材料。无论是教师还是课程开发者都可以找到大量的历史资料，但要使之能够用于教学，还必须根据教学需要对这些资料进行改编，也就是要将原始文献和二手文献加工成教学资源，而这个工作的要求非常苛刻并且要花费大量的时间，事实上，大部分教师并不具备开发这些资源的能力和时间，这才是教师声明他们缺乏必要资料的真正原因。要改变资源缺乏的现状，需要数学史家和数学教育工作者（特别是数学教师）的共同努力，一方面，教师可以对教学内容进行历史的透视，即针对教学内容搜寻历史，这时，数学史家的工作必不可少。另外一方面，数学史家在研究历史时，应该考虑它的教学意义，亦即根据历史审视教学。例如Katz即从历史的角度分析了许多教学问题。Zormbala和Tzanakis关于平面概念的研究很好地体现了数学史家对教育的关怀，他们的研究结果为教材编写者和数学教师提供了有益的启示。三、我国HPM研究的现状与思考在我国，数学史的教育价值也早已被一些学者所认识。近年来，论述数学史教育价值的文章层出不穷，提出在数学教学中融入数学史的呼声此起彼伏，特别是，新近颁布的《全日制义务教育数学课程标准》及《普通高中数学课程标准》更是将数学史从幕后推向了前台。从教学的实际情况看，现行的数学教材已经有了一些数学史材料供学生阅读，一些数学教学杂志设置了专门的数学史栏目，适合中小学教师使用的数学教学材料，这些状况，可以说是一个不小的进步。另一方面，一些研究者得到了令人堪忧的结论，例如罗小兵、张弓等人的调查显示，我国数学教师的数学史知识过于贫乏，对数学史“高评价、低应用”的现象普遍存在。另外，根据笔者的了解，对于深受考试制度影响的中国数学教育来说，“依考定教”的现象非常普遍，如果只是将数学史的应用局限于插入一些历史故事等低层次应用，如果教师看不到数学史对数学理解的帮助，数学史的融入恐怕只是一句时髦的口号而已。随着HPM研究的深入开展，国际学术界日益注重数学史与数学教育结合的可操作性具体方法的探讨以及数学史在数学教育中作用的实际证据的获取；数学教育取向的数学历史研究、实证性研究和教学实践探索上述两个方面将是未来HPM研究的重要方向。我国在该领域的文献大多停留在思辨的层面，研究方法相对落后，研究水平亟待提高，而且研究队伍也是一盘散沙。以下几项工作必不可少第一、建立一个HPM研究组织很有必要。将数学史融于数学教学是一个系统的工程，需要数学史家和教育家的共同努力。第二、将数学史融入数学教学理应走向实践，做一些实实在在的工作。

第三、应加强实证研究。数学史如何如何有用，空洞的说教已经没有多少意义，我们需要的是实际证据。国外学者的教学实验、测试、学生访谈、课堂观察等研究方法都值得我们借鉴。第四、就我国的实际情况看，高考制度对中学数学教学的影响是难以估量的，这些现实是我们必须正视的，要使得数学史融入数学教学不再成为一句空话，我们的“融入”必须要在学业成绩、时间投入等问题上求得平衡，做到在不“浪费时间”的前提下，既能激发兴趣，又能增进学生对数学的理解，从而也能使学业成绩得到提高。第五、提供可供教师直接使用的资源是当务之急。就我国的实际情况看，改变教师数学史知识贫乏的状况不是一日之功，要培养教师将数学史融入教学的能力更不能一蹴而就。所以，组织HPM研究人员，通过教学实践，编写可供大家分享的教学材料不失为一种办法。台湾的同行在这方面给我们做出了榜样。四、数学史融入数学教学的若干案例在前面几节里，我们已经多次强调数学史融入数学教学的实践探索的重要性。本节我们将给出若干案例，这些案例或直接或间接地运用了历史上数学家的思想。希望这些案例能起到抛砖引玉的作用。1、阿基米德《方法》中的教学启示阿基米德被公认为是历史上最伟大的数学家之一，在人们只掌握初等数学的时代，他却解决了初等数学无能为力的许许多多难题：抛物线弓形的面积、球、劈锥曲面体、马蹄体、两直交圆柱公共部分立体（牟合方盖）等的体积，阿基米德到底是如何发现这些曲边形面积和曲面体体积的？17世纪的欧洲数学家已经开始猜测：阿基米德的某部记载他的发现方法的著作失传了，一旦人们发现这部著作，谜底就能揭开。幸运的是，1906年，阿基米德的《方法》一书的抄本真的被发现了。书中写得清清楚楚：他用的是力学方法。比如说球体积，阿基米德设计了图4-17所示的杠杆ACH，其中CH＝AC，ABCD是球O为纸面所截得的大圆，AC、BD是其相互垂直的直径。过AC上任一点T作垂直于纸面的平面，交EL、FG于M、N，交大圆ABCD于P、Q，交AE、AF于R、S。于是MN、PQ和RS分别是圆柱EG、球O和圆锥AEF的圆截面直径。CH:CT＝AC:TC＝AC2:AC·TC＝AC2:PC2＝MT

2:(TC

2＋PT2)＝MT

2:(RT

2＋PT

2)＝圆柱EG的截面:(圆锥CEF的截面＋球O的截面)

因此由杠杆定律，重心放在H处的圆锥截面和球截面关于支点C与重心放在T处的圆柱截面相平衡。将所有截面力矩相加得：重心放在H处的圆锥和球关于支点C与放在原处不动的圆柱相平衡。因圆柱重心在球心O处，故有CH·(圆锥CEF＋球O)＝CO·圆柱EG，即CH:CO＝圆柱EG:(圆锥CEF＋球O)，由此求得球体积＝圆锥CEF＝4圆锥CBD。阿基米德的著作为我们今天的数学教学提供了借鉴：一个数学结果有时可以借助力学（实际上也包括物理学其他领域，如光学）原理和思想来推导或证明。比如，借助重心这个概念，我们立即能得到平面几何里的Varignon定理：任意四边形的四条边的中点四一个平行四边形的顶点。这里，我们记录的是高中数学里二次幂和公式的教学片段（见材料1）。传统的教学中，教师一般并不注重二次幂和公式的推导过程，因此学生往往知其然而不知其所以然；公式本身也往往很快就遗忘了。力学方法的引入让学生欣赏到数学的美和数学思维的广阔性，体会到不同学科之间神奇的联系，体验到学习的快乐。从课堂上热烈的气氛、从学生脸上灿烂的微笑，我们都能感受到这一点。事实上，早在20世纪中叶，西方关注数学教育的学者已经从阿基米德著作中获取了可贵的思想养料。M·克莱因认为，数学的直观性可以通过物理论证来获得。Fehr则提倡在数学教学中结合物理上的应用，他写道：“伏尔泰曾说过：如果没有上帝，那就有必要创造一个出来。同样，我们也可以断言：在数学学习中，如果没有该学科的物理应用，那就有必要创造出一些来！”

Hanna和Jahnke认为，物理概念和论证的运用可以“揭示复杂数学结构的本质特征，提供可以从整体上把握的证明”，能够“更加清晰地指出一个定理与别的数学领域或别的学科之间的联系”，“对于促进学生的数学理解具有很大的潜力”[30]。在实际数学教学中，当一个数学定理难以理解，当学生在黑暗中徘徊的时候，物理模型为我们提供了一扇窗口；即使这个定理不难从数学上去理解，物理模型又能拓宽学生的思维，加深对定理的理解。显然，在我们今天的中学数学课堂教学之中，人们往往忽视物理概念和论证方法；Hanna和Jahnke所说的物理方法在数学教育中所具有的潜力还有待于我们去开发。2、二次幂和模型的寻找、转化和探究自然数幂和公式有着精彩的发展历史，历史上的许多推导方法，特别是直观的几何方法，都为我们今天的教材编写和课堂教学提供了借鉴。教材在介绍一次幂和公式时所利用的钢管垛模型正是公元前6世纪古希腊毕达哥拉斯三角形数的一个翻版。教师在讲解二次幂和公式时，试图从引导学生寻找二次幂和的几何模型开始。（见材料2）3、HPM视角下的等比数列教学对于许多学生来说，数学从定理到定理，抽象、深奥、枯燥、刻板，似乎是数学家们玩的智力游戏，离他们是很遥远的。如何激发学生学习数学的兴趣、创造数学学习的动机呢？根据M·克莱因的观点，历史上的数学问题正可以发挥其双重作用。这里我们给出等比数列前n项和的教学片段。从新课引入开始。

师：约公元前1650年，一个名叫阿莫斯的埃及祭司在纸草上用僧侣文抄下了这样一个在他200年以前就已经被人提出的数学问题：有7座房屋，每座有7只猫，每只猫一天吃7只老鼠，每只老鼠一天吃7棵麦穗，每棵麦穗含麦子7个容积单位。问房屋、猫、老鼠、麦穗、麦子容积总数为多少？（学生大感兴趣，课堂气氛异常活跃，答案很快被求出。）生1：房屋数为：7；猫数为：7×7；老鼠数为：7×7×7；麦穗数为：7×7×7×7；容积数为：7×7×7×7×7；总数为：19607。师：我们先别急着算结果，如果按顺序排列这些结果可得：7，72，73，74，75。这是什么数列呢？生2：等比数列。师：很好！那你会求它们的和吗？（学生动笔逐一计算，很得意，纷纷想表现）生2：能。逐一算出再相加呗！师：可以，但是，如果项数很多怎么办？能否也象求等差数列的前n项和的方法求和。（多数学生已经预习过课本内容，议论后，纷纷举手）生3（板演）：设等比数列前n项和为，两边同乘以q得，两式相减（时）即得公式。师：很好！这种推导方法称为错位相减法。谁会用刚才这位同学推得的结论解决开始提出的数学问题？师：很正确。关于等比数列前n项和，除此之外还有别的推导方法吗？（学生展开讨论，但是没有结果）师：其实，古代埃及人已经使用了另外一个非常巧妙的推导方法。（出示如图4-34的投影片）

阿莫斯纸草上的等比数列问题那么，这个算式是什么意思呢？原来，古代埃及人的乘法运算和我们今天不同。比如说要求，他们的做法是先列出1和7，然后把这两个数依次翻倍，得到左右两栏数字（如下）。在左栏中找到两数4和8（和为被乘数12），在右栏中找到相应的两数28和56，它们的和就是所求的乘积。知道这一点，我们就马上能看出图1中左边一栏正是的算式，而其中2801正是7、49、343、2401的和再加1。由此可知，古代埃及人已总结出等比数列7，72，73，74…，7n，…的前n项和的递推关系。（生喝彩叫好）（至此生很激动，师顺势）师：还有其他方法吗？生（惊讶）：还有？生（恍然地，一齐喝彩）：我们怎么没想到。师：其实，这种方法就是公元前3世纪希腊著名数学家欧几里得的《几何原本》第9卷命题35。生5（惊讶）：不可思议……师：你们觉得哪种方法最好呢？（全班议论纷纷）生6：欧几里得的。生7：我看古埃及人的方法最先进…………………简评：比起教材上的错位相减法，古代埃及人的推导方法不但丝毫不逊色，而且还以简洁取胜；而欧几里得的方法由于仅仅基于等比数列定义和学生熟悉的比例性质，因而显得更为自然。从本节课的效果来看，历史数学问题和数学方法激发了学生浓厚的兴趣，创造了强烈的学习动机，拓宽了学生的思维，加深了对等比数列求和公式的理解，而且，学生在不知不觉中发现，原来数学也是可以欣赏的！在M·克莱因HPM思想指导下的历史文化向度的数学教学应该是很美的，它能消除枯燥，告别沉闷，开阔视野、激励创新，值得我们借鉴。参考文献[1]Furinghetti,F.Historyofmathematics,mathematicseducation,schoolpractice:Casestudiesinlinkingdifferentdomains.FortheLearningofMathematics,1997,17(1):55-61.

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