2024年南昌市某中学高三数学高考三模试卷（附答案解析）

2024年南昌市十中高三数学高考三模试卷

试卷满分150分，考试时间120分钟.

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的

1.已知由小到大排列的5个样本数据13,19,21,22,x的极差是11,则x的值为（）

A.23B.24C.25D.26

2.若以集合A的四个元素。，瓦为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（）

A.矩形B.平行四边形C.梯形D.菱形

3.若函数/（x）满足/（£|=-/（x）,则称"X）为满足“倒负”变换的函数，在下列函数中，满足“倒负”变

换的函数是（）

A.f（x）=-----B.无）=尤2C.f（x）—x-i—D.f（x）=x

1+xXX

4.如图，在扇形中，C是弦48的中点，。在初上，。0,48.其中。/=。3=厂，益长为/（/＜厂）.则

CD的长度约为（提示：时，COSX«1-）（）

rr「/「尸

AA.r-----Bo.——C.r-----D.——

8r8r4r4r

5.某校举办运动会，其中有一项为环形投球比寒，如图，学生在环形投掷区£内进行投球.规定球重心

投掷到区域A内得3分，区域B内得2分，区域C内得1分，投掷到其他区域不得分.已知甲选手投掷一

次得3分的概率为0.1,得2分的概率为6,不得分的概率为0.05,若甲选手连续投掷3次，得分大于7

分的概率为0.002,且每次投掷相互独立，则甲选手投掷一次得1分的概率为（）

II

A13「49-1753

A.—B.—,C.—D.—

20602060

6.(1+°+/)9-：］6的展开式中的常数项为()

A.-2B.-3C.-4D.-5

7.如图，在正四棱台MCD—44GA中，AD=2A】B「为上底面/BCD的对角线，且下底面/4GA

的面积和侧面8CC内的面积分别为20和15VL则该正四棱台NBCD-44GA外接球的表面积是（）

BiG

C.21071

已知函数/（力=加2瓦+2+x2-x有唯一零点，则加的值为（

二、多选题:本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数2="©©2,且」的虚部为3,则（）

（z+2）.（l-3i）为纯虚数

筌在复平面内对应的点在第二象限

10.已知椭圆沙:匕+，=1,点片,8分别为少的左、右焦点，点C,D分别为少的左、右顶点，过原点且

斜率不为0的直线/与少交于48两点，直线Ng与少交于另一点W,则（）

A.少的离心率为迫

B.|/阊的最小值为2-6

27r

C.少上存在一点P,使/3。=三

D.面积的最大值为2

11.函数/⑺及其导函数g（x）的定义域均为R,/（x+1）和g（2x-l）都是奇函数，则（）

A.g（无）的图象关于直线x=-l对称B./（X）的图象关于点（1,0）对称

C.g（x）是周期函数D.£g(/)=2024

三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设圆心在x轴的圆C过点（1,1）,且与直线＞=2x7相切，则圆C的标准方程为.

—.-3—.

13.在中，AB=4,AC=3,力。=90。,。在边5C上，延长AD至UP,使得4尸=9,若尸4=加尸3+q—相）尸。

2

（小为常数），则CD的长度是.

14.正方形螺旋线是由多个不同大小的正方形旋转而成的美丽图案，如图，己知第1个正方形4801。的

边长为印一，且舞弓依次类推，下一个正方形的顶点恰好在上一个正

方形对应边的3;分点处，记第1个正方形的面积为耳，第〃个正方形的面积为S〃，则

含加鼠=

07/1=1

四、解答题共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知公差不为0的等差数列｛%｝满足=443，且。2%-。5=.

（1）求｛%｝的通项公式;

（2）记J是数列｛4｝的前〃项和,证明：g+g+g+…+g<2.

16.如图1,在直角梯形48CD中，ABUCD,AB1BC,AB=2CD=2BC,8。为梯形对角线，将梯

形中的A42。部分沿4S翻折至N3E位置，使A48E所在平面与原梯形所在平面垂直（如图2）.

（1）求证：平面平面BCE；

FP

（2）探究线段E4上是否存在点尸，使EC//平面尸5。？若存在，求出若不存在说明理由.

EA

22

17.已知尸（1,0）为椭圆£卞+方=1（。>6>0）的右焦点，过E的右顶点A和下顶点3的直线的斜率为

V2

~T'

（1）求£的方程；

3

⑵若直线/：》=左(工-1)+1与E交于MN两点(均异于点5),记直线9和直线BN的斜率分别为人后，

求左1+左2的值.

18.已知函数/(%)=〃x+——2—x—lux

2

⑴求“X)的图象在点(1J⑴)处的切线方程；

(2)讨论“X)的单调区间；

(3)若对任意xe(l,+oo),都有/(x)Wln2-l,求。的最大值.(参考数据：ln2«0.7)

19.为落实食品安全的“两个责任”，某市的食品药品监督管理部门和卫生监督管理部门在市人民代表大

会召开之际特别邀请相关代表建言献策.为保证政策制定的公平合理性，两个部门将首先征求相关专家的

意见和建议，已知专家库中共有5位成员，两个部门分别独立地发出批建邀请的名单从专家库中随机产

生，两个部门均邀请2位专家，收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，专家如约参

加会议.

(1)设参加会议的专家代表共X名，求X的分布列与数学期望.

(2)为增强政策的普适性及可行性，在征求专家建议后，这两个部门从网络评选出的100位热心市民中抽

取部分市民作为群众代表开展座谈会，以便为政策提供支持和补充意见.已知这两个部门的邀请相互独

立，邀请的名单从这100名热心市民中随机产生，食品药品监督管理部门邀请了切(加©N*,2<用<100)名

代表，卫生监督管理部门邀请了M〃eN*,2<〃<100)名代表，假设收到食品药品监督管理部门或卫生监

督管理部门的邀请后，群众代表如约参加座谈会，且加+〃>100,请利用最大似然估计法估计参加会议

的群众代表的人数.(备注:最大似然估计即最大概率估计，即当尸(X=k)取值最大时，X的估计值为8

1.B

【分析】由极差的定义即可求解.

【详解】由题知最小的数据是13,最大的数据是x,则极差为x-13=ll,解得x=24.

故选：B.

2.C

【分析】根据集合中元素的互异性，可得。，瓦四个元素互不相等，结合选项，即可求解.

【详解】由题意，集合A的四个元素a,b,c,d为边长构成一个四边形，

根据集合中元素的互异性，可得四个元素互不相等，

以四个元素a,bed为边长构成一个四边形，结合选项，只能为梯形.

故选：C.

3.D

【分析】根据(x)逐一将选项的每个函数进行验证即可.

【详解】解：由题得〃x)满足了-/(x),则称〃幻为满足“倒负”变换的函数,

4

=-/（尤），不符合要求;

=-/仇），符合要求

4.B

【分析】根据弧长公式，结合已知求出角的余弦的近似值，求出C。,最后得到CD即可.

【详解】设圆心角a=，，l<r,1=

r22/I2

故选：B.

5.B

【分析】先由已知条件确定b=《，再计算1-0.1-b-0.05即可得到结果.

【详解】由于甲选手投掷3次后，如果得分大于7分，则3次的得分必定是3,3,3或3,3,（不考

虑顺序），所以其概率pMO.F+SxO.fi=（）001+0.036.

而已知。=0.002,故0,001+0.036=0.002,所以。=事.

17149

从而甲选手投掷一次得1分的概率为1—0.1-6—0.05=0.85—6=/—缶=a.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于利用已知概率逆向确定6的值.

6.D

【分析】根据两个二项式相乘，结合二项式展开式的通项公式，即可求得答案.

【详解】由［一£|可知［一：）=（-l）rC；«6-2r,其展开中常数项为-20,

令6-2r=-l,厂无整数解，不存在含的项,

令6-2--2/=4,故含尸项为(-1)4C,一2=15个，

5

的展开式中的常数项为1x（-20）+15=-5,

故选：D.

7.A

【分析】先确定该棱台的上下底面边长和高，然后解出外接球球心到下底面的距离，最后求出外接球半

径和表面积.

【详解】由于该棱台是正四棱台，故每条侧棱的长度都相等，且上下底面都是正方形.

而下底面的面积是20,所以下底面的边长6=20.

而片，所以上底面的边长0=40.

由于每个侧面都是上下底分别为4右和2。的等腰梯形，而面积为S'=15股,

故每个等腰梯形的高人言=君黑=布'

所以每个等腰梯形的侧棱长/==而*=VB.

由于每条侧棱在底面上的投影长都是李（〃-9，所以该棱台的高

Y

H=Al2-^(a-b)=V15-10=y/5.

最后设该棱台外接球球心到下底面的距离为无，则外接球球心到上底面的距离为因-尤|,并设外接球的

半径为R.

(A77(历弋(F)\

则(〃一x)?+—a=R2,x2+—b=R2,所以(〃一x『+—a=x2+—b

7I2,

即(右一J+(2炯2=f+(炯［解得x=苧，

所以炉=x：+［乌］/述］+(Vio)2=10=

22^>44

所以该外接球的表面积等于4位?2=4TI•1=285K.

4

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于设出外接球球心到下底面的距离，再列方程组求解.

8.D

_2J._2J

【分析】将函数变形，换元后得到加_一’+%，研究得到〃八=二。为偶函数，由/（X）有唯一零点,

一2+2-㈠—2+2一

6

得到函数〃⑺的图象与>=加有唯一交点，结合〃⑺为偶函数，可得此交点的横坐标为0,代入后求出

m=〃（0）=".

【详解】“X）有零点，贝u加，"；+2「"，=-X2+》=-［》一；）+；,

令/=X一；，则上式可化为加（2'+2一'）=一/+；,

_21

因为2'+2T>0恒成立，所以,'+4>

III一■

，+2一

71/\2101

A-t-\--rrl.r-（—/）-!---IH--

A（0=-~v则〃（T）=—；~r-=-~~*

v72'+2-'v72T+2'2'+2T、'

故〃（。为偶函数，

因为〃x）有唯一零点，所以函数〃⑺的图象与歹=加有唯一交点,

结合〃⑺为偶函数，可得此交点的横坐标为0,

故加=M0）=/F

8

故选：D

9.AC

【分析】利用向量的除法运算和虚部为3,即可求出。=1,再利用复数乘除运算和模的运算以及复平面

内对应点的表示，就能作出选项判断.

【详解】由6=e7=6i(〃+i)66a

+口】的虚部为3,则=3,

za—i(q_i)(q+i)/+1a2+l

解得。=1,所以选项A正确.

,.333(l+i)33.

z=l—i,-=----=----------=—I—i

z1-i(l-i)(l+i)22

所以,所以选项B错误.

由（z+2>（l-3i）=（3-i）-（l-3i）=-10i为纯虚数，所以选项C正确.

2+i2+i（2+i）（3+i）J1

出z+23-i（3-i）（3+i）22，

所以复数组在复平面内对应的点为［上（］，位于第一象限，所以选项D错误,

z+2122J

故选：AC.

10.ACD

7

【分析】熟悉椭圆的离心率公式£,椭圆焦半径取值范围为[q-c,a+c],焦半径三角形顶角在上顶点时

a

取最大，先对选项A、B、C作出判断，对于选项D,就需要设出直线的方程为x=+与椭

圆方程联立，再把三角形面积计算公式转化到两根关系上来，最后代入韦达定理得到关于加的函数式，

从而求出最值.

【详解】由题知，该椭圆中a=2,6=l,c=6,所以离心率为5,A正确；

根据椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点得，距离最大为a+c,距离最小为c,

又直线的斜率不为0,所以|/巴|＞。-。=2-6,B错误；

当椭圆的对称可知当P为短轴顶点时，NCPD取得最大值，此时尸|=设尸|=6,|。|=4,

\CP^+\DP^-\CD^312TI

由余弦定理得cos/CPD=J~二~L=—<—,故/CP0>一,

2\CP1\-\DP\523

2兀

即少上存在一点尸，使/CPZ)=3-,C正确；

设直线AM的方程为x=my+^),联立直线与少的方程得("/+4)/+2&y-1=0,

设"(X],yJ,M(X2，%)，则y+y=-2,二，为为=1'

m+4m+4

2

,(.-----,,.-----I12m44(/+1)

所以|/叫=而7H-%卜河3?+定暮=病+4，

又点O到直线4M的距离为d=■/?

+1

4^/3xdm2+1

所以邑施=2邑皿邛”田=

m2+4

=^|^>1),/+->2A/3

令人”2+1,则

*+3二t

3

当且仅当/=，，即/=。时，等号成立,

所以面积的最大值为2,D正确；

故选：ACD.

11.BC

【分析】由g（2x-l）是奇函数可判断A；利用/（x+1）向右平移1个单位后可得/（x）可判断B；利用

/（x+1）是奇函数，得到关系式，两边同时求导可得g（r+2）=g（x）,再由8（力=-8（--2）可求出8（力

的周期可判断C由g（x+4）=-g（x）可得g⑴+g（2）+g（3）+g（4）+g（5）+g（6）+g⑺+g（8）=0,即可

8

判断D.

【详解】对于A,因为g(2尤-1)是奇函数，所以g(-2x-l)=-g(2x-l),

则有g(-xT)=-g(xT)，g(x)的图象关于点(TO)对称，故A错误;

对于B,/(x+1)是奇函数，其图象关于原点对称，

/(x+1)向右平移1个单位后可得/(X),所以/'(x)的图象关于点(1,0)对称，故B正确;

对于C,因为/(x+1)是奇函数，所以4-x+l)=-/(尤+1),

所以-T(-X+I)T(X+I),所以/(-》+1)=/。+1),

所以g(-尤+l)=g(x+l),所以g(-x+2)=g(x)①，

因为g(-x_l)=_g(x_l),所以g(x)=_g(-x_2)②，

由①②可得：g(-x+2)=-g(-x-2),所以g(x)=-g(x-4),

所以g(尤+4)=-g(x),g(x+8)=-g(x+4)=g(x),

所以8是函数g(x)的一个周期函数，所以g(x)是周期函数，故C正确；

对于D,因为g(x+4)=-g(x),所以g(l)=-g(5),

g(2)=-g(6),g(3)=-g(7),g(4)=-g(8),

所以g(l)+g(2)+g(3)+g(4)+g(5)+g(6)+g⑺+g(8)=0,

2024

而»(。=253口6+42)+/3)+44)+《，+4@+《力+&8]=(,故D错误.

i=[

故选：BC.

【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论

(1)/卜+。)=/(6-/。/(“关于工=苫^轴对称,

(2)/(x+a)+/(6-x)=2c=/(x)关于中心对称，

(3)/(x+a)=/(尤+b)n/(x)的-—个周期为7=卜-耳，

(4)/■(x+a)=-/(x+b)n/(x)的一个周期为7=2|"升

可以类比三角函数的性质记忆以上结论.

12.(JC-3)2+J；2=5

9

【分析】设圆。的圆心为（如o）,根据已知条件得出半径为口等，再将（1,1）代入卜_加），必=色F

即可解出机=3,从而得到答案.

【详解】设圆C的圆心为（如o）,则由于该点到直线了=2x-l的距离4=考』=飞」，结合圆。与

直线相切，知圆C的半径为与

所以圆。的方程是。_加/+声=（2加；1）2.

而圆C过点（1,1）,所以（1_加）2+仔=（2加；1）2,解得加=3.

所以圆C的标准方程是（x-3）2+炉=5.

故答案为：（X-3『+/=5.

13.—或0

【分析】根据题设条件可设秒=加（/>0）,结合用=汨+（|-3定与民“三点共线，可求得人再

根据勾股定理求出8C,然后根据余弦定理即可求解.

【详解】：4。,P三点共线，

・••可设苏=丸而（4>0）,

•<,PA=mPB

3

若招。且"丁,则以A。三点共线,

VAP=9,：.AD=3f

AB=4,AC=3,ZBAC=90°,

：.BC=5,

设CD=x,/CDA=e,贝I」3D=5—X,ABDA=7i-0.

心+BD?-信二（5-耳-7

根据余弦定理可得COS0="。；牛丁2=£cos（万一6）=

2ADCD62ADBD6（5-x）'

*.*cos3+cos（万一6）=0,

10

解得=与

66(5-x)5

1Q

・・・C。的长度为

当加=0时，PA=^PC,C,。重合，此时CD的长度为0,

3_鼻_.

当加=—时，PA=-PB,民。重合，此时尸4=12,不合题意，舍去.

22

1Q

故答案为：0或1.

【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出

P3=2P5(2>O).

5

14.8-(3〃+8)-

【分析】据已知条件可确定s“=［然后使用数列求和方法即可.

【详解】由于第〃个正方形的边长为疯，而第(〃+1)个正方形的面积等于第"个正方形的面积减去四

个直角三角形的面积，故二-富吗=

M+1

而岳=1,故s“

a«a«m-\

所以《为月,=-^7-5

3m=\"/n=l

11

5

5

=8-(3〃+8〉

故答案为：8-（3九+8）1».

【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于从相似图形中辨别出等比数列.

15.（1）%=27-1⑵证明见解析

【分析】（1）设％=赤+C,再用已知条件列出两个方程并解出其中的参数；

（2）直接求出再用裂项法即可.

【详解】（1）设。“=而+C,则由已知有（3d+C）2=（d+C）（13d+C）,（2d+C）（34+C）-（54+C）=3d.

将第一个等式展开化简可得屋+24C=0,故由dwO知C=-《.

再代入第二个等式可得当•"-q=3",解得4=2,从而C=-g=-l.

2222

故｛%｝的通项公式是

（2）由于S,=

111111111111

22222

以SiS?s3Snl23nI1-22-3-1）n

,11111,1

=1+1-----1------------1-...H----------------=2—<2.

223n-1nn

FP1

16.（1）见解析（2）存在点尸，且方时，有EC//平面尸友）,详见解析

EA3

【分析】（1）取48中点尸，连结。尸，证明/E_L平面8CE,得到平面4DE_L平面.

FP1

（2）存在点尸，且时，有CE//P。从而得到£。//平面尸如.

EA3

【详解】（1）取48中点尸，连结DF,

则。尸=8尸=冗4,故/BD/=90°,

12

又平面/3CZ）1平面4E8,且平面4BCDC平面=

BCLAB,8Cu平面/BCD,

二8C1平面/3E,又/Eu平面/BE,BC±AE.

又AELBE,BCCBE=B,；.NE_L平面BCE,又4Eu平面/DE,

平面ADE1平面BCE.

pp1

（2）存在点尸，且——=—时，有EC//平面尸5。，

EA3

COCD1

连结/C交于。，由CQ//4B知音=一m=彳，

QAAB2

Ep]co

又"7=彳=刀7，故CE//P。，又CEu平面PBO,尸。u平面P8D,

PA2QA

：.CEV/平面尸BD.

【点睛】本题考查了面面垂直，线面平行，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

17.⑴1+1（2）2

【分析】（1）根据已知条件列出关于。力的两个方程，再解出。力即可；

（2）将直线和椭圆联立，利用韦达定理即可化简并求出结果.

【详解】（1）

由尸（1,0）有l=c=J7H；而/（。刀），8（0,-。），故也=3=幺

2a

所以1=Ja?-b。=ajl—.J=a11-=-^-a，从而a=V^，故6=1.

所以E的方程是]+/=L

y=左(％—1)+1

：

(2)设N（x2,y2）,将直线/与E联立:X22।

——+y=1

12

将直线代入椭圆，得至lj/+2,（x-1）+1『一2=0.

展开即为（1+2左2）/+4左（1-甘尤+2左（左一2=0.

4左("1)2k(k-2)

故再+马二

1+2左23=不歹

由于8（0,—1）,故一1w左（0—1）+1,即左02,

13

从而占+%=%±1+匹土1=位1）吧+-J）+2

=2k+（2-k）

X]x2X]

4MI）

="+（2一吐奖=2打（2/）.^1r2左+（2-外・1^=2"2（14）=2.

\+2k2

所以尢+e=2.

18.(i)y=-1；

(2)答案见解析；

⑶2.

【分析】(1)求得/(1),广⑴，再根据导数的几何意义，即可求得切线方程；

(2)讨论参数。与0和1的大小关系，在不同情况下，求函数单调性，即可求得单调区间；

(3)将问题转化为/(x)在(1,+8)上的最大值/(X)皿Vln2-1,根据(2)中所求单调性，求得/(尤)

再构造函数解关于。的不等式即可.

［详解］(1)/(x)=a［x+一tax),/'⑴=“_二"_「=(x+l)(xJ)(ax),又

/(l)=-p/⑴=0，

故〃x)的图象在点(1，/⑴)处的切线方程为歹一［一£|=0,即尸一；.

(2)/(x)J(x+l)(x」(i),又x>0,x+l>0,

X

则aW0时，当尤e(O,l),f'(x)>0,了=/(无)单调递增；当xe(l,+oo),/(x)<0,了=/(无)单调递减;

0<a<l时，当xe(O,a),/(x)<0,y=/(x)单调递减;当xe(a,l),/(x)>0,V=/(x)单调递增;

当xe(l,+oo),/(X)<0,y=/(x)单调递减；

a=l时,当xe(0,+oo),f\x)<0,了=/(x)在(0,+oo)单调递减；

a>l时，当xe(O,l),f\x)<0,y=/(x)单调递减；当xe(l,a),/(x)>0,V=/(x)单调递增;

当xe(a,+co),/(x)<0,V=/(x)单调递减.

综上所述：当aVO,/(x)的单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,+8)；

当0<a<l,/(尤)的单调减区间为(O,a),(l,+8),单调增区间为(a,1)；

14

当a=l,/(x)的单调减区间为(0,+8),没有单调增区间;

当。>1,/(x)的单调减区间为(0,1),(a,+8),单调增区间为(1,a).

(3)若对任意xe(l,y),都有;■(x)Wln2-l,则/'(x)在(1,+s)上的最大值/'(x)1mxVln2-1；

由(2)可知，当a>l,/(尤)在(1,。)单调递增，在(d+oo)单调递减,

故/3皿=-2a-Ina\=lnQ*d—2a+1；

令机(x)=Inx+'f-2x+l,x>1,贝um\x)=-+x-2>2,1--x-2=0,

2x\x

故了=加3在(l,+8)单调递增，Xm(2)=ln2+2-4+l=ln2-l,则加(2)Wln2-l；

2

故当a=2时，f(^)niax=Ina+^-a-2a+1<In2-1,

也即当a=2时，对任意xe(l,+8),都有/(x)Vln2-l.

故。的最大值为2.

【点睛】关键点点睛：本题第三问处理的关键是，将/(x)Vln2-l在区间上恒成立，转化为

/(x)max<ln2-l,再根据第二问中所求函数单调性求得;'(x)1mx,再构造函数解不等式

1,

InaH—a—2。+1WIn2—1即nJ*.

2

19.(1)分布列见解析，3.2(2)详见解析.

【分析】(1)根据离散型随机变量的概率公式计算得分布列及期望；

⑵设收到两个部门邀请的代表的集合为/U8,人数Card(AUB)=k,Card(A^B)=m+n-k,设参加

「k-n

会议的群众代表的人数为Y,则由离散型随机变量的概率公式可得尸(丫=左)=L100一加

^100

设尸(y=k)>P(Y=k+}],P(Y=k)>P(Y=k-1),

由组合数公式计算得一----1-------<k<—----1----------+1,

102102

分类讨论则竺止竺二1是否为整数即可得出结果.

102

r2

【详解】(l)x的可能取值为2,3,4,则尸(X=2)=B=0.1,

C5c5

p(X=3)=53丁=06,P(X=4)=T~^=O3,