数列题集(部分答案)

学而时习之，不亦乐乎？AllRightsReservedGuoPeng9/91.解：设的公差为，则，即解得因此2.3.解：（1）由整理，得解之得：．（2）解法一：由可知，为一个递减函数列．因此，在中，必存在一个自然数，使得，，此时对应的就是中的最大值．由于于是，从而．因此最大．4.解：（1），是常数，为等差数列．（2）．5.解：(1)由，得解得d=-2.∴.(2),当n=13时,最大,最大值为169.6.解：（1），，，因为，，成等比数列，所以，解得或．当时，，不符合题意舍去，故．（2）当时，由于，，,，所以．又，，故．当时，上式也成立，所以．7.答案缺8.解(1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝5，,a1＋9d＝－9，))可解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝9，,d＝－2，))所以数列{an}的通项公式为an＝11－2n.(2)由(1)知，Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝10n－n2.因为Sn＝－(n－5)2＋25，所以当n＝5时，Sn取得最大值．9.解由S2＝16，S4＝24，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋\f(2×1,2)d＝16，,4a1＋\f(4×3,2)d＝24.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋d＝16，,2a1＋3d＝12.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝9，,d＝－2.))所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n(n∈N*)．(1)当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.(2)当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50，故Tn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－n2＋10nn≤5，,n2－10n＋50n≥6.))10.解：（1）设等差数列的公差。因为所以解得，所以（2）设等比数列的公比为，因为，所以即=3，所以的前项和公式为11.解（1）（2）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：第二行是首项为7，公差为5的等差数列：………第行是首项为，公差为的等差数列，因此，要找2008在该等差数阵中的位置，也就是要找正整数，使得所以当时，得所以2008在等差数阵中的一个位置是第1行第669列.12.13.解：（1）……4分（2）……6分数列从第10项开始小于0.……7分（3）是首项为25，公差为的等差数列，共有10项.…9分所以……10分……114.解：，当时，当时，∴15.答案缺16.解析：(1)由已知a6=a1＋5d=23＋5d＞0，a7=a1＋6d=23＋6d＜0，解得:－＜d＜－，又d∈Z，∴d=－4(2)∵d＜0，∴{an}是递减数列，又a6＞0，a7＜0∴当n=6时，Sn取得最大值，S6=6×23＋(－4)=78(3)Sn=23n＋(－4)＞0，整理得：n(50－4n)＞0∴0＜n＜，又n∈N*，所求n的最大值为12.17.解：（1）依题意有，解之得，∴.（2）由（1）知，＝40，，∴＝＝.（3）由（2）有，＝＝－4＋121，故当或时，最大，且的最大值为120.18.解：由，得，，，（1）又时，有最小值（2）令即，，，为负数，，以后的项为正数时，时，19.解：(1)…3分………………….6分（2）∵………..9分∴………………..12分20.答案（缺）21.解：（1）∵是与2的等差中项∴∴，解得 ，解得 （2）∵， 又∵ ∴，∵，∴即数列是等比数列∵，∴ ∵点在直线x-y+2=0上，∴ ∴，即数列是等差数列，又，∴22.解析：(1)设根据甲方案第n次的增资额为an，则an=1000n第n年末的增资总额为Tn=500n(n＋1)根据乙方案，第n次的增资额为bn，则bn=300n第n年末的增资总额为S2n=300n(2n＋1)∴T1=1000，S2=900，T1＞S2只工作一年选择甲方案T2=3000，S4=3000，T2=S4当n≥3时，Tn＜S2n，因此工作两年或两年以上选择乙方案.(2)要使Tn=500n(n＋1)，S2n=an(2n＋1)S2n＞Tn对一切n∈N*都成立即a＞500·可知{500}为递减数列，当n=1时取到最大值.则a＞500·=(元)，即当a＞时，方案乙总比方案甲多增资.23.解：（1）当时，①…4分当时，，也满足①式6分所以数列的通项公式为7分（2）10分14分24.解：由已知得.从而，即.25.解：（1）由题意，，为等差数列，设公差为，由题意得，.（2）若，时，故（3）若对任意成立，即对任意成立，的最小值是，的最大整数值是7。即存在最大整数使对任意，均有26.解：(1)由.且得……2分,…………4分在中,令得当时,T=,两式相减得,…………6分.………………8分(2),