2025届高考数学二轮复习：数列题型解答题 专项训练【含解析】

2025届高考数学二轮复习.数列题型解答题专项训练

一、解答题

1.已知数列｛4｝的前〃项和为s“，且S〃=g（4-1）.

（1）求〃1,电；

（2）证明：数列｛4｝是等比数列.

答案：（1）%=—g；%=；

（2）数列｛4｝是首项和公比均为的等比数列

解析：（1）当〃=1时，4=S[=（（4]—1）,所以□[=—g.

当〃=2时，S2=—g+4=—1），所以

⑵由s〃=ga-i）,得加=#%-1）（心2）,所以

an=S“_Ei=—/_1）5>2）,所以4=—ga,T（">2）.

又q=—g,所以数列｛%｝是首项和公比均为-；的等比数列.

2.设S“是数列｛叫的前〃项和且〃eN*,所有项4〉0,且S〃=；a；+ga“-：

（1）证明：｛%｝是等差数列；

（2）求数列｛%｝的通项公式.

答案：（1）证明见解析

（2）an=2/1+1

11Q

解析：（1）证明：当〃=1时，q=S]=a。；+54—a,解得。1=3或q=-1（舍去）.

当2时,an=Sn-Sn_1=；（片+2%-3）—+24_]-3）,

所以4%=Q；-裁1+20yl-2an_xn（。〃+an_1）（an-an_i-2）=0,

因为2+。〃一1>。，所以%—%_i=2.

所以数列｛4｝是以3为首项，2为公差的等差数列.

(2)由(1)知%=3+2(〃-1)=2〃+1.

3.在数列｛4｝中=4,a,#]=4a“—3”+l,“eN*.

(1)设包=%-〃,求证：数歹!]也｝是等比数列；

(2)求数列｛4｝的前几项和S..

答案：(1)见解析

(2)9+1)+4〃_]

2

解析：(1)证明：an+l=4an-3n+l,

bn+l=a“+i-(九+1)=4«n-3n+l-n-l=4(%-n)=4bn,

又1&=a「l=4_l=3,

二数列｛〃｝是首项为3、公比为4的等比数列；

(2)由(1)可知a"—〃=3X4"T,即%=〃+3X4"T,

$/("+1)।3(1—4")_仆+1)।1]

n21-42

4.在数列｛叫中,牝=16,点(a“,a“+i乂"eN*)在直线x-y+3=0上.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若a=2%”,求数列｛〃｝的前〃项和

答案：(1)an-3n-2

(2)见解析

解析：⑴依题意，4--+3=0,即/-4=3,因此数列｛%｝是公差为3的等差数列,

则an-a6+3(“-6)=3〃一2,

所以数列｛4｝的通项公式是4=3〃-2.

(2)由(1)得仇=(3〃—2>2",

则7；=1x21+4x2?+4x23+…+(3”一2)x2",

■^>27；=lx22+4x23+•••+(371-5)x2"+(3/i-2)x2n+1,

两式相减得

22(1-2"T)

3(22+23+…+2")—(3〃—2)•2n+1=2+3.—(3〃—2>2"+i

-Tn=2+1^2

=(5-3n)-2B+1-10,

所以7；=(3〃-5)2+1+10.

5.已知公差不为0的等差数列｛4｝的前〃项和为S“，且A=36，％3成等比数列.

（1）求数列｛q｝的通项公式；

（2）设数列]的前〃项和为,若不等式T<&对任意的“eN*都成立，求实数k

"+iJ"4

的取值范围.

答案：（1）an=2/7-1

⑵k>2-

解析：（1）设等差数列｛4｝公差为〃

由题意16%：15d=36"彳0,解得

（囚+2d）=4（4+126?）[d=2

所以%,=1+2（〃-1）=2〃-1；

(2)由⑴—（2〃—Ki）」（六一看'

44+1

所以T=-(l-A)l(---)+

+一(------------)——(1----------)

“2323522n—l2M+122n+l

易知北是递增的且7；<g,不等式（对任意的〃cN*都成立，则所以左22.

2+

6.已知数列｛与｝的前几项和S0满足4S〃=（n+l）,nGN-

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）记数列的前〃项和为却若对任意的〃eN+，不等式5T“<a2-a恒成立，求

〔44+1J

实数。的取值范围.

1,n-\

答案：⑴4=2〃+1.

-------,n>2

[4

（2）aW-3或。之4

解析：(I)4s〃=(“+1)2

当〃=1时,4q=(1+1)2,即q=1

当心2时，由4=S“-S…

故4a=(”+1)2-a2=2”+1,得a=2"I.

nn4

1,n—\

易见％=1不符合该式,故〃〃=v2n+l

----,n=2

I4

14

(2)由4〉0,易知7；递增;工=——=-

a。5

1641______

当2时,----

(2n+l)(2n+3)(2〃+12n+3)

4%

1111112812

从而7；=-+8|--------1------------FH---------------------<—.

"5(57792M+12〃+352〃+35

又由51<4—故i2<〃—解得QW—3或。之4

即实数a的取值范围为aw—3或aN4

7.记S,为数列｛4｝的前n项和，已知囚=；，,,,是公差为1的等差数列.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)设优=(-1)"a"，求也｝的前2n项和T21t.

答案：(1)

(2)-

2

解析：(1)由[工4是公差为，的等差数列，且8=i,则2=1+(”一1卜工=4+±

J2a｛an222

即2s拉=(〃+1)为,当时,2S〃_i=〃4_],两式相减可得：2%+-叫

整理可得'=j-,故4=&.也..".q=j-xBx-><2xL=L〃，

an_xn-1an_xan_2axn-1n-2122

将〃=1代入上式,4=g,故｛an｝的通项公式为an=y.

(2)由2=(-!)%,则

a+a

T2n+b2+.+&“=-q+g-%+%-~in-\in

a

=｛2+«4++«,„)-(«1+a3++。2"-1)=----------------------------------------2-------

=——x2+—X2H-—xl--x(277-1)--.

212222'12

8.已知数列0｝是各项均为正数的等比数列，且q=1,%=4，数列也｝中

>=log2an+log,4+ieN*).

(1)求数列｛〃｝的通项公式；

(2)若数列｛bn｝的前n项和为S”,数列｛%｝满足g=」一，求数列｛c„｝的前n项和T„.

4s0-1

答案：(1)4=2〃—1

解析：（1）正项等比数列｛q,｝的公比为q,由4=。闷2,得^=4,

而乡＞0,解得乡=2,于是4=的广1=21,

由2=log2an+log2an+i，得bn=log22"^+log22"=2/7-1,

所以数列也｝的通项公式b“=2/z-l.

（2）由（1）知也=2〃-1,显然数列也｝是等差数列凡=1+-0•二=心

[=]=]=_(_______

4S„-1―4n2-l—(2/7-1)(2«+1)-2-2n-l~2n+l'

所以4=^［（1-1）+（|-|）+

+(4-------)]=—(1----------)=-------

2n-l2n+l----22n+l2n+l

9.已知等差数列｛g｝前〃项和为5〃，满足%=3,S4=10.数歹U也｝满足

rr\b/l+1_2。〃+1*

4=2,---，几£N•

2a”

(1)求数列｛4｝,｛"｝的通项公式;

（2）设数列｛c｝满足c=（T）"（3〃+2）

eN*，求数列｛c“｝的前n项和Tn.

a“b”+i

答案：（1）见解析

(2)见解析

q+2d—3

解析:(1)设数列｛4｝的公差为d,二.<

4%+6d=10

解得q=l"=L：.an=n.

垣=生+D,.•.”1=2,且且=2,所以[组]是等比数列，

bnn%1[n]

n

b

=2""4=小2〃

n

(2)°-(T)"(3”2).(1,1(-1)"(-1严

"H(H+1)-2"+1(H+1)-2"+1Jn-r(H+1)-2"+1'

“2-5+1)2”

10.已知各项为正的数列｛%｝的首项为2,a2=6,an+2an+l-2^+1=an+xan-a^-anan+2.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

n

(2)设数列｛an｝的前n项和S"，求数列⑸+%-28｝(其中“eN*)前项和的最小值.

答案：(1)an=4n-2

(2)最小值为-38

解析：(1)因为4+2。,+1-2喙=4+14-4-44+2，

所以有(%+1+%)3+2+2。"+1)=0,而为〉0,an+4+产0,

所以见+2+an-2an+l=0,则an+2-an+1=aM-an=an-%=…=%一"，

又…q=2吗=6a2-aY=4,由等差数列定义知数列｛%,｝是以2为首项,4为公差的等

差数列.

数列｛4｝的通项公式为=4〃-2.

22

(2)由(1)WSn=2n+x4=2n,5„+-28=2n+4n-30=2(n+5)(n-3),

令-28>0,有〃=4,5,6,…；—28<0，有〃=1,2；-28=0,有〃=3.

所以｛S〃+为-28｝前〃项和的最小值为2(1+5)(1-3)+2(2+5)(2-3)=-38,当且仅当

九=2,3时取到.

H.记S”为数列｛an｝的前n项和，已知Sn=/,等比数列也｝满足4=%,&=%,

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)求也｝的前〃项和T..

答案：(1)4=2"一1(〃eN*)

(2)当q=3时,T=老—工；当q=—3时,T

，!22"44

解析：(1)当〃=1时,％=S]=1,

当时,4=S「S〃T

=n2—(M—I)2

=2〃—1,

因为q=1适合上式，

所以为=2〃-1(九wN*).

(2)由(1)得仇=1也=9，

设等比数列也｝的公比为q恻&=乙./=9，解得q=±3,

当好3时,7_正巧_h」，

"1-322

当“=—3时,7j\-(-3)1」_应.

"1-(-3)44

12.记Sn为数列｛an｝的前n项和.已知乡+〃=24+1.

(1)证明：｛凡｝是等差数列；

(2)若%,%,旬成等比数列，求S.的最小值.

答案：(1)证明见解析

(2)〃=12或13时，S“取得最小值，最小值为-78

2s

解析：(1)由--+n=2an+1,得2Sn+〃2=2a/+〃，①

所以2sM+5+1)?=2an+l(n+1)+(〃+1),②

②-①，得2。计1+2"+1=2。0+1(附+1)—+1，

化简得a”+i-%=1,

所以数列｛%｝是公差为1的等差数列.

(2)由(1)知数列｛%｝的公差为1.

由蜡=。4。9，得(q+6)-=(q+3)(q+8),

解得q=-12.

n(n—V)"2—25〃125

所以第=-12n+

222l-v

所以当〃=12或13时，S”取得最小值，最小值为-78.

13.已知数列｛叫满足％=1,%=3""+"'"为奇数数列也｝满足优=%-2.

册-2几,几为偶数,

(1)求〃2，%.

(2)求证：数列｛々｝是等比数列，并求其通项公式.

(3)已知c〃=logiMJ,求证：-^―+^—++--—<1.

2。1。2C2c3Cn-\Cn

答案：(1)a=—9a.=——

222

(2)证明见解析

(3)证明见解析

1Q5

解析：(1)由数列｛4｝的递推关系，知%=5%+1=2，a3-a2-2x2=——.

(2)

2

2+1="2“+2-=1«2„+1+(2/+1)—2=万％什|+(2/-1)=；(a2；i-4«)+(2n-l)=|a2„-l

=32〃-2)=口,,.

因为2=-g,所以数歹!]｛〃｝的各项均不为0,

所以8=',即数列他“｝是首项为―工，公比为的等比数列，

222

所以勿=一一

(3)由(2)知q,=Iog]M，J=k>g]

22

所以」一+」一+1

H-----------

℃C2c3Cn-\Cn

111

----------1-----------FH---------------

1x22x3(n-l)n

=1­11

H----------------

223n—1n

=1--

n

<1.

14.已知数列｛q,｝是公比为2的等比数列，的，%，4成等差数歹U.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）若）=1+1呜4,设数列也｝的前〃项和为7；,求证：1<7；<3.

an

n

答案：（1）an=2

（2）证明见解析

解析：⑴因为久，a3,g-4成等差数列，所以2%=%+%-4,

又因为数列｛«„｝的公比为2,所以2qx22=2%+qx23-4,

-1

即8%=2al+8a1-4,解得%=2,所以a“=2x2"=2".

⑵由⑴知一〃，贝=F=用

234n+1

所以看=5+齐+了+-\--，----①---

T

123n〃+i

5小声+声++----F②

2n2〃+i

①-②得3，=1+[3+?++《卜貂

11

1-11

112”Tn+11+112〃+1n+1

+1-12"+12向

22

=14-2n+13n+3

22"t+i2〃+i22"i

所以北=3-皇＜3・

又因为〃=黑＞0,

所以｛%｝是递增数列，所以所以1＜7；＜3.

15.在①用“=2d+1,②％=々+&，③瓦,b2,优成等比数列这三个条件中选择符合

题意的两个条件,补充在下面的问题中，并求解.

已知数列｛4｝中,4=1,«„+1=3«„,公差不等于0的等差数列也｝满足

b

求数列卢的前〃项和S”.

答案：选①②；选②③

解析：因为q=1,an+1=3an,所以｛4｝是以1为首项，3为公比的等比数列，所以

4=3"-'.

方案一：选①②.

设数列也｝的公差为力

因为。2=3，所以4+4=3.

因为用”=26”+1,所以〃=1时，b2^2b}+l,

,77

解得4=—,b=—9

1323

所以d=g,所以么=手满足%,=22+1,

所以、寄

所以邑=4+%+b2一7,一125〃一3

~\————-H——H——+*H--------

3132333"

g、J027125n—85〃-3

H------1----