八年级数学上册轴对称填空选择综合测试卷含答案

一、八年级数学全等三角形填空题（难）

1.如图，在MBC中，NA8C和NACB的平分线相交于点。，过点。作EF〃BC交AB于

E,交AC于F,过点。作。D_LAC于。，下列四个结论：

①EF=BE+CF；

o1

②/BOC=90°+—ZA；

2

③点0至必ABC各边的距离相等；

④设OD=m,AE+AF=n,贝。5梃F=mn.

其中正确的结论是—.（填序号）

【答案】①②③

【解析】

【分析】

由在△ABC中，NABC和NACB的平分线相交于点0,根据角平分线的定义与三角形的内

角和定理，即可求出②NB0C=9（T+JNA正确；由平行线的性质和角平分线的定义可得

△BE0和4CF0是等腰三角形可得①EF=BE+CF正确；由角平分线的性质得出点0到4ABC

各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形的面积求法，设0D=m,AE+AF=n,

则△AEF的面积=gnw,④错误.

【详解】

在△ABC中，/ABC和NACB的平分线相交于点O,

11

.•.Z0BC=-ZABC,Z0CB=-ZACB,ZA+ZABC+ZACB=180°,

22

1

.\ZOBC+ZOCB=90"——ZA,

2

.•.ZBOC=180°-(Z0BC+Z0CB)=90°,故②NBOC=90°+—NA正确;

2

在△ABC中，NABC和NACB的平分线相交于点O,

AZOBC=ZEOB,ZOCB=ZOCF,

VEF/7BC,

.\ZOBC=ZEOB,ZOCB=ZFOC,

ZEOB=ZOBE,ZFOC=ZOCF,

BE=OE,CF=OF,

EF=OE+OF=BE+CF,

即①EF=BE+CF正确；

过点。作OM_LAB于M,作ON_LBC于点N,连接AO,

:在△ABC中，ZABC和/ACB的平分线相交于点O,

；.ON=OD=OM=m,即③点。到△ABC各边的距离相等正确；

ASAAEF=SAAOE+SAAOF=-AEOM+-AFOD=-0D-(AE+AF)=-mn,故④错误;

2222

故选①②③

【点睛】

此题主要考查角平分线的性质，解题的关键是熟知等腰三角形的判定与性质.

2.如图，四边形48C。中，AB=AD,AC=5,ZDAB=ZDCB=90°,贝|四边形ABC。的面

积为.

【解析】

【分析】

过A作AE_LAC,交CB的延长线于E,判定AACD0AAEB,即可得到AACE是等腰直角三角

形，四边形ABCD的面积与AACE的面积相等，根据SAACE=^x5x5=12.5,即可得出结论.

2

【详解】

如图，过A作AE_LAC,交CB的延长线于E,

：/DAB=/DCB=90°,

AZD+ZABC=180°=ZABE+ZABC,

.\ZD=ZABE,

X".'ZDAB=ZCAE=90°,

.•.ZCAD=ZEAB,

又；AD=AB,

.•.△ACD^AAEB(ASA),

；.AC=AE,即AACE是等腰直角三角形，

四边形ABCD的面积与AACE的面积相等，

..1

•SAACE=*5x5=12.5,

2

四边形ABCD的面积为12.5,

故答案为12.5.

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等

三角形解决问题

3.如图，在A4BC中，AB=8,AC=5,4。是/BAC的角平分线，点。在AABC内部，连接

AD,BD、CD,NADB=150。，/DBC=30。，ZABC+ZADC^180°,则线段CD的长度为

【解析】

【分析】

在AB上截取AE=AC,证明4ADE和^ADC全等，再证BDE是等腰三角形即可得出答案.

【详解】

在AB上截取AE=AC

是/BAC的角平分线

/.ZEAD=ZCAD

又AD=AD

AAADE^AADC(SAS)

；.ED=DC,ZADE=ZADC

ZADB=150°

.•.ZEDB+ZADE=150°

又：NDBC=30°,ZABC+ZADC^180°

：.ZABD+ZDBC+ZADC=180°

即/ABD+NADC=150°

；.NABD=/EDB

/.BE=ED

即BE=CD

又AB=8,AC=5

CD=BE=AB-AE=AB-AC=3

故答案为3

本题考查的是全等三角形的综合，解题关键是利用截长补短法作出两个全等的三角形.

4.如图，AABC中，ZACB=9Q°,AC=8cm,5C=15cm,点M从A点出发沿

AfCf3路径向终点运动，终点为5点，点N从3点出发沿3fCfA路径向终点

运动，终点为A点，点M和N分别以每秒2cm和3cm的运动速度同时开始运动，两点

都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M和N作品EJJ于E，八丁，/于尸.设

运动时间为f秒，要使以点M，E,。为顶点的三角形与以点N,F,C为顶点的三角

形全等，贝打的值为.

【答案】，或7或8

【解析】

【分析】

易证/MEC=/CFN,ZMCE=ZCNF.只需MC=NC,就可得到△MEC与^CFN全等，然

后只需根据点M和点N不同位置进行分类讨论即可解决问题.

【详解】

①当0Wt<4时，点M在AC上，点N在BC上，如图①，

图①

此时有AM=2t,BN=3t,AC=8,BC=15.

当MC=NC即8-2t=15-3t时全等，

解得t=7,不合题意舍去；

②当4Wt<5时，点M在BC上，点N也在BC上，如图②,

图②

若MC=NC,则点M与点N重合，即2t-8=15-3t,

23

解得t=£；

23

当5Wt<——时，点M在BC上，点N在AC上，如图③,

3

二

FCE

HB③

当MC=NC即2t-8=3t-15时全等，

解得t=7；

2323

④当一WtV一时，点N停在点A处点M在BC上，如图④，

32

FCE

图④

当MC=NC即2t-8=8,

解得t=8：

23

综上所述：当t等于1或7或8秒时，以点M,E,C为顶点的三角形与以点N,F,C为

顶点的三角形全等.

故答案为：［23或7或8.

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定以及分类讨论的思想，可能会因考虑不全面而出错，是

一道易错题.

5.如图，已知AABC为等边三角形，点。，E分别在边BC,AC上，且BD=CE,若BE交

八。于点F，则/AFE的大小为(度).

【答案】60

【解析】

【分析】

根据AABC为等边三角形得到AB=8C,ZABD=ZBCE=60°,再利用BD=CE证得

△ABD咨ABCE,得到再利用内角和外角的关系即可得到/AFE=60°.

【详解】

:△ABC为等边三角形，点。，E分别在边BC,AC上，且8D=CE,

：.AB=BC,ZABD=ZBCE=60°,

在ZkABD和"CE中，

AB=BC

<ZABD=ZBCE,

BD=CE

:.AABD咨Z\BCE(SAS),

:./BAD=NCBE,

"：NABF+NCBE=/ABC=6Q°,

：.NABF+NBAD=60°,

'：ZAFE=ZABF+ZBAD,

：.ZAFE=60°,

故答案为：60.

【点睛】

此题考查三角形全等的判定定理及性质定理，题中证明三角形全等后得到/区4。=

NCBE,再利用外角和内角的关系求NAFE是解题的关键.

6.如图，已知点A(a,0)在x轴正半轴上，点3(0力)在》轴的正半轴上，AABC为等腰直

角三角形，。为斜边上的中点.若0。=也，则。+上=.

【解析】

【分析】

根据等腰直角三角形的性质，可得AP与BC的关系，根据垂线的性质，可得答案

【详解】

如图：作CPLx轴于点P,由余角的性质，得/OBA=NPAC,

在RtAOBA和RtAPAC中，

ZOBA=ZPAC

<ZAOB=ZCPA,

BA=AC

RtAOBA^RtAPAC(AAS),

；.AP=OB=b,PC=OA=a.

由线段的和差，得OP=OA+AP=a+b,即C点坐标是(a+b,a),

由B(0,b),C(a+b,a),D是BC的中点，得D(巴吆，竺2),

22

.A/2(6Z+W

••vJU-------------------

2

,A/2(〃+/?)_r~

••----------二72，

2

.*.a+b=2.

故答案为2.

【点睛】

本题解题主要①利用了等腰直角三角形的性质；②利用了全等三角形的判定与性质；③利

用了线段中点的性质.

7.如图，在AABC中，AC=AB,ZBAC=90°,D是AC边上一点，连接BD,AF_LBD于点F,

点E在BF上，连接AE,ZEAF=45°,连接CE,AK_LCE于点K,交DE于点H,

3

ZDEC=30°,HF=-,贝！1EC=

2

【答案】6

【解析】

【分析】

延长AF交CE于P,证得△ABH^^APC得出AH=CP,证得△AHFg/kEPF得出AH=EP,得出

EC=2AH,解30。的直角三角形AFH求得AH,即可求得EC的长.

【详解】

如图，延长AF交CE于P,

VZABH+ZADB=90",ZPAC+ZADB=90°,

.•.NABH=NPAC,

VAK±CE,AF±BD,ZEHK=ZAHF,

，/HEK=/FAH,

•.,ZFAH+ZAHF=90°,ZHEK+ZEPF=90°,

；.NAHF=/EPF,

...NAHB=NAPC,

在AABH与AAPC中，

ZABE=ZPAC

<AB=AC,

ZAHB=ZAPC

.•.△ABH^AAPC(ASA),

，AH=CP,

在AAHF与AEPF中，

ZAHF=ZEPF

<ZAFH=ZEFP=90°,

AF=EF

/.△AHF^AEPF(AAS),

；.AH=EP,ZCED=ZHAF,

；.EC=2AH,

VZDEC=30°,

.•.ZHAF=30°,

3

；.AH=2FH=2x-=3,

2

/.EC=2AH=6.

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，作出辅助线根据全

等三角形是解题的关键.

8.AD,BE是AABC的高，这两条高所在的直线相交于点0,若B0=AC,BC=a,CD=b,则

AD的长为.

【答案】AD的长为a-b或b-a或a+b或或b.

2

【解析】

【分析】

分别讨论AABC为锐角三角形时、/A、/B、/C分别为钝角时和/A为直角时五种情况，

利用AAS证明△BODgAACD,可得BD=AD,根据线段的和差关系即可得答案.

【详解】

①如图，当AABC为锐角三角形时，

；AD、BE为AABC的两条高，

.•.ZCAD+ZAOE=90°,ZCBE+ZBOD=90°,

VZBOD=ZAOE,

.•.ZCAD=ZOBD,

又：NODB=NADC=90。，OB=AC,

/.△BOD^AACD,

；.AD=BD,

VBC=a,CD=b,

.•.AD=BD=BC-CD=a-b.

A

②如图，当NB为钝角时,

VZC+ZCAD=90°,ZO+ZCAD=90°,

AZC=ZO,

XVZADC=ZODB=90°,OB=AC,

.,.△BOD^AACD,

ABD=AD,

AAD=CD-BC=b-a.

③如图，当NA为钝角时,

同理可证：ABOD^AACD,

AAD=BC-CD=a-b.

✓

0

④如图，当NC为钝角时，

同理可证：ABOD^AACD,

AD=BD=BC+CD=a+b.

B

DV'C

E

O

⑤当/B为直角时，点0、D、B重合，OB=0,不符合题意，

当/C为直角时，点0、C、D、E重合，CD=O,不符合题意,

如图，当/A为直角时，点A、E、0重合，

VOB=AC,ZCAB=90°,

/.△ABC是等腰直角三角形，

VADXBC,

；.AD是RtAABC斜边中线，

AD=AD=—BC=—a=b.

综上所述：AD的长为a-b或b-a或a+b或或b.

2

故答案为：a-b或b-a或a+b或一a或b

2

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法有：SSS、AAS、ASA,

SAS、HL等，注意：SAS时，角必须是两边的夹角，SSA和AAA不能判定两个三角形全等.

灵活运用分类讨论的思想是解题关键.

9.如图，在等腰直角三角形ABC中，NC=90°,AC=BC=4,点D是AB的中点，E,F在射线

AC与射线CB上运动，且满足AE=CF,ZEDF=90°；当点E运动到与点C的距离为1时，则

△DEF的面积为.

n

513

【答案】一或一

22

【解析】

解：①E在线段AC上.在△AOE和△COF中，

AD=CD,ZA=NDCF,AE=CF，:・&ADE^△CDF(SAS),/.同理△CDEV△BDF,：.四边

形CEOF面积是△ABC面积的一半.・；CE=1,/.CF=4-1=3&CEF的面积

13135

=-CE»CF=-，二△OFF的面积=5x2&x2&--=-.

②F在AC延长线

上.AE'=CF',AC=BC=4,ZACB=90°,：.CE'=BF,ZACD=Z.CBD=45°,CD=AD=BD=272,

ZDCE'=ZDSF'=135".在4CDF'^BABDF'中，

CD=BD,ZDCE'=DBF',CE'=BF',：.△CDEW△BDF'(SAS)，,DE'=DF',ZCDE'=ZBDF'.

■：ZCDE'+ZBOE'=90°,二ZBOE'+NBDF'=90°,即

，222x，2

ZE'DF'=90°.-：DE=CE'+CD-2CD»CE'cosl35°=l+8+2x272—=13，=SAFDF'=-Df=

点睛：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证

AADE^△CDF^DACDEm△BCF是解题的关键.

10.如图，在△ABC中，ZB=ZC,BD=CE,BE=CE若NA=40。，则NOEF的度数为

【答案】70。

【解析】

由等腰三角形的性质得出NB=NC=70°,再根据SAS证得△BDE0Z\CEF,得出

ZBDE=ZCEF,运用三角形的外角性质得出/CEF+/DEF=NB+/BDE,即可得出

ZDEF=ZB=70°.

点睛：此题主要考查了等腰三角形的性质，解题时，利用等腰三角形的性质和三角形全等

的判定证得/BDE=NCEF,然后根据三角形外角的性质可求解.

二、八年级数学全等三角形选择题（难）

11.如图，四边形ABCD中，NA、NB、ZC>.ND的角平分线恰相交于一点P,记AAPD、

△APB、ABPC>ADPC的面积分别为Si、S2、S：3、S4,则有（）

4B.Sj+S2=S3+S4C.Sx+S4=S2+S3D.Sj=S3

【答案】A

【解析】

【分析】

作辅助线,利用角平分线性质定理，明确8个三角形中面积两两相等即可解题.

【详解】

四边形ABCD,四个内角平分线交于一点P,即点p到四边形各边距离相等，（角平分线性质定

理），

如下图，可将四边形分成8个三角形，面积分别是a、a、b、b、c、c、d、d,

贝！JSi=a+d,S2=a+b,S3=b+c,S4=c+d,

Si+S3=a+b+c+d=S2+S4

故选A

【点睛】

本题考查了角平分线性质定理，作高线和理解角平分线性质定理是解题关键.

12.如图，在AABC中，AB=6,AC=10,BC边上的中线AD=4,则AABC的面积为

()

【答案】D

【解析】

延长AD到E,使DE=AD,连接BE,因为D为BC的中点，所以DC=BD,

在△4。(：和4EDB中，

AD=ED

<NADC=NEDB,

DC=BD

所以△ADC^：△EDB,

所以BE=AC=10,ZCAD=NE,

又因为AE=2/W=8,AB=6,

所以AB?=4£2+3石2,

所以NCAD=AE=90",

则S4矿=S+S=-ADxBE+-ADxAC=-x4x6+-x4x6=24,

ADCABD..AZnJCc2222'

所以故选D.

13.如右图，在AABC中，点Q,P分别是边AC,BC上的点，AQ=PQ,PR_LAB于R,

PS_LAC于S,且PR=PS,下面四个结论：①AP平分/BAC；②AS=AR；③BP=QP；

@QPIIAB.其中一定正确的是（）

A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④

【答案】C

【解析】

试题解析：：PR，AB于点R,PS±AC于点S,且PR=PS,

...点P在/胡C的平分线上，

即AP平分/BAC,故①正确；

：.ZPAR=ZPAQ,

：AQ=PQ,

NAPQ=/PAQ,

：.ZAPQ=ZPAR,

■QPAB故④正确；

AP=AP

在△APR与△APS中,v

PR=PS,

：.APRWAPS（HL）,：.AR=AS,故②正确;

△BPR和AQSP只能知道PR=PS,NBRP=NQSP=90。，其他条件不容易得到，所以，不一定全

等.故③错误.

故选C.

14.已知0D平分NMON,点A、B、C分别在OM、OD、ON上（点A、B、C都不与点0重合），

且AB=BC,则/OAB与NBC0的数量关系为（）

A.ZOAB+ZBCO=180°B.ZOAB=ZBCO

C.Z0AB+ZBC0=180°或/OAB=/BCOD.无法确定

【答案】C

【解析】

根据题意画图，可知当C处在C1的位置时，两三角形全等，可知NOAB=ZBCO；当点C处

在C2的位置时，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，Z0AB+ZBC0=180°.

故选C.

15.如图，已知，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC,E为BD延长线上的一点,

BE=BA.下面结论：①小ABD2△EBC；②AC=2CD；③AD=AE=EC；

④NBCE+ZBCD=180".其中正确的是（）

A

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【答案】C

【解析】

已知B。为△ABC的角平分线，根据角平分线的定义可得/A80=NCB。，在AABD和AEBC

中，BD=BC,NABD=NCBD,BE=BA,由SAS可判定△48。之△EBC,即可得①正确；根

据已知条件，无法证明AC=2CD,②错误；己知BD为△ABC的角平分线，

BD=BC,BE=BA,可得NBCD=NBDC=NBAE=ABEA,再由

ZBCE=NBDA,ZBCE=NBCD+NDCE,ZBDA=NDAE+NBEA,ZBCD=ZBEA,可得

NDCE=NDAE,所以AE=EC；△EBC,AD=EC,AD=AE=EC,即③正

确；由△ABOV△EBC,可得NBCE=NBDA,所以/BCE+NBCD=ZBDA+ABDC=180°,④正

确.故选C.

点睛：本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的的性质、三角形外角的性质，

本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关

键.

16.在AABC中，zC=90。，AC=BC,AD是NBAC的平分线，DE^AB于点E,

AB=18cm,贝必DBE的周长为（）

A.16cmB.8cmC.18cmD.10cm

【答案】C

【解析】因为/C=90。，AC=BC,AD是/BAC的平分线，DEJ_AB,易证

△ACD^AAED,

所以AE=AC=BC,ED=CD.

ADBE的周长=BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+BC=BE+AE=AB.

因为AB=12,所以ADBE的周长=12.

故选C.

点睛：本题主要考查了全等三角形的判定的性质及角平分线的性质定理，角的平分线上的

点到角的两边的距离相等，运用这个性质，结合等腰三角形有性质，将ADBE的周长转化

为AB的长.

17.如图，点P、。分别是边长为6cm的等边△ABC边A3、上的动点，点尸从顶

点A,点。从顶点3同时出发，且它们的速度都为lcm/s,下面四个结论：

①BQ=AM②△A3。gMAP③"MQ的度数不变，始终等于60°④当第2秒或第4

秒时，△P3Q为直角三角形，正确的有（）个.

B

A

A.1B.2C.3D.4

【答案】c

【解析】

；点P、。速度相同，

AP=BQ.

在/XACP和中，

AP=BQ

<NC4P=ABQ=60°,

AC=BA

△ACP丝△胡Q,故②正确.

则NAQC=NCP8.

gpZB+ZBAQ=ZBAQ+ZAMP.

ZAMP=ZB=60°.

则NCMQ=/AMP=60。，故③正确.

NAPM不一定等于60。.

AP^AM.

BQ^AM.故①错误.

设时间为f,则4尸=2。=3尸8=4/

①当/尸。2=90°时，

VZB=60°,

：.PB=2BQ,M6-t=2t,t=2；

②当/82。=90。时，

：/8=60°,

：.BQ=2BP,得Z=2(6-Z),Z=4；

•••当第2秒或第4秒时，△尸8。为直角三角形.

...④正确.

故选C.

点睛：本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知

识点，综合性强，难度较大.

18.如图，在RtZ\ABC中，ZCBA=90°,/CAB的角平分线AP和NACB外角的平分线CF相

交于点D,AD交CB于点P,CF交AB的延长线于点F,过点D作DEJ_CF交CB的延长线于

点G,交AB的延长线于点E,连接CE并延长交FG于点H,则下列结论：①/CDA=45°；

②AF-CG=CA；③DE=DC；@FH=CD+GH；⑤CF=2CD+EG；其中正确的有（）

G

A.①②④B.①②③C.①②④⑤D.①②③⑤

【答案】D

【解析】

试题解析：①利用公式：NCDA=L/ABC=45。，①正确；

2

②如图：延长GD与AC交于点P',

P'

9

/；

由三线合一可知CG=CP',

VZADC=45°,DG±CF,

.•.ZEDA=ZCDA=45°,

；.NADP=NADF,

.•.△ADP'^AADF(ASA),

AF=AP'=AC+CP'=AC+CG,故②正确;

③如图：

VZEDA=ZCDA,

ZCAD=ZEAD,

从而ACAD0ZSEAD,

故DC=DE,③正确；

©VBFXCG,GD±CF,

；.E为z\CGF垂心，

；.CH_LGF,且ACDE、ACHFSAGHE均为等腰直角三角形，

；.HF=CH=EH+CE=GH+CE=GH+后CD,故④错误；

⑤如图：作MELCE交CF于点M,

则ACEM为等腰直角三角形，从而CD=DM,CM=2CD,EM=EC,

VZMFE=ZCGE,

ZCEG=ZEMF=135",

.'.△EMF^ACEG(AAS),

；.GE=MF,

；.CF=CM+MF=2CD+GE,

故⑤正确；

故选D

点睛：本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形垂心的定义和性

质、全等三角形的判定与性质等多个知识点，技巧性很强，难度较大，要求学生具有较高

的几何素养.对于这一类多个结论的判断型问题，熟悉常见的结论及重要定理是解决问题

的关键，比如对第一个结论的判定，若熟悉该模型则可以秒杀.

19.如图,AB=AC,AD=AE,BE、CD交于点0,则图中全等三角形共有()

A.五对B.四对C.三对D.二对

【答案】A

【解析】

如图，由已知条件可证：©AABE^AACD；©ADBC^AECB；©ABDO^AECO；

©AABO^AACO；⑤△ADO之△AEO；

•••图中共有5对全等三角形.故选A.

20.如图，AC1.BE于点C,DF_LBE于点F,且BC=EF,如果添上一个条件后，可以直接利

用"也"来证明△ABC2△DEF,则这个条件应该是（）

B.AB=DEC.ZB=NED.ZD=ZA

【答案】B

【解析】

在RtAABC与RtADEF中，直角边BC=EF,要利用“HL”判定全等，只需添加条件斜边

AB=DE.

故选：B.

21.程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状"问

题，操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆

轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的

示意图.

厂工

图］图2

有以下结论：

①当/PAQ=3O。，PQ=6时，可得到形状唯一确定的△PAQ

②当/PAQ=3O。，PQ=9时，可得到形状唯一确定的aPAQ

③当NPAQ=90。，PQ=1O时，可得到形状唯一确定的APAQ

④当/PAQ=15O。，PQ=12时，可得到形状唯一确定的△PAQ

二……

:、

•■•»

~A8M

备用图

其中所有正确结论的序号是（）

A.②③B.③④C.②③④D.①②③④

【答案】C

【解析】

【分析】

分别在以上四种情况下以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，观察弧与直线AM的交点即为

Q点，作出APAQ后可得答案.

【详解】

如下图，当/PAQ=30。，PQ=6时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两

个交点，作出APAQ,发现两个位置的Q都符合题意，所以APAQ不唯一，所以①错

误.

备用图

如下图，当/PAQ=30。，PQ=9时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两

个交点，作出APA。，发现左边位置的Q不符合题意，所以AR4Q唯一，所以②正确.

如下图，当/PAQ=90。，PQ=10时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有

两个交点，作出AMQ,发现两个位置的Q都符合题意，但是此时两个三角形全等，所以

形状相同，所以APAQ唯一，所以③正确.

如下图，当/PAQ=150。，PQ=12时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有

两个交点，作出APAQ,发现左边位置的Q不符合题意，所以APA。唯一，所以④正

备用图

综上：②③④正确.

故选C.

【点睛】

本题考查的是三角形形状问题，为三角形全等来探索判定方法，也考查三角形的作图，利

用对称关系作出另一个Q是关键.

22.如图，44BD与2L4EC都是等边三角形，ABAC,下列结论中，正确的个数是

(XSBE=CD；②4BOD=60°；③乙BDO=4CE0；④若n84c=90",且“4IIBC,则

BC±CE.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用全等三角形的判定和性质一一判断即可.

【详解】

解：与44EC都是等边三角形

；.AD=AB,AC=AE,ZDAB=ZEAC=60°

.•.ZDAB+ZBAC=ZEAC+ZBAC

即NDAC=NEAB

△ZX4C三△BAE

/,BE=CD,①正确；

△D4C三△BAE

：.ZAD0=ZAB0

；.NB0D=NDAB=60°,②正确

VZBDA=ZCEA=60°,ZADC^ZAEB

/BDA-/ADCWZCEA-ZAEB

.•./BDOA4CE。,③错误

­;DA||BC

.•.ZDAC+ZBCA=180°

VZDAB=60°,^BAC=90°

.•.ZBCA=180°-ZDAB-ZBAC=30°

VZACE=60°

AZBCE=ZACE+ZBCA=60°+30°=90°

;.BCICE④正确

故由①②④三个正确，

故选：C

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、角平分线的判定定理等知识，解

题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

23.如图，C为线段AE上一动点(不与点A、E重合)，在AE同侧分别作等边三角形ABC

和等边三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接

PQ.以下五个结论：①AD=BE；②AP=BQ；®PQ//AE；®DE=DP-,⑤/AOE=120。；其

中正确结论的个数为()

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【解析】

【分析】

①由于AABC和ACDE是等边三角形，可知AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,从而证出

AACD^ABCE,可推知AD=BE,故①正确；

②由AACD会4BCE得NCBE=NDAC,加之NACB=NDCE=60°,AC=BC,得到AACP0△BCQ

(ASA),所以AP=BQ；故②正确；

③根据②^CQB乌ZkCPA(ASA),再根据/PCQ=60。推出APCQ为等边三角形，又由

/PQC=/DCE,根据内错角相等，两直线平行，可知③正确；

④根据NQCP=60°,ZDPC=ZBCA+ZPAC>60°,可知PD4D,可知④错误；

⑤利用等边三角形的性质，BC//DE,再根据平行线的性质得到/CBE=/DE。，于是

NAOB=/DAC+/BEC=/BEC+/DEO=/DEC=60。，由平角的性质可得NAOE=120。，可知⑤正

确；

【详解】

①：AABC和ACDE为等边三角形

：.AC^BC,CD=CE,ZBCA^ZDCB=60°

：.ZACD=ZBCE

：.AACD^ABCE(SAS)

：.AD=BE,故①正确；

由(1)中的全等得/CBE=N0AC,>BC=AC,/ACB=NBCQ=60°

/.△CQB^ACRA"SA),

：.AP=BQ,故②正确；

■:ACQB丝ACPA,

:.PC=PQ,且/PCQ=60°

•••△PCQ为等边三角形，

：.ZPQC=ZDCE=60°,

.,.PQ//AE,故③正确，

：NQCP=60°,ZDPC=ZBCA+ZPAC>60°,

：.PD#CD,

:.DE#DP,故④。E=OP错误；

"：BC//DE,

：./CBE=/BED,

；NCBE=NDAE,

：.ZAOB=ZOAE+ZAEO=60°,

ZAOE=120°,故⑤正确,

故选C.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判

定与性质，平行线的判定与性质，综合性较强，题目难度较大.

24.如图(1),已知=。为N54c的角平分线上一点，连接30，CD；如图

(2),已知=D,E为NBAC的角平分线上两点，连接CD,BE,

CE；如图(3),已知AB=AC,D，E,尸为44C的角平分线上三点，连接80,

CD,BE,CE,BF,CF；……，依此规律，第6个图形中有全等三角形的对数是

()

【答案】A

【解析】

【分析】

根据条件可得图1+AABD^AACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABDgZ\ACD,

△BDE^ACDE,△ABEgAACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据

可分析出第6个图形中全等三角形的对数.

【详解】

解：：AD是NBAC的平分线，

ZBAD=ZCAD.

在4ABD与4ACD中，

AB=AC

"NBAD=ZCAD,

AD=AD

.•.△ABD^AACD.

...图1中有1对三角形全等；

同理图2中，△ABE04ACE,

；.BE=EC,

VAABD^AACD.

.\BD=CD,

又DE=DE,

AABDE^ACDE,

...图2中有3对三角形全等，3=1+2；

同理：图3中有6对三角形全等，6=1+2+3；

,第6个图形中有全等三角形的对数是1+2+3+4+5+6=21.

故选：A.

【点睛】

此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有

几对三角形全等，然后寻找规律.

25.如图，已知/DCE=90。，/DAC=90。，BE_LAC于B,且DC=EC.若BE=7,AB=3,贝UAD

的长为（）

A.3B.5C.4D.不确定

【答案】C

【解析】

根据同角的余角相等求出NACD=NE,再利用“角角边”证明^ACDVABCE,根据全等三

角形对应边相等可得AD=BC,AC=BE=7,然后求解BC=AC-AB=7-3=4.

故选：C.

点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全

等的判定方法是解题的关键.

26.如图，AABC中，ZABC=45，CD-LAB于。，BE平分NA6C,且郎_LAC

于E,与CD相交于点尸，H是5C边的中点，连接与BE相交于点G,下列结论

正确的有（）个

①防=AC；②AE」BF；③NA=67.5;④ADG歹是等腰三角形；

2

=S四边形GHCE•

A.5个B.4个C.3个D.2个

【答案】B

【解析】

【分析】

只要证明会Z\CDA,△BAC是等腰三角形，NDGF=NDFG=67.5,,即可判断

①②③④正确，作GM_LBD于M,只要证明GHVDG即可判断⑤错误.

【详解】

VCDXAB,BE1AC,

.•.ZBDC=ZADC=ZAEB=90",

.•.ZA+ZABE=90°,NABE+NDFB=90°,

.•.ZA=ZDFB,

VZABC=45°,ZBDC=90",

.•.ZDCB=90°-45°=45°=ZDBC,

；.BD=DC,

在△BDF和ACDA中

ZBDF=ZCDA

<NA=NDFB,

BD=CD

ABDF^ACDA(AAS),

；.BF=AC,故①正确.

：/ABE=/EBC=22.5°,BE±AC,

/.ZA=ZBCA=67.5°,故③正确，

BA=BC,

VBEXAC,

.•.AE=EC=-AC=-BF,故②正确，

22

；BE平分/ABC,ZABC=45°,

；./ABE=/CBE=22.5°,

•.,ZBDF=ZBHG=90°,

；./BGH=NBFD=67.5°,

.•.NDGF=NDFG=67.5°,

/.DG=DF,故④正确.

作GM±AB于M.

VZGBM=ZGBH,GH±BC,

AGH=GM<DG,

•E•SADGB>SAGHB,

,*,SAABE=SABCE,

•,«S四边形ADGE〈S四边形GHCE.故⑤错误,

.•.①②③④正确，

故选：B.

【点睛】

此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质

和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第五个问题难度比较大，添加辅助线是解题

关键，属于中考选择题中的压轴题.

27.如图，A。是二A8C的角平分线，DE1AC；垂足为瓦5尸//AC交即的延长线

于点厂，若恰好平分NA3/.给出下列三个结论：①DE=DF；②DB=DC；

③其中正确的结论共有（）个

【答案】D

【解析】

【分析】

由BF〃AC,AD是二ABC的角平分线，平分NABF得/ADB=90。；利用AD平分

NCAB证得△ADCgZ\ADB即可证得DB=DC；根据。£_LAC证明△CDEgZkBDF得到

DE=DF.

【详解】

•/£）E_LAC,BF〃AC,

.,.EF±BF.ZCAB+ZABF=180°,

.•.ZCED=ZF=90°,

：AD是,A5C的角平分线，BC平分NABF,

1

.\ZDAB+ZDBA=y(ZCAB+ZABF)=90°,

.-.ZAD