2020年中考数学圆：相交弦定理(含答案)

《相交弦定理》

知识梳理：

（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.（经过圆内一

点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）.

几何语言：若弦AB、CD交于点P,贝（!PA・PB=PC・PD（相交弦定理）

（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.

几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P,贝!]PC2=PA・PB（相交弦定理推论）.

--选择题

1.如图，0。的两条弦力6、8相交于点B/C和。6的延长线交于点户，下列结论中

成立的是（）

A.PC・CA=PB・BDB.CE»AE=>BE»ED

C.CE・CD=BE・BAD.PB»PD=PC'PA

2.如图，正方形内接于OO,点户在劣弧力6上，连接。只交/C于点Q.若

A.273-1B.2MC.V3W2D.«+2

3.如图在一次游园活动中有个投篮游戏，活动开始时四个人力、&。、。在距篮筐户都是

5米处站好，篮球放在"C和6。的交点O处，已知取篮球时“要走6米，6要走3米,

。要走2米，则。要走（）

p

D

A.2米B.3米C.4米D.5米

4.如图，已知为。。的直径，。为。。上一点，于。，AD=9,5/7=4,以

C为圆心，。。为半径的圆与。。相交于尸，Q两点，弦户Q交。。于£则户日既?的

C.6D.27

5.矩形46"为。。的内接四边形，AB=2,6c=3,点万为6c上一点，且肥=1,延

长工厂交。。于点尸，则线段工厂的长为（)

A.1B.5c.V5+1D.—

5娓2V5

6.如图，。O的直径AB与弦CD交于点E,AE=6,BE=2,8=2g,则NXa的

度数是（）

A.30°B.60°C.45°D.36°

7.如图，点户为弦上的一点，连接OR过点户作尸C_LORPC交。。干C,且。。

的半径为3.若力尸=4,PB=},则。尸的长是（）

A.2B.2泥C.遂D.V3

8.如图，。。的直径"6=10,E是06上一点，弦8过点£且肥=2,DE=272,

则弦心距。尸为（）

C.V?D.73

9.已知：如图，△46C是。O的内接正三角形，弦）经过6c的中点。，且EFHAB,若

48=2,则。旧的长是（）

C.坐

D.卜

10.如图，已知O为。O'上一点，。。和。O相交于4B,C。是。。的直径，交

于厂，。。的延长线交00于己且6=4,OF=2,则CE的长为（）

A.12B.8C.6D.4

--填空题

11.如图，的弦/从。。相交于点£若/£DE=3-5,则/C:BD=

12.如图，在。。中，弦6cDE交千点、P,延长6。，交于点A6c=10,BP=1CP,

嚼小则。尸的长为——

13.已知弦46和弦C。相交于。。内一点P,AP=8,BP=3,PD=PC,则CD=.

14.如图，。。的直径与弦C。相交于点例，AE1CD于E,BFLCD于F.若C〃=

4,MD=3,BF-.AE=]\3,则。。的半径是.

15.如图，半径为八的圆内切于半径为^的圆，切点为P,过圆心O｝的直线与OQ交于“、

r,

8,与。。交于C、D,已知/IC:CD:DB=3:4:2,则」=

r2

16.如图，已知/、8、C、。在同一个圆上，BC=CD,AC与BD交手E,若/C=8,

CD=4,且线段6日力为正整数，则

5

17.如图，。。过点，0"交。。于力，延长。O的直径力8交。用于C,若"6=8,

BC=1,贝（］AM=

三.解答题

18.(1)如图1,AB,8是。O中的两条弦，它们相交于点尸，求证：PA・PB=PC・PD.

(2)如图2,点尸在。。内，。。的半径为5s?,OP=3cm,过点尸任意画一条弦

交。。于8两点，根据(])中的结论计算以•06的值.

19.在一次数学实验探究课中，需要研究同一个圆中两条线段的关系问题，某同学完成了

以下部分的记录，单位：cm

测量结果第一次第二次第三次

BB0

©AcA

AE2.003.002.99

BE6.015.005.00

CE3.013.883.75

DE3.993.874.00

AEXBE-

CEXDE

(I)请你计算AEXBE,4义。万的值，并填入上表相应的位置.•

(2)猜，想对在同一个圆中，两条线段相交，被交点分成的两条线段的积有什么关系？

并试着证明.

(3)利用上述结论，解决问题：为。。的弦，尸是46上一点，AB=]O,PA=4,

OP=5,求。。的半径R

20.已知：如图是。。的直径，”切。。于点8,入交。。于点C,尸尸分别交工3、

BC于E、D,交。。于F、G,且6。恰好是关于x的方程幺-6肝(力2+40+13)

=0(其中力为实数)的两根.

(1)求证：BE=BD.

(2)若GE,EiM，求//的度数.

参考答案

选择题

1.解：'''ZP-ZP,/_A=/_D,

:APABSXPDC、

,PA_PB

"PD"PC5

:.PB・PD=POPA,

故选：D.

2.解：如图，设。。的半径为，，QO=m,贝IJQQ=/77,QC=r+m,

QA-r-m.

在。。中，根据相交弦定理，得Q/・QC=QQQ。.

22

即（r-m）（什m）=m、QD,所以QD=37一二.

m

连接。O,由勾股定理，得QC^Db+QC^,

22

即（三工）2-2+m2，

m

解得

o

r4m

所以02.--E+l^/Z+n

所以‘QA%-m-仔l，3+2

故选：D.

3.解：根据题意得：46、C、。在以尸为圆心，半径是5米的圆上.

:.OA»OC=OB»OD,即6X2=3XOD.

解得。。=4.

故选：C.

4.，解：延长。C交。C于例，延长。。交。。于M

■:CU=AD-DB,AD=9,BD=4,

CD—6.

在。O、OC中，由相交弦定理可知，PE-EQ=DE-EM=CE-EN,

设CE-x,贝ijDE=6—x,EN=6—x+6

贝ij(6-x)(A+6)=x(6-肝6),

解得x=3.

所以，CE=3,DE=6-3=3,EM=6+3=9.

所以户曰反?=3x9=27.

故选：D.

.1,Z5=90°,

AE=VAB2+BE2=722+l2=爬'

-：BC=3,BE=1,:.CE=2,

由相交弦定理得：AE*EF=BE・CE,

匚匚BE-CE1X22A/5

AE网.5

:.AF=A&EF=g^,

故选：4

6.解：连接O。，过圆心O作O〃1C。于点H.

.■.DH=CH=^CD(垂径定理);

'''CD=2.14,

DH=7y4-

^-：AE=6,BE=2,

AB—8,

,■,0/1=00=4（。。的半径）;

:.OE=2-,

.•.在RtAODH中，OH=/0D2_DH2="一乜=&（勾股定理）;

在Rt△。曰/中，sin/OEH=^=^-,

AOEH=45°,

即N/£9=45°.

故选：C.

7.解：延长O尸交圆于一点。，连接OC,

-：PCVOP,

:.PC=PD,

:.PC^=PA»PB,

-：AP=4,PB=1,

.♦.尸3=4x1,

..尸C=2,

op=Voc2-pc2=VS2-22=V5-

8.解：丫/8=10,

二。。的半径为5,

又■：BE・AE=CE、ED,

即BE*（OA+OE）=CE*ED,

即2x（5+5-2）=2&C£

:.CE=4近,

CD=CE^ED=4/2+2-\y2=6、b，EF=~CD~ED=3-y2—2、历=、粒,

叉■:OE=OB-BE=5-2=3,

在RtAO炉中，EF=近,05=3,

■■-OF=VOE2-EF2=7s2-（V2）2=V7■

故选：c.

9.解：如图.过C作CML46于N,交平于M贝lJCAn&.

根据圆和等边三角形的性质知：CN必过点O.

■■■EFIIAB,。是6c的中点，

，OG是△，/1纥的中位线，即。6=95=1;

易知△CG。是等边三角形，而C及1OG,则。例="G;

由于OA<L&,由垂径定理得：EM=MF,椒DE=GF.

•.・弦6C、）相交于点。，

:.BD・DC=DE・DF,即DEX（。61）=1;

解得。E=近二1（负值舍去）.

2

故选：B.

10.解：。。中，。尸=2,6=4

:.OC=OD=6

:.AF・FB=CF・FD=AX(2+6)=32

OO'中，EF，OF=AF，FB=32

:.EF=32+0尸=16

即EF=EC+CF=EC+4=16

:.EC=12.

故选：4

二.填空题（共7小题）

11.解：•••弦/8、C。相交于点£

ZC=/_B,

.•△ACESXDBE,

,AC=AE=_3

"BD"DE"?5

故答案为：3:5.

12.解：如图，作C77//OF交于“设DP=2Q.

'：PD\\CH,

,PD=PB=BD

"CH"BC-

CH-3a

BD\AD=2:3,

:.BD:AD=BD:BH,

:.AD=BH,

:.BD=AH,

■.AH:AD=2:3,

:.CHIIDE,

,HC=AH=2

"DE"AD"I5

Q

,DE=3。,

2

:.PE=—a-2,a=—a,

22

:BC=10,BP:PC=2:1,

“8号心学

":PB，PC=PD”E,

.-.5^=200,

9

岁（负根已经舍弃），

...也=2a=@M

_3

故答案为斗匝.

13.解：,•.弦45和弦8相交于。。内一点只

:.PA»PB=PC»PD,

而力尸=8,BP=3,PD=PC,

二PC2=8x3=24,

PC—

:.CD=2PC=4遍.

故答案为4-y0.

14.解：由题意得，/U7X例6=。四*"。=12①，

-：AE\_CD,BFLCD,

AEIIBF,

:.BM\AM=BF\AE=1:3②，

联合①②可得：AM=6,BM=2,

.AB=AM+MB=8,

二。。的半径是4.

故答案为：4.

15.解：如图，设“C,CD,分别是3x,4x,2x、

贝ijr}=2x,

根据两圆相切，切点一定在连心线上，

则作直线。2。1，一定经过点尸，交圆于另一点已

根据相交弦定理，得外・（22-八）=O}A*O}B,

贝ijr2=6x

，IL_1

,r23

16.解：BC=CD,

ABAC=ADAC,

■：/.DBC=ADAC,

/_BAC=/_DBC,

又•：LBCE=AACB,

:./\ABC^/\BEC,

:.BC^=CE»AC,

:AC=8,8=4,

.1.EC=2,AE=6,

由相交弦定理得，BE*DE=AE・EC,

即BB*DE=\1,■

又线段6Ea为正整数，

且在△68中，BC+CD>BE^DE,

所以可得6£=3、DE=4BE=A,DE=3,

所以BD=BE^DE=7.

故答案为：7.

17.解：作过点例、8的直径4，交圆于点EF,

贝ijEM=MA=MF,

由相交弦定理知，AB»BC=EB»BF=(EM+MB)(MF-MB)=AA^-M^=8,

,.X8是圆O的直径,

:.AAMB=9Q°,

由勾股定理得，用层=/母=64,

三.解答题(共3小题)

18.(1)证明：连接BD,

由圆周角定理得，NC=/5,AA=AD,

:.XACPSXDBP、

,AP=PC

"PD-PB1

:.PA*PB=PC*PD\

(2)延长。。交OO于。，

贝ij尸。=5+3=8,PC=5-3=2,

由相交弦定理得，入•户8=PC•户。=8x2=16.

19.解：⑴填表如下:

测量结果第一次第二次第三次

BB

AE2.003.002.99

BE6.015.005.00

CE3.013.883.75

DE3.993.874.00

AEXBE12.0215.0014.95

CEXDE12.009915.015615

(2)猜想:AE・BE=CE*DE;

证明：连接力。、BD,

'/_A—/_D,/_ACD=/_DBA,

△CAESRBDE,

,AECE

"DE"BE5

即：AE*BE=CE*DE;

(3)如图，延长。尸交圆于点C延长尸O交圆于点。,

根据题意得：/P=4,BP=6,

设半径为八则尸C=-5,PD=r+5,

由相交弦定理得：AP*BP=CP*DP,

即：(-5)(r-5)