2024-2025学年八年级数学上册：构造三角形全等方法-截长补短和倍长中线

专题1.15构造三角形全等方法—截长补短和倍长中线

（知识梳理与考点分类讲解）

第一部分【知识点归纳】

当不能直接证明两个三角形全等时，可以通过添加适当的辅助线，使它们在两个合适的三角

形之中，再证这两个三角形全等，本专题介绍截长补短法和倍长中线法.

【知识点一】截长补短法

截长法：在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证明剩下的线段与另一短边相等.

补短法：延长较短线段至与另一条已知的较短线段的长度相等，然后证明新线段与最长的已

知线段的关系.

【知识点二】倍长中线法

倍长中线：是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点,

则对应角对应边都对应相等.常用于构造全等三角形.中线倍长法多用于构造全等三角形和

证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）

第二部分【题型展示与方法点拨】

【题型1】截长补短

［例1］（23-24八年级•江苏•假期作业）

1.如图，在“BC中，/8=60。，的角平分线4D、CE相交于点O,求证：AE+CD=AC.

【变式1］（20-21八年级上•安徽淮北•阶段练习）

2.如图，在四边形N8CD中，是/民4c的平分线，且若

AC=a,BD=b,则四边形N5DC的周长为（）

试卷第1页，共6页

CD

A.1.5(a+Z7)B.2a+bC.3a-bD.a+2b

【变式2】

3.如图，已知在A48C中，平分N/CB,ZA=2ZB,BC=a,AC=b,则4D=

(用含服6的代数式表示).

【题型2】倍长中线

【例2】（23-24八年级上•河北廊坊・期末）

4.下面是多媒体上的一道习题：

请将下面的解题过程补充完整

解：延长/。至点£,使ED=AD,连接BE.

E

试卷第2页，共6页

•••4D是。8C的中线，

/.CD=,

在A/CD和中，

AD=ED

<NADC=_（）

_=BD

.•.△ACDmAEBD（填判定定理用字母表示）

:.BE=AC=,

在A48E中，根据“三角形三边关系可知：

_________<AE<_________

又；AE=2AD

_________<AD<_________

【变式1]（2024•山东临沂•一模）

5.如图，点。是“BC的边8C上的中线，48=6,ZD=4,则NC的取值范围为（）

A.2<AC<14B.2<AC<12

C.1<AC<4D.1<^C<8

【变式2]（23-24八年级上•四川德阳•阶段练习）

6.如图，在“8c中，/£>为边的中线，£为4D上一点,连接5E并延长交NC于点

F，若ZAEF=NFAE,BE=5,EF=2,则C/的长为

试卷第3页，共6页

A

F

第三部分【中考链接与拓展延伸】

1、直通中考

【例】（2021•黑龙江大庆・中考真题）

jDDry

7.已知，如图1,若/。是“8C中/A4c的内角平分线，通过证明可得7/;不，同理,

AC/Czi.z

若NE是“3C中/A4c的外角平分线，通过探究也有类似的性质.请你根据上述信息，求

解如下问题：如图2,在AABC中，AD=2,C。=3,/。是^ABC的内角平分线，则^ABC的BC

边上的中线长/的取值范围是

图1图2

2、拓展延伸

【例1】（23-24八年级上•江苏南通•期中）

8.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1,03c中，若N8=6,/C=4,求3C

边上的中线/。的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所

示，延长/。到点E,使DE=4D,连接BE.请根据小明的思路继续思考：

试卷第4页，共6页

⑴由已知和作图能证得△4DC也得到3E=/C,在中求得24D的取值范围,

从而求得AD的取值范围是.

方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”.“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边

之间的关系；

(2)如图2,4D是“的中线，==+b=180。，试判断线段40

与E尸的数量关系，并加以证明；

(3)如图3,在“8C中，RE是3C的三等分点.求证：AB+AC>AD+AE.

【例2】(23-24八年级上•江西南昌・期中)

9.综合与实践

问题提出

如图1,在“BC中，4D平分NA4C,交BC于点、D,且乙4c8=2/3,则4B,CD,AC

之间存在怎样的数量关系？并说明理由.

方法运用

(1)我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题.如图2,延长/C至点E,使得

AE=AB,连接。E,……，请判断CD,/C之间的数量关系并补充完整解题过程.

(2)以上方法叫做“补短法”.我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等

三角形来解题.如图3,在线段上截取22,使得/尸二①,连接②.请补

全空格，并在图3中画出辅助线.

延伸探究

(3)小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题.如图4,在五

试卷第5页，共6页

边形43CDE中，EA=ED,AB+DC=BC,//+/。=180。，若N8CD=120。，求NBCE

的度数.

试卷第6页，共6页

1.证明见解析

【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到乙4。。=120。，

NAOE=NCOD=60。,在4c上截取/b=4£,连接。尸，分别证明△49Eg』》(SAS),

△COD也△C»(ASA),得到CQ=C尸，即可证明结论.

【详解】证明：・・・/8=60。，

ABAC+ZACB=180°-Z5=120°,

VAD>CE分别平分/氏4C、NACB,

ZOAC=ZOAB=-ABAC,AOCA=ZOCB=-ZACB,

22

AOAC+ZOCA=1ABAC+1ZACB=；(/胡C+/ACB)=60°,

:.ZAOC=120°,

Z.AOE=ZCOD=180°-ZAOC=60°,

如图，在/C上截取/尸=ZE,连接。尸，

BC

在△/OE和力。9中，

AE=AF

<ZOAE=ZOAF,

AO=AO

.•.△ZOE丝"0尸(SAS),

:.ZAOE=ZAOF=60°,

ZCOF=ZAOC-ZAOF=120°-60°=60°,

•・•/COD=60。，

ZCOD=ZCOF,

在△COD和△CO尸中，

ZOCD=ZOCF

<co=co,

ZCOD=ZCOF

答案第1页，共12页

/.△C0Z)^AC(9F(ASA),

/.CD=CF,

・・・AF=AE,

:.AF+CF=AE+CD=AC.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，做辅

助线构造全等三角形是解题关键.

2.B

【分析】在线段AC上作AF=AB,证明△AEFw^AEB可得4AFE=4B,ZAEF=ZAEB,再

证明△CEFwACED可得CD=CF,即可求得四边形Z80C的周长.

【详解】解：在线段AC上作AF=AB,

・•・AE是/A4c的平分线，

.-.ZCAE=ZBAE,

又・・・AE=AE,

.-.AAEF=AAEB(SAS),

.,.ZAFE=ZB,ZAEF=ZAEB,

vABHCD,

.-.ZD+ZB=18O°,

vzAFE+zCFE=180°,

・・・4D=4CFE,

・・•AE上CE,

.-.ZAEF+ZCEF=9O°,zAEB+zCED=90°,

.-.ZCEF=ZCED,

在ACEF和4CED中

答案第2页，共12页

ND=/CFE

/CEF=/CED,

CE=CE

.-.△CEF=ACED(AAS)

・・・CE=CF,

・•・四边形ABDC的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=2a+6,

故选：B.

【点睛】本题考查全等三角形的性质和判断.能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关

键.

3.a-b

【分析】在CB上截取CA』CA,连接DA-根据SAS证明aADC三△ADC,根据

△ADC^AA'DC,得出DA，=DA,zCArD=zA,再证明DA，=A，B即可解决问题.

【详解】在CB上截取CA』CA,连接D",

•••CD平分NACB,

・・・4ACD=NA'CD,

CA=CAy

在AADC和△ADC中，=,

CD=CD

••.△ADCKADC(SAS),

••.DA，=DA,zCArD=zA,

vzA=2zB,zCArD=zB+zArDB,

.,.zArDB=zB,

・・.BA，=A，D=AD,

・・.BC=CA，+BA』AC+AD

・・.AD=BC-AC=a-b,

故答案为：a-b.

【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定

答案第3页，共12页

等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

4.见解析

【分析】主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系等知识，延长/。至点E,

^ED=AD.证明△/CD丝△E8D,推出4。=8£=3,再利用三角形的三边关系，可得结

论；

【详解】解：延长/。至点£,使ED=4D,连接BE,

•••4D是“BC的中线，

CD=BD,

在A/CD和中，

AD=ED

<ZADC=NE8。(对顶角相等)

CD=BD

；.AACD咨AEBD(SAS),

BE=AC=3,

在“BE中，根据“三角形三边关系”可知：

1<AE<7,

又,:AE=2AD,

0.5<AD<3.5.

5.A

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅

助线，构造全等三角形.

延长至E,^DE=AD,连接CE.由&4S证明丝AECD,得CE=4B=6,再根

据三角形的三边关系即可求解.

答案第4页，共12页

【详解】解：延长40至£,使DE=4D,连接CE.

贝ijAE=2AD=8,

VAD是边5c上的中线,

；,CD=BD,

在△43。和AECD中,

AD=ED

<ZADB=ZEDC,

BD=CD

.“ABD%ECD〈SAS),

：.CE=AB=6,

在中，AE-EC<AC<AE+EC,

即8-6<4C<8+6,

2<AC<14f

故选：A.

6.3

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质.延长/。至G,使

DG=AD,连接BG,根据SAS证明△5OG丝则3G=NC,NC/D=NG,根据

AF=EFBTMACAD=AAEF,由此可得NG=NBEG,即可得出/C=AE=5,然后利用线

段的和差即可求出CF的长.正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

【详解】

答案第5页，共12页

A

如图，延长40至G,使。G=Z。，连接8G,

在△ADG和中

'BD=CD

<ZBDG=ZCDA,

DG=DA

.\ABDG^ACDA(SAS),

BG=AC,NCAD=/G.

•:/AEF=/FAE,ABEG=ZAEF,

ACAD=ZBEG,

/.ZG=/BEG,

BG=BE=5,

:.AC=BE=5.

•・•ZAEF=ZFAE,

/.AF=EF=2,

:.CF=AC-AF=5-2=3.

故答案为：3

1725

7.-</<—

22

【分析】根据题意得到兼=彳，设AB=2k,AC=3k,在△N8C中，由三边关系可求出左

的范围，反向延长中线NE至尸，使得4E=EF,连接CF,最后根据三角形三边关系解

题.

【详解】如图，反向延长中线4E至尸，使得力£=斯，连接CF,

答案第6页，共12页

••・8。=2，。。=3,/。是。3。的内角平分线,

.4B_BD_2

\4C~CD~3

可设45=2左，AC=3k,

在△/BC中，BC=5,

：.5k>5,k<5,

・・・1<左<5,

BE=EC

•・・</AEB=ZCEF

AE=EF

:AABE.FCE（SAS）

AB=CF

由三角形三边关系可知，

AC-CF<AF<AC+CF

k<AF<5k

125

故答案为：-<Z<y.

【点睛】

本题考查角平分线的性质、中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识,

是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键.

8.⑴1<4。<5

答案第7页，共12页

⑵EF=2AD,证明见解析

(3)见解析

【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法

是解题的关键.

(1)延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,根据题意证明,可知

BM=AC,在A/W中，^iAB-BM<AM<AB+BM,即可；

(2)延长到使得=连接aI/,由(1)的结论以及已知条件证明

“BMaEAF,进而可得/"=240,由=E尸，即可求得40与E尸的数量关系；

(3),取DE中点连接/”并延长至。点，使得4H=QH,连接0E和0C,通过“倍

长中线”思想全等证明，进而得到NB=C。，/。=石。,然后结合三角形的三边关系建立不等

式证明即可得出结论.

【详解】(1)解：如图1所示，延长4D到点£,^DE=AD,连接BE.

•••ND是A48C的中线，

BD=CD,

在AMDB和AADC中，

'BD=CD

<ZBDM=ZCDA,

DM=AD

AMDB%4DC(SAS),

:.BM=AC-4,

在A/A攸中，AB-BM<AM<AB+BM,

6-4<AM<6+4,§P2<AM<10,

1<AD<5,

故答案为：1<4D<5.

(2)EF=2AD,理由：

如图2,延长4D到使得DM=4D,连接即/,

答案第8页，共12页

E

由(1)知，△ADM之aC£%(SAS),

BM=AC,AM=ZMAC

vAC=AF,

・•・BM=AF,

•・・/MBA+ZM+ZBAM=180°,即ZMBA+ABAC=180°,

又•・•/BAE+ZCAF=180°,

・•・/胡尸+ZB/C=180。，

••・ZEAF=/MBA,

又•・,AB=EA,

.•.△■修△及4厂(SAS),

・•.AM=EF,

,-AD=DM,

AM=2AD,

•・•AM=EF,

・•・EF=2AD.

(3)证明：如图所示，取DE中点a,连接并延长至0点，使得=,连接

和0C,

•••汉为中点，D、E为BC三等分点,

答案第9页，共12页

DH=EH,BD=DE=CE,

・・.DH=CH,

在△45〃和△QC〃中，

'BH=CH

<ZBHA=ZCHQ,

AH=OH

同理可得：△ADH'QEH,

：.AB=CQ,AD=EQ,

此时，延长/E交。。于K点，

■.■AC+CQ=AC+CK+QK,AC+CK>AK,

,-.AC+CQ>AK+QK,

,:AK+QK=AE+EK+QK>QE,EK+QK>QE,

：.AK+QK>AE+QE,

,-.AC+CQ>AK+QK>AE+QE,

AB=CQ,AD=EQ,

：.AB+AC>AD+AE.

9.(1)AB=CD+AC,见解析

(2)①AC②DF,见解析

(3)60°

【分析】(1)利用SAS证明△RlDg/XEN。，得出=从而证得=所以

CD=CE,