7.2古典概型（第1课时古典概型的概率计算公式及其应用）课件高一上学期数学北师大版

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古典概型

第1课时古典概型的概率计算公式及其应用第七章概率北师大版

数学

必修第一册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标课程标准1.理解古典概型的定义及两个基本特征.2.掌握古典概型的概率计算公式,会求古典概型事件的概率.3.会根据实际问题建立概率模型,并能利用古典概型的概率计算公式进行计算.基础落实·必备知识一遍过知识点1

古典概型

当A为必然事件时,P(A)=1;当A为不可能事件时,P(A)=01.对于随机事件A,通常用一个数P(A)(0≤P(A)≤1)来表示该事件发生的可能性大小,这个数就称为随机事件A的概率.2.一般地,若试验E具有如下特征:(1)有限性:试验E的样本空间Ω的样本点总数有限,即样本空间Ω为有限样本空间;(2)等可能性:每次试验中,样本空间Ω的各个样本点出现的可能性相等.则称这样的试验模型为古典概率概型,简称古典概型.名师点睛古典概型的判断标准一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特点:有限性和等可能性,并不是所有的试验都是古典概型.下列三类试验不是古典模型:(1)样本点个数有限,但非等可能;(2)样本点个数无限,但等可能;(3)样本点个数无限,也非等可能.思考辨析1.若一次试验的结果所包含的样本点的个数是有限个,则该试验是古典概型吗?

2.掷一枚不均匀的骰子,求出现点数为偶数点的概率,这个概率模型还是古典概型吗?提示

不一定是,还要看每个样本点发生的可能性是否相同,若相同才是,否则不是.提示

不是.因为骰子不均匀,所以每个样本点出现的可能性不相等.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)古典概型的有限性是指样本空间Ω为有限样本空间.(

)(2)一次试验中样本点总数只有有限个,则这个试验是古典概型.(

)(3)种一粒种子它可能发芽,也可能不发芽是古典概型.(

)√××2.[人教A版教材例题]抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.(1)写出这个试验的样本空间,并判断这个试验是否为古典概型;(2)求下列事件的概率:A=“两个点数之和是5”;B=“两个点数相等”;C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.解

(1)抛掷一枚骰子有6种等可能的结果,Ⅰ号骰子的每一个结果都可与Ⅱ号骰子的任意一个结果配对,组成掷两枚骰子试验的一个结果.用数字m表示Ⅰ号骰子出现的点数是m,数字n表示Ⅱ号骰子出现的点数是n,则数组(m,n)表示这个试验的一个样本点.因此该试验的样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6}},其中共有36个样本点.由于骰子的质地均匀,所以各个样本点出现的可能性相等,因此这个试验是古典概型.(2)因为A={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},所以n(A)=4,因为C={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)},知识点2

古典概型的概率计算公式对古典概型来说,如果样本空间Ω包含的样本点总数为n,随机事件A包含的样本点个数为m,那么事件A发生的概率为名师点睛使用古典概型概率公式的注意事项(1)首先判断该模型是不是古典概型;(2)找出随机事件A所包含的样本点的个数和试验中样本点的总数.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)古典概型的每个事件发生的可能性相同.(

)(2)古典概型的每个样本点发生的可能性相同.(

)(3)古典概型中样本点的总数为n,随机事件A包含m个样本点,则×√√2.[2024北京海淀期末]同时抛掷2枚质地均匀的硬币,则“两枚硬币均为正面向上”的概率是(

)A解析

由题可得,样本空间Ω={正正,正反,反反,反正},共有4个样本点.设事件A表示“两枚硬币均为正面向上”,则A={正正},所以P(A)=.3.[人教B版教材例题]人的眼皮有单眼皮与双眼皮之分,这是由对应的基因决定的.生物学上已经证明:决定眼皮单双的基因有两种,一种是显性基因(记为B),另一种是隐性基因(记为b);基因总是成对出现(如BB,bB,Bb,bb),而成对的基因中,只要出现了显性基因,那么这个人就一定是双眼皮(也就是说,“单眼皮”的充要条件是“成对的基因是bb”);如果不发生基因突变的话,成对的基因中,一个来自父亲,另一个来自母亲,但父母亲提供基因时都是随机的.有一对夫妻,两人成对的基因都是Bb,不考虑基因突变,求他们的孩子是单眼皮的概率.解

我们用连着写的两个字母来表示孩子的成对的基因,其中第一个字母表示父亲提供的基因,第二个字母表示母亲提供的基因.由图所示的树形图可知,样本空间中共含有4个样本点,即Ω={BB,Bb,bB,bb}.孩子要是单眼皮,成对的基因只能是bb,因此所求概率为.重难探究·能力素养速提升探究点一古典概型的判断【例1】

下列概率模型:①在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点;②某射手射击一次,可能命中0环,1环,2环,…,10环;③某小组有男生5人,女生3人,从中任选1人做演讲;④一只使用中的灯泡的寿命长短;⑤中秋节前夕,某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量,给该品牌月饼评“优”或“差”.其中属于古典概型的是

.

③解析

①不属于古典概型,原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个,不满足有限性;②不属于古典概型,原因是命中0环,1环,…,10环的概率不一定相同,不满足等可能性;③属于古典概型,原因是满足有限性,且任选1人与学生的性别无关,是等可能的;④不属于古典概型,原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数,有无限多种可能,不满足有限性;⑤不属于古典概型,原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同,不满足等可能性.规律方法

古典概型的判断方法判断一个试验是不是古典概型,关键看它是否具备古典概型的两个特征:(1)一次试验中,可能出现的样本点只有有限个,即有限性;(2)每个样本点出现的可能性是均等的,即等可能性.变式训练1下列试验不是古典概型的是

.(填序号)

①从6名同学中任选4人,参加数学竞赛;②近三天中有一天降雨;③从10人中任选两人表演节目.②

解析

①③为古典概型,它们符合古典概型的两个特征:有限性和等可能性.②不符合等可能性.探究点二古典概型概率的求解【例2】

袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a,b的2个黑球和编号为c,d,e的3个红球,从中任意摸出2个球,写出试验的样本空间,并求至少摸出1个黑球的概率.解

试验的样本空间为

Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)},n=10.记“至少摸出1个黑球”为事件A,则事件A包含7个样本点,∴m=7.∴P(A)==0.7.即至少摸出1个黑球的概率为0.7.变式探究袋子中有红、白色球各1个,每次任取一个,有放回地摸三次,写出试验的样本空间,并计算下列事件的概率:(1)三次颜色恰有两次同色;(2)三次颜色全相同;(3)三次摸到的红球多于白球.解

试验的样本空间Ω={(红,红,红),(红,红,白),(红,白,红),(白,红,红),(红,白,白),(白,红,白),(白,白,红),(白,白,白)}.样本点总数n=8.(1)记事件A为“三次颜色恰有两次同色”.∵A中含有的样本点数m1=6,(2)记事件B为“三次颜色全相同”.∵B中含有的样本点数m2=2,(3)记事件C为“三次摸到的红球多于白球”.∵C中含有的样本点数m3=4,∴P(C)==0.5.探究点三古典概型的综合问题【例3—1】

[2024陕西西安月考]某创新成果展区分为A区和B区两大板块.A区由最新数据中心产业图谱和国家新型工业化示范基地2个成果组成,B区由算力筑基优秀案例、算力赋能案例、算力网络案例3个成果组成.若从该创新成果展区5个成果中,随机抽取3个成果,则其中恰有2个成果来自B区的概率是(

)D解析

设A区的2个成果分别记为a,b,B区的3个成果分别记为c,d,e,由题可得,样本空间Ω={abc,abd,abe,bcd,bce,cde,acd,ace,ade,bde},共10个样本空间.设事件A表示“恰有2个成果来自B区”,则A={acd,ade,bcd,bde,ace,bce},共含有6个样本点,则【例3—2】

编号分别为A1,A2,…,A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下:运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8得分1535212825361834运动员编号A9A10A11A12A13A14A15A16得分1726253322123138(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格:区间[10,20)[20,30)[30,40]人数

(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人,①用运动员编号列出所有可能的抽取结果;②求这2人得分之和大于50的概率.解

(1)由得分记录表,从左到右应填4,6,6.(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3,A4,A5,A10,A11,A13.从中随机抽取2人,所有的样本点有(A3,A4),(A3,A5),(A3,A10),(A3,A11),(A3,A13),(A4,A5),(A4,A10),(A4,A11),(A4,A13),(A5,A10),(A5,A11),(A5,A13),(A10,A11),(A10,A13),(A11,A13),共15个.②从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人,将“这2人得分之和大于50”记为事件B,则事件B包含的样本点有(A4,A5),(A4,A10),(A4,A11),(A5,A10),(A10,A11),共5个.所以规律方法

求解古典概型概率的“四步”法

变式训练2(1)设a,b∈{1,2,3},则函数f(x)=x2+bx+a无零点的概率为

.

解析

由题意知本题是一个古典概型问题,试验的样本点有3×3=9(个).样本点要满足b2-4a<0,即b2<4a.从所给的数据中,当b=1时,a有3种结果;当b=2时,a有2种结果;当b=3时,a有1种结果.综上所述,共有3+2+1=6(个)样本点,所以所求概率是★(2)“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如2578),在两位的“渐升数”中任取一个数比37大的概率是

.

解析

十位是1的“渐升数”有8个,十位是2的“渐升数”有7个,…,十位是8的“渐升数”有1个,所以两位的“渐升数”共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个);以3为十位数,比37大的“渐升数”有2个,分别以4,5,6,7,8为十位数的“渐升数”均比37大,且共有5+4+3+2+1=15(个),所以比37大的两位“渐升数”共有2+15=17(个).故在两位的“渐升数”中任取一个数比37大的概率是本节要点归纳1.知识清单:(1)古典概型的概念;(2)古典概型的概率公式及应用.2.方法归纳:列举法、列表法、树状图法.3.常见误区:因不按照一定的顺序列举,导致漏掉部分样本点;混淆“放回”与“不放回”抽取,导致列举样本点错误.学以致用·随堂检测促达标12341.下列试验中,是古典概型的个数为(

)①种下一粒花生,观察它是否发芽;②向上抛一枚质地不均匀的硬币,观察正面向上的概率;③在正方形ABCD内任意一点P,点P恰与点C重合;④从1,2,3,4四个数中,任取两个数;⑤在区间[0,5]上任取一点.A.0 B.1 C.2

D.3B解析

只有④是古典概型.512342.下列说法正确的是(

)A.由生物学知道生男生女的概率约为0.5,一对夫妇先后生两个小孩,则一定为一男一女B.一次摸奖活动中,中奖概率为0.2,则摸5张票,一定有一张中奖C.10张票中有1张奖票,10人去摸,谁先摸则谁摸到奖票的可能性大D.10张票中有1张奖票,10人去摸,无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.15D12345解析

一对夫妇生两个小孩的性别可能是(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),所以A不正确;中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2,当摸5张票时,可能都中奖,也可能中一张、两张、三张、四张,或者都不中奖