3.1.1函数的概念课件高一上学期数学人教A版

第三章函数的概念与性质函数的概念人教A版

数学

必修第一册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标学习单元1

函数的概念及其表示函数是现代数学最基本的概念,是刻画现实世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具,在解决实际问题中发挥着重要作用.“函数”作为一类数学研究对象,与其他数学研究对象的研究方法基本一致,如“集合”,大致的框架是“事实—概念(定义、表示)—性质—应用”,这也是整个大单元学习的知识明线.最终目标是学会用函数解决数学问题,特别是用函数解决实际问题:一是根据情境能用函数构建数学模型;二是能运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题,这也正是本单元的素养暗线.在掌握函数的过程中,逐渐熟悉函数的抽象性,积累数学抽象的经验,体会数形结合的思想,提升数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理、数学模型素养.本学习单元要在初中的基础上,通过具体实例学习用集合语言和对应关系刻画函数概念,通过函数的不同表示法加深对函数概念的认识,完成从事实到概念的学习,构建函数的一般概念,并能用函数模型来表达实际问题.具体结构图如图.学习目标1.能够用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.(数学抽象)2.了解构成函数的要素,并能正确使用区间表示数集.(数学抽象)3.能求简单函数的定义域及函数值.(数学运算)4.会判断两个函数是否为同一个函数.(逻辑推理)基础落实·必备知识一遍过知识点一:函数的概念

函数的概念一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有____________

的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个

函数

函数的记法y=f(x),x∈A定义域x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的

值域函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的

自变量对应

唯一确定定义域值域名师点睛1.函数有三要素:定义域、值域、对应关系.2.函数的值域可由函数的定义域和对应关系确定,所以当函数的定义域和对应关系相同时,值域也必定相同.3.理解函数的概念应关注三点:(1)函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x,在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应,这三性只要有一个不满足,便不能构成函数;(2)y=f(x)仅仅是函数关系的符号表示,不是表示“y等于f与x的乘积”,f(x)也不一定就是解析式;(3)除f(x)外,有时还用g(x),u(x),F(x),G(x)等符号来表示函数.微思考(1)若f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,则函数的值域是集合B吗?

(2)在函数的概念中,如果函数y=f(x)的定义域与对应关系确定,那么函数的值域确定吗?提示

f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,则函数的值域C是集合B的子集,即C⊆B.提示

确定.知识点二:区间的概念与表示设a,b∈R,且a<b,规定如下:微思考区间是数集的一种简单表示方法.实数集R及x≥a,x>a,x≤a,x<a如何用区间表示?提示

定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符号(-∞,+∞)[a,+∞)(a,+∞)(-∞,a](-∞,a)知识点三:同一个函数如果两个函数的

相同,并且

完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.

三要素相同

名师点睛如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,那么这两个函数就相同,譬如f(x)=x+1,x∈R与函数f(t)=t+1,t∈R表示同一个函数.定义域

对应关系微思考若两个函数定义域和值域相同,这两个函数是否为同一函数?若不是,请举反例说明.提示

不一定,函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系.如y=x,y=-x,定义域和值域都相同,但不是同一函数.重难探究·能力素养速提升问题1初中函数的定义,如果有两个变量x,y,并且对于x的每一个确定值,y都有一个唯一确定的值与之对应,则y=0是函数吗?问题2函数的要素是什么?可否用集合的语言更为精确地描述函数概念?探究点一函数的定义问题3如何判断函数关系?【例1】

已知集合M={1,2,3},N={1,2,3},给出下列四个对应法则,请由函数定义判断,其中能构成从M到N的函数的是(

)D解析

根据函数的定义,集合M中任意一个数在集合N中有且只有一个与之对应,选项A,集合M中2对应的数有两个,故错误;选项B,集合M中3没有对应的数,故错误;选项C,题目要求为从M到N的函数,箭头应从M指向N,故错误;选项D,集合M中任意一个数在集合N中都有唯一的数与之对应,故D正确,故选D.规律方法

函数的判断方法结合函数的定义,对集合A中任意一个x,判断在集合B中是否有唯一确定的y值与之对应.【例2】

下列图形能表示函数y=f(x)的图象的是(

)B解析

由函数的定义:对于集合A中任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称A→B为从集合A到集合B的一个函数可知,只有B选项能表示函数y=f(x)的图象.【例3】

从市场中了解到,装饰用的K金的含金量如表:K数含金量%K数含金量%24K99.912K50.022K91.610K41.721K87.59K37.518K75.08K33.314K58.36K25.0装饰用的K金的K数与含金量之间是

关系,K数越大,含金量

(填“越高”“越低”或“不变”).

函数越高解析

通过表格可知饰用K金的含金量随着K数的减小而减小,对于K数的每一个取值,都有唯一的含金量与之对应,所以饰用K金的K数与含金量之间是函数关系,且K数越大含金量越高.探究点二区间问题4对于数集,可否用更简单的方式来记忆?【例4】

已知集合A={x|5-x≥0},集合B={x||x|-3≠0},则A∩B用区间可表示为

.

(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]解析

∵A={x|5-x≥0},∴A={x|x≤5}.∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x≠±3}.∴A∩B={x|x<-3或-3<x<3或3<x≤5},即A∩B=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5].规律方法

用区间表示集合的注意点(1)正确利用区间表示集合,要特别注意区间的端点值能否取到,即“小括号”和“中括号”的区别.(2)用区间表示两集合的交集、并集、补集运算时,应先求出相应集合,再用区间表示.探究点三同一个函数问题5相同的函数可以有不同的表现形式,如何判断两个函数是否是同一函数?【例5】

(多选题)下列四组函数中,f(x)与g(x)表示同一个函数的是(

)BD规律方法

判断两个函数是否表示同一个函数的两个要素

探究点四求函数的定义域问题6对于一个未知函数的研究,都必须在其定义范围之内才有意义.如何确定一个函数的定义域呢?【例6】

求下列函数的定义域,并用区间表示.解

要使函数有意义,需使-x2+2x+8≥0,解得-2≤x≤4,因此函数的定义域为[-2,4].规律方法

常见函数定义域的求法(1)如果函数f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数组成的集合;(2)如果函数f(x)是开偶次方根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数组成的集合;(3)如果函数f(x)是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成的,那么函数的定义域是使各式子都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集).探究点五函数值及值域问题7函数值与自变量是对应的,如何求函数值?问题8值域是函数值的集合,函数的三要素之一.一般情况下,如何求函数值域?【例7】

已知函数f(x)=x+.(1)求f(x)的定义域;(2)求f(-1),f(2)的值;(3)当a≠-1时,求f(a+1)的值.解(1)要使函数f(x)有意义,必须使x≠0,故f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).规律方法

求函数值基本思想是整体思想的运用,且变量范围要在定义域内.【例8】

求下列函数的值域:(1)y=x+1,x∈{1,2,3,4,5};(2)y=x2-2x+3,x∈[0,3);解已知x∈{1,2,3,4,5},y=x+1,将x的值分别代入函数解析式中,可得函数的值域为{2,3,4,5,6}.解y=x2-2x+3=(x-1)2+2,由x∈[0,3),再结合函数的图象(图略),可得函数的值域为[2,6).规律方法

求函数值域的基本方法是根据解析式特征,做好代数变形,从而转化为熟悉的函数类型.(1)分离常数法:此方法主要是针对形如

(ac≠0)的有理分式(无根式或有根式,但根号里不含自变量x),将有理分式变形转化为“反比例函数类”的形式,根据函数图象求出值域;(2)换元法:对于一些无理函数(含根号下有自变量x的根式,如y=ax±b±),通过换元把它们转化为二次函数类,然后利用二次函数的图象求解函数的值域.学以致用·随堂检测促达标123456781.(例1对点题)集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不表示从A到B的函数的是(

)C123456782.(例2对点题)设集合M=,N={y|0≤y≤3}.下列四个图象中能表示从集合M到集合N的函数关系的有(

)A.3个

B.2个

C.1个

D.0个B解析

A中1<x≤2中的x没有对应的y值,不符合;B符合函数定义,C也符合函数定义,D中对于0<x≤2的x有两个y值与之对应,不符合.所以有2个满足.123456783.(例3对点题)(多选题)下列关系中为y是x的函数的是(

)x1234y00-611AD12345678解析

对于选项A,

定义域为R,对于定义域内每一个值都有唯一实数与之对应,属于多对一,故是函数;对于选项B,与函数定义不符;对于选项C,对于x=1,有两个y与之对应,与函数定义不符;对于选项D,符合函数的定义.123456784.(例4对点题)集合{x|0<x<1,或2≤x≤11}用区间表示为

.

(0,1)∪[2,11]123456785.(例5对点题)下列各组函数:④f(x)=x+1,g(x)=x+x