2024-2025学年七年级数学上册 与代数式相关的五种排列规律 同步练习（含答案）

专题03与代数式相关的五种排列规律

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题型一：数字与数式的排列规律

题型二：数表的排列规律

题型三：数阵的排列规律

题型四：图阵中点的排列规律

题型五：图形的排列规律

典型例题

题型一：数字与数式的排列规律

i.观察下列等式:

第1个等式:

11।<1

第2个等式:“2=---------=—X----

3x521<35j

11fln

第3个等式:=--=----­----X----

5x72157J

11

第4个等式:----------=—X

7x92

请解答下列问题:

⑴按以上规律列出第5个等式：%=_.

(2)用含有n的代数式表示第«个等式：%=_为正整数);

（3）求a”+an+al3H----Ha99+a100.

一、单选题（共2小题）

2.观察等式：2+22=23-2,2+22+23=24-2,2+22+23+24=25-2,....若25°=x用

含X的式子表示；2，。+251+252+…+299+20°，结果是（）

A.x2—lxB.2x2—2C.2x2-xD.x2-2

3.观察下列等式：

试卷第1页，共12页

032-12=2X4@52-32=2X8③72-5z=2x12

那么第几（几为正整数）个等式为（)

A.H2-(W-2)2=2x(2«-2)B.(«+1)2=2x2n

C.(2〃)2一(2〃-2)2=2x(4〃-2)D.(2〃+1)2-(2〃-1『=2X4〃

二、解答题（共3小题）

4.观察下列各式的计算结果:

_1_3_13.

—1———x.

4422

1824

1=1---=—=—X—;

9933

,11535

1=1----=—=—x—;

161644

2446

=1一_—一=—X—..

252555

⑴用你发现的规律填写下列式子的结果：

1-1-x

1¥~--;

i—T=-x--

n

⑵用你发现的规律计算：『去卜卜一卦/.}…x,一壶卜/募

5.观察下列等式.

①，1X2=F.

6

②9X2X3=F+22.

6

③ZX3X4=『+22+32.

6

⑴请写出第5个等式：_

⑵猜想第"（"为正整数）个等式，并计算F+22+3?+…+202的值.

6.观察下列算式：

第1个等式：lx2=12xg

第2个等式：2X3=（12+22）X|

试卷第2页，共12页

第3个等式：3X4=(12+22+32)X1

⑴请写出第5个等式：；

(2)写出第〃个(“为正整数)等式；

⑶计算：俨+32+5?+…+1F的值.

题型二：数表的排列规律

7.观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律:

丑皿和加

(1)在④后面的横线上写出相应的等式:

①1=F；②1+3=2?；③1+3+5=3=④；⑤1+3+5+7+9=52；

(2)若〃表示任意一个整数，则2〃可以表示任意一个偶数，请你写出第〃个等式;

(3)利用(2)中的等式，计算:41+43+45+…+99

一、单选题(共2小题)

8.如图，在2x2的网格内各有4个数字，各网格内数字都有相同的规律，,为()

122436

11310527

A.990B.9900C.985D.9850

9.干支纪年是中国传统纪年方法.干支是天干和地支的总称，“甲、乙…”等十个符号叫天

干；“子、丑…”等十二个符号叫地支，把干支(天干十地支)顺序相配(甲子、乙丑、丙

寅...)正好六十为一周期，周而复始，循环记录.有人总结出纪年算法的辅助表如下.

甲乙丙T戊已庚辛壬癸

十天干

4567890123

子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥

十二地支

45678910110123

由上表很快算出1911年是辛亥年，1984年是甲子年，2000年是庚辰年，那么2024年是

试卷第3页，共12页

A.庚子B.丁酉C.壬卯D.甲辰

解答题(共2小题)

10.将连续的奇数1,3,5,7,9,39,排成如图1所示的数阵.

573

1)13151113：15

3337

图1图2

(1)如图2,求方框中四个数的平均数;

(2)如果用方框任意圈住四个数，设方框左上角的数为以求方框中四个数的和(用含。的代

数式表示)，并说明这个和能被4整除.

11.探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，解答问题:

9※※※※※

一

7※※※※一※

一

家

5※※一※※

一=4=2?

3※一※※※※

闲

淘※

1※沟

1+3+5=9=32

1+3+5+7=16=4?

1+3+5+7+9=25=52

(1)请猜想1+3+5+7+9+...+17=_；

(2)请猜想1+3+5+7+9+…+(2"-1)+(2"+1)+(2〃+3)=_；

(3)请用上述规律计算：103+105+107+…+2007+2009

题型三：数阵的排列规律

12.如图所示的数表是由1开始的连续自然数组成的，观察规律并解决下列问题:

试卷第4页，共12页

56789

10II1213141516

171819202122232425

2627282930313233343536

（1）第io行的最后一个数是；

⑵第20行共有个数；

（3）数字2023排在第行，从右往左数是第个数.

一、单选题（共2小题）

13.已知一列数：1、—2、3、-4、5、-6............将这列数排成下列形式:

1

-23

-45-6

7-89-10

11-1213-1415

按照上述规律排列下去，第10行数的第1个数是（）

A.-46B.-36C.37D.45

14.杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示

（a+6）"（此处"=0,1,2,3,4,5,...）的计算结果中的各项系数：

I

m♦向'=4~6''

（。访「R'+ZCI/**。,121

w'+BaX+Stib:+b'1331

=a^+401b'+b414641

则（0+6）6各项系数的和为（）

A.32B.48C.64D.128

二、解答题（共4小题）

15.观察下列正整数的排列顺序:

试卷第5页，共12页

第1列第2歹U第3列第4歹U第5歹U第6歹U

第1行129102526

第2行438112427

第3行567122328

第4行1615141322•••

第5行1718192021...

河6仃••••••…•••...•••

解答以下问题：

(1)35排在第几行第几列？

⑵第10行第10列的数是多少？第〃行〃列的数呢？(用含〃的代数式表示)

(3)2023排在第几行第几列？

16.下面的数表是由从1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答.

1

234

56789

10111213141516

(1)表中第8行的最后一个数是,它是自然数的平方，第8行共有个数；

(2)用含〃的代数式表示：第"行第一个数是,最后一个数是,第〃行共有

_______个数；

⑶求第20行各数之和.

17.观察下面三行数：

2,—4,8,—16,32,—64,....①

4,-2,10,-14,34,-62……(2)

1,-2,4,-8,16,-32...③

(1)第①行的第8个数为,第②行的第8个数为,第③行的第8个数为

(2)取每行的第10个数，计算这三个数的和.

18.材料一：杨辉三角(如图1),出现在中国宋朝时期数学家杨辉的著作《详解九章算法》

中，是我国数学史上一颗璀璨的明珠，是居于世界前列的数学成就.杨辉三角两腰上的数都

是1,其余每个数为它的上方(左右)两数之和，揭示了(。+6)"("为非负整数)展开式的

项数及各项系数的相关规律，蕴含很多有趣的数学性质，运用规律可以解决很多数学问

题.

试卷第6页，共12页

材料二：斐波那契数列，是意大利数学家莱昂纳多•斐波那契从兔子繁殖问题中引入的一列

神奇数字，用巴表示这一列数中的第"个，则数列为%=1,。2=1，%=2,4=3,

%=5,…，数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即氏+2=%+|+%（"为正整

数）

附用2

结合材料，回答以下问题:

（1）多项式（。+»5展开式共有项，各项系数和为,利用展开式规律计算:

电-5x出出TO*1]+5U-1=--------

⑵我们借助杨辉三角中第三斜行的数：1,3,6,10,…记4=1,仇=3,4=6,

&=1。，...则68=；b〃=（用〃表示）；

1111

——I-------1---------F...H--------=___________.

A人246100

⑶如图2,把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，计算可得4=1,%=1,

%=2,&=3,%=5,4=8,…右]=4+&+。3+…+%，且%024=左，结合材料-

求。2026的值（用左表不）.

题型四：图阵中点的排列规律

19.如图为一个三角形点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有一个点，第二行有两个

点……第几行有〃个点，我们将前〃行的点数和记为邑，如E=1,54=10,则S〃不可能是

（）

试卷第7页，共12页

A.20B.15C.28D.36

一、解答题（共4小题）

20.有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点算第一层，第二层每边有两个点，第三层

每边有三个点，依次类推.

（1）填写下表中的空格:

层数123456

该层对应的点数161218

所有层的总点数17

（2）根据上表中的数据，试推断：

①第"层（"W2）的点数为（用力的代数式表示）；

②"层六边形点阵的总点数为（用力的代数式表示）.

21.如图是由同样大小的黑点按一定的规律组成的图形，其中图1中共有4个黑点，图2中

共有9个黑点，图3中共有14个黑点，图4中共有19个黑点，…，依此规律，请解答下列问

题.

（1）图〃中共有个黑点；（用含〃的式子表示）

试卷第8页，共12页

⑵若图”中共有2024个黑点，求”的值.

22.用围棋棋子摆出下列一组图形，按照这种规律摆下去.

(1)第5个图形用的棋子的个数为,第n个图形用的棋子个数为；

(2)若第m个图形用的棋子个数超过57个，求加的最小值.

23.化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烧，如图，这是

部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C和4个分子式是CH,；第2个结

构式中有2个C和6个8,分子式是C2H6；第3个结构式中有3个C和8个，，分子式是

C3Hs…按照此规律，回答下列问题.

HHH

III

H-—HH—＜：—C—H

III

HHH

第I个第2个

(1)第6个结构式的分子式是

(2)第n个结构式的分子式是

(3)试通过计算说明分子式C2024H4048的化合物是否属于上述的碳氢化合物.

题型五：图形的排列规律

24.【问题提出】

2024欧洲杯正如火如荼进行中，本次比赛24支参赛球队分成6个小组，小组赛每小组4支

球队进行单循环比赛，(任何一队都要与其他各队比赛一场且只比赛一场，不同小组之间不

进行小组赛)，则本次欧洲杯总计有几场小组赛比赛？

【构建模型】

为解决上述问题，我们构建如下数学模型：如图①，我们可以在平面内画出5个点(任意3

个点都不在同一条直线上)，每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成5x4条

5x4

线段，实际只有子=10条线段.

试卷第9页，共12页

（1）若某次比赛有6支队伍进行单循环比赛，借助图②，我们可知一共要安排场比

（2）根据以上规律，若有〃支足球队进行单循环比赛，则一共要安排场比赛.

【实际应用】

（3）2024年欧洲杯足球赛，总计需要安排场小组赛.

（4）甬舟铁路预计2028年通车，届时杭州到舟山的车程将缩短至一个半小时左右，从起点

杭州站出发，途经绍兴、余姚、宁波、马番，至终点白泉站（每种车票票面都印有上车站名

称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为种.

一、解答题（共4小题）

25.用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按如图方式拼成长方形：

第①个图形中有2张正方形纸片；

第②个图形中有2（l+2）=6=2x3张正方形纸片；

第③个图形中有20+2+3）=12=3x4张正方形纸片；

第④个图形中有20+2+3+4）=20=4x5张正方形纸片；

试卷第10页，共12页

请你观察上述图形与算式，完成下列问题:

(1)观察可得：1+2+3+…+〃=(用含〃的代数式表示)；

⑵根据你的发现计算：121+122+123+…+300.

26.由镶嵌知识可知，边长相等的正六边形、正方形、正三角形三种地砖可进行无缝密铺,

观察图1、图2、图3,完成如下解答.

(1)填写下表:

图序正六边形个数正方形个数正三角形个数

图1166

图22

图33

(2)①图"中，正方形地砖数量为块、正三角形地砖的数量为块；

②求图10中正方形地砖和正三角形地砖的总数量.

27.【阅读】

邻边不相等的长方形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第1次操作；在余下的

四边形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第2次操作…依此类推，若第〃

次操作余下的四边形仍是正方形，则称原长方形为〃阶方形.

如图1,邻边长分别为1和2的长方形只需第1次操作(虚线为剪裁线)，余下的四边形就

是正方形，则这个长方形为1阶方形；显然，图2是一个2阶方形；如图3,邻边长分别为

2和3的长方形是2阶方形.

试卷第11页，共12页

112

233

图1图2图3

【探索】

（1）已知长方形的邻边长分别为1和且这个长方形是3阶方形，请画出长方形及

剪裁线的示意图，并在图形下方直接写出。的值.

【拓展】

（2）若长方形的邻边长分别为。和“。＜与，且满足a=4r,b=5a+r,则这个长方形是—

阶方形.

28.在滨湖国际会展中心广场中央摆放着一个正六边形的鲜花图案，如图所示，已知第一层

摆红色花，第二层摆黄色花，第三层是紫色花，第四层摆红色花…由里向外依次按红、黄、

紫的颜色摆放.

（1）这个鲜花图案有"层，则这〃层共摆放了一盆花（用含〃的代数式表示）；

（2）如果最外层共有96盆花，则最外层花的颜色是一，请计算此时鲜花图案共有多少盆花摆

成的.

试卷第12页，共12页

11

,9x112

11

⑵(2n-l)(2n+1)212〃一12n+1

⑶翡

【分析】本题主要考查了数字的变化规律，根据题目所给等式，总结出变化规律是解题的关

键.

（1）根据题目所给的前几个等式，即可写出第五个等式;

（2）根据题目所给的等式，总结出变化规律，即可解答;

（3）根据题目所给的等式变化规则，分别计算为+&+%+%+…+为。°和

+。2+。3+。4+…+。10，两者相减即可得到a\\+%2+。13-----1"。99+。100.

【详解】⑴解：由题意得：第5个等式为…=/1rxK

故答案为:

⑵解一•第1个等式：

第2个等式:

第3个等式:

第4个等式:

]1O______

・•・第〃个等式：册=

(2n—1)(2〃+1)2(2〃-12«+1J

故答案为：(2〃-1)(2〃+1)一21―2〃+1

(3)解：:+。2+。3+。4+..•+/00

11111

------1--------1--------1--------1-,,•+

1x33x55x77x9199x201

答案第1页，共22页

1200

=—x-----

2201

_100

-201

又+出+%+。4+.♦♦+%o

11111

--------1----------1----------1----------F

1x33x55x77x919x21

1

+,••H--------

19

=—x——

221

10

~21

dy।I+^^13+♦.♦I^^99IQQ

10010

-201-21

_10

-469

2.C

【分析】本题考查了数字的变化类.根据题中的等式，找到规律，再根据基的运算法则求

解.

【详解】解：,•-2+22=23-2，

2+22+23=24-2，

2+23+23+24=25-2.

234

­,-2+2+2+2+……+2”=2日-2,

250+251+252+---+2"+2100

=2+2?+……2100-(2+22+……+249)

-2101-2-(250-2)

2101-250

—2x2—x，

答案第2页，共22页

故选：c.

3.D

【分析】此题考查了数字的变化规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发

现的规律解决问题是应该具备的基本能力.分别观察等式左边第一个数，第二个数，右边的

后一个因数之间的关系，可归纳出规律；

【详解】解:①洋一12=2x4,

②52-32=2x8,

@712*-52=2x12.......

第”（〃为正整数）个等式为（2〃+-1）2=2x4”,

故选：D.

(「、57n-1n+\

4•⑴1］丁丁

2021

⑵

4040

【分析】（1）根据题目中的规律解答即可;

（2）根据题目中的规律解答即可;

此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律与变换方法，得出规律解决问题.

157

【详解】（1）解：依题意，1-9=铲％,

故答案为：5*7"T"+1

1

（2）解:

20202

132

=—x—x—

2233442019201920202020

12021

=—x------

22020

2021

-4040,

5.(1)—X5X6=12+22+32+42+52

(2)2870

答案第3页，共22页

【分析】本题考查的是数字的变化规律和有理数的混合运算:

(1)根据上述等式写出第5个等式即可；

(2)根据上述等式写出第〃个等式，并据此计算F+22+3?+…+202的值.

【详解】(1)解：第5个等式：^X5X6=12+22+32+42+52,

故答案为：^X5X6=12+22+32+42+52；

6

(2)解：第"个等式：|«(»+1)(2»+1)=12+22+32+42+52+---+»2,

••-12+22+32+---+202

=1x20x21x(2x20+l)

=2870.

6.(1)5X6=(12+22+32+42+52)X^-

(2)«(«+1)=(12+22+---+H2)X—("为正整数)

(3)286

【分析】本题考查数字变化的规律及有理数的混合运算，能用〃表示出第"个等式是解题的

关键.

(1)根据题中所给等式，发现规律即可解决问题.

(2)根据(1)中发现的规律即可解决问题.

(3)根据(1)中发现的规律即可解决问题.

【详解】(1)解：(1)由题知，因为第1个等式：lx2=Fxg；

22

第2个等式：2X3=(1+2)X|;

222

第3个等式:3X4=(1+2+3)X1;

...?

所以第"个等式为：»(H+1)=(12+22+--+«2)X-^-.

当〃=5时，5X6=(12+22+32+42+52)XA.

答案第4页，共22页

故答案为：5X6=(12+22+32+42+52)XA.

(2)由(1)知,

第"个等式为：〃(H+1)=(F+22+…+〃2)x/1("为正整数).

⑶^(^=12+22+32+---+112-(22+42+62+---+102)

=11X12X2X^1+1-4X(12+22+32+---+52)

,,2x11+1,=,2x5+1

=11x12x-------------4x5x6x----------

66

=506—220

=286.

7.(l)l+3+5+7=42

(2)1+3H----1-(2“-1)=n2

(3)2100

【分析】本题考查了图形类和数字类规律探究，解决本题的关键是通过从一些特殊的数字变

化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况.

（1）观察图形的变化情况即可填空；

（2）结合（1）即可得第〃个等式；

（3）结合（2）的规律进行计算即可.

【详解】（1）解：根据题意得：④1+3+5+7=4"

故答案为：1+3+5+7=42；

（2）解：•.•1=产；

1+3=2?；

1+3+5=32；

1+3+5+7=42：

1+3+5+7+9=52；...

1+3H----F（2It-1）="2

故答案为：1+3+…+（2"-1）=心

(3)解：41+43+45+---+99

答案第5页，共22页

=1+3+5+7+9+…+99-0+3+5+7+…+39)

=502-202

=2100.

8.D

【分析】本题主要考查数字规律，根据方格先求的。，进一步求得儿则可求得c.

【详解】解：观察网格图中的数字可以发现：

Q=100+2=50,

6=100—1=99,

。二1006-。=100x99—50=9850,

故选：D.

9.D

【分析】本题考查了规律问题的探索与运用，读懂题目介绍的中国传统纪年方法是解题的关

键.天干表10个数为一个周期，地支表12个数为一个周期，2000年是庚辰年，从2000年

算起，用24分别除以10和12,根据余数结合天干地支表即可得到答案.

【详解】根据题意可知，2000年是庚辰年，那么2000年的天干对应的数字是0,地支对应

的数字是8,从2000年开始算起，2024年为第24年，

•••天干表10个数为一个周期，地支表12个数为一个周期，

24-10=2.....4,24+12=2,

那么2024年的天干从0开始数，第4个是甲，2024年的地支与2000年的地支一样，都是

数字是8

，2024年对应的天干为甲，地支为辰，

故2024年为甲辰年，

故选：D.

10.(1)8

(2)见详解

【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，列代数式，解决本题的关键是根据题意列出代

数式.

(1)根据平均数的定义进行计算即可；

答案第6页，共22页

(2)用含。的代数式表示方框中四个数，然后求和即可解决问题.

【详解】⑴解：空卢对

方框中的四个数的平均数为8；

(2)解：方框中的四个数分别为a+2,a+8,a+10,

■•这四个数的和为：a+a+2+a+8+a+10=4a+20

4a+20=4(。+5),a为整数

,这个和能被4整除.

11.(1)81

(2)("+2)2

(3)1007424

【分析】此题主要考查了数字变化规律，培养学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的

能力.通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目的难

点.

(1)根据已知得出连续奇数的和等于数字个数的平方；

(2)根据已知得出连续奇数的和等于数字个数的平方，得出答案即可；

(3)利用以上已知条件得出

103+105+107+...+2007+2009=(1+3+5+...+2007+2009)-(1+3+5+...+99+101),求出

即可.

【详解】(1)解：由已知得出：1+3=4=22,

1+3+5=9=32,

1+3+5+7=16=4?,

1+3+5+7+9=25=5?,

依此类推：第〃个所代表的算式为：1+3+5+...+(2〃-1)="2；

故当277-1=17,即〃=9时，1+3+5+…+17=9?=81,

故答案为：81；

(2)解：由(1)可得1+3+5+7+9+…+(2〃-1)+(2"+1)+(2〃+3)=(〃+2)2,

故答案为：(«+2)；

答案第7页，共22页

(3)解：103+105+107+...+2007+2009

=(1+3+5+...+2007+2009)-(1+3+5+...+99+101)

(1+2009?(1+101Y

=〔一jn

=1010025-2061

=1007424.

12.(1)100

(2)39

(3)45；3

【分析】本题主要考查了数字类的规律探索：

(1)观察可知第〃行最后一个数为〃2,据此规律求解即可；

(2)先求出第19行和第20行最后一个数，用第20行最后一个数减去第19行最后一个数

即可得到答案；

(3)根据44?=1936<2023<45?=2025即可得至！J答案.

【详解】(1)解：第1行最后一个数为心，

第2行最后一个数为统

第3行最后一个数为3?

第4行最后一个数为42,

以此类推，可知第"行最后一个数为二,

・•・第10行最后一个数为102=100,

故答案为：100；

(2)解：由(1)得第20行最后一个数为202=400,第19行最后一个数为19z=361,

・•・第20行共有400-361=39个数，

故答案为：39；

(3)解：44?=1936<2023<45?=2025,

数字2023排在第45行，从右往左数是第3个数，

故答案为：45；3.

答案第8页，共22页

13.A

【分析】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，利用数字与序号数的关

系解决这类问题.观察排列规律得到第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个

数，…，第9行有9个数，则可计算出前9行的数的个数45,而数字的序号为偶数时，数

字为负数，于是可判断第10行数的第1个数为-46.

故选

【详解】解：第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，…，第9行有9个数，

所以前9行的数的个数为1+2+3+…+9=45,

而数字的序号为奇数时，数字为正数，数字的序号为偶数时，数字为负数，

所以第10行数的第1个数为-46.

故选：A.

14.C

【分析】此题主要考查了学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出此题的数字规律是

正确解题的关键.根据杨辉三角数表规律解答即可.

【详解】解：当〃=0时，各项系数的和为1=2°,

当〃=1时，各项系数的和为1+1=2=21

当〃=2时，各项系数的和为1+2+1=4=22,

当〃=3时，各项系数的和为1+3+3+1=8=2,,

发现规律：（a+9"各项系数的和为2"，

当〃=6时，（。+/O'各项系数的和为2$=64,

故选：C.

15.⑴第6行第2列

（2）91,n2-n+l

（3）数2023在第3行第45列.

【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据数字的变化得出第〃列第九行为n?-n+1，第

1行第2〃-1列的数为（2〃-是解题的关键.

（1）根据表格中数字的排列得出结论即可；

答案第9页，共22页

(2)根据第1列第1行到第5列第5行的数字规律得出第〃行第〃列的代数式即可；

(3)根据数字变化规律得出第1行第2〃-1列的数为(2〃-，即第1行第45列的数为

2025,推出2023的位置即可.

【详解】(1)解：由题意知，35排在第6行第2歹U；

(2)解：•••第1列第1行为1=12一1+1,

第2列第2行为3=22-2+1,

第3列第3行为7=3?-3+1,

第4列第4行为13=4?-4+1,

第5列第5行为21=5?-5+1,

...,

第10列第10行为1。2_10+1=91,

•••第"歹悌"行为Y-n+l;

(3)解：由规律可知，第1行第2〃-1列的数为(2〃-1):

・•・第1行第45列的数为2025,

.•.数2023在第3行第45列.

16.(1)64,8,15

⑵(“-if+l,n2,(2w-l)

(3)14859

【分析】本题考查了数字的变化规律，发现每行的变化规律是解答此题的关键.

(1)根据图中的数据，总结规律求解即可；

(2)根据图中的数据，总结规律求解即可；

(3)根据前面发现的数字的变化特点，计算出第20行第1个数和最后一个数，然后求和即

可.

【详解】(1)第1行的最后一个数是1=/，它是自然数1的平方，第1行共有l=2xl-l个

数；

第2行的最后一个数是4=22,它是自然数2的平方，第2行共有3=2x2-l个数；

第3行的最后一个数是9=32,它是自然数3的平方，第3行共有5=2x3-l个数；

第4行的最后一个数是16=4"它是自然数4的平方，第4行共有7=2x4-1个数；

答案第10页，共22页

・•・第8行的最后一个数是8?=64,它是自然数8的平方，第8行共有2x8-1=15个数；

故答案为：64,8,15；

(2)第1行的第一个数是1=02+1,最后一个数是1=F,第1行共有i=2xl-l个数；

第2行的第一个数是2=『+1，最后一个数是4=2?,第2行共有3=2x2-1个数；

第3行的第一个数是5=22+1,最后一个数是9=32,第3行共有5=2x3-1个数；

第4行的第一个数是10=32+1,最后一个数是16=4?,第4行共有7=2x4-l个数；

.•・第〃行的第一个数是("-if+l,最后一个数是“2,第〃行共有(2〃-1)个数；

故答案为：(2/7-1);

(3)•.•第20行第1个数为(20-if+1=362,最后一个数为20,=400,共有2x20-1=39个数

・•・第20彳亍所有数字之和=362+363+...+400

=(362+399)x19+400

=14859.

17.(1)-256,-254,-128

⑵-2558

【分析】此题考查数字的变化规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现

的规律解决问题是应该具备的基本能力.

(1)根据第①行已知数据都是2的乘方得到，再利用第偶数个数的系数为负数，即可得出

答案；再根据第②行都比第①行对应数字大2进行解答，第③行是第①行的对应数字的;

进行解答即可

(2)先分别表示每一行的第10个数，再求和即可

【详解】(1)解：及，-4,8,-16,32,-64,……①

2'=2,-4=-22,8=23,一小一2,，...

・・•第①行第8个数为：-2=-256；

••-4,-2,10,-14,34,-62……②，都比第①行对应数字大2,

二第②行第8个数为：-256+2--254；

答案第11页，共22页

••-1,-2,4,-8,16,-32……③,

・•・第③行是第①行的g,

.•・第③行第8个数为：-256x1=-128,

(2)•.•第①行第10个数为：-210;

第②行第10个数为：-210+2;

第③行第10个数为：1x(-210),

1010

."2'»_2+2+|X(-2)

1O1O9

=_2_2-2+2

=-29X(2+2+1)+2

=-5X29+2

=-2558.

18.(1)：6,32,-];

c、s200

(2)36,—^，而；

⑶左+1.

【分析】本题主要考查了探索规律，正确理解题意，找出规律是解题的关键.

（1）总结规律得多项式（。+»5展开式共有1+5=6项，各项系数和为

1+5+10+10+5+1=32=2$,令（a+域中，a=^,b=-\,由展开式得

Q~=~5x（iJ+10x（ij-10xQJ+5x（i）-1,从而即可得解；

（2）总结规律得“=（»8）X8=36,%=01也，从而代入!+!+[+...+/一求解即

8

22btb2b3bl00

可；

（3）总结规律得%=%_2+%一1'再由北=〃1+〃2+。3+…+%，T?024=k，得

6Z]++…+“2024+“2=上+电，从而即可得解.

【详解】（1）解「•多项式（Q+b）展开式共有1+1=2项，各项系数和为1+1=2=%

答案第12页，共22页

多项式(。+912展开式共有1+2=3项，各项系数和为1+2+1=4=22.

多项式+4展开式共有1+3=4项，各项系数和为1+3+3+1=8=23.

多项式展开式共有1+4=5项，各项系数和为1+4+6+4+1=16=2"；

多项式(°+6)5展开式共有1+5=6项，各项系数和为1+5+10+10+5+1=32=25；

令(a+6)5中，=由展开式得

1

1132

故答案为：6,32,

(2)解：(=1,

(l+2)x2

b.=l+2=3=^——1—

22

(l+3)x3

b=1+2+3=6=

32

(l+4)x4

々=1+2+3+4=10=

2

(l+8)x8

bg=36；

2

(1+n^n

3=

2

1111

——I-----F——F+——

^100

4b2b3

1111

(l+l)xl+(l+2)x2+(l+3)x3+…+(1+100)x100

~2—2-2-2

22

H--------F+...d------------------

2x13x24x3101x100

111

H--------1--------F...+

3x24x3101x100

100

X--------

101

答案第13页，共22页

200

"loT

工心田adr,(\+n\n200

故答案为：36,'2,而；

(3)解：=1,a2=l,%=2,%=3,a5=5,a6=8,

*,14Z3=2=%+ci],a&=3=(?2+43,a、=5=+,ci^=8=a4+a、，

•,•应=*+%，

"Tn=a1+a2+a3+...+an,T2024—k,

■(-/TQ24jICl[II...ICl2Q24,

%+%+4+...+。2024+电=k+a1,

a,+%+4+...+。2024=k+a、,

。3+&+&+…+。2024=%+a,,

a

。2024+2025=%+1

•••。2。26=左+1・

19.A

【分析】题目主要考查规律探索问题，根据题意得出S,的两倍等于相邻两个正整数的积,

结合题意即可判断.

【详解】解：由题意，可知S“=1+2+3+4+…+(〃-1)+"=〃+(〃-1)+…+4+3+2+1,

2Sn=n(n+l),即S“的两倍等于相邻两个正整数的积.

•••15x2=5x6,21x2=6x7,28x2=7x8,36x2=8x9,

.••不存在两个相邻正整数的积等于20的两倍，

故选A.

20.⑴见解析

(2)①6〃-6；②3"2-3〃+1

【分析】此题主要考查了找规律——图形的变化，学生通过特例分析从而归纳总结出一般规

答案第14页，共22页

律的能力，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解.

（1）观察点阵可以写出答案；

（2）①观察可知，从第二层开始，每增加一层就增加六个点；

②将每一层的点数相加后即可得到答案.

【详解】（1）解：如表：

层数1234

该层对应的点数161218

所有层的总点数171937

（2）解：①第一层上的点数为1；

第二层上的点数为6=1x6；

第三层上的点数为6+6=2*6；

第四层上的点数为6+6+6=3x6；

•••»•

第a层上的点数为（附T）X6=6〃-6.

②第二层开始，每增加一层就增加六个点，即〃层六边形点阵的总点数为，

1+1X6+2X6+3X6+...+（jt—1）x6,

=l+6[l+2+3+4+...+（w-l）],

1,〃（九一1）

=l+6x-------,

2

=1+3〃（〃一1）.

第〃层六边形的点阵的总点数为：1+3加-1）=3/_3力+1.

故答案为：6n-6；3n2-3H+1

21.（l）（5n-l）

⑵”=405

【分析】（1）根据所给的图形进行类比得到公式即可；

（2）利用公式得到方程解题即可；

本题考查了图形的变化规律和解一元一次方程，解题的关键是仔细观察图形的变化规律，然

答案第15页，共22页

后利用规律求解.

【详解】（1）解：图1中共有4=5x1-1个黑点，

图2中共有9=5x2-1个黑点，

图3中共有14=5x3-1个黑点，

图4中共有19=5