2024年阳泉市高三数学5月第三次模拟考试卷（附答案解析）

2024年阳泉市高三数学5月第三次模拟考试卷

考试时间120分钟，满分150分

一、单项选择题：（本大题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.）

1.设集合尸=Wy=eX+l},/={x|y=log2（x-2）},则集合川与集合尸的关系是（）

A.M=PB.P&MC.M^PD.PcM

2.已知2+i是实系数方程V+px—q=0的一个复数根，则。+4=（）

A.-9B.-lC.lD.9

3.已知夕：xNa,q:|x+2a|<3,且?是9的必要不充分条件，则实数。的取值范围是（）

A.（-oo,-l]B.（-0°,-l）C.[l,+oo）D.（1,+oo）

4.已知等差数列（a“）中，为是函数/（x）=sin，x-胃的一个极大值点，则tan（%+佝）的值为（）

A*B，V3C.±V3D.-V3

3

----2

5.己知非零向量满足|万+切=|万—2切，且6与彳上的投影向量为丁，则\恸a\=（）

1J3r

A.-B.—C.2D.J3

22

22

6.已知双曲线C：二-「=1伍〉0,6〉0）的左、右焦点分别为片,鸟，双曲线的右支上有一点4力片与

ab

TT

双曲线的左支交于点B，线段2用的中点为M，且满足8河，2用，若NFiAFz=飞,则双曲线。的

离心率为（）

A.2B.V6C，V7D.V13

7.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设见仇加（加>0）为整数，若。和

6被切除得的余数相同，则称。和b对模加同余，记为a三6（mod加）.如9和21除以6所得的余数都

是3,则记为9=21（mod6）.若a=4+C\-2+C."+…+蔻-22\a=6（mod10）,则b的值可

以是（）

A.2019B.2020C.2021D.2022

8.已知正方体4BCD-44G2的棱长为2,p.为线段的动点，则三棱锥P-BCD外接球半径的取

值范围为()

二、多项选择题：(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)

9.已知圆。：/+72=l,Z(4,a),8(4,-a),若圆。上仅存在一点尸使R4_LP5,则正实数。的取值可

以是()

A.2B.3C.4D.5

10.在一个有限样本空间中，假设尸(/)=尸(8)=0(。)=，且/与5相互独立，/与。互斥，则()

A.P(AUB)=:

B.P(CM)=2P(^|C)

C.P(C\AB)=\

-1

D.若尸(C|8)+P(C|B)=2,则5与。互斥

11.已知定义在(―8,0)口(0,+8)上的函数/(x)满足/(◎)=&。+止史+工，则()

yXxy

A./(x)是奇函数B./(x)在(-8,0)上单调递减

C./(x)是偶函数D./(x)在(0,+8)在上单调递增

三、填空题：(本题共3小题，每小题5分，共15分)

,(71f5711

12.已知cos[]+xj=3,贝I|sm[彳-xj=.

%

13.已知数列｛0"｝的前"项和为S"，且S“=24—2,则数列＜，的前100项和

%+1)(%+2)

勺T00_-•

(%A

14.已知函数/(%)=(X2一4%+冽)43-m-1恰有3个零点，则加的取值范围是.

I7

四、解答题：(本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

2

15.（本小题13分）如图，某乡镇绿化某一座山体，以地面为基面，在基面上选取四个点,

使得AD=26BC，测得/BAD=30°,/BCD=45°,ZADC=120°.

（、1）若民。选在两个村庄，两村庄之间有一直线型隧道，且8。=10夜km，CD=20km,求4c两

点间距离；

（2）求tan/BQC的值.

16.（本小题15分）全国“村区4”篮球赛点燃了全民的运动激情，深受广大球迷的喜爱.每支球队都有一

个或几个主力队员，现有一支“村区4”球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某个赛季的所

有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况整理成如下2x2列联表：

甲球员是否上场球队的胜负情况合计

胜负

上场4045

未上场3

合计42

（1）完成2x2列联表，并依据小概率值a=0.01的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上

场有关；

（2）由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时、打前锋、

中锋、后卫的概率分别为0.3,0.5,0.2,相应球队赢球的概率分别为0.7,0.8,0.6.

（i）当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率；

（ii）当甲球员上场参加比赛时，已知球队赢球的条件下，求甲球员打中锋的概率.（精确到0.01）

2

2n(ad-be),,

附：x=-------------------------=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.150.100.050.0250.0100.001

%2.0722.7063.8415.0246.63510.828

17.（本小题15分）在三棱柱45。-4与。1中，四边形8。。出1是菱形，△45。是等边三角形，点M是

线段45的中点，N4BB]=60。.

3

(1)证明：4。，平面48C］；

(2)若平面NAB/1，平面4SC,求直线耳。与平面4Mq所成角的正弦值.

18.(本小题17分)设函数/(x)=(x+l)lnx-左(x-1)

(1)当xNl时，/(x)NO恒成立，求左的最大值；

,1111ln2

(2)证明：对任意正整数〃，不等式7；---+-7；一~+----7+…+27；―T〈二厂.

2M+12(”+1)+12/2+52(2〃—1)+12

19.(本小题17分)已知圆0:/+/=4,8(_1,0),。(1,0).点/在圆。上，延长CW到4,使

|CM|=|初川，点尸在线段上，满足(苏+定).衣=0.

(.1)求点尸的轨迹£的方程；

(2)设。点在直线x=l上运动，2(—2,0),£»2(2,0).直线0〃与纱2轨迹£分别交于G,〃两点，求

证：GW所在直线恒过定点.

4

2024年阳泉市高三年级第三次模拟测试试题

高三数学参考答案和评分标准

一、单项选择题：（每小题5分，共40分）

题号12345678

选项CAADBCAD

二、多项选择题：（每小题5分，共20分）

题号91011

选项BDBCDAB

三、填空题：（每小题5分，共20分）

111＞。-1

12-3%2%1或2（2%1）-0)0(0,3)0(3,4)

四、解答题：（本大题共6小题，共70分）

CDBD

15.解:(1)在3台。。中，由正弦定理得

sinZCBDsinZBCD

20_10V2

sinZCBDsin45°

解得sinNCB£>=l

,：.ZCBD=90°,

・•.ABC。为等腰直角三角形,

5C=loV2>

则/r>=20BC=4O.

在A/C。中，由余弦定理得

AC2=AD-+CD2-2ADXCDcosZADC=1600+400-2x40x20x2800,

故NC=20"

故4c两点间距离为20s.

(2)设/BDC=6,则由题意可知，^ADB=120°-0,AABD=3Q0+0.

BD4D

在△48。中，由正弦定理得

sinZBADsinZABD

5

AT)

即访=2sin(3(F+，)，

BD

在△BCD中，由正弦定理得----------

sinZBDCsinZBCD

即生二瓜皿8,

BD

又AD=2而C,.12sin(300+3]=2^2x6sin，

—cos^H----sin=2sin0，

22

4+V3:.tanZBDC=^^.

tan。=

1313

16.解：(1)根据题意，可得2x2的列联表:

甲球员是否上场球队的胜负情况合计

胜负

上场40545

未上场235

合计42850

零假设笈°：球队的胜负与甲球员是否上场无关

止匕时/=—生…一=5。(4。><3-5>2)2.>6635

(a+6)(c+d)(a+c)S+d)42x8x45x5

二根据小概率值a=0.01的独立性检验，我们推断玄。不成立，

即认为球队的胜负与甲球员是否上场有关.

(2)由甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为0.3、0.5、0.2,

相应球队赢球的概率分别为0.7、0.8、0.6.

(i)设事件/：甲球员上场打前锋，事件5：甲球员上场打中锋，事件C：甲球员上场打后卫，事件。:

球队赢球，

则P(A)=0.3,P(B)=0.5,P(C)=0.2.

P(D\A)=0.7,P(D|B)=0.8,P(Z)|C)=0.6.

当甲球员上场参加比赛时，球队赢球的概率：

P(D)=P(A)P(D\A)+P(B)P(D|5)+P(C)P(D|C)

=0.3x0.7+0.5x0.8+0.2x0.6=0.73.

(ii)当甲球员上场参加比赛时，已知球队赢球的条件下，甲球员打中锋的概率为:

6

P(BD)P(B)P(OB)0.5x0.8

P(B|D)=亡0.55

P(D)-P(D)0.73

故当甲球员上场参加比赛时，已知球队赢球的条件下,

甲球员打中锋的概率约为0.55.

17.解：(1)设与4c交点为N,连接481,ZN.

•.•四边形是菱形，

=是的中点.

在AABB[中，B[B=AB,NABB[=60°

是等边三角形，二ABy=AB.

在AZCB[中，48]=2。川是4。的中点，二4。，2乂

又LBCi，ANCBCi=N,ZN,8qu平面/Bq,

平面/Bq.

(2)连接4M,

△ZAB1是等边三角形，M是线段4s的中点，48.

又♦：平面1平面ABC,平面ABCn平面ABB{AX=AB,BXMu平面ABB出,

B[M1平面ABC.

以M为原点，MB.MC所在直线分别为x轴、歹轴如图建立空间直角坐标系，

不妨设48=2,则M(0,0,0),4-1,0,0),5(1,0,0),。(0,6,0)，4(—2,0,百)，用=(0,0,6),

于是访=(-2,0,73),^=(0,0,73),

5C=(-1,V3,0),B<C=(0,V3,-V3),

西=两+而=丽+瑟=(-i,G,我

7

n-MA.=0

设平面AXMCX的法向量为n=(xj,z)，则＜_L

H-MQ=0

—2.x+y/3z=0

—x+y/^y+y/3z=0

令x=G＞，得y=-l,z=2,

二平面AXMCA的一个法向量为n=(73,-1,2).

设直线B.c与平面4Mq所成角大小为0,

4。,司3

则sin0=j",,-/=—,——

l^qInIj3+l+4xj3+34

3

故直线B】C与平面4Mq所成角的正弦值为-.

Y-I-1Y+]

18.解：(1)由已知得，/'(x)=lnx+-------k,设g(x)=lnx+--------k

XX

【，/、(工—一

m=1X—X+1)=11X—1

则S(X)---1-------2-----------2~---/*,x〉1，g(x)＞0总成

XXXXX

.•./'(%)在(1,+00)上递增0f(y)=2-k,

当2—左20即左《2时，可知/'(x)>0总成立，1./(%)在(1,+8)上递增，

/(x)〉/(l)=0总成立，故左<2满足题意.

当左>2时，/'(x)=2—£/'(e)=lne*+l+l—左=1+二〉0

ee

,

/'(X)在(1,+8)上递增，.•.存在/e(l,e)使得/(xo)=O,

由f'(x)<0M1<x<x0,由/'(x)>0得x〉Xo，，/(x)在(1,%)上递减，

此时，/(x)</(I)=0,显然与题意矛盾，%>2不合题意.

综上，左〈2为所求.

(2)由(1)可得当xNl,且左=2时，/(x)=(x+l)lnx-2(x—l)20恒成立.

1[、x-1

—Inx>-----,

2x+1

当且仅当％=1时等号成立，令％=——(〃£N),

n、7

8

〃+1]

11〃+1H1

则71n———

2n"+1]]2n+1

n

'+,+'+-+^<Uln0+lnS+…+ln2]

2〃+l2〃+32〃+52〃+(2〃-1)21nn+\2n-\)

1,(n+\n+2In2

=—In.................=-----

272+12n-lJ2

1111In2

故------1--------------1-------------F…H-------------<-------.

2〃+l2〃+32〃+54^-12

19.解：(1)V(PA+PC)AC=Q,:.(PA+PC)-(PC-PA)=Q,

PA2=,:\PA\=\PC

•.♦|。必|=|吊4|,:.屈为/。的中点，

又；。为5C